Vi tích phân - Chương 3 : Hàm nhiều biến

Chia sẻ: cong12121992

Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi Î R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Vi tích phân - Chương 3 : Hàm nhiều biến

C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp
xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi ∈ R, i = 1,.. n) được
gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều
được ký hiệu là Rn.
Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi ∈ R, i = 1,.. n}
Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.




1
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) ∈
Rn:
n
2
d( x, y ) = ∑ ( xi − yi )
i=1

Một số tính chất của d:
a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0  xi = yi, ∀I  x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y)


2
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Lân cận: Cho x0∈Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x ∈ Rn:
d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0.
Điểm trong: Điểm x0∈Rn được gọi là điểm trong của
D ⊂ Rn nếu D chứa một lân cận của x0.
Điểm biên: Điểm x0 ∈ Rn được gọi là điểm biên của D
⊂ Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các
điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D
được gọi là biên của D.
Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.
Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.
3
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Hàm 2 biến: D ⊂ R2, một ánh xạ f: D → R, được gọi là
hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x, y )  z = f ( x, y )
• D: miền xác định
• f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 1 − x2− y2
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
Hàm n biến: D ⊂ Rn, một ánh xạ f: D → R được gọi là
hàm số n biến. Ký hiệu:
f : ( x1, x 2,...xn )  z = f ( x1, x 2,...xn )
4
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận
M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0. Số thực L được
gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:
∀ε > 0, ∃ δ > 0: d(M,M0) < δ => | f(M) – L| < ε

d(M, M0 ) = (x - x0 )2 + (y - y0 )2

lim f ( x, y ) = L
lim f (M) = L f ( x, y ) = L
lim
x → x0
M→M0 ( x,y )→( x0 ,y0 )
y → y0

5
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như
đối với hàm số một biến.
• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với
hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.

sin( x 2 + y 2 ) xy
lim
Ví dụ: lim
x2 + y2
x2 + y2 ( x,y )→( 0,0 )
( x,y )→(0,0 )




6
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu
f ( x, y ) = f ( x0, y0 )
lim
( x,y )→( x0 ,y0 )

Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị
chặn trên D ⊂ R2 thì:
• Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M
• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D
Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của
hàm số đối với hàm n biến (n≥3)


7
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ 3. ĐẠO HÀM RIÊNG
Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D,
M0(x0,y0) ∈ D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một
biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm
riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu:
∂f ∂z
'
fx ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )
∂x ∂x
Đặt ∆ xf = f(x0 + ∆ x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0.
∆xf
'
= lim
fx
∆x →0 ∆x
8
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f
theo biến y. ∆yf
'
fy = lim
∆y →0 ∆y
Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến
số (n≥ 3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
4 32 4
z = x − 5 x y + 2y

u = xy

9
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo
hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1.
Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại
được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.
2
2
∂  ∂f  ∂ f
∂  ∂f  ∂ f ''
''
= = fyx ( x, y )
= 2 = fxx ( x, y ) 

∂y  ∂x  ∂y∂x
∂x  ∂x  ∂x
∂  ∂f  ∂ 2f ∂  ∂f  ∂ 2f
'' ''
 = = fxy ( x, y )  = = fyy ( x, y )
∂x  ∂y  ∂x∂y ∂y  ∂y  ∂y∂y
Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…

10
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0
hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại
M0 thì fxy = fyx tại M0.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp
cao hơn của n biến số (n≥ 3)




11
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm
số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có
các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm
riêng:
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v
= + = +
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y



12
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ 3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B)
thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.
Ví dụ: xy – ex + ey = 0




13
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
Fx
y' = −
Fy

Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0
F(x,y) = xy – ex + ey = 0




14
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình
F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao
cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f,
thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0.
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:
Fy
∂z
∂z Fx
=−
=−
∂y
∂x Fz
Fz
Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z)


15
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ 4. CỰC TRỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại
điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho
f(M) ≤ f(M0), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈ ∆ ). F(M0) gọi
chung là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại
(x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0
16
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại
những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian:
z xx z xy
H=
z yx z yy
z xx z xy
Đặt: H1 = z xx, H2 =
z yx z yy
• Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|0: z đạt cực đại
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8,
z = x3 + y3
17
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn).
Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 = 0, giả sử tại đó
tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt fij = fxi x j
f11 f12 ... f1n
Ta có định thức Hessian:
f11 f12 f21 f22 ... f2n
H1 = f11 , H2 = ,... Hn =
f21 f22 ... ... ... ...
fn1 fn2 ... fnn
• Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H1|0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z
18
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện
g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện.
Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với
g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:
L x = fx − λgx = 0

L y = fy − λgy = 0

Lλ = c − g( x, y ) = 0
λ là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là
điểm dừng. 19
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.
2 2
z = 1− x − y
Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện
g(x1,x2,…xn) = c. Hàm Lagrange L = f + λ(c-g)
L1 = f1 − λg1 = 0
L = f − λg = 0
2 2 2

.......... .......... ....
L = f − λg = 0
n n n
L λ = c − g = 0

20
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại
điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng:
0 g x gy
H = gx L xx L xy
gy L yx L yy
• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
• Nếu |H|
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản