Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

Chia sẻ: Thu Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

0
462
lượt xem
107
download

Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu toán học: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

  1. Chuong 4 ’’ ´’ ´ ˆ ’ D. U’OC LU’ONG THAM SO CUA ¯ AI LU’ONG .’ .’ ˜ ˆ ˆ NGAU NHIEN Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ tham sˆ θ chua biˆt. U’oc luong tham sˆ θ l` dua ’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ a e o ´ o ’ ´ e ´ ’ .’ ’ ´ o a .’ a ˜ a a˜ e ¯’ ´ o e ˆ ˆ v`o mˆu ngˆu nhiˆn Wx = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ta dua ra thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) dˆ’ uoc luong (du do´n) θ. ¯e ’ ´ ’ .’ ’ .’ ¯ a o ’’ a ’ ´ ’ .’ C´ 2 phuong ph´p uoc luong: ’ i) U’oc luong diˆ’m: chi’ ra θ = θ0 n`o do dˆ’ uoc luong θ. ´ ’ .’ ¯ e ’ a ¯´ ¯e ’ ´ ’ .’ ’ ii) U’oc luong khoang: chi’ ra mˆt khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho P (θ1 < θ < θ2 ) = ´ ’ .’ ’ ’ o . ’ ´ ’ 1 − α cho truoc´ (1 − α goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong). ’’ . a ¯o . a ’ ’’ . ´ ’ .’ ´’ ’ 1. CAC PHU’ONG PHAP U’OC LU’ONG ¯ IEM ´ ’ ´ .’ D ˆ 1.1 ’’ a ’´ ’. Phuong ph´p h`m uoc luong a ’ ’ o ’ • Mˆ ta phuong ph´p ’’ a ’ ’’ a ’ ´ ’ .’ ` ’ ´ ’ ¯ . ’ .’ o ˜ a e ` ’ a . ˜ a ˜ Gia su cˆn uoc luong tham sˆ θ cua dai luong ngˆu nhiˆn X. Tu X ta lˆp mˆu ngˆu a nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). e ´ e ˆ ˆ . ˆ a a ’ ´ ’.’ ’ Chon thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ). Ta goi θ l` h`m uoc luong cua X. . o ’ Thuc hiˆn ph´p thu ta duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi d´ uoc luong .’ e. e ’’ ¯ ’ .’ a˜ . e ¯o ’ ´ ’ .’ ’ diˆ ¯e ’m cua θ l` gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ). ’ a a . ˆ ’´ ’ ’ a) Uoc luong khˆng chˆch ’ o e . . D. ˜ ´ o e ˆ ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ 2 ¯ inh nghia 1 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong khˆng chˆch ’ o e . ’ ´ ´ ˆ = θ. cua tham sˆ θ nˆu E(θ) o e ´ ˜ Y nghia ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’ ’ e . ’ ´ Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Ta c´ o o o ˆ ˆ E(θ − θ) = E(θ) − E(θ) = θ − θ = 0 69
  2. 70 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e a ’ ´ ’ .’ . ’ e . a ’ ´ ’ .’ ’ o ´ o ` ınh ˘ Vˆu uoc luong khˆng chˆch l` uoc luong c´ sai sˆ trung b` bang 0. o ⊕ Nhˆn x´t a . e ınh ’ ˜ a ˜ a e a ’ ´ ’ .’ ’ o e . ’ ınh ’ i) Trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn X l` uoc luong khˆng chˆch cua trung b` cua tˆ o’ng thˆ’ θ = E(X) = m v` E(X) = m. e ı ’’ ¯ e` ˜ a a˜ e a ’ ´ ’ .’ ii) Phuong sai diˆu chinh cua mˆu ngˆu nhiˆn S 2 l` uoc luong khˆng chˆch cua ’ ’ ’ o e . ’ ’’ ’ o phuong sai cua tˆ’ng thˆ’ σ 2 v` E(S 2 ) = σ 2 . e ı e` ’ ’’ • V´ du 1 Chiˆu cao cua 50 cˆy lim duoc cho boi ı . a ¯ ’.’ ’ e` e ´ Khoang chiˆu cao (m´t) sˆ cˆy lim o a x0 i ui ni ui ni u2 i [6, 25 − 6, 75) 1 6,5 -4 -4 16 [6, 75 − 7, 25) 2 7,0 -3 -6 18 [7, 25 − 7, 75) 5 7,5 -2 -10 20 [7, 75 − 8, 25) 11 8 -1 -11 11 [8, 25 − 8, 75) 18 8,5 0 0 0 [8, 75 − 9, 25) 9 9 1 9 9 [9, 25 − 9, 75) 3 9,5 2 6 12 [9, 75 − 10, 2) 1 10 3 3 9 50 -13 95 e` ’ a Goi X l` chiˆu cao cua cˆy lim . a a) H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho chiˆu cao trung b` cua c´c cˆy lim. a ’ ´ ’ .’ ¯ e ’ e` ınh ’ a a b) H˜y chi a ’ ra uoc luong diˆ’m cho do tan m´t cua c´c chiˆu cao cˆy lim so voi chiˆu ’’´ ’ .’ ¯ e ¯ˆ . ’ a ’ a e` a ´’ e` cao trung b`ınh. c) Goi p = P (7, 75 ≤ X ≤ 8, 75). H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho p. . a ’ ´ ’ .’ ¯ e ’ ’ Giai Ta lˆp bang t´ cho x v` s2 . a . ’ ınh a ’ ´ x0 − 8, 5 i Thuc hiˆn ph´p dˆi biˆn ui = .’ e . e ¯o e (x0 = 8, 5; h = 0, 5) 0, 5 Ta c´ u = − 13 = −0, 26. Suy ra o 50 x = 8, 5 + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37 95 s2 = (0, 5)2 . − (−0, 26)2 = 0, 4581 ∼ (0, 68)2 . 50 e` ınh ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’ a) Chiˆu cao trung b` duoc uoc luong l` 8,37 m´t. ’ a e Do ’ . a ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’ b) ¯ ˆ tan m´t duoc uoc luong l` s = 0, 68 m´t ho˘c s = ’ a e a ˆ . 50 50−1 0, 4581 ∼ 0, 684 o a e` o . ’ c) Trong 50 quan s´t da cho c´ 11+18 = 29 quan s´t cho chiˆu cao lim thuˆc khoang a ¯˜ [7, 5 − 8, 5) Vˆy uoc luong diˆ’m cho p l` p∗ = a ’ ´ ’ .’ ¯ e . ’ a 29 50 = 0, 58.
  3. a ’’ a ’´ ’ ’ ’ ¯e ’ 1. C´c phuong ph´p uoc luong diˆm 71 ’´ ’ ’ b) Uoc luong hiˆu qua ’ e . ’ . . e ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’ ’ o e. ’ ´ o ´ ’ a ¯˘ ⊕ Nhˆn x´t Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Theo bˆt dang thuc a ´ ’ Tchebychev ta c´o ˆ V ar(θ) ˆ ˆ P (|θ − E(θ)| < ε) > 1 − ε2 V ar(θ)ˆ ı ˆ e ˆ V` E(θ) = θ nˆn P (|θ − θ| < ε) > 1 − . ε2 ´ ´ ˆ a ’ ı ˆ ` e . ˆ ´ Ta thˆy nˆu V ar(θ) c`ng nho th` P (|θ − θ| < ε) c`ng gˆn 1. Do do ta s˜ chon θ voi a e a a ¯´ ’ ˆ nho nhˆt. V ar(θ) ’ a´ D. ˜ ’ o e ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ 2 ¯ inh nghia 2 U’oc luong khˆng chˆch θ duoc goi l` uoc luong c´ hiˆu qua cua tham ´ ’.’ . ’ o e . ’ ’ ´ ´ ˆ nho nhˆt trong c´c uoc luong cua θ. sˆ θ nˆu V ar(θ) o e ’ a ´ a ’ ´ ’.’ ’ ’ u´ ’`’ ´ ’ ¯ ’ .’ ˘` e ˆ a ’ ´ ’ .’ ´ ’ e . ’ ’ Ch´ y Nguoi ta chung minh duoc rang nˆu θ l` uoc luong hiˆu qua cua θ th` phuong ı ’’ ’ sai cua n´ l` o a ˆ 1 V ar(θ) = ∂lnf (x,θ) 2 (4.1) n.E( ∂θ ) a a a ¯o a . . ´ a ’ ¯ . ’ .’ a˜ e o ´ . ’´ trong d´ f (x, θ) l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn gˆc. Moi uoc ¯o ’ ’ .’ . ’’ ´ luong khˆng chˆch θ luˆn c´ phuong sai lon hon V ar(θ) o e o o ’ ’ ˆ trong (4.1). Ta goi (4.1) l` gioi . a ´ ’ han Crame-Rao. . 2 a . e ´ e ¯ . ’ .’ ˜ a e o ´ ı ˜ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X ∈ N (µ, σ ) th` trung b` mˆu X l` ınh a a n ’ ´ ’ .’ ’ e . ’ ’ y . uoc luong hiˆu qua cua k` vong E(X) = µ. n ´ X= 1 σ2 Thˆt vˆy, ta biˆt a a . . e Xi ∈ N (µ, ) n i=1 n a . a o a ´ o ’ a e e ´ a a a ¯o ’ M˘t kh´c do X c´ phˆn phˆi chuˆn nˆn nˆu f (x, µ) l` h`m mˆt dˆ cua Xi th` . . ı 1 2 2 f (x, µ) = √ e−(x−µ) /2σ σ 2π ∂ x−µ Ta c´ o lnf (x, µ) = . ∂µ σ2 2 2 ∂lnf (x, µ) x−µ n ` Suy ra nE = nE = ınh ˘ . Do d´ V ar(X) ch´ bang nghich ¯o . ∂µ σ2 σ2 dao σ 2 /n. ¯’ . a ’ ´ ’ .’ ’ e . ’ ’ Vˆy X l` uoc luong hiˆu qua cua µ. a ’´ ’ ’ ˜ c) Uoc luong vung ’ ’ . ˜ ´ o eˆ ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ ’ ˜’ ’ 2 ¯ inh nghia 3 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong vung cua tham D. ´ θ nˆu ∀ε > 0 ta c´ sˆ o ´ e o ˆ lim P (|θ − θ| < ε) = 1 n→∞
  4. 72 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e De ` e ¯ ’ ’ ’ ´ ’ .’ . ’ ˜ ¯ iˆu kiˆn du cua uoc luong vung’ e ˆ a ’ ´ ’ .’ ´ ’ o e . ’ a lim ˆ ı ˆ a ’ ´ ’ .’ ’ ˜ Nˆu θ l` uoc luong khˆng chˆch cua θ v` n→∞ V ar(θ) = 0 th` θ l` uoc luong vung ’ ’ cua θ. 1.2 ’’ a ’´ ’. ’ ’ . y o ¯ ’ ´ Phuong ph´p uoc luong hop l´ tˆi da ’ ’’ ˜ ˜ e ¯ ’ .’ . e ` ¯ . ’ .’ ˜ Gia su WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) l` mˆu ngˆu nhiˆn duoc tao nˆn tu dai luong ngˆu a a a ’ a ˜ nhiˆn X c´ mˆu cu thˆ e o a . e ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ) v` θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ). a ˆ ˆ e a a .’ y ´ ´ a ¯i ’ ¯o o X´t h`m h`m hop l´ L(x1 , . . . , xn , θ) cua dˆi sˆ θ x´c d.nh nhu sau: ’ ´ ` . • Nˆu X roi rac: e ’ L(x1 , . . . , xn , θ) = P (X1 = x1 /θ, . . . , Xn = xn /θ) (4.2) n = P (Xi = xi /θ) (4.3) i=1 L(x1 , . . . , xn , θ) l` x´c suˆt dˆ’ ta nhˆn duoc mˆu cu thˆ’ Wx = (x1 , . . . , xn ) a a ´ a ¯e a ¯ ’ .’ . ˜ a . e ´ e . o a a ¯o a . . ´ • Nˆu X liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x, θ) e a L(x1 , . . . , xn , θ) = f (x1 , θ)f (x2 , θ) . . . f (xn , θ) L(x1 , x2 , . . . , xn , θ) l` mˆt dˆ cua x´c suˆt tai diˆ’m wx (x1 , x2 , . . . , xn ) a a ¯o ’ a . . ´ a . ¯e ˆ ¯ ’ .’ . a ’ ´ ’ .’ .’ y o ¯ e ´ ´ ´ ’ ´ a Gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) duoc goi l` uoc luong hop l´ tˆi da nˆu ung voi gi´ a . ’ ’ . a ’ tri n`y cua θ h`m hop l´ dat cuc dai. a .’ y ¯ . .’ ¯ . Phuong ph´p t` ’’ a ım V` h`m L v` lnL dat cuc dai tai c`ng mˆt gi´ tri θ nˆn ta x´t lnL thay v` x´t L. ı a a ¯ . .’ ¯ . . u o a . . e e ı e ∂lnL ’´ Buoc 1: T` ’ ım ∂θ ∂lnL ’´ ’ ’ Buoc 2: Giai phuong tr` ’’ ınh (Phuong tr` hop l´) ’’ ınh .’ y ∂θ ’ ’’ ’’ ınh o e a . ˆ Gia su phuong tr` c´ nghiˆm l` θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) 2 ´ 3: T` dao h`m cˆp hai ∂ lnL Buoc ’’ ım ¯ . a ´ a ∂θ ´ ∂ 2 lnL ˆ Nˆu tai θ0 m` e . a a ’´ < 0 th` lnL dat cuc dai. Khi do θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) l` uoc ı ¯ . .’ ¯ . ¯´ ’ ∂θ luong diˆ’m hop l´ tˆi da cua θ. ’ .’ ¯ e ´ .’ y o ¯ ’
  5. ’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 73 2. PHU’ONG PHAP KHOANG TIN CAY ’ ´ ’ ˆ . 2.1 o ’ Mˆ ta phuong ph´p ’’ a Gia su tˆng thˆ’ c´ tham sˆ θ chua biˆt. Ta t` khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho ’ ’’ o ’ e o o´ ’ ´ e ım ’ ´ ’ ’´ P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α cho truoc. ’ ` ¯ . ’ .’ ’ ˜ e o ´ a. ˜ a a˜ Tu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Chon a e . ´ thˆng kˆ θ o e ˆ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) c´ phˆn phˆi x´c suˆt x´c d.nh d` chua biˆt θ. ˆ o a ´ o a ´ a a ¯i u ’ ´ e ´ ’ a e ım ¯ ’ .’ a . ’ ˆ ´ a ’ ˆ Voi α1 kh´ b´ (α1 < α) ta t` duoc phˆn vi θα1 cua θ (tuc l` P (θ < θα1 ) = α1 ). ´ ’ a e ’`’ ´ Voi α2 m` α1 + α2 = α kh´ b´ (thuong lˆy α ≤ 0, 05) ta t` duoc phˆn vi θ1−α2 cua a a ım ¯ ’ .’ a . ’ ˆ (tuc l` P (θ < θ1−α ) = 1 − α2 ). θ ´ a ’ ˆ 2 Khi d´ ¯o ˆ ˆ ˆ P (θα1 ≤ θ ≤ θ1−α2 ) = P (θ < θ1−α2 ) − P (θ < θα1 ) = 1 − α2 − α1 = 1 − α (∗) `’ ’ ¯ ’ .’ ¯ ’ e` . ˆ ˆ Tu (*) ta giai ra duoc θ. Khi d´ (*) duoc dua vˆ dang P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α. ¯ ’ .’ ¯o ´ ` ` a ˘ e o ˆ ´ ´ ˆ ` ’ ’ V` x´c suˆt 1 − α gˆn bang 1, nˆn biˆn cˆ (θ1 < θ < θ2 ) hˆu nhu xay ra. Thuc hiˆn ı a a e a .’ e . mˆt ph´p thu dˆi voi mˆu ngˆu nhiˆn WX ta thu duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). o . e ’’ ¯o ´ a ´ ’ ˜ ˜ a e ˜ ¯ ’ .’ a . e Tu mˆu cu thˆ’ n`y ta t´ duoc gi´ tri θ1 = θ1 (x1 , x2 , . . . , xn ), θ2 = θ2 (x1 , x2 , . . . , xn ). ’ ˜ ` a . e a ınh ¯ ’ .’ a . ˆ ˆ Vˆy voi 1 − α cho truoc, qua mˆu cu thˆ’ wx ta t` duoc khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao a ´ . ’ ’´ ’ ˜ a . e ım ¯ ’ .’ ’ ´ ’ cho P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α. ’ ¯ ’ .’ . a ’ • Khoang (θ1 , θ2 ) duoc goi l` khoang tin cˆy. a . . a ’ ’ ´ ’ .’ • 1 − α duoc goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong. ¯ ’ .’ . a ¯o . ’ . ’ • |θ2 − θ1 | duoc goi l` dˆ d`i khoang tin cˆy. ¯ ’ .’ . a ¯o a a . 2.2 ’´ ’. Uoc luong trung b` ’ ’ ınh Gia su trung b` cua tˆng thˆ’ E(X) = m chua biˆt. Ta t` khoang (m1 , m2 ) chua ’ ’’ ınh ’ o ’ e ’ e´ ım ’ ´ ’ ´ 1 − α l` do tin cˆy cho truoc. m sao cho P (m1 < m < m2 ) = 1 − α, voi ’ a ¯ˆ . a . ´ ’’ ’` i) Truong hop 1 ’ .’ ´ Biˆt V ar(X) = σ 2 e . ’ o a ´ o a’ n ≥ 30 ho˘c (n < 30 nhung X c´ phˆn phˆi chuˆn) a . ´ Chon thˆng kˆ o e √ (X − m) n U= (4.4) σ ´ Ta thˆy U ∈ N (0, 1). a
  6. 74 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e Chon c˘p α1 v` α2 sao cho α1 + α2 = α v` t` c´c phˆn vi . a . a a ım a a . P (U < uα1 ) = α1 , P (U < uα2 ) = 1 − α2 a . ’ a o ınh a ´ Do phˆn vi chuˆn c´ t´ chˆt uα1 = −u1−α1 nˆn e P (−u1−α1 < U < u1−α2 ) = 1 − α (4.5) .’ a a ’ e a . ´ Dua v`o (4.4) v` giai hˆ bˆt phuong tr` trong (4.5) ta duoc ’’ ınh ¯ ’ .’ σ σ X − √ u1−α2 < m < X + √ u1−α1 n n De’ ¯ ’ .’ ’ a ¯o ´ ´ ’ α a ¯˘ ¯ ˆ duoc khoang tin cˆy dˆi xung ta chon α1 = α2 = 2 v` dat γ = 1 − . . . α 2 th` ı σ σ X − √ uγ < m < X + √ uγ n n o . ım ¯ ’ .’ ’ T´m lai, ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε), trong do a . ¯´ a ınh ’ ˜ a ˜ * x l` trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn. a e σ ´ ’ ´ α * ε = uγ √ (¯o ch´ x´c) voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 − dˆ ınh a . ’ a a . a ’ 2 n ı . ´ o ’.’ ’ ’ a a ¯. ’.’ ˜ a e o a ´ o ’ a ´ ¯o • V´ du 2 Khˆi luong san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi dˆ ’ . lˆch tiˆu chuˆ e . e a’n σ = 1. Cˆn thu 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau a ’’ ’ a’ ´ ¯ ’.’ e ’ ´ X (khˆi luong) 18 19 20 21 o ’.’ ´ ni (sˆ luong o ’.’ 3 5 15 2 a ’ ´ ’.’ ’ ı ´ o ’.’ ’ ’ a’ ´ ¯o H˜y uoc luong trung b`nh khˆi luong cua san phˆm voi dˆ tin cˆy 95 %. ’ . a . ’ Giai xi ni xi ni 18 3 54 19 5 95 20 15 300 21 2 42 25 491 491 Ta c´ x = o 25 = 19, 64kg. α ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 Do . a . =⇒ γ = 1− 2 = 0, 975 Ta t` ım a . a’ duoc phˆn vi chuˆn uγ = u0,975 = 1, 96. Do d´ ¯ ’ .’ ¯o 1 1 ε = u0,975 √ = 1, 96. = 0.39 25 5 x1 = x − ε = 19, 6 − 0, 39 = 19, 25 x2 = x + ε = 19, 6 + 0, 39 = 20, 03 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (19, 25; 20, 03). a a a .
  7. ’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 75 ’` ii) Truong hop 2 ’ .’ ’ ´ σ 2 chua biˆt e n ≥ 30 Truong hop n`y k´ thuoc mˆu lon (n ≥ 30) c´ thˆ’ d`ng uoc luong cua S 2 thay ’`’ .’ a ıch ’´’ a ´ ˜ ’ o e u ’ ´ ’ .’ ’ ’ 2 ’ ´ e 2 2 ım ¯ ’ .’ ’ cho σ chua biˆt (E(S ) = σ ), ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do a . ¯´ * x l` trung b` cua mˆu cu thˆ’. a ınh ’ ˜ a . e s ´ ’ ´ α ’ * ε = uγ √ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 − ’ a a . a ’ 2 v` s l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn a a ¯o e . . e a n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’. ¯ e` ’ ’ ˜ a . e ’`’ ´ e a e ´ ’’ o ’ . ’` ¯. . • V´ du 3 Nguoi ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu o mˆt truong dai hoc xem trong mˆt th´ng ı . ’ o a . ı o . e e e ´ e e` . ¯ e . . ´ o a a . ˜ ˜ trung b`nh mˆt sinh viˆn tiˆu hˆt bao nhiˆu tiˆn goi diˆn thoai. Lˆy mˆt mˆu ngˆu nhiˆn a e gˆm o e ¯ ’.’ e´ ` 59 sinh viˆn thu duoc kˆt qua sau: ’ 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47 95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11 30 147 72 37 25 7 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32 22 36 60 41 35 26 20 58 33 23 35 a ’ ´ ’.’ ’ ’ . ´ ` H˜y uoc luong khoang tin cˆy 95% cho sˆ tiˆn goi diˆn thoai trung b` h`ng th´ng a o e . ¯e . . ınh a a ’ cua mˆt sinh viˆn. o. e ’ Giai ´ . ` a o e ¯˜ Tu c´c sˆ liˆu da cho, ta c´ ’ o n = 59; x = 41, 05; s = 27, 99 α ’ ’ ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 Do. a . =⇒ 1 − 2 = 0, 975. Tra bang phˆn vi chuˆn ta c´ a . a o u0,975 = 1, 96. Do d´ ε = 1, 96. 27,99 = 7, 13. ¯o √ 59 x − 7, 13 = 33, 92; x + 7, 13 = 48, 18 . ’ a ’ ’ ´ ’ .’ Vˆy khoang tin cˆy cua uoc luong l` (33,92; 48,18). a . ’ a ’` iii) Truong hop 3 ’ .’ ’ e´ σ 2 chua biˆt a o a ´ o a’ n < 30 v` X c´ phˆn phˆi chuˆn √ ´ (X − m) n Chon thˆng kˆ T = . o e ∈ T (n − 1). S
  8. 76 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e S ’ Ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do ε = tγ √ ım ¯ ’ .’ a . ¯´ n ´ ’ ´ voi tγ l` phˆn vi Student muc γ = 1 − a a . ’ α ´ voi n − 1 bˆc tu do v` s l` do lˆch tiˆu ’ a .’ . a a ¯ˆ e . . e 2 ’n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’. chuˆ ¯ e a ` ’ ’ ˜ . e a a a a o ´ a ¯ ’.’ a ` o • V´ du 4 Dioxide Sulfur v` Oxide Nitrogen l` c´c h´a chˆt duoc khai th´c tu l`ng ı . ’ dˆ ¯a´t. C´c chˆt n`y duoc gi´ mang di rˆt xa, kˆt hop th`nh acid v` roi tro lai m˘t dˆt tao a a´ a ¯ ’.’ o ¯ a´ ´ .’ e a a ’ ’’ . . ´ a ¯a . th`nh mua acid. Nguoi ta do dˆ dˆm dac cua Dioxide Sulfur (µg/m3 ) trong khu rung a ’ ’`’ ¯ ¯o ¯a ¯˘ ’ . . . `’ ’ ’ ´ D´ ´ . ’’ ’ ’ ´ ¯a Bavarian cua nuoc ¯ uc. Sˆ liˆu cho boi bang duoi dˆy: ’ ’ o e ’ 52,7 43,9 41,7 71,5 47,6 55,1 62,2 56,5 33,4 61,8 54,3 50,0 45,3 63,4 53,9 65,5 66,6 70,0 52,4 38,6 46,1 44,4 60,7 56,4 a ’ ´ ’.’ ¯o ¯a ¯˘ ’ . . . ’ ´ ¯o H˜y uoc luong dˆ dˆm dac trung b`nh cua Dioxide Sulsfur voi dˆ tin cˆy 95%. ı ’ . a . ’ Giai Ta t´ duoc x = 53, 92µg/m3 , ınh ¯ ’ .’ s = 10, 07µg/m3 . α ’ ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒ 1 − 2 = 0, 975. Tra bang phˆn Do. a . a vi student muc . ´ 0,975 bˆc n − 1 = 23 ta duoc t23;0,975 = 2, 069. ’ a . ¯ ’ .’ Do d´ ε = 2, 069 10,07 = 4, 25. ¯o √ 24 x − ε = 53, 92 − 4, 25 = 49, 67, x + ε = 53, 92 + 4, 25 = 58, 17 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (49,67; 58,17). a a a . ’`’ ´ ´ . . e ¯ ’ .’ e ¯ˆ ¯ˆ ¯˘ ’ . o . .’ ´ Nguoi ta biˆt duoc nˆu do dam dac cua Dioxide Sulfur trong mˆt khu vuc lon hon ’ ’ 3 ’` ’ .’ . a . ’’ 20µg/m th` mˆi truong trong khu vuc bi ph´ hoai boi mua acid. Qua v´ du n`y c´c ı o ’ ı . a a ¯ ’ .’ e a ` ’ . a . a ` nh` khoa hoc da t` ra duoc nguyˆn nhˆn rung Bavarian bi ph´ hoai trˆm trong n˘m a . ¯˜ ım . a 1983 l` do mua acid . a ’ u´ a ¯i ı ’´ a ’ ~ Ch´ y (X´c d.nh k´ch thuoc m^u) e´ ´ . o ¯ˆ a . a ¯ˆ ınh a . ¯ . ’’ ´ ’ ’´’ ı ` Nˆu muˆn do tin cˆy 1 − α v` do ch´ x´c ε dat o muc cho truoc th` ta cˆn x´c a a ¯i ıch ´ n cua mˆu. d.nh k´ thuoc ’’ ’ ˜ a ’ .’ ´ i) Truong hop biˆt V ar(X) = σ 2 : ’` e ` o ´ σ Tu cˆng thuc ε = u2 √n ta suy ra ’ ’ γ σ2 n = u2 γ ε2 ’ .’ ’ ´ ii) Truong hop chua biˆt σ 2 : ’` e
  9. ’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 77 Dua v` mˆu cu thˆ’ da cho (nˆu chua c´ mˆu th` ta c´ thˆ’ tiˆn h`nh lˆy mˆu lˆn ˜ .’ a a . e ¯˜ ´ e ’ o a ˜ ı o e e a ´ ´ a ˜ ` a a ¯a ´ ıch ` ’ ’´ ’ t´ s 2 . Tu d´ x´c d.nh duoc dˆu voi k´ thuoc n1 ≥ 30) dˆ ınh ’ ¯e ` ¯o a ¯i ¯ ’ .’ ’ 2 2s n= uγ 2 ε ıch ’´’ a˜ ’ a o ´ e ´ e ınh a o ´ e ¯ ’ .’ K´ thuoc mˆu n phai l` sˆ nguyˆn. Nˆu khi t´ n theo c´c cˆng thuc trˆn duoc ’ a . o e ı ´ a a` e ’ o o. e ´ gi´ tri khˆng nguyˆn th` ta lˆy phˆn nguyˆn cua n´ cˆng thˆm voi 1. ’ 2 2 ´ l` n = u2 σ + 1 ho˘c n = u2 s + 1. Tuc a ’ γ 2 a . γ 2 ε ε 2.3 ’´ ’. ’ e Uoc luong ty lˆ ’ ’ . Gia su tˆng thˆ’ duoc chia ra l`m hai loai phˆn tu. Ty lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A l` p ’ ’’ o ’ e ¯ ’ .’ a . a ’’ ` ’ e a ’’ o ınh a . ` ´ a chua biˆt. U’oc luong ty lˆ l` chi’ ra khoang (f1 , f2 ) chua p sao cho P (f1 < p < f2 ) = 1−α. ’ ´ e ´ ’ .’ ’ ’ e a . ’ ´ ’ De’ ’ a a ¯ ’ .’ ¯ ’ ’ a ´ ıch ˜ ’´ a ´ ¯ ˆ cho viˆc giai b`i to´n duoc don gian, ta chon mˆu voi k´ thuoc n kh´ lon. e . . ’ ’ ’ Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A khi lˆy ngˆu nhiˆn mˆt phˆn tu tu tˆng thˆ’ th` . ´ ` a o a ’’ o ınh a ´ ´ a ˜ a e o . ` ’ ’ a ’’ ` o e ı X l` dai luong ngˆ a ¯ . ’ .’ a e o a o´ a ˜u nhiˆn c´ phˆn phˆi x´c suˆt´ a X 0 1 P 1-p p . ´ ` a o a ’’ o ınh a ´ ` ´ ´ Goi Xi (i = 1, n) l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A trong lˆn lˆy thu i. a a ’ 1 n Ta c´ X = o Xi ch´ l` tˆn suˆt uoc luong diˆ’m cua p = E(X). M˘t kh´c, theo ınh a a ` a ’ ´ ’ .’ ¯ e ´ ’ ’ a . a n i=1 ´ p(1 − p) ’’ . ´ ’ ` ¯o chuong 2, nX c´ phˆn phˆi nhi thuc B(n, p). Tu d´ E(X) = p v` V ar(X) = o a o ’ a n . √ . ´ng kˆ U = (f − p) n , trong do f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ Chon thˆ o e ¯´ a ’ e a . a ’’ ’ ` ˜ a o ınh p(1 − p) ´ chˆt A. a a ´ ’ ı ’ ´ e a a ’’ .’ ’ ’’ ’ ´ ’ .’ Khi n kh´ lon th` U ∈ N (0, 1). Giai quyˆt b`i to´n tuong tu nhu o uoc luong trung ’ b` ’’ 2 ’’ ınh, thay X boi f , σ boi f (1 − f )... ta duoc ¯ ’ .’ f (1 − f ) f (1 − f ) f − uγ < p < f + uγ n n o . a ¯i ¯ ’ .’ ’ T´m lai, ta x´c d.nh duoc khoang tin cˆy (f1 , f2 ) = (f − ε, f + ε), trong do a . ¯´ a ’ e a a ’’ ’ ` ˜ ´ f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ chˆt A . a o ınh a f (1 − f ) ε = uγ (¯o ch´ x´c) dˆ ınh a . (4.6) n
  10. 78 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e ´’ a a . a’ ´ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc 1 − α . ’ 2 ` Tu (4.6) ta c´ ’ o √ ε n uγ = f (1 − f ) f (1 − f ) n = u2 α 1− 2 ε2 Ch´ y Ta c´ thˆ’ t` khoang tin cˆy cua p bang c´ch kh´c nhu sau: u´ o e ım ’ a ’ . ` ˘ a a ’ ` ’ a ’ Tu khoang tin cˆy cua p: ’ .     f p(1 − p) p(1 − p)  |f p(1 − p)  − uγ < p < f + uγ hay − p| < uγ n n n ’ a ´ Giai bˆt phuong tr` ’’ ınhn`y ta t` duoc a ım ¯ ’ .’ nf + 0, 5u2 − γ 0, 25u2 − nf (1 − f ) γ nf + 0, 5u2 + γ 0, 25u2 − nf (1 − f ) γ p1 = , p2 = n + u2 γ n + u2 γ a ’ a ’ . ´ ¯o Khi d´ (p1 , p2 ) l` khoang tin cˆy cua p voi dˆ tin cˆy 1 − α. ¯o ’ . a . • V´ du 5 Kiˆ’m tra 100 san phˆm trong lˆ h`ng thˆy c´ 20 phˆ phˆm. ı . e ’ a’ o a ´ a o ´ ’ e a a ’ ´ ’.’ ’ ’ e e a . ´ ’ i) H˜y uoc luong ty lˆ phˆ phˆm c´ dˆ tin cˆy 99 %. o ¯o . a . ´ . ı ¯o . a ’ ’ ´ ’.’ ii) Nˆu dˆ ch´nh x´c ε = 0, 04 th` dˆ tin cˆy cua uoc luong l` bao nhiˆu? e ¯o ı a . ’ a e iii) Nˆu muˆn c´ dˆ tin cˆy 99% v` dˆ ch´ x´c 0,04 th` phai kiˆ’m tra bao nhiˆu ´ e ´ o o ¯o. a . a ¯o ınh a . ı ’ e e ’ san phˆm? a’ ’ Giai 20 i) n = 100, f= 100 = 0.2 √ (f −p) 100 X´t e U= √ pq ∈ N (0, 1). Ta c´ o α 1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 − = 1 − 0, 005 = 0, 995 2 √ 0, 2.0, 8 0, 4 ε = u0,995 √ = 2, 58. = 0, 1 100 10 f1 = f − ε = 0, 2 − 0, 1 = 0, 1 f2 = f + ε = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3
  11. ’’ a ’ 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a 79 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 1; 0, 3). a a a . √ 0, 04. 100 ii) u1− α = √ =1 2 0, 2.0, 8 T` duoc ım ¯ ’ .’ α 1− = 0, 84 =⇒ 1 − α = 0, 68 2 Vˆy dˆ tin cˆy l` 68%. a ¯o . . a a . iii)1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 − α = 0, 995. T` duoc u0,995 = 2, 576. 2 ım ¯ ’ .’ Do d´ ¯o (2, 576)2 .0, 2.0, 8 n≈ = 6, 635.100 = 663, 5 (0, 04)2 Vˆy n = 664 a . 2.4 ’´ ’. Uoc luong phuong sai ’ ’ ’’ ’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ e o a ´ o a’ ´ Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi phuong sai V ar(X) = σ 2 a ’ ’’ ´ Cho 0 < α < 0.05. U’oc luong phuong sai V ar(X) l` chi’ ra khoang (σ1 , σ2 ) chua biˆt. ’ e ´ ’ .’ ’ ’’ a ’ 2 2 ´ 2 2 2 2 chua σ sao cho P (σ1 < σ < σ2 ) = 1 − α. ’ ` ’ a . ˜ a ˜ a e a e a ’` Tu X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) v` x´t c´c truong hop ’ .’ ´ a) Biˆt E(X) = µ. e n ´ (Xi − µ)2 Chon thˆng kˆ χ2 = . o e i=1 σ2 ´ ´ o ınh ’’ ´ Ta thˆy χ2 c´ phˆn phˆi ”khi-b` phuong” voi n bˆc tu do. a o a ’ a .’ . Chon α1 v` α2 kh´ b´ sao cho α1 + α2 = α. Ta t` duoc c´c phˆn vi χ2 1 v` χ2 2 . a a e ım ¯ ’ .’ a a . α a 1−α ’ m˜n thoa a P (χ2 1 < χ2 < χ2 2 ) = 1 − α α 1−α (4.7) Thay biˆ’u thuc cua χ2 v`o (4.7) v` giai ra ta duoc e ´ ’ ’ a a ’ ¯ ’ .’ (Xi − µ)2 (Xi − µ)2 < σ2 < χ2 2 1−α χ2 1 α α Chon α1 = α2 = . 2 th` ı (Xi − µ)2 (Xi − µ)2 < σ2 < (4.8) χ2 α 1− χ2α 2 2 Voi mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ), t´ c´c tˆng ´ a . e ’ ˜ ınh a o ’ (xi − µ)2 v` dua v`o (4.8) ta a .’ a ’ 2 2 t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ), trong do ım ¯ ’ .’ a. ¯´
  12. 80 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e 2 (xi − µ)2 ni σ1 = χ2 α n,1− 2 2 (xi − µ)2 ni σ2 = χ2 α n, 2 ´ voi ’ ınh ’’ ´ χ2 α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc 1 − n,1− 2 a a . ’ α ´ voi n bˆc tu do. ’ a .’ . 2 ınh ’’ ´ χ2 α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc n, 2 a a . ’ α ´ voi n bˆc tu do. ’ a .’ . 2 ’ ´ b) Chua biˆt E(X). e ´ (n − 1)S 2 Chon thˆng kˆ χ2 = . o e σ2 ´ ´ ınh ’’ ´ Thˆng kˆ n`y c´ phˆn phˆi ”khi−b` phuong voi n − 1 bˆc tu do. Tuong tu nhu o e a o a o ’ a .’ . ’’ .’ ’ e ım ¯ ’ .’ ’ a . 2 2 ´ trˆn ta t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ) voi ’ 2 (n − 1)s2 2 (n − 1)s2 σ1 = ; σ2 = χ2n−1,1− α χ2 α n−1, 2 2 ı . ´ ’ ı e e . o ¯’ . ’ . ’ a a ¯. ’.’ ˜ • V´ du 6 Muc hao ph´ nhiˆn liˆu cho mˆt don vi san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn a e ´ ’ ’ ’ ´ ’ c´ phˆn phˆi chuˆn. X´t trˆn 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau: o a o a e e a ¯ ’.’ e X 19,5 20 20,5 ni 5 18 2 a ’ ´ ’.’ ’ ’’ ´ ¯o ’ . . ’` H˜y uoc luong phuong sai voi dˆ tin cˆy 90 % trong c´c truong hop sau: a a ’ .’ ´ i) Biˆt k` vong µ = 20g. e y . ’ ´ ii) Chua biˆt k` vong. e y . ’ Giai ´ i) Biˆt µ = 20g. e xi ni xi − 20 (xi − 20)2 (xi − 20)2 ni 19,5 5 -0,5 0,25 1,25 20 18 0 0 0 20,5 2 0,5 0,25 0,5 n=25 1,75 α α ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 9 Do. a . =⇒ α = 0, 1 =⇒ 2 = 0, 05 =⇒ 1− 2 = 0.95 ’ a . ´ Tra bang phˆn vi χ2 voi n = 25 bˆc tu do ta duoc ’ a .’ . ¯ ’ .’ χ2 25;0,05 = 14, 6; χ2 25;0,95 = 37, 7
  13. 3. B`i tˆp a a . 81 Do d´ ¯o 2 (xi − 20)2 ni 1, 75 σ1 = 2 = = 0, 046 χ25;0,95 37, 7 2 (xi − 20)2 ni 1, 75 σ2 = 2 = = 0, 12 χ25;0,05 14, 6 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12). a a a . ’ ´ ii) Khi chua biˆt k` vong ta t` s 2 = 0, 0692. e y . ım ’ a . ınh ’’ ´ a .’ Tra bang phˆn vi khi b` phuong voi bˆc tu do n − 1 = 24. ’ . χ2 = 13, 85; 0,05 χ2 = 36, 4 0,95 v` t´ a ınh 2 24s 2 24 × 0, 0692 σ1 = 2 = = 0, 046 χ0,95 36, 4 2 24s 2 24 × 0, 0692 σ2 = 2 = = 0, 12 χ0,05 13, 85 . ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12). a a a . 3. ` ˆ BAI TAP . . ˜ . ’ .’ ’’ ´ 1. Mˆt mˆu c´c trong luong tuong ung l` 8,3; 10,6; 9,7; 8,8; 10,2 v` 9,4 kg. X´c d.nh o a a ’ a a a ¯i ’ ´ ’ .’ uoc luong khˆng chˆch cua ’ o e . ’ a) trung b` cua tˆng thˆ’, ınh ’ o ’ e ’ o b) phuong sai cua tˆ ’’ ’ng thˆ’. e ˜ . ¯ ’` ınh ’ ` ’ a a 2. Mˆt mˆu do do 5 duong k´ cua qua cˆu l` 6,33; 6,37; 6,36; 6,32 v` 6,37cm. X´c o a ¯ˆ ¯ . ’ a a ´ luong khˆng chˆch cua trung b` v` phuong sai cua duong k´ qua d.nh uoc ’ .’ ¯i ’’ o e . ’ ınh a ’’ ’ ¯ ’` ’ ınh ’ ` cˆu. a 3. ¯ ˆ’ x´c d.nh do ch´ x´c cua mˆt chiˆc cˆn ta khˆng c´ sai sˆ hˆ thˆng, nguoi ta De a ¯i ¯ˆ ınh a ’ . o . ´ e a . o o ´ . ´ o e o ’`’ ´ h`nh 5 lˆn cˆn doc lˆp (c`ng mˆt vˆt), kˆt qua nhu sau: tiˆn a e a` a ¯ˆ a . . u o a . . ´ e ’ ’ 94, 1 94, 8 96, 0 95, 2 kg a ¯i ’ ´ ’ .’ ’ o e . ’ ’’ ´ o ¯ ’` X´c d.nh uoc luong khˆng chˆch cua phuong sai sˆ do trong hai truong hop: ’ .’ ´ e ´ a) biˆt khˆi luong vˆt cˆn l` 95kg; o ’ .’ a a a . o ´ khˆi luong vˆt cˆn. b) khˆng biˆt o e ´ ’ .’ a a . D ’` ınh ’ ˜ ˜ e ’ ¯ ’ .’ ’ ´ a ’’ o 4. ¯ uong k´ cua mˆt mˆu ngˆu nhiˆn cua 200 viˆn bi duoc san xuˆt boi mˆt m´y ’ o . a a e . a trong mˆt tuˆn o o . a ınh a ¯ˆ e . . e a’ ` c´ trung b` 20,9mm v` do lˆch tiˆu chuˆn 1,07mm. U’oc luong ´ ’ .’ ’ ınh ¯ ’`’ ınh ’ e ´ ¯o trung b` duong k´ cua viˆn bi voi dˆ tin cˆy (a) 95%, (b) 99%. ’ . a .
  14. 82 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e 5. ¯ ˆ’ khao s´t suc bˆn chiu luc cua mˆt loai ˆng cˆng nghiˆp nguoi ta tiˆn h`nh do De ’ a ´ e`’ . .’ ’ o . . o´ o e . ’`’ ´ e a ¯ 9ˆ ´ng v` thu duoc c´c sˆ liˆu sau o a ´ e ¯ ’ .’ a o . 4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375 `’ e . e` e. ’`’ ´ ` e ˘ ´ e` ¯o o a ’ o´ Tu kinh nghiˆm nghˆ nghiˆp nguoi ta biˆt rang suc bˆn d´ c´ phˆn phˆi chuˆn a’ ´ ¯o e voi dˆ lˆch chuˆ ’ . . a ’n σ = 300. X´c d.nh khoang tin cˆy 95% cho suc bˆn trung b` a ¯i ’ a . ´ e` ’ ınh ’ ´ng trˆn. cua loai ˆ . o e . o u . ` ’ e ’` 6. Tai mˆt v`ng rung nguyˆn sinh, nguoi ta deo v`ng cho 1000 con chim. Sau mˆt ’ ¯ o o . ` ´t lai 200 con th` thˆy c´ 40 con c´ deo v`ng. Thu uoc luong sˆ chim ˘ thoi gian, ba . ’ ı a ´ o o ¯ o ’’ ’ ´ ’ .’ ’ ´ o ` ¯o ´ ¯o trong v`ng rung d´ voi dˆ tin cˆy 99%. u ’ ’ . a . ´ e ’ e ’ . ` ’ o . . . o´ a ´ ¯o ’ . a. ´ 7. Biˆt ty lˆ nay mˆm cua mˆt loai hat giˆng l` 0,9. Voi dˆ tin cˆy 0,95, nˆu ta a e ´n do d`i khoang tin cˆy cua ty lˆ nay mˆm khˆng vuot qu´ 0,02 th` cˆn phai muˆ ¯ˆ a o . ’ a ’ ’ e ’ . . a` o ’ .’ a ı a ` ’ gieo bao nhiˆu hat? e . ´ ’ a e` a ’ ’’ ’ 8. Kˆt qua quan s´t vˆ h`m luong vitamine C cua mˆt loai tr´i cˆy cho o bang sau: e ’ .’ o . . a a H`m luong vitamine C (%) a ’ .’ ´ Sˆ tr´i o a 6−7 5 7−8 10 8−9 20 9 − 10 35 10 − 11 25 11 − 12 5 a ’ ´ ’ .’ ’ ’ .’ o a ´ ¯ˆ a) H˜y uoc luong h`m luong vitamine C trung b` trong mˆt tr´i voi do tin cˆy a ınh . ’ . a. 95%. b) Qui uoc nhung tr´i c´ h`m luong vitamine C trˆn 10% l` tr´i loai A. U’oc luong ’´ ’ ˜ ’ a o a ’ .’ e a a . ´ ’ .’ ’ ’ e a . . ´ ¯o ty lˆ tr´i loai A voi dˆ tin cˆy 90%. ’ . a. ´ . ’ ´ ’ .’ c) Muˆn dˆ ch´ x´c khi uoc luong h`m luong vitamine C trung b` l` 0,1 v` o ¯o ınh a ’ a ’ .’ ınh a a ¯ˆ ınh a . ’’´ ’ .’ ’ e a . . ´ u ¯o do ch´ x´c khi uoc luong ty lˆ tr´i loai A l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 95% th` cˆn a ’ . a . ı a` e e a ˜ quan s´t thˆm bao nhiˆu tr´i nua? A a ’ D ¯ ’` ınh ’ ´ ’ ’’ ’ ´ ´ ’ 9. ¯ o duong k´ cua 100 chi tiˆt m´y do mˆt phˆn xuong san xuˆt, ta duoc kˆt qua ’ e a o . a a ¯ ’ .’ e ’’ ’ cho o bang sau: D ’` ´ ´ a ¯ uong k´ (mm) ’ ınh Sˆ chi tiˆt m´y o e 9,85 8 9,90 12 9,95 20 10,00 30 10,05 14 10,10 10 10,15 6
  15. 3. B`i tˆp a a . 83 ˜ ´ e o ¯ ’` ınh ` ´ a ˜ Theo qui d.nh, nhung chi tiˆt c´ duong k´ tu 9, 9mm dˆn 10, 1mm l` nhung chi ¯i ’ ’ ’ ¯e ’ e a’ y ´ dat tiˆu chuˆn k˜ thuˆt. tiˆt ¯ . e a . a) U’oc luong ty lˆ v` uoc luong trung b` duong k´ cua nhung chi tiˆt dat tiˆu ´ ’ .’ ’ ’ e a ’ ´ ’ .’ . ’ ınh ¯ ’` ’ ınh ’ ˜ ’ ´ e ¯. e ’ a ´ u ¯o chuˆn voi c`ng dˆ tin cˆy 95%? ’ . a. ’ dˆ ch´ x´c khi uoc luong duong k´ trung b` cua nhung chi tiˆt dat b) ¯ ˆ ¯o ınh a De . ’ ´ ’ .’ ¯ ’` ’ ’ ınh ınh ’ ˜ ’ ´ e ¯. ’ a a a ¯ˆ ınh a . ’ ´ ’ .’ ’ ’ e . ´ tiˆu chuˆn l` 0, 02mm v` do ch´ x´c khi uoc luong ty lˆ chi tiˆt dat tiˆu chuˆn e e ¯. e a’ ´ u ¯o ’ . a. ` ı a ¯ e ıt a ´ l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 99% th` cˆn do thˆm ´ nhˆt bao nhiˆu chi tiˆt nua? a e ´ ’ e ˜ Do a ’ . ’ . a . ’ a D ’ 10. ¯ ˆ d`i cua ban kim loai tuˆn theo luˆt chuˆn. ¯ o 10 ban kim loai d´ ta thu duoc a . ¯o ¯ ’ .’ ´ liˆu sau: sˆ e o . 4, 1 3, 9 4, 7 4, 4 4, 0 3, 8 4, 4 4, 2 4, 4 5, 0 H˜y x´c d.nh a a ¯i ’ a) Khoang tin cˆy 90% cho do d`i trung b` trˆn; a . ¯ˆ a . ınh e ’ a ’’ ’ ¯o a ¯´ b) Khoang tin cˆjy 95% cho phuong sai cua dˆ d`i do. . 11. Nguoi ta do chiˆu sˆu cua biˆ’n, sai lˆch ngˆu nhiˆn duoc gia thiˆt phˆn phˆi theo ’`’ ¯ e` a ’ e e . ˜ a e ¯ ’ .’ ’ ´ e a ´ o qui luˆt chuˆ a . a’n voi dˆ lˆch tiˆu chuˆn l` 20m. Cˆn do bao nhiˆu lˆn dˆ’ x´c d.nh ´ ¯o e ’ . . e a’ a ` a ¯ ` e a ¯e a ¯i e` sˆu cua biˆ’n voi sai lˆch khˆng qu´ 15m v` do tin cˆy dat duoc 95%? chiˆu a ’ e ´’ e . o a a ¯ˆ. a ¯ . ¯ ’ .’ . ´ o o a a ¯ ’ .’ o . a ’’ o ’’ a . ´ ¯ ’ .’ e ’ 12. Theo d˜i sˆ h`ng b´n duoc trong mˆt ng`y o mˆt cua h`ng, ta duoc kˆt qua ghi ’’ ’ o bang sau: ´ Sˆ h`ng b´n o a a duoc (kg/ng`y) ¯ ’ .’ a ´ Sˆ ng`y o a 1900 − 1950 2 1950 − 2000 10 2000 − 2050 8 2050 − 2100 5 a ’ ´ ’ .’ ’ ’’ ’ ’ .’ ˜ a ´ ¯ˆ H˜y uoc luong phuong sai cua luong h`ng b´n duoc mˆi ng`y voi do tin cˆy 95%? a a ¯ ’ .’ o ’ . a . (cho biˆt e´ α1 = α2 ). • ’ ` ’ ` ˆ 2 TRA LOI BAI TAP . 1. a) 9, 5kg, b) 0, 74kg 2 2. x = 6, 35cm, s2 = 0, 00055cm2 . 3. a) Trung b` khˆi luong m = 95kg. U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` ´ ınh o ’ .’ ´ ’ .’ ’ o e . ’ ’’ a 1 n 1 5 (xi − m)2 = (xi − 95)2 = 0, 41 n i=1 5 i=1 1 n 1 5 b) X = xi = xi = 95, 5 n i=1 5 i=1
  16. 84 ’´ ’ ’ ´ o ’ ¯. ’ ’ ˜ Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ ’ a e U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` ´ ’ .’ ’ o e . ’ ’’ a n 1 1 5 s2 = (xi − X)2 = (xi − 95, 5)2 = 0, 7rf f n − 1 i=1 4 i=1 4. (a) 20, 9 ± 0, 148mm, (b) 20, 9 ± 0, 195mm. 5. (5092, 89 ; 5484, 89). 6. 0, 1271 < p < 0, 2729 o’ ´ o u ` ’ ` ˘ ’ 1000 1000 Tˆng sˆ chim trong v`ng rung nam trong khoang ( 0,2729 , 0,1271 ) 7. 2 × 1, 96 0,9×0,1 ’ a ´ < 0, 02. Giai bˆt phuong tr` ta c´ n > 3457. ’’ ınh o n 8. a) 9, 06; 9, 54), c) 467 tr´i. a 9. a) (0, 792 < p < 0, 928); (9, 982 < m < 10, 006). b) 221. 10. a) (4, 09 ; 4, 49), b) (0, 064 ; 0, 456). ` 11. 7 lˆn. a 12. (1253, 8 < σ 2 < 3983, 8).
Đồng bộ tài khoản