80 BÀI T P HÌNH H C L P 9Ậ Ọ Ớ
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đng tròn (O). Các đng cao AD, BE, CF c t ọ ộ ế ườ ườ ắ
nhau t i ạ
H và c t đng tròn (O) l n l t t i M,N,P.ắ ườ ầ ượ ạ
Ch ng minh r ng:ứ ằ
1. T giác CEHD, n i ti p .ứ ộ ế
2. B n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đng tròn.ố ể ằ ộ ườ
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đi x ng nhau qua BC.ố ứ
5. Xác đnh tâm đng tròn n i ti p tam giác DEF.ị ườ ộ ế
L i gi i:ờ ả
1. Xét t giác CEHD ta có:ứ
CEH = 900 ( Vì BE là đng cao)ườ
CDH = 900 ( Vì AD là đng cao)ườ
=> CEH + CDH = 1800
H
(
(
2
-
-
2
1
1
1
P
N
F
E
M
D
C
B
A
O
Mà CEH và CDH là hai góc đi c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế
2. Theo gi thi t: BE là đng cao => BE ả ế ườ AC => BEC = 900.
CF là đng cao => CF ườ AB => BFC = 900.
Nh v y E và F cùng nhìn BC d i m t góc 90ư ậ ướ ộ 0 => E và F cùng n m trên đng tròn đng ằ ườ ườ
kính BC.
V y b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đng tròn.ậ ố ể ằ ộ ườ
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â là góc chung
=> AEH ADC =>
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là góc chung
=> BEC ADC =>
AC
BC
AD
BE
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có C1 = A1 ( vì cùng ph v i góc ABC)ụ ớ
C2 = A1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BM)ộ ế ắ
=> C1 = C2 => CB là tia phân giác c a góc HCM; l i có CB ủ ạ HM => CHM cân t i C ạ
=> CB cũng là đng trung tr c c a HM v y H và M đi x ng nhau qua BC.ươ ự ủ ậ ố ứ
5. Theo ch ng minh trên b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đng trònứ ố ể ằ ộ ườ
=> C1 = E1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BF)ộ ế ắ
Cũng theo ch ng minh trên CEHD là t giác n i ti p ứ ứ ộ ế
C1 = E2 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung HD)ộ ế ắ
E1 = E2 => EB là tia phân giác c a góc FED.ủ
Ch ng minh t ng t ta cũng có FC là tia phân giác c a góc DFE mà BE và CF c t nhau t i H do đó ứ ươ ự ủ ắ ạ
H là tâm đng tròn n i ti p tam giác DEF.ườ ộ ế
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đng cao AD, BE, c t nhau t i H. G i O là tâm ườ ắ ạ ọ
đng tròn ườ
ngo i ti p tam giác AHE.ạ ế
1. Ch ng minh t giác CEHD n i ti p .ứ ứ ộ ế
2. B n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đng ố ể ằ ộ ườ
tròn.
3. Ch ng minh ED = ứ
2
1
BC.
4. Ch ng minh DE là ti p tuy n ứ ế ế
c a đng tròn (O).ủ ườ
1
5. Tính đ dài DE bi t DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.ộ ế
L i gi i:ờ ả
1. Xét t giác CEHD ta có:ứ
CEH = 900 ( Vì BE là đng cao)ườ
H
1
3
2
1
1
O
E
D
C
B
A
CDH = 900 ( Vì AD là đng cao)ườ
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH và CDH là hai góc đi c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế
2. Theo gi thi t: ả ế BE là đng cao => BE ườ AC => BEA = 900.
AD là đng cao => AD ườ BC => BDA = 900.
Nh v y E và D cùng nhìn AB d i m t góc 90ư ậ ướ ộ 0 => E và D cùng n m trên đng tròn đngằ ườ ườ
kính AB.
V y b n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đng tròn.ậ ố ể ằ ộ ườ
3. Theo gi thi t tam giác ABC cân t i A có AD là đng cao nên cũng là đng trung tuy n ả ế ạ ườ ườ ế
=> D là trung đi m c a BC. Theo trên ta có ể ủ BEC = 900 .
V y tam giác BEC vuông t i E có ED là trung tuy n => DE = ậ ạ ế
2
1
BC.
4. Vì O là tâm đng tròn ngo i ti p tam giác AHE nên O là trung đi m c a AH => OA = OEườ ạ ế ể ủ
=> tam giác AOE cân t i O => ạE1 = A1 (1).
Theo trên DE =
2
1
BC => tam giác DBE cân t i D => ạE3 = B1 (2)
Mà B1 = A1 ( vì cùng ph v i góc ACB) => ụ ớ E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3
Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE t i E.ạ
V y DE là ti p tuy n c a đng tròn (O) t i E.ậ ế ế ủ ườ ạ
5. Theo gi thi t AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp d ng đnhả ế ụ ị
lí Pitago cho tam giác OED vuông t i E ta có EDạ2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm
Bài 3 Cho n a đng tròn đng kính AB = 2R. ử ườ ườ T A và B k hai ti p tuy n Ax, By. Quaừ ẻ ế ế
đi m M thu c n a đng tròn k ti p tuy n th ba c t các ti p tuy n Ax , By l n l t Cể ộ ử ườ ẻ ế ế ứ ắ ế ế ầ ượ ở
và D. Các đng th ng AD và BC c t nhau t i N.ườ ẳ ắ ạ
1. Ch ng minh AC + BD = CD.ứ
2. Ch ng minh ứCOD = 900.
3.Ch ng minh AC. BD = ứ
4
2
AB
.
4.Ch ng minh OC // BMứ
5.Ch ng minh AB là ti p tuy n c a đng tròn đng kínhứ ế ế ủ ườ ườ
CD.
5.Ch ng minh MN ứ AB.
6.Xác đnh v trí c a M đ chu vi t giác ACDB đt giá trị ị ủ ể ứ ạ ị
nh nh t.ỏ ấ
L i gi i:ờ ả
/
/
y
x
N
C
D
I
M
B
O
A
2
1. Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM +ấ ế ế ắ
DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
2. Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: OC là tia phân giác c a góc AOM; OD là tiaấ ế ế ắ ủ
phân giác c a góc BOM, mà ủAOM và BOM là hai góc k bù => ềCOD = 900.
3. Theo trên COD = 900 nên tam giác COD vuông t i O có OM ạ CD ( OM là ti p tuy n ).ế ế
Áp d ng h th c gi a c nh và đng cao trong tam giác vuông ta có OMụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 = CM. DM,
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD =
4
2
AB
.
4. Theo trên COD = 900 nên OC OD .(1)
Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: DB = DM; l i có OM = OB =R => OD là trungấ ế ế ắ ạ
tr c c a BM => BM ự ủ OD .(2). T (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc v i OD).ừ ớ
5. G i I là trung đi m c a CD ta có I là tâm đng tròn ngo i ti p tam giác COD đngọ ể ủ ườ ạ ế ườ
kính CD có IO là bán kính.
Theo tính ch t ti p tuy n ta có AC ấ ế ế AB; BD AB => AC // BD => t giác ACDB là hình ứ
thang. L i có I là trung đi m c a CD; O là trung đi m c a AB => IO là đng trung bình c a ạ ể ủ ể ủ ườ ủ
hình thang ACDB
IO // AC , mà AC AB => IO AB t i O => AB là ti p tuy n t i O c a đng tròn ạ ế ế ạ ủ ườ
đng kính CD ườ
6. Theo trên AC // BD =>
BD
AC
BN
CN
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM
BN
CN
=> MN // BD mà BD AB => MN AB.
7. ( HD): Ta có chu vi t giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi t ứ ứ
giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đi nên chu vi t giác ACDB nh nh t khi CD nh nh t , mà ổ ứ ỏ ấ ỏ ấ
CD nh nh t khi CD là kho ng cách gi Ax và By t c là CD vuông góc v i Ax và By. Khi đó CD // ỏ ấ ả ữ ứ ớ
AB => M ph i là trung đi m c a cung AB.ả ể ủ
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đng tròn n i ti p, K là tâm đng tròn bàng ườ ộ ế ườ
ti p góc ế
A , O là trung đi m c a IK.ể ủ
1. Ch ng minh B, C, I, K cùng n m trên m t đng tròn.ứ ằ ộ ườ
2. Ch ng minh AC là ti p tuy n c a đng tròn (O).ứ ế ế ủ ườ
3. Tính bán kính đng tròn (O) Bi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 ườ ế
Cm.
L i gi i:ờ ả (HD)
1. Vì I là tâm đng tròn n i ti p, K là tâm đng tròn bàng ti p ườ ộ ế ườ ế
góc A nên BI và BK là hai tia phân giác c a hai góc k bù đnh B ủ ề ỉ
Do đó BI BK hayIBK = 900 .
T ng t ta cũng có ươ ự ICK = 900 nh v y B và C cùng n m trên ư ậ ằ
đng tròn đng kính IK do đó B, C, I, K cùng n m trên m t đng ườ ườ ằ ộ ườ
tròn.
2. Ta có C1 = C2 (1) ( vì CI là phân giác c a góc ACH.ủ
C2 + I1 = 900
(2) ( vì IHC = 900 ).
o
1
2
1
H
I
C
A
B
K
I1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân t i O) ạ
T (1), (2) , (3) => ừC1 + ICO = 900 hay AC OC. V y AC là ti p tuy n c a đng tròn (O).ậ ế ế ủ ườ
3. T gi thi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.ừ ả ế
AH2 = AC2 – HC2 => AH =
22 1220
= 16 ( cm)
3
CH2 = AH.OH => OH =
16
1222
AH
CH
= 9 (cm)
OC =
225129 2222 HCOH
= 15 (cm)
Bài 5 Cho đng tròn (O; R), t m t đi m A trên (O) k ti p tuy n d v i (O). Trên đng th ng d ườ ừ ộ ể ẻ ế ế ớ ườ ẳ
l y đi m M b t kì ( M khác A) k cát tuy n MNP và g i K là trung đi m c a NP, k ti p tuy n MBấ ể ấ ẻ ế ọ ể ủ ẻ ế ế
(B là ti p đi m). K AC ế ể ẻ MB, BD MA, g i H là giao đi m c a AC và BD, I là giao đi m c a ọ ể ủ ể ủ
OM và AB.
1. Ch ng minh t giác AMBO n i ti p.ứ ứ ộ ế
2. Ch ng minh năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t ứ ể ằ ộ
đng tròn .ườ
3. Ch ng minh OI.OM = Rứ2; OI. IM = IA2.
4. Ch ng minh OAHB là hình thoi.ứ
5. Ch ng minh ba đi m O, H, M th ng hàng.ứ ể ẳ
6. Tìm qu tích c a đi m H khi M di chuy n trên đng th ng ỹ ủ ể ể ườ ẳ
d
L i gi i:ờ ả
1. (HS t làm).ự
2. Vì K là trung đi m NP ể
nên OK NP ( quan h ệ
đng kính ườ
d
H
I
K
N
P
M
D
C
B
A
O
Và dây cung) => OKM = 900. Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế OAM = 900; OBM = 900. nh v yư ậ
K, A, B cùng nhìn OM d i m t góc 90ướ ộ 0 nên cùng n m trên đng tròn đng kính OM. ằ ườ ườ
V y năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t đng tròn. ậ ể ằ ộ ườ
3. Ta có MA = MB ( t/c hai ti p tuy n c t nhau); OA = OB = R ế ế ắ
=> OM là trung tr c c a AB => OM ự ủ AB t i I .ạ
Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế OAM = 900 nên tam giác OAM vuông t i A có AI là đngạ ườ
cao.
Áp d ng h th c gi a c nh và đng cao => OI.OM = OAụ ệ ứ ữ ạ ườ 2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
4. Ta có OB MB (tính ch t ti p tuy n) ; AC ấ ế ế MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA MA (tính ch t ti p tuy n) ; BD ấ ế ế MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> T giác OAHB là hình bình hành; l i có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.ứ ạ
5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH AB; cũng theo trên OM AB => O, H, M th ngẳ
hàng( Vì qua O ch có m t đng th ng vuông góc v i AB).ỉ ộ ườ ẳ ớ
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. V y khi M di đng trên d thì H cũng diậ ộ
đng nh ng luôn cách A c đnh m t kho ng b ng R. Do đó qu tích c a đi m H khi M diộ ư ố ị ộ ả ằ ỹ ủ ể
chuy n trên đng th ng d là n a đng tròn tâm A bán kính AH = Rể ườ ẳ ử ườ
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đng cao AH. V đng tròn tâm A bán kính AH. G iở ườ ẽ ườ ọ
HD là đng kính c a đng tròn (A; AH). Ti p tuy n c a đng tròn t i D c t CA E.ườ ủ ườ ế ế ủ ườ ạ ắ ở
1. Ch ng minh tam giác BEC cân.ứ
2. G i I là hình chi u c a A trên BE, Ch ng minh r ng AI = AH.ọ ế ủ ứ ằ
3. Ch ng minh r ng BE là ti p tuy n c a đng tròn (A; AH).ứ ằ ế ế ủ ườ
4. Ch ng minh BE = BH + DE.ứ
L i gi i: ờ ả (HD)
1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
Vì AB CE (gt), do đó AB
v a là đng cao v a là ừ ườ ừ
đng trung tuy n c a ườ ế ủ
BEC => BEC là tam giác
cân. => B1 = B2
4
2
1
I
E
H
D
C
A
B
2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có c nh huy n AB chung, ạ ề B1 = B2 => AHB = AIB
=> AI = AH.
3. AI = AH và BE AI t i I => BE là ti p tuy n c a (A; AH) t i I.ạ ế ế ủ ạ
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đng tròn (O; R) đng kính AB. K ti p tuy n Ax và l y trên ti p tuy n đó m tườ ườ ẻ ế ế ấ ế ế ộ
đi m P sao ể
cho AP > R, t P k ti p tuy n ti p xúc v i (O) t i M.ừ ẻ ế ế ế ớ ạ
1. Ch ng minh r ng t giác APMO n i ti p đc m t đngứ ằ ứ ộ ế ượ ộ ườ
tròn.
2. Ch ng minh BM // OP.ứ
3. Đng th ng vuông góc v i AB O c t tia BM t i N.ườ ẳ ớ ở ắ ạ
Ch ng minh t giác OBNP là hình bình hành.ứ ứ
4. Bi t AN c t OP t i K, PM c t ON t i I; PN và OM kéo dàiế ắ ạ ắ ạ
c t nhau t i J. Ch ng minh I, J, K th ng hàng.ắ ạ ứ ẳ
L i gi i: ờ ả
1. (HS t làm).ự
2.Ta có ABM n i ti p ch n cung AM; ộ ế ắ AOM là góc tâmở
ch n cung AM => ắ ABM =
2
AOM
(1) OP là tia phân giác
AOM ( t/c hai ti p tuy n c t nhau ) => ế ế ắ AOP =
2
AOM
(2)
T (1) và (2) => ừ
ABM = AOP (3)
X
(
(
2
1
1
1
K
I
J
M
N
P
A
B
O
Mà ABM và AOP là hai góc đng v nên suy ra BM // OP. (4)ồ ị
3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=900 (vì PA là ti p tuy n ); ế ế NOB = 900 (gt NOAB).
=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP =
BN (5)
T (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai c nh đi song song và b ng nhau).ừ ạ ố ằ
4. T giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ứ AB => ON PJ
Ta cũng có PM OJ ( PM là ti p tuy n ), mà ON và PM c t nhau t i I nên I là tr c tâm tam giácế ế ắ ạ ự
POJ. (6)
D th y t giác AONP là hình ch nh t vì có ễ ấ ứ ữ ậ PAO = AON = ONP = 900 => K là trung
đi m c a PO ( t/c đng chéo hình ch nh t). (6)ể ủ ườ ữ ậ
AONP là hình ch nh t => ữ ậ APO = NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau Ta có PO là tia phân giác ế ế ắ APM => APO = MPO (8).
T (7) và (8) => ừIPO cân t i I có IK là trung tuy n đông th i là đng cao => IK ạ ế ờ ườ PO. (9)
T (6) và (9) => I, J, K th ng hàng.ừ ẳ
Bài 8 Cho n a đng tròn tâm O đng kính AB và đi m M b t kì trên n a đng tròn ( M khácử ườ ườ ể ấ ử ườ
A,B). Trên n a m t ph ng b AB ch a n a đng tròn k ti p tuy n Ax. Tia BM c t Ax t i I; tiaử ặ ẳ ờ ứ ử ườ ẻ ế ế ắ ạ
5