Vecto riêng - giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa

Chia sẻ: kieudinhtuan

Tham khảo tài liệu 'vecto riêng - giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - chéo hóa', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Vecto riêng - giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa

Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 16. Vectơ riêng - Giá tr riêng c a ma tr n
và c a phép bi n đ i tuy n tính - Chéo hóa
PGS TS M Vinh Quang

Ngày 28 tháng 2 năm 2006


1 Vectơ riêng - Giá tr riêng c a ma tr n
1.1 Các khái ni m cơ b n
Cho A là ma tr n vuông c p n, (A ∈ Mn (R))
 
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
 
 . . .. .
 . . . 
. . . . 
an1 an2 . . . ann

Khi đó

• Đa th c b c n c a bi n λ:

a11 − λ a12 ... a1n
a21 a22 − λ ... a2n
PA (λ) = det(A − λI) = .
. .
. .. .
.
. . . .
an1 an2 ... ann − λ
= (−1)n λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ1 + a0

g i là đa th c đ c trưng c a ma tr n A.

• Các nghi m th c c a đa th c đa th c đ c trưng PA (λ) g i là giá tr riêng c a ma tr n
A.

• N u λ0 là m t giá tr riêng c a A thì det(A − λ0 I) = 0. Do đó h phương trình thu n
nh t:    
x1 0
 .   . 
. = . 
(A − λ0 I)  . . (1)
xn 0


1
có vô s nghi m. Không gian nghi m c a h (1) g i là không gian con riêng c a ma tr n
A ng v i giá tr riêng λ0 . Các vectơ khác không là nghi m c a h (1) g i là các vectơ
riêng c a ma tr n A ng v i giá tr riêng λ0 . Các vectơ t o thành m t cơ s c a không
gian riêng (t c là các vectơ t o thành h nghi m cơ b n c a h (1)) g i là các vectơ riêng
đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ0 .

1.2 Ví d
Tìm đa th c đ c trưng, vectơ riêng, giá tr riêng c a ma tr n:
 
0 1 1
A= 1 0 1 
1 1 0

Gi i
−λ 1 1
• Ta có PA λ = 1 −λ 1 = −λ3 + 3λ + 2
1 1 −λ
V y đa th c đ c trưng c a ma tr n A là PA (λ) = −λ3 + 3λ + 2

• PA (λ) = 0 ⇔ −λ3 + 3λ + 2 = 0 ⇔ (λ + 1)2 (2 − λ) = 0 ⇔ λ = −1 (kép) , λ = 2.
V y ma tr n A có 2 giá tr riêng là λ = −1, λ = 2.

• Đ tìm vectơ riêng c a A, ta xét hai trư ng h p:

– ng v i giá tr riêng λ = −1.
Đ tìm vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1, ta gi i h :
 
1 1 1 0
 1 1 1 0 
1 1 1 0
H có vô s nghi m ph thu c hai tham s x2 , x3 . Nghi m t ng quát c a h là:
x1 = −a − b, x2 = a, x3 = b. Do đó, không gian con riêng c a A ng v i giá tr riêng
λ = −1 là V−1 = {(−a − b, a, b) | a, b ∈ R}.
Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = −1 là t t c các vectơ có d ng:
(−a − b, a, b) v i a2 + b2 = 0 (vì vectơ riêng ph i khác không).
Ta có dim V−1 = 2 và A có 2 vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng
λ = −1 là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1).
– ng v i giá tr riêng λ = 2.
Đ tìm vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2, ta gi i h :
   
−2 1 1 0 1 1 −2 0
 1 −2 1 0  −→  1 −2 1 0 
1 1 −2 0 −2 1 1 0
   
1 1 −2 0 1 1 −2 0
−→  0 −3 3 0  −→  0 −3 3 0 
0 −3 3 0 0 0 0 0



2
H có vô s nghi m ph thu c tham s x3 . Nghi m t ng quát c a h là: x1 = a,
x2 = a, x3 = a. Do đó, không gian con riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 2 là
V2 = {(a, a, a) | a ∈ R}.
Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 2 là t t c các vectơ có d ng:
(a, a, a) v i a = 0.
Ta có dim V2 = 1 và A có 1 vectơ riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng λ = 2
là α3 = (1, 1, 1).

Chú ý r ng, n u xét c hai trư ng h p, A có t t c 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính là
α1 , α2 , α3 .


2 Chéo hóa ma tr n
2.1 Ma tr n đ ng d ng
• Cho A, B là các ma tr n vuông c p n. Ta nói A đ ng d ng v i B, ký hi u A ∼ B, n u
t n t i ma tr n T vuông c p n, không suy bi n sao cho B = T −1 AT . B n đ c có th d
dàng ki m tra r ng quan h đ ng d ng là m t quan h tương đương.

• Quan h đ ng d ng b o toàn khá nhi u các tính ch t c a ma tr n, ch ng h n n u A ∼ B
thì det A = det B, rank A = rank B, PA (λ) = PB (λ), giá tr riêng c a A và B là như
nhau...

2.2 Chéo hóa ma tr n
• Đ nh nghĩa. Cho A là ma tr n vuông c p n.
Ta nói ma tr n A chéo hóa đư c n u A đ ng d ng v i m t ma tr n chéo. Như v y ma
tr n A chéo hóa đư c n u t n t i ma tr n T vuông c p n không suy bi n sao cho T −1 AT
là ma tr n chéo.
Chéo hóa ma tr n A t c là tìm ma tr n T vuông c p n không suy bi n sao cho T −1 AT
là ma tr n chéo.

• Ý nghĩa c a vi c chéo hóa ma tr n
N u ma tr n A chéo hóa đư c thì vi c nghiên c u các tính ch t (b o toàn qua quan h
đ ng d ng) c a ma tr n A d n đ n vi c nghiên c u các tính ch t đó trên m t ma tr n
chéo và như v y v n đ s tr nên đơn gi n hơn nhi u.
Mu n bi t ma tr n A có chéo hóa đư c hay không, ta có đ nh lý sau:

• Đ nh lý (Đi u ki n c n và đ đ m t ma tr n vuông chéo hóa đư c)
Ma tr n A vuông c p n chéo hóa đư c khi và ch khi A có đ n vectơ riêng đ c l p tuy n
k
tính, khi và ch khi dim Vλi = n, trong đó λ1 , . . . , λk là t t c các giá tr riêng c a A.
i=1




3
2.3 Cách chéo hóa m t ma tr n
Cho A là ma tr n vuông c p n. Đ chéo hóa ma tr n A, ta làm như sau:
Tìm các giá tr riêng và các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A. Khi đó x y ra m t trong
hai kh năng sau:
k
1. N u t ng s vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A bé hơn n (t c là dim Vλi < n, trong
i=1
đó Vλi là không gian con riêng ng v i giá tr riêng λi ) thì k t lu n ma tr n A không chéo
hóa đư c, t c là không t n t i ma tr n T đ T −1 AT là ma tr n chéo.
k
2. N u t ng s vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A b ng n (t c là dim Vλi = n thì ma
i=1
tr n A chéo hóa đư c. Khi đó ma tr n T c n tìm là ma tr n mà các c t c a nó chính là
các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a A vi t theo c t, và khi đó
 
λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 
−1
T AT =  .
 
. . ..
. . 
. 
 . . . .
0 0 . . . λn

là ma tr n chéo, trong đó λi chính là giá tr riêng c a A ng v i vectơ riêng là vectơ c t
th i c a ma tr n T .

2.4 Ví d
Chéo hóa ma tr n  
0 1 1
A= 1 0 1 
1 1 0
Gi i
Trư c h t tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a A.
Theo ví d b), m c 1, ma tr n A có hai giá tr riêng là λ = −1, λ = 2 và A có ba vectơ
riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0), λ = (−1, 0, 1) ng v i giá tr riêng λ = −1 và
α3 = (1, 1, 1) ng v i giá tr riêng λ = 2.
Do đó, ta k t lu n:
- Ma tr n A chéo hóa đư c.
- Ma tr n c n tìm là:  
−1 −1 1
T = 1 0 1 
0 1 1
và  
−1 0 0
T −1 AT =  0 −1 0 
0 0 2




4
3 Vectơ riêng, giá tr riêng c a phép bi n đ i tuy n tính
3.1 Các khái ni m cơ b n
Cho V là không gian vectơ và f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính.
N u U là không gian vectơ con b t bi n c a V sao cho f (U ) ⊂ U thì U g i là không gian
con b t bi n c a V .
Gi s U là không gian con b t bi n 1 chi u và α là m t vectơ khác không, thu c U (do
đó α là cơ s c a U ), khi đó vì f (U ) ⊂ U nên f (α) ∈ U và f (α) = λα. T đó ta có đ nh nghĩa
sau:
Đ nh nghĩa. Cho V là không gian vectơ, f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính c a V .
N u ta có f (α) = λα trong đó α ∈ V là vectơ khác không và λ ∈ R thì α g i là vectơ riêng c a
f ng v i giá tr riêng λ.

3.2 Cách tìm giá tr riêng, vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính
Các giá tr riêng, vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính có s tương ng ch t ch v i các
giá tr riêng, vectơ riêng c a ma tr n c a nó. Ta s th y rõ đi u đó qua ph n trình bày dư i
đây.
Cho V là không gian vectơ n-chi u (dim V = n) và cho f : V → V là phép bi n đ i tuy n
tính. Gi s (U ) : u1 , . . . , un là cơ s c a V và A = Af /(U ) là ma tr n c a f trong cơ s (U ).
Ta có bi u th c t a đ c a f như sau (xem bài 15):

[f (α)]/(U ) = A.[α]/(U ) (∗)

N u α là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 thì f (α) = λ0 f . Thay vào vào (∗) ta có:

λ0 .[α]/(U ) = A.[α]/(U )

hay
[A − λ0 I][α]/(U ) = 0 (∗∗)
Vì vectơ α khác không nên h phương trình (∗∗) có nghi m khác không ⇔ det[A − λ0 I] = 0
⇔ λ0 là giá tr riêng c a A.
Như v y, λ0 là giá tr riêng c a f ⇔ λ0 là giá tr riêng c a ma tr n A = Af /(U ) và α ∈ V
là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 ⇔ [α]/(U ) là vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng
λ0 .
T đó ta có quy t c tìm giá tr riêng và vectơ riêng c a phép bi n đ i tuy n tính f : V → V
như sau:

1. Bư c 1. Tìm ma tr n c a f trong m t cơ s (U ) : u1 , . . . , un nào đó c a V , nghĩa là tìm
A = Af /(U ) .

2. Bư c 2. Tìm các giá tr riêng và vectơ riêng c a ma tr n A.

3. Bư c 3. K t lu n

• Các giá tr riêng c a A cũng chính là giá tr riêng c a f .
• N u (a1 , . . . , an ) là vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ0 thì a1 u1 + · · · + an un
là vectơ riêng c a f ng v i giá tr riêng λ0 .

5
3.3 V n đ tìm cơ s c a V đ ma tr n c a f trong cơ s là ma tr n
chéo
Đ nghiên c u m t phép bi n đ i tuy n tính f : V → V , ta có th qui v vi c nghiên c u
ma tr n c a f . T đó d n đ n vi c c n tìm cơ s đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n
chéo (là ma tr n khá đơn gi n, d nghiên c u). Sau đây là cách tìm cơ s như v y:
Đ u tiên ta tìm các vectơ riêng đ c l p tuy n tính c a f . N u f có ít hơn n vectơ riêng
đ c l p tuy n tính (n = dim V ) thì không có cơ s nào c a f đ ma tr n c a f trong cơ s đó
là ma tr n chéo. N u f có n vectơ riêng đ c l p tuy n tính là (α) : α1 , . . . , αn thì n vectơ riêng
đ c l p tuy n tính đó làm thành cơ s (α) c a V và ma tr n c a f trong cơ s (α) đó là ma
tr n chéo. C th :  
λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 
Af /(U ) =  .
 
. .. . 
 .. .
. . . 
.
0 0 . . . λn
trong đó λi là giá tr riêng ng v i vectơ riêng αi (các λi có th b ng nhau).

3.4 Ví d
Trong R3 cho cơ s :

u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)

và cho phép bi n đ i tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i:

f (u1 ) = (4, 3, 2)
f (u2 ) = (4, 3, 1)
f (u3 ) = (1, 0, 0)
Tìm cơ s đ ma tr n f trong cơ s đó là ma tr n chéo.

Gi i
Đ u tiên ta tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a f . Đ tìm vectơ riêng, giá tr riêng c a f , ta
tìm ma tr n c a f trong m t cơ s nào đó c a R3 . Trong bài toán c th này, tìm ma tr n c a
f trong cơ s (U ) : u1 , u2 , u3 là d nh t. V y:

1. Bư c 1. Tìm ma tr n c a f trong cơ s (U )
Ta ph i gi i 3 h phương trình sau:

• H 1
 
1 1 1 4
 1 1 0 3 
1 0 0 2
a1 = 2,
a2 = 3 − a1 = 1,
a3 = 4 − a1 − a2 = 1



6
• H 2
 
1 1 1 4
 1 1 0 3 
1 0 0 1
b1 = 1,
b2 = 3 − b1 = 2,
b3 = 4 − b1 − b2 = 1
• H 3
 
1 1 1 1
 1 1 0 0 
1 0 0 0
c1 = 0,
c2 = −c1 = 0,
c3 = 1 − c1 − c2 = 1
 
2 1 0
V y Af /(U ) =  1 2 0 
1 1 1

2. Bư c 2. Tìm giá tr riêng, vectơ riêng c a A và c a f
2−λ 1 0
2−λ 1
PA (λ) = 1 2−λ 0 = (1 − λ)
1 2−λ
1 1 1−λ
PA (λ) = (1 − λ)[(2 − λ)2 − 1] = (1 − λ)2 (3 − λ)
PA (λ) = 0 ⇔ λ = 1, λ = 3
V y A có hai giá tr riêng là λ = 1, λ = 3.
Suy ra f có hai giá tr riêng là λ = 1, λ = 3.

• Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 1 là nghi m c a h
   
1 1 0 0 1 1 0 0
 1 1 0 0  −→  0 0 0 0 
1 1 0 0 0 0 0 0
H có vô s nghi m ph thu c hai tham s x2 , x3 .
Nghi m t ng quát c a h là: x1 = −a, x2 = a, x3 = b.
Vectơ riêng c a A, ng v i giá tr riêng λ = 1, là (−a, a, b), a2 + b2 = 0.
Trong trư ng h p này, A có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0) và
α2 = (0, 0, 1).
Do đó, ng v i giá tr riêng λ = 1, vectơ riêng c a f là các vectơ có d ng

−au1 + au2 + bu3 = (b, 0, −a)

v i a2 + b2 = 0.
Trong trư ng h p này, f có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là:
β1 = −u1 + u2 + 0u3 = (0, 0, −1)
β2 = 0u1 + 0u2 + u3 = (1, 0, 0)

7
• Các vectơ riêng c a A ng v i giá tr riêng λ = 3 là nghi m c a h
   
−1 1 0 0 −1 1 0 0
 1 −1 0 0  −→  0 0 −2 0 
1 1 −2 0 0 0 0 0
H có vô s nghi m ph thu c m t tham s x2 .
Ta có: x2 = a, x3 = 0, x1 = a
Nghi m t ng quát c a h là: x1 = a, x2 = a, x3 = 0.
Vectơ riêng c a A, ng v i giá tr riêng λ = 3, là (a, a, 0), a = 0.
Trong trư ng h p này, A có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α3 = (1, 1, 0).
Do đó, ng v i giá tr riêng λ = 3, vectơ riêng c a f là các vectơ có d ng

au1 + au2 + 0u3 = (2a, 2a, a), a=0

Trong trư ng h p này, f có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là:
β3 = 1u1 + 1u2 + 0u3 = (2, 2, 1)

3. Bư c 3. K t lu n
f có ba vectơ riêng đ c l p tuy n tính là các vectơ β1 , β2 ( ng v i λ = 1) và β3 ( ng v i
λ = 3). Do đó, β1 , β2 , β3 làm thành cơ s c a R3 mà ma tr n c a f trong cơ s β1 , β2 ,
β3 là ma tr n chéo. C th :  
1 0 0
Af /(β) =  0 1 0 
0 0 3




8
Bài t p
1. (a) Cho f : Rn → R. Ch ng minh f là ánh x tuy n tính ⇔ t n t i các s a1 , . . . , an ∈ R
đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn .
(b) Cho f : Rn → Rm . Ch ng minh f là ánh x tuy n tính ⇔ t n t i các s aij ∈ R đ
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ).

2. Tìm công th c c a ánh x tuy n tính f : R3 → R3 (tìm f (x1 , x2 , x3 )) bi t:

(a) f (1, 1, 2) = (1, 0, 0)
f (2, 1, 1) = (0, 1, 1)
f (2, 2, 3) = (0, −1, 0)
(b) f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1)
f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0)
f (1, 3, 4) = (1, 0, 2)

3. Trong R3 cho 2 cơ s
u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (U )
v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (V )
và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi , i = 1, 2, 3.

(a) Tìm công th c c a f .
(b) Tìm các ma tr n sau: Af /(U ) , Af /(U ),(V ) , Af /(V ) , Af /(V ),(U ) , Af /(ε3 )

4. Cho ánh x tuy n tính Θ : Rn [x] → Rn [x], p(x) → p (x).
Tìm ma tr n c a Θ trong cơ s :

(a) 1, x, x2 , . . . , xn
(x − a)2 (x − a)n
(b) 1, (x − a), , ...,
2! n!
5. Cho ánh x tuy n tính f : R4 → R3

f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 + x3 + x4 )

Tìm cơ s , s chi u c a Ker f , Im f .

6. Tìm vectơ riêng, giá tr riêng chéo hóa các ma tr n sau:
 
1 0 1
(a)  0 0 0 
1 0 1
 
5 −1 1
(b)  −1 2 −2 
1 −2 2



9
 
1 2 1
(c)  2 4 2 
1 2 1
 
1 0 0 0
 0 0 0 0 
(d)  
 0 0 0 0 
1 0 0 1
 
1 3 1 2
 0 −1 1 3 
(e) 
 0

0 2 5 
0 0 0 −2

7. Trong R3 cho cơ s :

u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2)

và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i
f (u1 ) = (0, 5, 3)
f (u2 ) = (2, 4, 3)
f (u3 ) = (0, 3, 2)
Tìm m t cơ s đ ma tr n f trong cơ s đó là ma tr n chéo.

8. Cho phép bi n đ i tuy n tính ϕ : V → V th a ϕ2 = ϕ. Ch ng minh:
Im ϕ + Ker ϕ = V
Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0}

9. Cho f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính, L là không gian vectơ con c a V . Ch ng
minh:

(a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L
(b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f

10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh x tuy n tính. Ch ng minh:

(a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ}
(b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ)
(c) rank(ψϕ) ≥ rank ϕ + rank ψ − dim W




10
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản