Vận Dụng KT Về HS Bậc II, PT Bậc II, Tam Thức Bậc II Để CM BĐT Và Tìm Max, Min - Nguyễn Văn Xá

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:2

0
121
lượt xem
40
download

Vận Dụng KT Về HS Bậc II, PT Bậc II, Tam Thức Bậc II Để CM BĐT Và Tìm Max, Min - Nguyễn Văn Xá

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Vận Dụng KT Về HS Bậc II, PT Bậc II, Tam Thức Bậc II Để CM BĐT Và Tìm Max, Min - Nguyễn Văn Xá " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp học hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Vận Dụng KT Về HS Bậc II, PT Bậc II, Tam Thức Bậc II Để CM BĐT Và Tìm Max, Min - Nguyễn Văn Xá

  1. V N D NG KI N TH C V HÀM S B C HAI, PHƯƠNG TRÌNH B C HAI, TAM TH C B C HAI ð CH NG MINH B T ð NG TH C VÀ TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T – NGUY N VĂN XÁ – Bài vi t này chúng tôi hi v ng chia s m t vài suy nghĩa v i b n ñ c vi c v n d ng các ki n th c v hàm s b c hai, phương trình b c hai, tam th c b c hai ñ ch ng minh b t ñ ng th c (BðT) và tìm giá tr l n nh t (GTLN), giá tr nh nh t (GTNN). Nh n xét 1.Ta bi t r ng n u phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghi m thì b2 – 4ac ≥ 0. Như th , ñ ch ng minh b t ñ ng th c có d ng b2 – 4ac ≥ 0 (a ≠ 0) ta có th ñi ch ng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghi m. V n d ng ñi u này ñ gi i quy t bài toán sau: Ví d 1. Cho ba s th c a, b, c th a mãn a > 0, a2 = bc, và a + b + c = abc. Ch ng minh a ≥ 3 , b > 0, c > 0, b2 + c2 ≥ 2a2. HD. T gi thi t ta có bc = a2, b + c = abc – a = a(bc – 1) = a(a2 – 1) nên b và c là hai nghi m c a phương trình x2 – a(a2 – 1)x + a2 = 0. Vì phương trình này có nghi m nên ∆ = (a3 – a)2 – 4a2 ≥ 0 ⇔ (a2 – 1)2 ≥ 4 ⇔ a2 ≥ 3. T ñây và do a > 0 suy ra a ≥ 3 . Lúc này b + c = a(a2 – 1) > 0 và bc = a2 > 0 nên b > 0, c > 0. Hơn n a b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (a3 – a)2 – 2a2 = a2.((a2 – 1)2 – 2) ≥ 2a2. V y ta có ñi u ph i ch ng minh. Nh n xét 2. N u a > 0 thì có ngay ax2 + bx + c > 0 ∀x∈R ⇔ b2 – 4ac < 0, và ax2 + bx + c ≥ 0 ∀x∈R ⇔ b2 – 4ac ≤ 0. Còn n u a < 0 thì ax2 + bx + c < 0 ∀x∈R ⇔ b2 – 4ac < 0, và ax2 + bx + c ≤ 0 ∀x∈R ⇔ b2 – 4ac ≤ 0. Lưu ý r ng ñôi khi ta l i thay m t h ng s b i m t bi n s thích h p. Và cũng có khi ñ ch ng minh b2 – 4ac < 0 ta ñi ch ng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghi m. Ví d 2. Ch ng minh r ng v i m i s th c a, b, c, d, e thì a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e). HD. Ta xét