Bài giảng Chương 1: Hàm số

Chia sẻ: Tran Manh Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

131
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ của toán học và không có định nghĩa tập hợp mà chỉ thông qua các ví dụ ta hiểu được thế nào là tập hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 1: Hàm số

Hµm sè ng 1. Ch¬ 1.1. TËp hîp. TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thuû cña to¸n häc vµ kh«ng cã ®Þnh nghÜa tËp hîp mµ chØ th«ng qua c¸c vÝ dô ta hiÓu ®îc thÕ nµo lµ tËp hîp. 1.1.1. C¸c vÝ dô vÒ tËp hîp. VÝ dô 1.1: TËp hîp c¸c sè thùc x sao cho 1 ≤ x ≤ 10. VÝ dô 1.2: TËp hîp c¸c sè {1, 3, 5, 7, 9}. VÝ dô 1.3: TËp hîp c¸c Sinh viªn hÖ dµi h¹n cña Häc viÖn Tµi chÝnh. VÝ dô 1.4: TËp hîp c¸c lÔ khai gi¶ng n¨m häc ®îc diÔn ra t¹i Hµ Néi trong n¨m 2006. NhËn xÐt 1.1. Th«ng qua c¸c vÝ dô trªn ta thÊy: Mét nhãm c¸c sù vËt, sù viÖc cã cïng chung mét tÝnh chÊt nµo ®ã lµ mét tËp hîp. Ngêi ta ký hiÖu tËp hîp bëi c¸c ch÷ in hoa: A, B, C,...vµ c¸c phÇn tö cÊu thµnh lªn mét tËp hîp bëi c¸c ch÷ in thêng: a, b, c,... Cho tËp hîp A, a lµ mét phÇn tö cña A th× ký hiÖu lµ a ∈A; a kh«ng ph¶i lµ mét phÇn tö cña A th× ký hiÖu lµ a ∉ A. TËp rçng (tËp trèng, ký hiÖu lµ: ∅) lµ mét tËp hîp kh«ng cã mét phÇn tö nµo c¶. Ch¼ng h¹n tËp c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 − x + 1 = 0 lµ mét tËp rçng. 1
1.1.2. C¸ch cho tËp hî Cã hai c¸ch cho mét tËp p. hîp. C¸ch 1: LiÖt kª danh s¸ch c¸c phÇn tö cña tËp hîp (VÝ dô 1.2). C¸ch 2: Nªu tÝnh chÊt chung cña c¸c phÇn tö cã trong tËp hîp (VÝ dô 1.2 cã thÓ cho nh sau: TËp hîp c¸c sè nguyªn, d¬ng, lÎ tõ 1 ®Õn 9). 1.1.3. Mèi liªn hÖ gi÷a c¸c tËp hî p. TËp hîp A ®îc gäi lµ tËp hîp con cña tËp hîp B nÕu mäi phÇn tö cña A ®Òu lµ phÇn tö cña B (ký hiÖu lµ: A ⊂ B).(M« t¶ h×nh häc). NÕu A lµ tËp hîp con cña B vµ B lµ tËp hîp con cña A th× A = B. 1.1.4. C¸c phÐp tÝnh vÒ tËp hîp. Cho hai tËp hîp A vµ B. ∗ PhÐp giao cña hai tËp hîp: TËp hîp A giao víi tËp hîp B lµ mét tËp hîp (ký hiÖu lµ: A ∩ B) gåm c¸c phÇn tö chung cña A vµ B. (M« t¶ h×nh häc). ∗ PhÐp hîp cña hai tËp hîp: TËp hîp A hîp víi tËp hîp B lµ mét tËp hîp (ký hiÖu lµ: A ∪ B) gåm c¸c phÇn tö cña c¶ A vµ B. (M« t¶ h×nh häc). ∗ PhÐp trõ cña hai tËp hîp: TËp hîp A trõ tËp hîp B lµ mét tËp hîp (ký hiÖu lµ: A \ B) gåm c¸c phÇn tö cña A mµ kh«ng ph¶i cña B. (M« t¶ h×nh häc). 2
∗ PhÐp lÊy phÇn bï: Trong kh«ng gian X cho tËp hîp A. PhÇn bï cña A ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: A = X\ A). (M« t¶ h×nh häc). NhËn xÐt 1.2. Ta lu«n cã: A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B\A) vµ A = A. VÝ dô 1.5: Trong tËp hîp c¸c sè thùc R =(− , +∞ ) cho A ∞ = [0; 4); B = [3;6]. Khi ®ã: A ∪ B = [0; 6]; A ∩ B = [3;4); A\B = [0; 3); B\A = [4; 6]; A = (− ; 0)∪[4; +∞ ); B = (− ; 3)∪ (6; +∞ ). ∞ ∞ 1.1.5. L©n cËn vµ kho¶ng sè. ∗ Cho c¸c sè a, δ h÷u h¹n (δ > 0). L©n cËn δ cña ®iÓm a ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: Vδ (a) = {x ∈ R:| x− a| 0. L©n cËn ∆ cña ®iÓm − ®îc ký hiÖu vµ ∞ x¸c ®Þnh nh sau: V∆ (− ) = {x ∈ R: x
∗ Cho sè ∆ > 0. L©n cËn ∆ cña ®iÓm +∞ ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: V∆ (+∞ ) = {x ∈ R: x > ∆ } = (∆ ; +∞ ). (M« t¶ h×nh häc). ∗ Cho sè ∆ > 0. L©n cËn ∆ cña ®iÓm ∞ ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: V∆ (∞ ) = {x∈ R: | x| > ∆ } = (− ; − )∪ (∆ ; +∞ ). (M« t¶ ∞ ∆ h×nh häc). NhËn xÐt1.4. (i) Giao cña hai l©n cËn cña ®iÓm −∞(+∞ , hoÆc ∞ ) còng lµ mét l©n cËn cña ®iÓm −∞(+∞ , hoÆc ∞ ) vµ lµ tËp ≠ ∅. Cô thÓ, nÕu M, N > 0 th×: VM( ± ∞ ) ∩ VN( ± ∞ ) = VP( ± ∞ ) víi P = max(M, N). VM(∞ ) ∩ VN(∞ ) = VP(∞ ) víi P = max(M, N). (ii) øng víi mçi l©n cËn cña mét ®iÓm th× cã mét kho¶ng sè vµ ngîc l¹i. Ch¼ng h¹n: V∆ (+∞ ) =(∆ ; +∞ ) víi ∆ > 0; (5; +∞ ) = V5(+∞ ); V2(7) =(5; 9); (−3; +∞ ) = (−3; 3) ∪{3}∪(3; +∞ ). 1.2. Hµm sè. 1.2.1. §Þnh nghÜa hµm sè. §Þnh nghÜa1.1: Cho hai tËp hîp X, Y. NÕu øng víi mçi x ∈ X, theo mét quy luËt nµo ®ã cho ta mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh (vµ duy nhÊt) y∈Y th× y ®îc gäi lµ hµm sè cña ®èi sè x. 4
Th«ng thêng ngêi ta ký hiÖu hµm sè bëi: y = f(x); y = g(x); y = h(x)... Cho hµm sè y = f(x). ∗ TËp hîp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ x sao cho f(x) cã nghÜa ®îc gäi lµ miÒn x¸c ®Þnh (MX§) cña hµm f(x). ∗ NÕu x0 lµ mét ®iÓm thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f(x). Th× f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ riªng cña hµm f(x) t¹i ®iÓm x0. ∗ TËp hîp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ f(x0), trong ®ã x0 lµ ®iÓm thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f(x), ®îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ(MGT) cña hµm f(x). ∗ TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm(x0;f(x0)), trong ®ã x0 lµ ®iÓm thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm f(x), ®îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm f(x). VÝ dô 1.6. Cho hµm sè y = x2. Khi ®ã: + MX§ cña hµm sè lµ: (−∞;+∞ ); + MGT cña hµm sè lµ: [0;+∞ ); + §å thÞ cña hµm sè lµ mét parabon quay bÒ lâm lªn trªn vµ cã ®Ønh t¹i ®iÓm (0;0). (vÏ ®å thÞ hµm sè). 1.2.2. C¸ch cho hµm sè. + Cho b»ng biÓu thøc gi¶i tÝch. Ch¼ng h¹n: y = x2, y = sgn x,... 5
+ Cho b»ng b¶ng. Ch¼ng h¹n: b¶ng kÕt qu¶ thi m«n To¸n cao cÊp cña mét líp nµo ®ã; b¶ng l¬ng th¸ng 9 n¨m 2006 cña mét ®¬n vÞ nµo ®ã. + Cho b»ng ®å thÞ (gi¸ vµng thÕ giíi dao ®éng trong th¸ng 2/2006). + Cho b»ng biÓu ®å h×nh cét (ch¼ng h¹n: sù trî gióp cña kh¸n gi¶ trong trêng quay cña ch¬ng tr×nh “Ai lµ triÖu phó?”). 1.2.3. C¸c lo¹i hµm sè. a) Hµm ch½n, hµm lÎ. §Þnh nghÜa1.2. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X. ∗ Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm ch½n trªn miÒn X nÕu mäi x ∈X th×: − ∈ X vµ f(− ) = f(x). x x ∗ Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm lÎ trªn miÒn X nÕu víi mäi x∈X th×: − ∈ X vµ f(− ) = − (x). x x f NhËn xÐt 1.5. (i) Nãi ®Õn tÝnh ch½n, lÎ cña mét hµm sè ph¶i nãi râ trªn miÒn nµo. Mét hµm f(x) lµ hµm ch½n (hoÆc lÎ) trªn X th× X ph¶i lµ miÒn ®èi xøng qua ®iÓm 0. Hay X cã mét trong c¸c d¹ng sau: (−∞;+∞ ); (−a;a); [−a;a] víi a > 0. 6
(ii) NÕu f(x) lµ hµm võa ch½n, võa lÎ trªn miÒn X th× f(x) = 0 trªn X. VÝ dô 1.7: (i) Hµm f(x) = x2 lµ hµm ch½n trªn (− ; a) (∀a > a 0). Nhng kh«ng ch½n, kh«ng lÎ trªn (a; b) (∀a ≠−b). (ii) f(x) = x3 lµ hµm lÎ trªn (− ; a) (∀a > 0). Nh a ng kh«ng ch½n, kh«ng lÎ trªn (a; b) (∀a ≠−b). x−1 ( 0 < a ≠ 1) lµ hµm lÎ trªn (−1; VÝ dô 1.8: f(x) = l a og x+ 1 1). b) Hµm ®¬n ®iÖu. §Þnh nghÜa 1.3. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X. ∗ Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm t¨ng trªn miÒn X nÕu víi mäi x1 , x2 ∈X; x1
VÝ dô 1.9: f(x) = x2 lµ hµm gi¶m trªn (−∞; 0), t¨ng trªn (0; +∞ ). −1 khi x < 0;  VÝ dô 1.10: f(x) = sgn x =  0 khi x = 0; lµ hµm kh«ng  1 khi x > 0.  gi¶m trªn (−∞; +∞ ). (B¹n ®äc tù chøng minh). c) Hµm tuÇn hoµn. §Þnh nghÜa 1.4. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X. Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm tuÇn hoµn trªn miÒn X nÕu tån t¹i h»ng sè k ≠ 0 sao cho: f(x + k) = f(x) (∀ x mµ x, x + k ∈X). H»ng sè k d¬ng nhá nhÊt tho¶ m∙n ®iÒu kiÖn trªn ® îc gäi lµ chu kú cña hµm tuÇn hoµn. VÝ dô 1.11: (i) C¸c hµm y = sin x, y = cos x lµ c¸c hµm tuÇn hoµn trªn (−∞;+∞ ) víi chu kú 2π . (ii) C¸c hµm y = tg x, y = cotg x lµ c¸c hµm tuÇn hoµn trªn miÒn x¸c ®Þnh cña mçi hµm víi chu kú π . (iii) Hµm y = sin (3x +π /4) lµ hµm tuÇn hoµn trªn (−∞;+∞ ) víi chu kú 2π /3. (iiii) Hµm y = c ∈R lµ hµm tuÇn hoµn trªn (−∞;+∞ ) nhng kh«ng cã chu kú. d) Hµm bÞ chÆn. 8
§Þnh nghÜa 1.5. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X. ∗ Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm bÞ chÆn trªn trªn miÒn X nÕu tån t¹i h»ng sè M sao cho: f(x) ≤ M (∀ x∈X). ∗ Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm bÞ chÆn díi trªn miÒn X nÕu tån t¹i h»ng sè m sao cho: f(x) ≥ m (∀ x∈X). ∗ Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm bÞ chÆn trªn miÒn X nÕu f(x) võa bÞ chÆn trªn, võa bÞ chÆn díi trªn miÒn X. NhËn xÐt 1.6. (Ph¬ng ph¸p chøng minh mét hµm bÞ chÆn trªn mét miÒn). §Ó chøng minh mét hµm bÞ chÆn trªn mét miÒn nµo ®ã, ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè trªn miÒn ®ã råi dïng ®Þnh nghÜa 1.5 ®Ó kÕt luËn. VÝ dô 1.12.: (i) C¸c hµm y = sin x, y = cos x lµ c¸c hµm bÞ chÆn trªn (−∞;+∞ ) v×: MGT cña mçi hµm lµ: [−1;1]. Suy ra: si x ≤ 1,cosx ≤ 1( ∀x ∈ ( −∞ ;+∞ ) ) . n 9
(ii) Hµm y = x2 lµ hµm bÞ chÆn díi trªn (−∞;+∞ ) v×: MGT cña hµm lµ: [0;+∞ ) ⇒ x2 ≥ 0 (∀ x∈(−∞;+∞ )) vµ lµ hµm bÞ chÆn trªn [a;b] (a, b h÷u h¹n) v×: M = max {a2, b2} ≥ x2 ≥ 0 (∀ x∈[a;b]). 1.2.4. C¸c phÐp tÝnh vÒ hµm sè. §Þnh nghÜa 1.6. Cho c¸c hµm sè f(x) vµ h(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X . Th× c¸c hµm tæng, hiÖu, tÝch, th ¬ng cña f(x) vµ h(x) ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: (f ± h) f( x) f ( x) = (x) = f(x) ± h(x); (f × h)(x) = f(x)h(x); h ( x) h (∀x ∈ X) víi phÐp chia th× thªm gi¶ thiÕt h(x) ≠ 0. §Þnh nghÜa 1.7. Cho hµm sè u = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X, cã miÒn gi¸ trÞ U vµ hµm y h(u) x¸c ®Þnh trªn miÒn U, cã miÒn gi¸ trÞ Y. Th× hµm h° f x¸c ®Þnh trªn X cã miÒn gi¸ trÞ Y cho bëi: [h° f](x) = h[f(x)] (∀x ∈ X), ®îc gäi lµ hµm hîp (hay hµm kÐp) cña c¸c hµm f(.) vµ h(.). §Þnh nghÜa 1.8. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn miÒn X, cã miÒn gi¸ trÞ Y vµ hµm x = h(y) x¸c ®Þnh trªn miÒn Y, cã miÒn gi¸ trÞ X . Hµm sè x = h(y) ®îc gäi lµ hµm ngîc cña hµm sè y = f(x) nÕu: h[f(x)] = x (∀x ∈ X). 10
VÝ dô 1.13. (i) Hµm sè y = 2x x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞ ), cã miÒn gi¸ trÞ (0;+∞ ) vµ hµm x = log2 y x¸c ®Þnh trªn (0;+∞ ), cã miÒn gi¸ trÞ (−∞;+∞ ) lµ c¸c hµm ngîc cña nhau . V×: log2 (2x) = x log2 2 = x (∀x ∈ (−∞;+∞ )). (ii) Hµm y = f(x) = x x¸c ®Þnh trªn [0;+∞ ), cã miÒn gi¸ trÞ [0;+∞ ); x = h(y) = y2 x¸c ®Þnh trªn [0;+∞ ), cã miÒn gi¸ trÞ [0;+∞ ); x = g(y) = (− 2 x¸c y) ®Þnh trªn [0;+∞ ), cã miÒn gi¸ trÞ [0;+∞ ). Th× hµm f(x) cã hai hµm ngîc lµ h(y) vµ g(y). NhËn xÐt 1.7. (i) Hai hµm sè y = f(x) vµ x = h(y) lµ c¸c hµm ng îc cña nhau. Khi ®ã, nÕu vÏ ®å thÞ cña c¶ hai hµm sè nµy trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é th× ®å thÞ cña chóng trïng nhau. Nhng nÕu vÏ ®å thÞ cña c¶ hai hµm y = f(x) vµ y = h(x) trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é th× ®å thÞ cña chóng ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng y = x. (ii) Mét hµm sè cã thÓ kh«ng cã hµm ngîc, cã thÓ cã hµm ngîc.VÊn ®Ò ®Æt ra lµ: Mét hµm sè ph¶i tho¶ m∙n ®iÒu kiÖn g× th× nã cã duy nhÊt mét hµm ngîc? §Þnh lý sau ®©y sÏ kh¼ng ®Þnh ®iÒu ®ã. §Þnh lý 1.1. NÕu hµm y = f(x) x¸c ®Þnh, t¨ng (ho¨c gi¶m) trªn miÒn X, cã miÒn gi¸ trÞ Y. Th× tån t¹i vµ 11
duy nhÊt hµm ngîc x = h(y) x¸c ®Þnh, t¨ng (ho¨c gi¶m) trªn miÒn Y, cã miÒn gi¸ trÞ X.  π π VÝ dô 1.14. XÐt hµm y = sin x trªn  − ;  . Th× hµm y  2 2  π π = sin x x¸c ®Þnh, t¨ng trªn  − ;  , cã miÒn gi¸ trÞ  2 2 [−1; 1]. Theo ®Þnh lý 1.1, tån t¹i duy nhÊt hµm ngîc cña hµm y = sin x vµ ký hiÖu lµ x = arcsiny; x¸c ®Þnh,  π π 1; 1]; cã miÒn gi¸ trÞ  − ;  . t¨ng trªn [−  2 2 NÕu ®æi vai trß cña x vµ y trong hµm sè x = arcsiny cho nhau th× ta ®îc hµm sè: y = arcsinx. VËy hµm sè y = arcsinx x¸c ®Þnh vµ t¨ng trªn [−1; 1]; cã  π π miÒn gi¸ trÞ  − ;  . §å thÞ cña hµm y = arcsin x ®èi  2 2  π π xøng víi ®å thÞ hµm y = sin x (trªn  − ;  ) qua ®êng y  2 2 = x. (vÏ ®å thÞ) T¬ng tù, chóng ta x©y dùng ®îc c¸c hµm lîng gi¸c ngîc y = arccos x, y = arctg x vµ y = arccotg x. 1.2.5. Hµm sè s¬ cÊp c¬ b¶n. Gåm c¸c hµm sè sau: ∗ y = c víi c lµ h»ng sè. 12
α ∗ y = x víi α lµ h»ng sè. ∗ y = loga x víi a lµ h»ng sè 1≠ a > 0. ∗ y = ax víi a lµ h»ng sè 1≠ a > 0. ∗C¸c hµm lîng gi¸c vµ c¸c hµm lîng gi¸c ngîc: y = arcsinx, y = arccos x, y = arctg x, y = arccog x. §èi víi mçi hµm sè trªn ta ®Òu xÐt ®Çy ®ñ c¸c tiªu thøc sau: MX§, MGT, tÝnh t¨ng gi¶m, tÝnh ch½n lÎ, tÝnh tuÇn hoµn, bÞ chÆn, ®å thÞ vµ hµm ngîc. 1.2.6. Hµm sè s¬ cÊp. §Þnh nghÜa 1.9: Hµm sè s¬ cÊp lµ mét hµm sè ®îc x©y dùng tõ c¸c hµm sè s¬ cÊp c¬ b¶n th«ng qua c¸c phÐp to¸n céng, trõ, nh©n, chia c¸c hµm sè; phÐp lÊy hµm kÐp vµ hµm ngîc. VÝ dô 1.13: y = 2sin x + log3 (4x−1) lµ hµm sè s¬ cÊp ®îc x©y dùng tõ c¸c hµm sè s¬ cÊp c¬ b¶n: y = sin x, y = α ax, y = log3 x, y = x , y = c; th«ng qua c¸c phÐp to¸n: céng, trõ, phÐp lÊy hµm kÐp. . ó ý 1.1 Mét hµm sè ®îc cho bëi hai hay nhiÒu biÓu Ch thøc kh¸c nhau trªn c¸c miÒn kh¸c nhau th× kh«ng ®îc gäi lµ hµm sè s¬ cÊp. VÝ dô 1.14: C¸c hµm sè sau ®©y kh«ng ph¶i lµ hµm sè s¬ cÊp: 13
2x − 1 khi x ≤ 3; y=  2  x + 4 khi x > 3. 1 khi x ≠ 0,  3 y = 2 + 5 x  1 khi x = 0.  −1 khi x < 0,  y = sgn x =  0 khi x = 0,  1 khi x > 0.  C©u hái «n tËp ch¬ng 1 C©u 1: Nªu c¸c ph¬ng ph¸p cho tËp hîp; c¸c phÐp tÝnh vÒ tËp hîp. ∗ ∗ C©u 2: §Þnh nghÜa l©n cËn cña hµm sè t¹i ®iÓm a (a h÷u h¹n hoÆc v« h¹n). C©u 3: §Þnh nghÜa hµm sè; tr×nh bÇy c¸ch cho mét hµm sè, c¸c lo¹i hµm sè. C©u 4: Nªu c¸c hµm sè s¬ cÊp c¬ b¶n(tr×nh bÇy c¸c néi dung: miÒn x¸c ®Þnh; miÒn gi¸ trÞ; tÝnh t¨ng gi¶m,tuÇn hoµn, ch½n lÎ, bÞ chÆn; ®å thÞ vµ hµm ngîc. C©u 5: §Þnh nghÜa hµm sè s¬ cÊp. Hµm sè nµo kh«ng ph¶i lµ hµm s¬ cÊp? 14