Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

Vi tích phân - Chương 3 : Hàm nhiều biến

Chia sẻ: | Ngày: ppt 23 p | 35

1
151
views

Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi Î R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn.

Vi tích phân - Chương 3 : Hàm nhiều biến
Nội dung Text

  1. C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi ∈ R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi ∈ R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. 1
  2. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) ∈ Rn: n 2 d( x, y ) = ∑ ( xi − yi ) i=1 Một số tính chất của d: a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0  xi = yi, ∀I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y) 2
  3. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận: Cho x0∈Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x ∈ Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. Điểm trong: Điểm x0∈Rn được gọi là điểm trong của D ⊂ Rn nếu D chứa một lân cận của x0. Điểm biên: Điểm x0 ∈ Rn được gọi là điểm biên của D ⊂ Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 3
  4. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D ⊂ R2, một ánh xạ f: D → R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x, y )  z = f ( x, y ) • D: miền xác định • f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 1 − x2− y2 z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D ⊂ Rn, một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x1, x 2,...xn )  z = f ( x1, x 2,...xn ) 4
  5. C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu: ∀ε > 0, ∃ δ > 0: d(M,M0) < δ => | f(M) – L| < ε d(M, M0 ) = (x - x0 )2 + (y - y0 )2 lim f ( x, y ) = L lim f (M) = L f ( x, y ) = L lim x → x0 M→M0 ( x,y )→( x0 ,y0 ) y → y0 5
  6. C3. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. sin( x 2 + y 2 ) xy lim Ví dụ: lim x2 + y2 x2 + y2 ( x,y )→( 0,0 ) ( x,y )→(0,0 ) 6
  7. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f ( x, y ) = f ( x0, y0 ) lim ( x,y )→( x0 ,y0 ) Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D ⊂ R2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 7
  8. C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) ∈ D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: ∂f ∂z ' fx ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) ∂x ∂x Đặt ∆ xf = f(x0 + ∆ x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. ∆xf ' = lim fx ∆x →0 ∆x 8
  9. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. ∆yf ' fy = lim ∆y →0 ∆y Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥ 3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4 32 4 z = x − 5 x y + 2y u = xy 9
  10. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. 2 2 ∂  ∂f  ∂ f ∂  ∂f  ∂ f '' '' = = fyx ( x, y ) = 2 = fxx ( x, y )   ∂y  ∂x  ∂y∂x ∂x  ∂x  ∂x ∂  ∂f  ∂ 2f ∂  ∂f  ∂ 2f '' ''  = = fxy ( x, y )  = = fyy ( x, y ) ∂x  ∂y  ∂x∂y ∂y  ∂y  ∂y∂y Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… 10
  11. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n≥ 3) 11
  12. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng: ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = + = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y 12
  13. C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ 3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – ex + ey = 0 13
  14. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Fx y' = − Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 14
  15. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0. Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Fy ∂z ∂z Fx =− =− ∂y ∂x Fz Fz Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z) 15
  16. C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ 4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho f(M) ≤ f(M0), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈ ∆ ). F(M0) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 16
  17. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian: z xx z xy H= z yx z yy z xx z xy Đặt: H1 = z xx, H2 = z yx z yy • Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1|<0, |H2|>0: z đạt cực đại Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x3 + y3 17
  18. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt fij = fxi x j f11 f12 ... f1n Ta có định thức Hessian: f11 f12 f21 f22 ... f2n H1 = f11 , H2 = ,... Hn = f21 f22 ... ... ... ... fn1 fn2 ... fnn • Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H1|<0, |H2|>0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z 18
  19. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện. Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: L x = fx − λgx = 0  L y = fy − λgy = 0  Lλ = c − g( x, y ) = 0 λ là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng. 19
  20. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. 2 2 z = 1− x − y Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c. Hàm Lagrange L = f + λ(c-g) L1 = f1 − λg1 = 0 L = f − λg = 0 2 2 2  .......... .......... .... L = f − λg = 0 n n n L λ = c − g = 0  20
Đồng bộ tài khoản