tam th c b c hai n x là f(x) = x2 – (b + c + d + e)x + b2 + c2 + d2 + e2, có bi t th c ∆ = (b + c + d + e)2– 4(b2 + c2 + d2 + e2) = – (b – c)2– (b – d)2– (b – e)2– (c – d)2– (c – e)2– (d – e)2≤ 0 nên 1.f(x) ≥ 0 ∀x∈R, suy ra f(a) ≥ 0 hay a2 – (b + c + d + e)a + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ 0. V y ta luôn có a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e), v i m i s th c a, b, c, d, e. Ví d 3. (B t ñ ng th c Bunhiac pxki) Ch ng minh r ng v i m i s th c a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta có (a1 b1 + a 2 b 2 + a 3b 3 ) 2 ≤ (a1 + a 2 + a 3 )(b1 + b 2 + b3 ) . 2 2 2 2 2 2 HD. Trư ng h p 1: N u a12 + a 2 + a 3 = 0 ⇔ a1 = a2 = a3 = 0 thì b t ñ ng th c ñã cho hi n nhiên ñúng. 2 2 Trư ng h p 2: Ta xét a1 + a 2 + a 3 > 0. Nh n th y (a1x + b1)2 + (a2x + b2)2 + (a3x + b3)2 ≥ 0 ∀x∈R, hay 2 2 2 f(x) = ( a1 + a 2 + a 3 )x2 +2x( a1 b1 + a 2 b 2 + a 3b3 ) + b1 + b 2 + b3 ≥ 0 ∀x∈R. Như v y tam th c b c hai f(x) 2 2 2 2 2 2 s có ∆’ = ( a1 b1 + a 2 b2 + a 3b3 )2 – (a1 + a 2 + a 3 )(b1 + b2 + b3 ) 2 2 2 2 2 2 ≤ 0. T c là ta có (a1 b1 + a 2 b 2 + a 3b 3 ) 2 ≤ (a1 + a 2 + a 3 )(b1 + b 2 + b3 ) . 2 2 2 2 2 2 Nh n xét 3. N u a < b và x ∈ [a; b] thì (x – a)(b – x) ≥ 0 hay x2 – (a + b)x + ab ≤ 0 ∀ x ∈ [a; b].
  2. x 2010 Ví d 4. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = + trên ño n [2009; 2010]. 2009 x x 2010 x 2010 2010 HD. Theo b t ñ ng th c Côsi ta có + ≥2 . =2 , d u “=” x y ra khi 2009 x 2009 x 2009 2010 x = 2009.2010 . V y min y= 2 , ñ t ñư c khi x = 2009.2010 . x∈[2009; 2010] 2009 M t khác, v i m i x ∈ [2009; 2010] thì (x – 2009)(2010 – x) ≥ 0 hay 4019x ≥ x2 + 2009.2010. Suy ra x 2010 4019 + ≤ , ∀ x ∈ [2009; 2010]. D u “=” x y ra khi x = 2009 ho c x = 2010. V y 2009 x 2009 4019 m ax y= , ñ t ñư c khi x = 2009 ho c x = 2010. x∈[2009; 2010] 2009 1 1 1 Ví d 5. Ch ng minh ≤ n ≤ , ∀n ∈ ℕ* n n! n 1 1 HD. Trư c h t ta th y n! = 1.2.3…n ≤ nn ⇒ ≤ n , ∀ n ∈ N *. Ti p ñó, v i ∀k = 1, n ta luôn có n n! (n − k)(k − 1) ≥ 0 ⇒ k(n − k + 1) ≥ n , l n lư t cho k = 1, 2, 3, …, n – 1, n ta thu ñư c n b t ñ ng th c mà hai v ñ u dương: 1.n ≥ n 2.(n –1) ≥ n 3.(n – 2) ≥ n …………… (n –1).2 ≥ n n.1 ≥ n 1 1 Nhân n b t ñ ng th c này, v v i v tương ng, d n t i (n!)2 ≥ nn hay n ≤ , ∀n ∈ ℕ* . V y n! n 1 1 1 ≤n ≤ , ∀n ∈ ℕ* . n n! n 1 1 1 1 1 1 Chú ý: T ≤n ≤ , ∀n ∈ ℕ* , và lim = lim = 0, suy ra lim n = 0. n n! n n n n! (Kì sau ñăng ti p)

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản