Xác suất thống kê_ Chương 2

Chia sẻ: Truong Doan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

0
1.277
lượt xem
699
download

Xác suất thống kê_ Chương 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Xác suất thống kê Chương 2: " Đại lượng ngẫu nhiên và Phân phối xác suất" dành cho sinh viên chuyên ngành kinh tế.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Xác suất thống kê_ Chương 2

  1. Chuong 2 ’’ ˜ ¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN VA PHAN PHOI XAC SUAT D. .’ ˆ ˆ ` ˆ ´ ´ ˆ ´ ˆ 1. ’ .’ ˜ ˆ ˆ ¯ AI LUONG NGAU NHIEN D. 1.1 e ¯. ’ . . ’ ˜ Kh´i niˆm dai luong ngˆu nhiˆn a a e 2 ¯ inh nghia 1 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn l` dai luong biˆn dˆi biˆ’u thi gı´ tri kˆt qua D. ˜ D. ’.’ ˜ a e a ¯. ’.’ ´ ’ e ¯o e . a . e ’ ´ ’ o . e ’’ ˆ˜ cua mˆt ph´p thu ngau nhiˆn. e Ta d`ng c´c chu c´i hoa nhu X, Y, Z, ... dˆ’ k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn. u a ˜ a ’ ’ ¯e ı e ¯ . ’ .’ . ˜ a e o. u ˘ ´ . ´ ´ a o a ´ . • V´ du 1 Tung mˆt con x´c xac. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac ı . a e e a . ´ u ˘ . ˜ a e a a . a . o e’ a th` X l` mˆt dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ l` 1, 2, 3, 4, 5, 6. ı a o ¯. ’.’ 1.2 D. ’ . ’ ˜ a e ` . ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac ’ D. ’ .’ ˜ a e ` . a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac ’ D. ˜ D. ’.’ ˜ a ’ ´ o e a . . ´ 2 ¯ inh nghia 2 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` roi rac nˆu n´ chi’ nhˆn mˆt sˆ e ¯ ’.’ . a ` . o o ˜ . ’ a . . ´ ´ huu han ho˘c mˆt sˆ vˆ han dˆm duoc c´c gi´ tri. o o o . ¯e ¯ ’.’ a a . Ta c´ thˆ’ liˆt kˆ c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac x1 , x2 , . . . , xn . o e e e a . a . ’ ¯ . ’ .’ ˜ a e ` .’ Ta k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn X nhˆn gi´ tri xn l` X = xn v` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn ı e ¯ . ’ .’ . ˜ a e a . a . a a a ´ a ¯e a . gi´ tri xn l` P (X = xn ). a . a ´ ´ o a ´ . a e e a . ´ ´ u ˘ o . ´ ˘ • V´ du 2 Sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac, sˆ hoc sinh vang m˘t trong mˆt ı . a . o . ’ o . a a ¯. ’.’ ˜ a e ` . buˆi hoc...l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn roi rac. ’ ’ ´ ´ b) Bang phˆn phˆi x´c suˆt a o a a Bang phˆn phˆi x´c suˆt d`ng dˆ’ thiˆt lˆp luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ’ a ´ o a ´ a u ¯e ´ . e a a . a ´ o a ´ a ’ ¯ . ’ .’ ngˆu nhiˆn roi rac, n´ gˆm 2 h`ng: h`ng thu nhˆt liˆt kˆ c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn ˜ a e ` .’ o o ` a a ´ a e e a a . o e ’ ´ . ’ ¯ . ’ .’ a˜ e a a ´ ’ e e a a . a ’’ ´ ´ cua dai luong ngˆu nhiˆn X v` h`ng thu hai liˆt kˆ c´c x´c suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn ’ cua c´c gi´ tri c´ thˆ’ do. ’ a a . o e ¯´ 27
  2. 28 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a X x1 x2 . . . xn P p1 p2 . . . pn Nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn X gˆm h˜u han sˆ x1 , x2 , . . . , xn th` ´ e a a . o e ’ ¯ . ’ .’ a˜ e o` u . o ´ ı ´ cˆ X = x1 , X = x2 , . . . , X = xn lˆp th`nh mˆt nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung c´c biˆn o a e ´ a . a o . o a ´ o ¯a ¯ ’ e ´ ` ´ ’ ˘ ` ¯o khac tung dˆi. n Do d´ ¯o pi = 1. i=1 ı . o . ´ ` u ˘ ¯o ´ a . ´ ´ a o a ´ . • V´ du 3 Tung mˆt con x´c xac dˆng chˆt. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con a e e a . u ˘ ´c th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ phˆn phˆi x´c suˆt cho boi: x´c xa ı a ¯. ’.’ ˜ a e ` . o a ’ ´ a o ´ a ’’ X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6 1.3 ’ ˜ e . a a a ¯o a . . ´ ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc v` h`m mˆt dˆ x´c suˆt D. ’ . a e a ˜ a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc D. ’ .’ a e e . D. ˜ D. ’.’ ˜ a e ¯ ’.’ . a e . ´ e a a . o e’ ’ 2 ¯ inh nghia 3 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` liˆn tuc nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ cua ´ ` o o a ¯ˆ . ’ e . o ´ n´ lˆp day mˆt khoang trˆn truc sˆ. • V´ du 4 ı . - Nhiˆt dˆ khˆng kh´ o mˆi thoi diˆ’m n`o d´. e ¯o o . . ˜ ı ’’ o ` ¯ e ’ a ¯o ´ ¯ ’` - Sai sˆ khi khi do luong mˆt dai luong vˆt l´. o ’ o ¯. ’.’ . a y . ’ - Khoang thoi ’ ’ ´ ´ ’ ` gian giua hai ca cˆp cuu cua mˆt bˆnh viˆn. ˜ a ’ o e . . e . b) H`m mˆt dˆ x´c suˆt a a ¯o a . . ´ a ˜ a a ¯o a . . ´ a ’ ¯. ’.’ ˜ 2 ¯ inh nghia 4 H`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X l` h`m D. a e e . a a o a a ¯i ´ moi x ∈ (−∞, +∞) thoa m˜n khˆng ˆm f(x), x´c d. nh voi . ’ ’ a P (X ∈ B) = f (x)dx B ´ . a o .’ ´ voi moi tˆp sˆ thuc B. ’ . ınh a ´ a a ¯o a . . ´ a o a ınh a ´ 3 T´ chˆt H`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ c´c t´ chˆt sau i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞) +∞ ii) f (x)dx = 1 −∞ ´ ˜ ’ Y nghia cua h`m mˆt dˆ a a ¯o . . ` ¯i ’ ˜ ’ Tu d.nh nghia cua h`m mˆt dˆ ta c´ P (x ≤ X ≤ x + x) ∼ f (x). x a a ¯o . . o Do do ta thˆy x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri thuˆc lˆn cˆn kh´ b´ (x, x + x) gˆn nhu ¯´ ´ a a ´ a ¯e a . a . o a a . . a e a` ’ e ´ ti’ lˆ voi f(x). . ’
  3. D. ’ ’ ˜ 1. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn a e 29 1.4 a a ´ o a ´ H`m phˆn phˆi x´c suˆt a ˜ a a ´ o a ´ a ’ ¯. ’.’ ˜ 2 ¯ inh nghia 5 H`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu F(x), D. a e ı e . l` h`m duoc x´c d. nh nhu sau a a ¯ ’.’ a ¯i ’ F (x) = P (X < x) * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn th` ´ e a ¯. ’.’ ˜ a e ` .’ a a . a . o e ı F (x) = P (X = xi ) = pi ´ (voi pi = P (X = xi )) ’ xi
  4. 30 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a    0 ; x≤1   0, 3 ; 1 1 e a a ´ o a ´ T`m h`m phˆn phˆi x´c suˆt F(x). ı a ’ Giai x Khi x < 0 th` F (x) = ı f (t)dt = 0 −∞ x x 6 3 Khi 0 ≤ x ≤ 1 th` F (x) = ı f (t)dt = tdt = x2 . 5 5 −∞ 0 Khi x > 1 th` ı x 1 x x 6 6 3 2 2 F (x) = f (t)dt = tdt + 4 dt = + − 3 =1− 5 5t 5 5t 1 5x3 −∞ 0 1    0 ; x1 2. ´ ´ ˆ D˘ ’ ’ ’ .’ ˜ ˆ CAC THAM SO ¯ AC TRUNG CUA ¯ AI LUONG NGAU D. . ˆ NHIEN 2.1 K` vong (Expectation) y . ˜ 2 ¯ inh nghia 6 D. * Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ thˆ’ nhˆn c´c gi´ tri x1 , x2 , . . . , xn ’ ’’ a ¯. ’.’ ˜ a e ` . o e a a ’ . a . ´ c´c x´x suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn . K` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu voi a a ’ ´ ’’ ´ a ’ y . ’ ¯. ’.’ ˜ a e ı e . ´ E(X) (hay M(X)), l` sˆ duoc x´c d. nh boi a o ¯ ’.’ a ¯i ’’
  5. ´ o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜ 2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a ’ a e 31 n E(X) = xi pi i=1 ’ ’ a˜ e e . o a a ¯o a . . ´ * Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x). K` vong a ¯. ’.’ a y . ’ ¯. ’.’ cua dai luong ngˆ a˜u nhiˆn X duoc x´c d. nh boi e ¯ ’.’ a ¯i ’’ ∞ E(X) = xf (x)dx −∞ ı . ım y . ’ ¯. ’.’ ˜ a e o ’ a ´ o a ´ • V´ du 7 T` k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau a X 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 2 2 1 1 P 12 12 12 12 12 12 12 Ta c´ o 1 2 3 2 2 1 1 93 31 E(X) = 5. 12 + 6. 12 + 7. 12 + 8. 12 + 9. 12 + 10. 12 + 11. 12 = 12 = 4 = 7, 75. ı . a ¯. ’.’ ˜ • V´ du 8 Cho X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ a e e . o a a ¯o . . ´ 2.e−2x nˆu 0 < x < 2 e f (x) = ´ 0 nˆu x ∈ (0, 2) e / T` E(X). ım ’ Giai ∞ 2 2 1 x3 4 E(X) = xf (x)dx = x.( x)dx = = 2 6 0 3 −∞ 0 ´ 3 T´ chˆt ınh a a ˘` i) E(C) = C, C l` hang. ii) E(cX) = c.E(X). iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). ´ a ¯ . ’ .’ ˜ iv) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` E(XY ) = E(X).E(Y ). e a a e ¯ˆ a . . ı ´ ˜ ’ Y nghia cua k` vong y . Tiˆn h`nh n ph´p thu. Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ ´ e a e ’’ ’ ’’ a ¯ . ’ .’ ˜ a e a a . a . o e ´ o a ’ ´ ` x1 , x2 , . . . , xn voi sˆ lˆn nhˆn k1 , k2 , . . . , kn . a . a . ınh ’ ¯ . ’ .’ ˜ a e e ’’ a Gi´ tri trung b` cua dai luong ngˆu nhiˆn X trong n ph´p thu l` k1 x1 + k2 x2 + . . . + kn xn k1 k2 kn x= = x1 + x2 + . . . + xn = f1 x1 + f2 x2 + . . . + fn kn n x n n ´ voi fi = ’ ki n l` tˆn suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri xi . a a ` ´ a ¯e a . a .
  6. 32 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a ˜ a ´ a ´ o o ´ e o lim ı a ´ ¯’ ´ Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ ta c´ n→∞ fi = pi . V` vˆy voi n du lon ¯i . ’ ’ ta c´ o x ≈ p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = E(X) ´ a y . ’ ¯ . ’ .’ a˜ e a ´ ´ ’ ´ Ta thˆy k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn xˆp xi’ voi trung b` sˆ hoc c´c gi´ tri ınh o . a a . a ’ ¯ . ’ .’ ˜ quan s´t cua dai luong ngˆu nhiˆn. a e Do do c´ thˆ’ n´i k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn ch´ l` gi´ tri trung b` (theo ¯´ o e o y . ’ ¯. ’.’ ˜ a e ınh a a . ınh x´c suˆ a ´t) cua dai luong ngˆu nhiˆn. N´ phan ´nh gi´ tri trung tˆm cua phˆn phˆi x´c a ’ ¯. ’.’ ˜ a e o ’ a a . a ’ a ´ o a ´ suˆt a 2.2 Phuong sai (Variance) ’’ ˜ 2 ¯ inh nghia 7 Phuong sai (¯ˆ lˆch b` phuong trung b` D. ’’ do e . . ınh ’’ ’ ¯. ’.’ ˜ ınh) cua dai luong ngˆu a ı e . ¯ ’.’ ¯i ` o ´ ˜ bang cˆng thuc nhiˆn X, k´ hiˆu Var(X) hay D(X), duoc d. nh nghia ˘ e ’ V ar(X) = E{[X − E(X)]2 } * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn voi e´ a ¯. ’.’ a˜ e ` . ’ a a . a . o e ´’ a a ´t tuong ung p1 , p2 , . . . , pn th` c´c x´c suˆ ’ ’ a ´’ ı n V ar(X) = [xi − E(X)]2 pi i=1 ´ ˜ a e e . o a a ¯o a . . ´ * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f(x) th` e a ¯. ’.’ a ı +∞ V ar(X) = [x − E(X)]2 f (x)dx −∞ ´ ’` ` ˘ ´ Ch´ y Trong thuc tˆ ta thuong t´ phuong sai bang cˆng thuc u´ .’ e ’ ınh ’’ o ’ V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 Thˆt vˆy, ta c´ a a . . o V ar(X) = E{X − E(X)]2 } = E{X 2 − 2X.E(X) + [E(X)]2 } = E(X 2 ) − 2E(X).E(X) + [E(X)]2 = E(X 2 ) − [E(X)]2 ı . ¯. ’.’ ˜ a e ` .’ o ’ a ´ o a ´ • V´ du 9 Cho dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau a X 1 3 5 P 0,1 0,4 0,5 ı ’’ ’ T`m phuong sai cua X. ’ Giai E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8 E(X 2 ) = 12 .0, 1 + 32 .0, 4 + 52 .0, 5 = 16, 2 Do d´ V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 16, 2 − 14, 44 = 1, 76. ¯o
  7. ´ o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜ 2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a ’ a e 33 ı . ¯. ’.’ ˜ • V´ du 10 Cho dai luong ngˆunhiˆn X c´ h`m mˆt dˆ a e o a a ¯o . . ´ cx3 voi 0 ≤ x ≤ 3 ’ f (x) = ´ 0 voi x ∈ [0, 3] ’ H˜y t`m a ı ` ˘ ´ i) Hang sˆ c. o ii) K` vong. y . iii) Phuong sai ’’ ’ Giai 3 3 x4 81 i) Ta c´ 1 = o cx3 dx = c = c. 4 0 4 0 4 Suy ra c = . 81 3 3 4 3 4 x5 ii) E(X) = x x dx = = 2, 4. 81 81 5 0 0 iii) Ta c´ o ∞ 3 3 2 2 4 3 4 x6 E(X ) = x f (x)dx = x2 x dx = =6 81 81 6 0 −∞ 0 Vˆy V ar(X) = E(X ) − [E(X)] = 6 − (2, 4)2 = 0, 24. a . 2 2 ´ 3 T´ chˆt ınh a ’ i) Var(C)=0; (C khˆng dˆi). o ¯o ii) V ar(cX) = c2 .V ar(X). ´ a ¯ . ’ .’ ˜ iii) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` e a a e ¯ˆ a . . ı * V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ); * Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y); * Var(C+X)=Var(X). ´ ˜ ’ Y nghia cua phuong sai ’’ ´ Ta thˆy X − E(X) l` do lˆch khoi gi´ tri trung b` nˆn V ar(X) = E{[X − E(X)]2 } a a ¯ˆ e . . ’ a . ınh e l` dˆ lˆch b` phuong trung b` a ¯o e . . ınh ’’ ’ a ´ ¯ˆ a a a ınh. Do do phuong sai phan ´nh muc do phˆn t´n c´c ¯´ ’’ ’ . gi´ tri cua ¯ . ’ .’ a . ˜ ’ dai luong ngˆu nhiˆn chung quanh gi´ tri trung b` a e a . ınh. 2.3 Do e . . e ’ ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn a D’ . ¯ ’ ` ˘ ’ ’ ¯ ’ . ¯ ’ ¯ . ’ .’ ˜ ¯ on vi do cua phuong sai bang b` phuong don vi do cua dai luong ngˆu nhiˆn. ’’ ınh a e Khi cˆn ¯´ a ´ ¯o a a a a . ’ ¯ . ’ ’ a ’ . ˜ ` danh gi´ muc dˆ phˆn t´n c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn theo don vi cua a e ¯’ . ’ o ` ’’ u o ¯˘ . . ’ ´ ¯o a ¯o e ’ . . e a’ n´, nguoi ta d`ng mˆt dac trung moi d´ l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn.
  8. 34 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a ˜ . . e a’ ’ ¯. ’ ’ ˜ 2 ¯ inh nghia 8 ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu l` σ(X), D. Do e a e ı e a . . ¯ ’.’ ¯i ˜ nhu sau: duoc d. nh nghia ’ σ(X) = V ar(X) 2.4 Mode ˜ a a . ’ ¯. ’.’ ˜ o ’ a ´ . 2 ¯ inh nghia 9 Mod(X) l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn X c´ kha n˘ng xuˆt hiˆn D. a e a e ´ nhˆt trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua n´. lon a ’ ´ o a a a ¯o ’ . . o Do ´ ¯. ’.’ ´ ’ ˜ a e ` .’ a a . ’ ´ ´ a a ´ ´ ’ ¯ ˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn roi rac mod(X) l` gi´ tri cua X ung voi x´c suˆt lon ’ ’ ´t, c`n dˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc th` mod(X) l` gi´ tri cua X tai d´ h`m nhˆ o ¯o ’ a ´ ´ ¯. ’.’ a˜ e e . ı a a . ’ . ¯o a mˆt dˆ dat gi´ tri cuc dai. a ¯o ¯. . . a . .’ ¯. Ch´ y Mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ thˆ’ c´ mˆt mode ho˘c nhiˆu mode. u´ o ¯ . ’ .’ . ˜ a e o e o o . a . e` ı . ’ ’’ a ¯ e’ ı ’ e ’` • V´ du 11 Gia su X l` diˆm trung b`nh cua sinh viˆn trong truong th` mod(X) l` ’ ı a diˆ ¯e ’m m` nhiˆu sinh viˆn dat duoc nhˆt. a e` e ¯. ¯ ’.’ ´ a ˜ • V´ du 12 Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn ı . ¯. ’.’ a e e ´ ´ a tuc c´ phˆn phˆi Vˆy−bun voi h`m mˆt . o a o a ’ a . dˆ ¯o .   0 ´ nˆu x ≤ 0 e f (x) =  x − x2 e 4 ´ nˆu x > 0 e 2 H˜y x´c d. nh mod(X). a a ¯i ’ Giai e . ’ mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` a ’’ ınh 1 x2 x2 x2 f (x) = e− 4 − e− 4 = 0 2 4 x2 a e . ’ Suy ra mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` 1 − ’’ ınh = 0. Do mod(X) > 0 nˆn e √ 2 mod(X) = 2 = 1, 414. 2.5 Trung vi . ˜ . ’ ¯. ’.’ ˜ a a . ’ 2 ¯ inh nghia 10 Trung vi cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` gi´ tri cua X chia phˆn D. a e a ´i x´c suˆt th`nh hai phˆn c´ x´c suˆt giˆng nhau. K´ hiˆu med(X). phˆ a o ´ a a a` o a ´ o a ´ ı e. 1 Ta c´ P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) = o 2 ⊕ Nhˆn x´t Tu d.nh nghia ta thˆy dˆ’ t` trung vi chi’ cˆn giai phuong tr` F (x) = 1 . a . e ` ¯i ’ ˜ ´ a ¯e ım . a` ’ ’’ ınh 2 ´ dung, trung vi l` dac trung vi tr´ tˆt nhˆt, nhiˆu khi tˆt hon ca k` vong, Trong ung . ’ . a ¯˘ . ’ . ı o´ ´ a e` ´ ’ ’ y . o ´ ´ . e` ’ nhˆt l` khi trong sˆ liˆu c´ nhiˆu sai s´t. Trung vi c`n duoc goi l` phˆn vi 50% cua a a o e o o . o ¯ ’ .’ . a a . phˆn pho a ˆ´i.
  9. ´ o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜ 2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a ’ a e 35 • V´ du 13 T` med(X) trong v´ du (12). ı . ım ı . ’ Giai e . ’ med(X) l` nghiˆm cua phuong tr` a ’’ ınh med(X) [med(X)]2 f (x)dx = 0, 5 hay 1 − e− 4 = 0, 5 0 Suy ra med(X) = 1, 665. ´ . o ¯˘ Ch´ y N´i chung, ba sˆ dac trung k` vong, mode v` trung vi khˆng tr`ng nhau. u´ o ’ y . a . o u Cha ’ ng han, tu c´c v´ du (12), (13) v` t´ thˆm k` vong ta c´ E(X) = 1, 772; mod(X) = ˘ . ` a ı . ’ a ınh e y . o 1, 414 v` med(X) = 1, 665. Tuy nhiˆn nˆu a a e e ´ phˆn phˆi dˆi xung v` chi’ c´ mˆt mode th` o´ ¯o ´ ´ ’ a o o. ı ’ ¯˘ ca ba dac trung d´ tr`ng nhau. . ’ ¯o u 2.6 Moment ˜ 2 ¯ inh nghia 11 D. ´ a ’ ¯. ’.’ ˜ a e a o ´ * Moment cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ mk = E(X k ). a ´ a ˜ a e a o´ * Moment qui tˆm cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ αk = E{[X − E(X)]k }. ’ ¯. ’.’ ⊕ Nhˆn x´t a . e ´ ’ ’ i) Moment cˆp 1 cua X l` k` vong cua X (m1 = E(X)). a a y . a ´ ii) Moment qui tˆm cˆp hai cua X l` phuong sai cua X (α2 = m2 − m2 = V ar(X)). a ’ a ’’ ’ 1 iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m3 . 1 2.7 H`m moment sinh a ˜ a ’ ¯. ’.’ ˜ 2 ¯ inh nghia 12 H`m moment sinh cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` h`m x´c d. nh D. a e a a a ¯i ’’ trong (−∞, +∞) cho boi    etx p(x) ´ ` . nˆu X roi rac e ’  tX x φ(t) = E(e ) =  +∞   ´ etx p(x)dx nˆu X liˆn tuc e e . −∞ ´ 3 T´ chˆt ınh a i) φ (0) = E(X). ii) φ (0) = E(X 2 ). o’ iii) Tˆng qu´t: φ(n) (0) = E(X n ), ∀n ≥ 1. a
  10. 36 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a ´ Chung minh. ’ d d tX i) φ (t) = E(etX ) = E (e ) = E(XetX ). dt dt Suy ra φ (0) = E(X). d d d ii) φ (t) = φ (t) = E(XetX ) = E (XetX ) = E(X 2 etX ). dt dt dt Suy ra φ (0) = E(X 2 ). 2 Ch´ y u´ ’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ i) Gia su X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ h`m moment sinh tuong a a a e ¯ˆ a o a . . ’’ ´ ’ a a ¯o a ’ ’’ ung l` φX (t) v` φY (t). Khi d´ h`m moment sinh cua X + Y cho boi φX+Y (t) = E(et(X+Y ) ) = E(etX etY ) = E(etX )E(etY ) = φX (t)φY (t) d˘’ ´ a ’ ` ´ (¯ang thuc gˆn cuˆi c´ duoc do etX v` etY doc lˆp) o o ¯ ’ .’ a ¯ˆ a . . o ’’ ´ ˜ a ´ ´ a ’ ¯. ii) C´ tuong ung 1−1 giua h`m moment sinh v` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai ’ ’ a a a o a luong ngˆ ’ .’ ˜u nhiˆn X. a e 3. ˆ ´ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ´ ´ ˆ MOT SO QUI LUAT PHAN PHOI XAC SUAT . . 3.1 a ´ o . ´ Phˆn phˆi nhi thuc (Binomial Distribution) ’ ˜ a˜ e ` . 2 ¯ inh nghia 13 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,2,...,n D. D. ’.’ ’ a . o a a . ´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´nh theo cˆng thuc Bernoulli voi a a ’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ı a ’ o ´ ’ Px = P (X = x) = Cn px q n−x x (2.1) ´ . ´ ´ o ’ ’ ´ a goi l` c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ n v` p. K´ hiˆu X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)). . a o a o ı e . Cˆng thuc o ´ ’ ´ Voi h nguyˆn duong v` h ≤ n − x, ta c´ ’ e ’’ a o P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + . . . + Px+h (2.2) ’ e e a´ ’ o ’ ’ ´ ˜ ’ ’ • V´ du 14 Ty lˆ phˆ phˆm trong lˆ san phˆm l` 3%. Lˆy ngˆu nhiˆn 100 san phˆm ı . . a a a a e a dˆ kiˆ’m tra. T` x´c suˆt dˆ’ trong d´ ¯e’ e ım a ´ a ¯e ¯o i) C´ 3 phˆ a o e ’ ´ phˆm. o o a ´ ’ ii) C´ khˆng qu´ 3 phˆ phˆm. e a ’ Giai Ta thˆy mˆi lˆn kiˆ’m tra mˆt san phˆm l` thuc hiˆn mˆt ph´p thu. Do d´ ta c´ ´ a ˜ ` e o a o ’ . ’ a a .’ e . o . e ’’ ¯o o ’’ n=100 ph´p thu. e
  11. o o ´ a a ´ o a ´ 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt a 37 ´ ´ a e o ’ ’ a ´ ´ a ’ ˜ ’’ Goi A l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm th` trong mˆi ph´p thu. Ta c´ . a a e ı o e o p = p(A) = 0, 03. D˘ ’ ´ ´ ’ ’ ’ ¯ at X l` tˆng sˆ phˆ phˆm trong 100 san phˆm th` X ∈ B(100; 0, 03). . a o o e a a ı i) P (X = 3) = C100 (0, 03)3 .(0, 97)97 = 0, 2274. 3 ii) P (0 ≤ X ≤ 3) = P0 + P1 + P2 + P3 = C100 (0, 03)0 (0, 97)100 + C100 (0, 03)1 (0, 97)99 0 1 +C100 (0, 03)2 (0, 97)98 + C100 (0, 03)3 (0, 97)97 2 3 = 0, 647. Ch´ y Khi n kh´ lon th` x´c suˆt p khˆng qu´ gˆn 0 v` 1. Khi do ta c´ thˆ’ ´p dung u´ a ´ ’ ı a ´ a o a a ` a ¯´ o ea . ´ xˆp xi’ sau ´ cˆng thuc a o ’ i) 1 Px = Cn px q n−x ≈ √ x f (u) (2.3) npq trong d´ ¯o x − np 1 u2 u= √ ; f (u) = √ e− 2 ; npq 2π ¯ ’ .’ . o ´ ¯i (2.3) duoc goi cˆng thuc d.a phuong Laplace. ’ ’’ ii) P (x ≤ X ≤ x + h) ≈ ϕ(u2 ) − ϕ(u1 ) (2.4) trong d´ ¯o u 1 t2 ϕ(u) = √ e− 2 dt (H`m Laplace); a 2π 0 x − np x + h − np u1 = √ ; u2 = √ npq npq ¯ ’ .’ . a o ´ ıch a (2.4) duoc goi l` cˆng thuc t´ phˆn Laplace. ’ ´ . o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ B(n, p) th` ta c´ e ı o i) E(X) = np. ii) V ar(X) = npq. iii) np − q ≤ mod(X) ≤ np + p. ´’ e ¯ . ’ .’ ˜ e o a ´ . ´ ´ a Chung minh. X´t dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi nhi thuc voi c´c tham sˆ n v` a o ’ ’ ´ o a p biˆe’u diˆn ph´p thu biˆn cˆ A xay ra, mˆi ph´p thu c´ c`ng x´c suˆt xay ra biˆn cˆ A ˜ e e ’’ e´ o ´ ’ ˜ o e ’’ o u a ´ ’ a ´ o e ´ l` p. a Ta c´ thˆ’ biˆ’u diˆn X nhu sau: o e e ˜ e ’ n X= Xi i=1
  12. 38 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a ´ e ’’ e ’’ ´’ ´ ´ e o ’ 1 nˆu o ph´p thu thu i biˆn cˆ A xay ra trong d´ Xi = ¯o ´ 0 nˆu nguoc lai e ’ .’ . ˜ a e ¯ˆ a o a . . ´ . ´ e V` Xi , i = 1, 2, . . . , n l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ phˆn phˆi nhi thuc nˆn ı a a ¯ . ’ .’ o ’ E(Xi ) = P (Xi = 1) = p V ar(Xi ) = E(Xi2 ) − p2 = p(1 − p) = pq (Xi2 = Xi ) Do d´ ¯o n E(X) = E(Xi ) = np i=1 n V ar(X) = V ar(Xi ) = npq i=1 2 ı . o a ’ . ´ a ¯ ’.’ ’ a’ o . a a a ¯e’ a ´ • V´ du 15 Mˆt m´y san xuˆt duoc 200 san phˆm trong mˆt ng`y. X´c suˆt dˆ m´y ’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ o ’ san xuˆt ra phˆ phˆm l` 0, 05. T`m sˆ phˆ phˆm trung b` v` sˆ phˆ phˆm c´ kha a e a a ı o e a ınh a o e a a ’ n˘ng tin ch´c cua m´y d´ trong mˆt ng`y. a a ¯o o . a ’ Giai . ´ ´ ’ ’ Goi X l` sˆ phˆ phˆm cua m´y trong mˆt ng`y th` X ∈ B(200; 0, 05). a o e a a o . a ı ´ ´ ’ ınh ’ Sˆ phˆ phˆm trung b` cua m´y trong mˆt ng`y l` o e a a o . a a E(X) = np = 200 × 0, 05 = 10 ´ ´ ’ ´ ˘ Sˆ phˆ phˆm tin chac trong ng`y l` mod(X). Ta c´ o e a a a o np − q = 200 × 0, 05 − 0, 95 = 9, 05 np + p = 200 × 0, 05 + 0, 05 = 10, 05 =⇒ 9, 05 ≤ mod(X) ≤ 10, 05 V` X ∈ B(200; 0, 05) nˆn mod(X) ∈ Z. Do d´ mod(X) = 10. ı e ¯o 3.2 ´ Phˆn phˆi Poisson a o o ´ Cˆng thuc Poisson ’ ’ ’’ ˜ a e o a ´ . ´ ´ o ’ ’ ´ Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ (n, p) v` a = np a ¯ . ’ .’ o a ¯o a ´ a trong d´ n kh´ lon v` p kh´ b´. ’ a e Ta c´ o n! P (X = k) = pk (1 − p)n−k (n − k)!k! n! a a = .( )k .(1 − )n−k (n − k)!k! n n a n(n − 1) . . . (n − k + 1) ak (1 − n )n = . . a nk k! (1 − n )k
  13. o o ´ a a ´ o a ´ 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt a 39 a ´ a Do n kh´ lon v` p kh´ b´ nˆn ’ a e e a n n(n − 1) . . . (n − k + 1) a k (1 − ) ≈ e−a , ≈ 1, (1 − ) ≈1 n nk n ak Do d´ P (X = k) ≈ e−a ¯o k! a ` o ´ ´ a ’ ´ Vˆy tu cˆng thuc Bernoulli ta c´ cˆng thuc xˆp xi’ . ’ ’ o o ak −a Pk = P (X = k) = Cn pk q n−k ≈ k e k! Khi d´ ta c´ thˆ’ thay cˆng thuc Bernoulli boi cˆng thuc Poisson ¯o o e o ´ ’ ’’ o ´ ’ ak −a Pk = P (X = k) = e (2.5) k! ˜ ˜ e ` . 2 ¯ inh nghia 14 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n D. D. ’.’ a ’ a . o . a a . ´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.5) duoc goi l` c´ phˆn phˆi voi a a ’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh a ’ o ´ ’ ¯ ’.’ . a o a o´ ´’ ´ Poisson voi tham sˆ a. K´ hiˆu X ∈ P(a) (hay X ∼ P(a)). o ı e . Ch´ y u´ ´ ak −a P (k ≤ X ≤ k + h) = Pk + Pk+1 + . . . + Pk+h voi Pk = ’ e . k! • V´ du 16 Mˆt m´y dˆt c´ 1000 ˆng soi, X´c suˆt dˆ’ mˆt gio m´y hoat dˆng c´ 1 ı . o . a e o . ´ o .’ a ´ a ¯e o ` a . ’ . ¯o. o ´ng soi bi dut l` 0,002. T`m x´c suˆt dˆ’ trong mˆt gio m´y hoat dˆng c´ khˆng qu´ 2 o ˆ ´ a .’ . ¯ ’ ı a ´ ¯e a o ` a . ’ . ¯o. o o a ´ng soi bi dut. o ˆ ´ .’ . ¯ ’ ’ Giai . . ´ .’ o . ¯ ´’ o ` a Viˆc quan s´t mˆt ˆng soi c´ bi dut hay khˆng trong mˆt gio m´y hoat dong l` mˆt e a o o o . ’ . ¯ˆ. a o. ph´p thu. a ¯e o e . o´ ’’ M´y dˆt c´ 1000 ˆng soi nˆn ta c´ n = 1000 ph´p thu dˆc lˆp. .’ e o e ’’ ¯o a . . . ´ ´´ .’ . ¯ ´ a ’ ´´ a oo .’ . ¯ ´ ’ o . ` a Goi A l` biˆn cˆ ˆng soi bi dut v` X l` sˆ ˆng soi bi dut trong mˆt gio m´y hoat a e oo ’ . dong th` p = P (A) = 0, 002 v` X ∈ B(1000; 0, 002). ¯ˆ . ı a V` n = 1000 kh´ lon v` np = 2 khˆng dˆi nˆn ta c´ thˆ’ xem X ∈ P(a). ı a ´ a ’ o ¯o e’ o e Do d´ x´c suˆt dˆ’ c´ khˆng qu´ 2 ˆng soi bi dut trong mˆt gio l` ¯o a ´ a ¯e o o a o ´ .’ . ¯ ´ ’ o ` a . ’ P (0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 20 −2 P0 = P (X = 0) = 0! e 21 −2 P1 = P (X = 1) = 1! e 22 −2 P2 = P (X = 2) = 2! e Do d´ P (0 ≤ X ≤ 2) = (1 + 2 + 2)e−2 = 5(2, 71)−2 = 0, 6808. ¯o
  14. 40 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a ´ . o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ P(a) th` E(X) = V ar(X) = a v` a − 1 ≤ modX ≤ a. e ı a Chung minh. ¯ ˆ’ nhˆn duoc k` vong v` phuong sai cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn ´’ De a ¯ ’ .’ y . . a ’’ ’ ¯ . ’ .’ ˜ a e o a ´i Poisson ta x´c d.nh h`m moment sinh phˆ o a ¯i a ψ(t) = E(etX ) Ta c´ o ∞ ∞ ak (aet )k t t ψ(t) = etk e−a = e−a = e−a eae = ea(e −1) k=0 k! k=0 k! t ψ (t) = aet ea(e −1) t t ψ (t) = (aet )2 ea(e −1) + aet ea(e −1) Do d´ ¯o E(X) = ψ (0) = a V ar(X) = ψ (0) − [E(X)]2 = a2 + a − a2 = a 2 ’ Ung dung . . ˜ a e o a ´ Mˆt v`i dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi Poisson: o a ¯ . ’ .’ o ´ ˜ o o o . a . . ´ o o ’ o . ´ i) Sˆ lˆi in sai trong mˆt trang (ho˘c mˆt sˆ trang) cua mˆt cuˆn s´ch. o a ´ ’` o ’ o o ¯o . . ` o ´ ´ ii) Sˆ nguoi trong mˆt cˆng dˆng sˆng cho toi 100 tuˆi. ’ o’ ´ . iii) Sˆ cuˆc diˆn thoai goi sai trong mˆt ng`y. o o ¯e . . . o . a ´ o ’ a ¯a ` e ’’ . iv) Sˆ transitor hu trong ng`y dˆu tiˆn su dung. ´ v) Sˆ kh´ch h`ng v`o buu diˆn trong mˆt ng`y. o a a a ’ ¯e . o . a ´ ` a . vi) Sˆ hat α ph´t ra tu c´t hat ph´ng xa trong mˆt chu k`. o . a ’ o . o . y 3.3 a ´ Phˆn phˆi siˆu bˆi o e o . ´ a) Cˆng thuc siˆu bˆi o ’ e o. ` a ’’ ` a ’’ o ınh a ` ´ X´t mˆt tˆp hop gˆm N phˆn tu, trong do c´ M phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o do. e o a . . .’ o ¯´ o a ¯´ Lˆ a´y ngˆu nhiˆn (khˆng ho`n lai) tu tˆp hop ra n phˆn tu. Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ a˜ e o a . ` a ’ . .’ a` ’’ . a o´ a ’’ o ınh ` ´ a ’’ a ` ´ chˆt A c´ trong n phˆn tu lˆy ra. Ta c´ a o o x n−x CM CN −M Px = P (X = x) = n (x = 0, 1, . . . , n) (2.6) CN
  15. o o ´ a a ´ o a ´ 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt a 41 ´ b) Phˆn phˆi siˆu bˆi a o e o . ˜ ˜ e ` . 2 ¯ inh nghia 15 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n D. D. ’.’ a ’ a . o . a a . ´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.6) duoc goi l` c´ phˆn phˆi siˆu voi a a ’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh a ’ o ´’ ¯ ’.’ . a o a ´ o e o ´ . ’ ´ bˆi voi tham sˆ N, M, n. K´ hiˆu X ∈ H(N, M, n) (hay X ∼ H(N, M, n)). o ı e . o o a . o ’ a’ ¯o o ’ ’ a o ´ a´ a˜ • V´ du 17 Mˆt lˆ h`ng c´ 10 san phˆm, trong d´ c´ 6 san phˆm tˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn ı . e o a . ` o a ’ ’ (khˆng ho`n lai) tu lˆ h`ng ra 4 san phˆ a ’m. T`m x´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4 ı a ´ ¯e o a ’ a’ o´ ’ ’m duoc lˆy ra. san phˆ ¯ ’.’ a a ´ ’ Giai ´ a o ’ ’ o o´ ’ ’ ´ ˜ Goi X l` sˆ san phˆm tˆt c´ trong 4 san phˆm lˆy ra th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn . a a a ı a ¯ . ’ .’ a e o a ´i siˆu bˆi voi tham sˆ N = 10, M = 6, n = 4. c´ phˆn phˆ e o ’ o . ´ ´ o X´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4 san phˆm lˆy ra l` a ´ a ¯e o ’ a’ o´ ’ ’ a a ´ a 3 1 C6 .C4 8 P (X = 3) = 4 = = 0, 3809 C10 21 Ch´ y u´ x n−x a e ´ N th` CM CN −M ≈ Cn px q n−x Khi n kh´ b´ so voi ’ ı x (p = M , q = 1 − p) n CN N Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o d´ trong n phˆn tu lˆy ra th` ta c´ thˆ’ xem . ´ ` a o a ’’ o ınh a ´ a ¯o a ’’ a ` ´ ı o e o a e a ’’ o ınh a . ` ´ X ∈ B(n, p) v´i p l` ti’ lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A cua tˆp hop. ’ a . .’ ´ . o ¯˘ c) C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ H(N, M, n) th` ta c´ e ı o ´ M E(X) = np (voi p = ’ ) N N −n ´ V ar(X) = npq (voi q = 1 − p). ’ N −1 ’ ’ ´ ´ ’ o ` . Bang tˆng kˆt c´c phˆn phˆi roi rac o e a a Phˆn phˆi a o´ K´ hiˆu ı e . ´ X´c suˆt P (X = k) a a E(X) V ar(X) . ´ Cn p (1 − p)n−k k k Nhi thuc ’ B(n, p) np npq ak −a Poisson P(a) e a a k! k n−k CM .CN −M M N −n Siˆu bˆi e o . H(N, M, n) n np (p = N ) npq CN N −1
  16. 42 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a 3.4 ´ u Phˆn phˆi m˜ a o D. ˜ D. ’.’ ˜ a e ¯ ’.’ . a o a o u ´ ´ ’ ´ 2 ¯ inh nghia 16 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ o ´ e o o a a ¯o a . . a´ λ > 0 nˆu n´ c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt ´ λe−λx nˆu x > 0 e f (x) = ´ 0 nˆu x ≤ 0 e . e ´ e o a o u ´ ´ ’ ´ o ı a a ´ o a ´ a ’ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ th` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua a X l` a x F (x) = λe−λx dt = 1 − e−λx v´i x > 0 o 0 v` a ´ F (x) = 0 voi x ≤ 0. ’ ´ . o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ e a ¯ . ’ .’ ˜ a e o a o u ´ ´ ’ ´ Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ > 0 th` o ı y . ’ i) K` vong cua X l` a +∞ +∞ −λx +∞ 1 E(X) = λ xe dx = −xe−λx + e−λx dx = 0 λ 0 0 ’’ ’ ii) Phuong sai cua X l` a +∞ 1 V ar(X) = x2 λe−λx dx − λ2 0 +∞ +∞ 2 −λx +∞ 2 ıch a ` ’ ` T´ phˆn tung phˆn ta duoc a ¯ ’ .’ x λe dx = −x2 e−λx +2 λxe−λx dx = . 0 λ2 0 0 1 Do d´ V ar(X) = ¯o . λ2 ı . ’ ’’ o ’ . ı ` ˘ a ’ o . . ¯ e ’’ • V´ du 18 Gia su tuˆi tho (t´nh bang n˘m) cua mˆt mach diˆn tu trong m´y t´ l` . a ınh a o ¯. ’.’ . a˜ e o a o u ´ y . ´ ’ a `’ ’ a ’ mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi k` vong l` 6,25. Thoi gian bao h`nh cua . . ’’ n`y l` 5 n˘m. mach diˆn tu a a ¯e a ’ o ` a ¯ e ’’ a ’ ´ ` ’ Hoi c´ bao nhiˆu phˆn tr˘m mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao e a . . e ’ h`nh? a ’ Giai . ’ . ’ . ı o a ´ Goi X l` tuˆi tho cua mach. Th` X c´ phˆn phˆi m˜ a o o u 1 1 Ta c´ λ = o = E(X) 6, 25 5 P (X ≤ 5) = F (5) = 1 − e−λ.5 = 1 − e− 6,25 = 1 − e−0,8 = 1 − 0, 449 = 0, 5506
  17. o o ´ a a ´ o a ´ 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt a 43 . ’ ´ o . ¯ e ’’ a . ’ ´ e `’ ’ a Vˆy c´ khoang 55% sˆ mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao h`nh. a o ´’ Ung dung trong thuc tˆ ´ . . e ’ ’ `’ u a ` ´ . a e ’ ´ o e o a . ´ o u ’ ˘ Khoang thoi gian gi˜a hai lˆn xuˆt hiˆn cua mˆt biˆn c´ phˆn phˆi m˜. Chang han . ’ `’ u a ´ ’’ o e ´ ’ . . e. ˜ ’ a` ’ o ’ khoang thoi gian gi˜ a hai ca cˆp cuu o mˆt bˆnh viˆn, giua hai lˆn hong h´c cua mˆt o. c´i m´y, giua a a ’ . ¯o ¯a . ´ a ˜ ¯ . ’ .’ ’ a˜ e o a ´ u ˜ hai trˆn lut hay dˆng dˆt l` nhung dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜. a . o 3.5 ´ ` Phˆn phˆi dˆu a o ¯e ˜ D. ’.’ a˜ e e . ¯ ’.’ . a o a ´ ` e 2 ¯ inh nghia 17 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X duoc goi l` c´ phˆn phˆi dˆu trˆn D. o ¯e ´u h`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ dang doan [a,b] nˆ a ¯ . e a ¯o a . . a o .    1 ´ nˆu x ∈ [a, b] e f (x) =  b − a  0 ´ nˆu x ∈ [a, b] e a. e e´ o a ´ o ¯e` e ı a a ´ o ’ ’’ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi dˆu trˆn [a,b] th` h`m phˆn phˆi cua X cho boi ´ F (x) = 0 nˆu x < a e x x dx x−a ´ F (x) = f (x)dx = = nˆu a ≤ x ≤ b e a b−a b−a −∞ ´ F (x) = 1 nˆu x > b. e Ch´ y Gia su (α, β) ⊂ [a, b]. X´c suˆt dˆ’ X roi v`o (α, β) l` u´ ’ ’’ a ´ a ¯e ’ a a β β−α P (α < X < β) = f (x)dx = α b−a ´ o ¯˘ C´c tham sˆ dac trung a ’ b xdx 1 b2 − a 2 a+b i) E(X) = = = (k` vong l` trung diˆ’m cua [a,b]). y . a ¯e ’ a b−a b−a 2 2 b b x2 dx 1 x3 a+b ii) V ar(X) = − [E(X)]2 = − a b−a b−a 3 a 2 2 2 2 2 b + ab + a (a + b) (b − a) = − = 3 4 12 iii) modX l` bˆt cu diˆ’m n`o trˆn [a,b]. a a ´ ¯e ´ ’ a e . . ’ . . y ’ ´ • V´ du 19 Lich chay cua xe bu´t tai mˆt tram xe bu´t nhu sau: chiˆc xe bu´t dˆu ı . y . o e y ¯a ` a e ’’ a ` . ’ a a u ` ´ ’ ’ ˜ tiˆn trong ng`y s˜ khoi h`nh tu tram n`y v`o l´c 7 gio, cu sau mˆi 15 ph´t s˜ c´ mˆt e o u e o o . ´ tram. Gia su mˆt h`nh kh´ch dˆn tram trong khoang thoi gian tu 7 gio dˆn xe kh´c dˆn . a ¯e ’ ’’ o a . a ¯e ´ . ’ `’ ` ’ ’ ´ ` ¯e 7 gio 30. T`m x´c suˆt dˆ’ h`nh kh´ch n`y cho `’ ı a ´ a ¯e a a a `’
  18. 44 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a ´ ’ a) It hon 5 ph´t. u ´ ´ b) It nhˆt 12 ph´t. a u ’ Giai . ´ a o u ` a a ’ ´ . ı a ¯ . ’ .’ ˜ Goi X l` sˆ ph´t sau 7 gio m` h`nh kh´ch dˆn tram th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn a ¯e a e o a o´i dˆu trong khoang (0, 30). c´ phˆn phˆ ¯e` ’ a a e ` ıt ’ ’ u e ¯e´ ´ . ˜’ `’ a ` a) H`nh kh´ch s˜ cho ´ hon 5 ph´t nˆu dˆn tram giua 7 gio 10 v` 7 gio 15 ho˘c ’ a . ˜ ` ` ´t cˆn t` l` a ` giua 7 gio 25 v` 7 gio 30. Do do x´c suˆ a ım a ’ ’ a ’ ¯´ a 5 5 1 P (10 < X < 15) + P (25 < X < 30) = + = 30 30 3 ` ıt a ’ ´ u e ¯e´ ´ . ˜’ ` a ’ ` b) H`nh kh´ch cho ´ nhˆt 12 ph´t nˆu dˆn tram giua 7gio v` 7 gio 3 ph´t ho˘c a a ’ u a . giua ’ `’ u a `’ u a ´ a ım a a ` ˜ 7 gio 15 ph´t v` 7 gio 18 ph´t. X´c suˆt cˆn t` l` 3 3 1 P (0 < X < 3) + P (15 < X < 18) = + = 30 30 5 3.6 ´ ’ Phˆn phˆi chuˆn (Karl Gauss) a o a a ´ o a’ a) Phˆn phˆi chuˆn ˜ 2 ¯ inh nghia 18 D. ’.’ ˜ ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn D. a e e tuc X nhˆn gi´ tri trong . a . a . ’ khoang (−∞, +∞) duoc goi l` ¯ ’.’ . a f(x) o a o´ a’ c´ phˆn phˆi chuˆn nˆu h`m e´ a 1 √ mˆt dˆ x´c suˆ o . a ¯o a . . ´t c´ dang a σ 2π 1 (x−µ)2 f (x) = √ e− 2σ2 σ 2π √1 σ 2πe a ˘` ´ trong d´ µ, σ l` hang sˆ, ¯o o σ > 0, −∞ < x < ∞. o µ−σ µ µ+σ x K´ hiˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) hay (X ∼ N (µ, σ 2 )). ı e . ´ . o ¯˘ b) C´c tham sˆ dac trung a ’ ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` E(X) = µ v` V ar(X) = σ 2 . e ı a ´ Chung minh. ’ X´t h`m moment sinh e a +∞ 1 (x−µ)2 tX φ(t) = E(e ) = √ etx .e− 2σ2 dx σ 2π−∞ x−µ D˘ ¯ at y = . σ th` ı
  19. o o ´ a a ´ o a ´ 3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt a 45 +∞ +∞ 1 y2 eµt y 2 −2tσy φ(t) = √ eµt etx e− 2 dy = √ e− 2 dy 2π −∞ 2π−∞ +∞ +∞ eµt (y−tσ)2 t2 σ 2 σ 2 t2 1 (y−tσ)2 = √ e− 2 + 2 dy = eµt+ 2 × √ e− 2 dy 2π−∞ 2π−∞ 1 (y−tσ)2 ´ ’ V` f (y) = √ e− 2 ı a a a ¯ˆ ’ . . a o a ´ ’ ´ l` h`m mˆt do cua phˆn phˆi chuˆn voi tham sˆ tσ v` 1 o a 2π +∞ 1 (y−tσ)2 nˆn √ e e− 2 dy = 1. 2π−∞ σ 2 +t2 Do d´ φ(t) = eµt+ ¯o 2 . ´ Lˆy c´c dao h`m ta duoc a a ¯. a ¯ ’ .’ 2 t2 2 t2 φ (t) = (µ + tσ 2 )eµt+σ 2 , φ (t) = σ 2 eµt+σ 2 .(µ + tσ 2 ) Khi d´ ¯o E(X) = φ (0) = µ E(X 2 ) = φ (0) = σ 2 + µ2 =⇒ V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = σ 2 2 a ´ o a’ c) Phˆn phˆi chuˆn h´a o D. ˜ D. ’.’ ˜ a e ¯ ’.’ . a o a ´ o ’ a o e o ´ 2 ¯ inh nghia 19 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a nˆu n´ ´ o ’ a ´ c´ phˆn phˆi chuˆn voi µ = 0 v` σ 2 = 1. K´ hiˆu X ∈ N (0, 1) hay X ∼ N (0, 1). o a ’ a ı e . ´ X −µ ⊕ Nhˆn x´t a . e Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` U = e ı ∈ N (0, 1). σ a a’ d) Phˆn vi chuˆn . a’ ´ Phˆn vi chuˆn muc α, k´ hiˆu uα , a . ’ ı e. a a . ’ ¯ . ’ .’ ˜ l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn U a e ´ ’ ’ a ¯ e` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a thoa m˜n diˆu o a o a o kiˆn e . P (U < uα ) = α. Voi α cho truoc c´ thˆ’ t´ duoc c´c gi´ tri cua uα . C´c gi´ tri cua uα duoc t´ ´ ’ ’ ´ o e ınh ¯ ’ .’ a ’ a . ’ a a . ’ ¯ ’ .’ ınh ˜ ˘ ’ san th`nh bang. a
  20. 46 D. ’ ’ ˜ a e a a ´ o a ´ Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ a o ´ e) Cˆng thuc ’ ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` ta c´ e ı o x2 − µ x1 − µ i) P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ ε ii) P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( ) x σ 1 t2 trong d´ ϕ(x) = √ ¯o e− 2 dt (h`m Laplace). a 2π 0 . ’.’ ’ o . ’ . ’ a a ¯. ’.’ ˜ • V´ du 20 Trong luong cua mˆt loai san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi ı . a e o a ´ o chuˆa’n voi trong luong trung b`nh µ = 5kg v` do lˆch tiˆu chuˆn σ = 0, 1. T´ ti’ lˆ ´ . ’ ’.’ ı a ¯. e . e a’ ınh e . ˜’ ’ nhung san phˆ a’m c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg. o . ’.’ ` ’ ´ ¯e ’ Giai . a . ’ .’ ’ ’ a’ Goi X l` trong luong cua san phˆm th` X ∈ N (5; 0, 1). ı . ’ o . ’ .’ ` ’ ´ Ti’ lˆ san phˆm c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg l` e ’ a ¯e a P (4, 9 ≤ X ≤ 5, 2) = ϕ( 5,2−5 ) − ϕ( 4,9−5 ) 0,1 0,1 = ϕ(2) − ϕ(−1) = 0, 4772 − (−0, 3413) = 0, 8185 f ) Qui t˘c ”k−σ” a o ´ ’ ε ´ ´ Trong cˆng thuc P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( σ ) nˆu lˆy ε = kσ th` P (|X − µ| < ε) = e a ı 2ϕ(k). ´ ’` ´ ˘ ´ o Trong thuc tˆ ta thuong d`ng qui tac 1, 96σ, 2, 58σ v` 3σ voi nˆi dung l`: .’ e ’ u a ’ . a ”Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri sai lˆch so voi k` vong khˆng qu´ ´ e ı a ´ a ¯e a . a . e . ´ y . ’ o a 1, 96σ; 2, 58σ v` 3σ l` 95 %, 99% v` 99% ”. a a a ´’ g) Ung dung . ˜ a e o a ´ o a’ C´c dai luong ngˆu nhiˆn sau c´ phˆn phˆi chuˆn: a ¯ . ’ .’ ’´ ´ a a ’ ´ - K´ thuoc chi tiˆt m´y do m´y san suˆt ra. ıch ’ e a . ’ .’ ’ e` ’ a’ - Trong luong cua nhˆu san phˆm c`ng loai. u . a ´ a ’ . . a o ` e ˜ ’ ’’ - N˘ng suˆt cua mˆt loai cˆy trˆng trˆn nhung thua ruˆng kh´c nhau. o o . a 3.7 a ´ Phˆn phˆi χ2 o D. ˜ ’ ’’ a a ¯. ’.’ ˜ 2 ¯ inh nghia 20 Gia su Xi (i=1,2,...,n) l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c`ng a e ¯o a u . . o a ´ o ’ c´ phˆn phˆi chuˆn h´a. a o

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản