Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Chia sẻ: Trần Huyền My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

0
518
lượt xem
62
download

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong các điều kiện sau:
- Mặt cầu (S) và mp (P) có một điểm chung duy nhất
- Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp (P) bằng bán kính của nó
- mp (P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

  1. §2.VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng vμ ®−êng th¼ng
  2. KiÓm tra kiÕn thøc cò mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: • MÆt cÇu (S) vμ mp(P) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt. • Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi mp(P) b»ng b¸n kÝnh cña nã. • mp(P) vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H. * §−êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vμ chØ khi cã mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: • MÆt cÇu (S) vμ ®−êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt. • Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ®−êng th¼ng a b»ng b¸n kÝnh cña mÆt cÇu. • §−êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H.
  3. §2.VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng vμ ®−êng th¼ng 3. C¸c tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn §Þnh lý 1: Qua ®iÓm A n»m trªn mÆt cÇu S(0;R) cã v« sè tiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S). TÊt c¶ c¸c tiÕp tuyÕn nμy ®Òu n»m trªn tiÕp diÖn cña (S) t¹i ®iÓm A. CM: ∀a ∋ A; a ⊥ OA ⇒ a lμ tiÕp tuyÕn cña S(O;R) t¹i A ⇒ Cã v« sè tiÕp tuyÕn víi (S) t¹i A ⇒ C¸c tiÕp tuyÕn nμy n»m trªn mp(P): mp(P) ∋ A, (P) ⊥ OA ⇒ mp(P) lμ tiÕp diÖn cña (S) t¹i A. O A P a
  4. * §−êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vμ chØ khi cã mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: • MÆt cÇu (S) vμ ®−êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt. • Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ®−êng th¼ng a b»ng b¸n kÝnh cña mÆt cÇu. • §−êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H. • §−êng th¼ng a n»m trong mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) vμ ®i qua ®iÓm tiÕp xóc.
  5. §Þnh lý 2: Qua ®iÓm A n»m ngoμi mÆt cÇu S(0;R) cã v« sè tiÕp tuyÕn víi mÆt cÇu (S). §é dμi c¸c ®o¹n th¼ng kÎ tõ A tíi c¸c tiÕp ®iÓm ®Òu b»ng nhau. Cm: §Æt OA = d ⇒ d > R A Gäi (P) lμ mÆt ph¼ng tuú ý ®i qua AO; mp(P) ∩ S(O;R) = C(O;R). M’ V× A n»m ngoμi (S) nªn A n»m ngoμi (C). Qua A kÎ 2 tiÕp tuyÕn AM vμ AM’ víi (C), ®ã lμ 2 tiÕp tuyÕn cña (S). M 0 Khi (P) thay ®æi vÉn ®i qua AO th× cã v« sè tiÕp tuyÕn víi (S) kÎ tõ A. XÐt AMO: AM2 = AO2 - OM2 = d2 - R2 (C) ⇒ AM= d2 − R2 VËy c¸c ®o¹n th¼ng kÎ tõ A tíi c¸c tiÕp P ®iÓm ®Òu b»ng nhau.
  6. VÝ dô. Cho mÆt cÇu S(O ; a) vμ mét ®iÓm A, biÕt OA = 2a, qua A kÎ mét tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (S) t¹i ®iÓm B vμ còng qua A kÎ mét c¸t tuyÕn c¾t (S) t¹i C vμ D, biÕt CD = a 3 a) TÝnh AB. b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®−êng th¼ng CD. Gi¶i: a) Ta cã AB tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i B nªn AB⊥OB: AB = OA 2 − OB2 = 4a 2 − a 2 = a 3 b) Gäi H lμ h×nh chiÕu cña O lªn CD ta cã: OC=OD=a, nªn tam gi¸c OCD c©n t¹i O, do ®ã H lμ trung ®iÓm cña CD. CD a 3 Suy ra : HC = = 2 2 D H 2 ⎛a 3⎞ a OH = OC − HC = a − ⎜ 2 2 2 ⎟ = B ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ C O a VËy kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn CD lμ 2 A
  7. Bμi 5 . Cho mÆt cÇu (O ; R) tiÕp xóc víi mp(P) t¹i I, M lμ mét ®iÓm n»m trªn mÆt cÇu. Hai tiÕp tuyÕn t¹i M cña mÆt cÇu c¾t t¹i mp(P) t¹i A vμ B. Chøng minh r»ng AMB = AIB Gi¶i: V× mp(P) tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i I nªn AI vμ BI lμ hai tiÕp tuyÕn víi mÆt cÇu. V× AM vμ AI lμ hai tiÕp tuyÕn víi M mÆt cÇu kÎ tõ ®iÓm A nªn: AM = AI. O T−¬ng tù ta cã BM = BI. I ⇒Hai tam gi¸c AMB vμ AIB A b»ng nhau (c, c, c). P B ⇒ AMB = AIB
  8. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng d>R d=R d
  9. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi ®−êng th¼ng d>R d=R d
  10. VÞ trÝ ®iÓm A Sè l−îng tiÕp tuyÕn H×nh ¶nh A ∈(C) 1 O TiÕp tuyÕn cña A ®−êng trßn (C) O A ngoμi (C) 2 A O A ∈(S) V« sè P A A TiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S) A ngoμi (S) V« sè O
Đồng bộ tài khoản