ươ ạ ượ ẫ ơ ẫ Ch ng 2: Đ i l ng ng u nhiên, vect ng u nhiên
§1: Đ i l ẫ ng ng u nhiên
• Khái ni m: Đ i l ệ ể ng có th ng u
ạ ượ ẫ ng ng u nhiên là đ i l ị ớ ạ ượ ấ ươ ứ ị
ẫ ng ng xác đ nh. ị ủ • Đ i l ng ng u nhiên là r i r c n u s các giá tr c a nó là
ượ ế ặ ạ nhiên nhân m t s giá tr v i xác su t t ờ ạ ế ố c
ụ ế ậ ợ ấ ả
Khoa Khoa Học và Máy Tính
1
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
ầ ấ ấ ả ạ ượ ộ ố ạ ượ ẫ ữ ạ h u h n ho c vô h n đ m đ • Đ i l ẫ ạ ượ ng ng u nhiên là liên t c n u t p h p t t c các giá ụ ố ủ ể ị tr có th có c a nó l p đ y ít nh t 1 kho ng trên tr c s .
ươ
ờ ạ ố ẫ ả ạ ượ ng ng u nhiên §2: Các ph ng pháp mô t đ i l ỉ ấ ả 1. B ng phân ph i xác su t (ch dùng cho r i r c)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ip , i ...
x
ị h nạ (cid:0) (cid:0) C Đ nh nghĩa 2.1: (…) vô x (cid:0)
k p
2 p
k ,...3,2,1 x ... (cid:0)...
...
k
x 1 x 1 p 1
2
R (cid:0)
1(cid:0)
ip
i
(cid:0)
Chú ý:
ườ ắ ầ ượ ừ ớ
• Ví d 2.1: 1 ng ụ ấ i b n l n l ỗ ủ
k
3 ...
1
x
k
1
2
p qp q p
q
p
...
...
Khoa Khoa Học và Máy Tính
2
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
C ậ ắ (cid:0) - ừ ế ạ t t ng viên đ n vào bia v i ế xác su t trúng đích c a m i viên là p, cho đ n khi trúng thì ... 2 ấ ủ ố ạ ố ả ừ d ng. Hãy l p b ng phân ph i xác su t c a s đ n đã b n ra cho đ n khi d ng l ạ i R
ụ ừ ề ề ệ ắ ố
ặ ắ ừ ừ Ví d 2.2: đ bài gi ng bài trên đi u ki n ng ng là b n trúng ế thì ng ng ho c b n h t 20 viên thì ng ng
1
2
.3
.
.
x
19 18
2
20 19
(cid:0)
p
pq
pq
q
..
(cid:0)
pq . ấ ờ ạ
ố
ị ố ấ ủ ạ ượ ẫ ng ng u
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) • 2. Hàm phân ph i xác su t(r i r c và liên t c): ụ • Đ nh nghĩa 2.2: hàm phân ph i xác su t c a đ i l xF
nhiên X là: ấ
F
F
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ư ặ
1 (cid:0)aFbF
,0 bXa
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
X ẫ
(cid:0)xFX
X ạ ượ ng ng u nhiên liên t c thì ụ ố
(cid:0) ụ
(cid:0)xX (cid:0))( xFX ả Tính ch t: 1.F(x) là hàm không gi m 2. các t/c đ c tr ng 3. ế ả ệ H qu 1: N u X là đ i l liên t c trên toàn tr c s
Khoa Khoa Học và Máy Tính
3
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
ụ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,0 x 0
ụ ờ ạ ấ ố xX 0 ả s X r i r c và có b ng phân ph i xác su t
ệ ệ ư • H qu 2: N u X liên t c thì ả ế • H qu 3: Gi ả ả ử ấ nh trên.Khi y
xF X
p i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
(cid:0)
x i 75
(cid:0)
2 4,05,01,0
(cid:0) • Ví d 2.3: ụ
0
(cid:0) (cid:0)
1,0
xFX
2 x x
5 7
6,0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
7
1
x n u ế 2 n uế 5 n uế n uế
Khoa Khoa Học và Máy Tính
4
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) ị ủ ề ố
0(cid:0)xFX ả ề
1(cid:0)xFX
(cid:0) (cid:0) ị ủ Chú ý: Hàm phân ph i bên trái mi n giá tr c a X và bên ph i mi n giá tr c a X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu
nhiên liên tục)
/
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
(
)
)
)
( f x
X
( = � �� � F x X
x
x
= x
(
f
= (cid:0)
( F x X
X
• Định lý 2.1: nhiên X liên tục là: ) f ) t dt
- (cid:0)
(
( ) 0
) 1
(cid:0) 
f x +(cid:0)
(cid:0)
(
)
f x dx ( )
2
�= (cid:0) 1
• Tính chất: t/c đặc trưng
(cid:0)
b
<
< P a X b
f
(3)
(
)
x dx ( ).
= (cid:0)
X
a
Khoa Khoa Học và Máy Tính
5
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
- (cid:0)
Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm
) x =
0
Xf
2. Hàm mật độ bên ngoài miền giá trị của X. • Ví dụ 2.4:
2
không có ý nghĩa. (
p
[
]
a
cos
x x ,
= (cid:0)
:
X
f x ( )
0, p
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
[
/ 2 ]
x
0,
0,
/ 2
=
(
a
) 1
? +(cid:0)
p
/2
/2
2
=
=
=
+
xdx
) x dx
1
f x dx ( )
cos
1 cos 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) •
�
� a
( �
p a 2
0
0
/2
p
x
=
+
=
=� a
4 p
a 2
s in2 2
a . 2 2
� x � �
p � � � 0
Khoa Khoa Học và Máy Tính
6
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
- (cid:0)
)
( XF x
2. Hãy tìm hàm phân phối
(cid:0)
nếu x<0 0 x
x
(cid:0)
x
2
2
=
=
+
)
p
(cid:0)
tdt
) t dt
cos ,nếu
x
0
/ 2
( F x X
( � f
= p
4 � p
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
� x � �
� � �
- (cid:0) (cid:0)
sin 2 2 p>
0 1
x
p
(cid:0) (cid:0)
/ 2 (
)
,nếu 3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:
p / 4,
/ 4
p
p
-
(
)
(
)
(
)
< X
p F
p F
< / 4
= / 4
/ 4
/ 4
p
p
/ 4
/ 4
2
=
p
xdx
) cos
) ( =� f x dx
� (4 /
p
R - - -
/ 4
0
Khoa Khoa Học và Máy Tính
7
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
-
2.
,q q 1 2
• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt rổ của người thứ nhất,hai là p p 1,
Khoa Khoa Học và Máy Tính
8
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
• Giải: Gọi là xác suất ném trượt bóng của người 1,2 • X là số bóng của người thứ 1 • Y là số bóng của người thứ 2 • Z là tổng số bóng của cả 2 người
.
.
.
.
.
2
X X
1 +
+
2 +
k (
. )
- -
.
)
.....
.
.
.
p 1
q p 1 2
q q p ( 1 2 1
q p 2 1
k k 1 q q 1 2
p 1
p q 2 1
k
0
2
.
.
.
.
.
.
R
Y
1
Y
1 +
+
)
]
[
[
.
.
.
] .... .
.
.
p 1
( q p 1
2
q p 2 1
2
q p 2 1
k 1 q q 1
k 2
� q q q p � 1 2 1
� �
- - R
Z
- 2 2
1
1
Z
Khoa Khoa Học và Máy Tính
9
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
- - - = R k , 1, 2,... k 1 k k 1 q q 1 2 p 1 k k k q q 1 2 p 2
X
,...,
n
2
=
X
X
,...,
(
)n
X X , 1
2
§3: Véc tơ ngẫu nhiên
I. Vectơ ngẫu nhiên X X Giả sử là các đại lượng ngẫu nhiên được xác , 1 định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y). 1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:
R
( C =
)
h
= k j ;
1,
1,
= x Y , i
= y j
= p i , ij
Khoa Khoa Học và Máy Tính
10
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
y1
y2
… yh
Px
Y x
x1
P11
P12
P1h
P1
x2
P21
P22
P2h
P2
…
xk
Pk1
Pk2
Pkh
Pk
PY
q1
q2
qh
1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
11
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
h
= R
( C =
)
2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
k
1,
p i
= x i
= p i , ij
=
j
1
k
= R
=
(
) =
(cid:0)
q
Y
h
1,
j
y i
= p j , ij
=
i
1
(cid:0)
�
:
= p ij
i j ,
p
ij
=
=
"
X x Y
= i
k
= )
1,
(
/
,
i
j
q
j
p
=
=
R 3.Điều kiện độc lập của X và Y p q . Định lý 3.1: X,Y độc lập j i 4.Các bảng phân phối xác suất có điều kiện. y
Y
= j
h
(
y X /
= )
,
1,
j
x i
ij p i
Khoa Khoa Học và Máy Tính
12
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
R
= R
)
)
(
( F x y
< < X x Y
y
,
,
5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)
- (cid:0) - (cid:0)
+(cid:0) +(cid:0) F ( , < y d
( a
) = ) 0, , < x b c ,
F a b ( , )
F b d ( ,
F (
= )
)
R (cid:0) (cid:0) - -
Định nghĩa 3.1: Tính chất: ( ,F x y (1) là một hàm không giảm theo từng biến = (2) ) 1 + (3) F b c F a c ( , ) ( , ) Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ
mặt phẳng.
= (cid:0)
)
p ij
< x < y
x i y
j
Khoa Khoa Học và Máy Tính
13
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
trên, khi ấy ta có: (2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như F x y ( ,
3
5
XR
y X
0
0,1
0,2
0,3
2
0,3
0,4
0,7
0,4
0.6
1
YR
Khoa Khoa Học và Máy Tính
14
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:
X
0 2
X
P
0,3 0,7
0,1 0, 3 0, 4
,X Y
X
0
2
=
X Y /
5
(cid:0) - (cid:0)
P
0.4 0.6
0.2 0.6
(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X: (2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y là phụ thuộc (3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5: (4)Tìm hàm phân phối:
x
y
0,
(cid:0)
3 < (cid:0) y
5
0
2,3
(cid:0)
=
)
<
( F x y
,
(cid:0)��� 0 < (cid:0) x < (cid:0) x
y
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
<
x
2,5 < (cid:0) y
,3
2
5
(cid:0)
(cid:0)
0.1, + 0.1 0.2, + 0.1 0.3, 1,
<
<
x
y
,5
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
15
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
(cid:0) (cid:0)
2
)
( F x y
III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y) 1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y) 2.Hàm mật độ xác suất đồng thời: Định nghĩa 3.2: (cid:0)
(
)
x
y
)
)
( F x y ,
( f u v ,
v dud
= f x y , (cid:0) (cid:0) , x y
= � �142 43
Dxy
Khoa Khoa Học và Máy Tính
16
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
Định lý 3.2: - (cid:0) - (cid:0)
.
Khoa Khoa Học và Máy Tính
17
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
HINH 3.1
)
f x y
(1)
,
0
(cid:0) Tính chất: ( 
TCD
T
(2)
f x y dxdy )
( ,
�= 1
��
(cid:0)
2
R
(cid:0)
(
(
) f x y dxdy
) x y D ,
,
D
(3) R
) ( =� �� 3. Các hàm mật độ xác suất lề.
+(cid:0)
=
(
)
)
(
x
f
f x y dy ,
X
+(cid:0)
=
(
)
)
(
y
f
f x y dx ,
(cid:0) - (cid:0)
Y
Khoa Khoa Học và Máy Tính
18
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
(cid:0) - (cid:0)
=
+(cid:0)
,
X
=
) )
( F x ( +(cid:0)
) )
( F x ( F y
F
y
,
Y
=
)
(
(
�
.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:
X
Y
=
) )
y (
)
�
( f x y , ( F x y
,
) x f . ) ( F x F y .
X
Y
4.Điều kiện độc lập của X và Y X,Y độc lập f
(
0
=
=
f
x ( )
X Y y
/
0
f x y (
Y
f (
) )
=
=
f
y ( )
Y X x
/
0
f
X
, y 0 f x y , 0 ( ) x 0
Khoa Khoa Học và Máy Tính
19
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện: )
W
x y
a e .
6 44 7 4 48 0 x y <+
( f x y
,
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
0
+(cid:0)
+(cid:0)
(cid:0)
x y
=
=
) f x y dxdy
a
dy
- -
,
x
0
� � e dx
( ��
2
R
+(cid:0)
Ví dụ 3.2: Cho ) ,nếu = (cid:0) ,nếu trái lại (1) Xác định tham số a. 1
x
2
=
=
dx
a
e
=� a
2
-
0
(cid:0)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
20
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
a 2
0
+(cid:0)
(cid:0)
=
+(cid:0)
(cid:0)
)
(
= (cid:0)
x
f
(2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề. , nếu x<0 ) ( f x y dx ,
x
x y
x
2
=
dy
x
e 2
e 2
,
0
x
Khoa Khoa Học và Máy Tính
21
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
(cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
HÌNH 3.2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
22
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
HÌNH 3.3
Khoa Khoa Học và Máy Tính
23
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
0
)
= (cid:0)
y
f
(cid:0) (cid:0)
y
x y
y
y
=
)2
dx
e
e
e
y
2
,
0
0
- - - - - (cid:0) , nếu y<0 ( y ( (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
)
(
(
)
y
f
( f x y ,
X Y ,
X
Y
) x f . Vậy ta có: phụ thuộc
Khoa Khoa Học và Máy Tính
24
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
(cid:0) (cid:0)
<
4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2
x
x
0
<� 2
0,
)
(cid:0)
x
2
=
= (cid:0)
=
f
x ( )
X Y /
2
(cid:0) - -
x
, 0
2
( f x ( f
, 2 ) 2
x 2
4
Y
(
)
2 e
e
2
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - (cid:0)
0
(cid:0)
y
3
=
= (cid:0)
=
f
y ( )
Y X /
3
(cid:0) - -
6
e 2 e 2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
25
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
(cid:0) (cid:0) - Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3 ) ( nếu y<3 y f 3, ) ( f 3 X nếu y 3 (cid:0)
HÌNH 3.4
Khoa Khoa Học và Máy Tính
26
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
HÌNH 3.5
Khoa Khoa Học và Máy Tính
27
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
x
y
)
( f u v
v
,
dud
5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
- (cid:0) - (cid:0)
u v
v
dud
- -
I
) ( = � � F x y , = �� e 2 D
xy
W
0
(cid:0)
u
(cid:0)
< +(cid:0)
u v
y
x
0
= (cid:0)
dv
0
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0)
x
(cid:0)
u v
dv
< < +(cid:0) y
x
0
0
� � du e 2 � � du e 2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
28
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,nếu x<0 hoặc y<0 y ,nếu u y ,nếu u
HÌNH 3.6
Khoa Khoa Học và Máy Tính
29
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
HÌNH 3.7
Khoa Khoa Học và Máy Tính
30
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
HÌNH 3.8
Khoa Khoa Học và Máy Tính
31
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010
,
) ( �� f x y dxdy
D
1
Ví dụ 3.3: P(-2 = ) - - 2 x y
��
e
W�
D
1
)
(
A = R )
f x y dxdy (
- < <
2 , 2 R (
=
dxdy P AB
,D1: -2 ) R AB
(
)
A 1 ( .P(-2 = f )
x dx X Y
/ 2 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính 32 Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 .P(-2 ) (
Xj= Y )
= ) R R (cid:0) (
=
Y =
y
j p
i x
i p
i j = ( ) y x
i j 2 R Khoa Khoa Học và Máy Tính 33 Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 R Ví dụ 4.1 : Cho
X
-2 -1 0 1 2
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Suy ra:
Y X=
0 1 4
0,1 0,2+0,2 0,5 X - 1kpq =
Y c Xp os R Ví dụ 4.2: Cho
1 2 … k …
p pq... ... os • Hãy lập bảng phân phối xác suất của hàm
=
Xp
-1 … 1
Y c 1 p- 0 0p = - R = = + Xp c
os 1 X k n 2 0,1, 2,.. (cid:0) n 1 = = = =
n
)2 (cid:0) � p 1,
(
p q
. p
0 2 = 1
q q +
1 1 n 0 Khoa Khoa Học và Máy Tính 34 Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 (cid:0) - ( ) ( : � X f f , ? X Y )
(
F y
,
Y
)
(
Xj= Y 2. Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục
)
)
(
y =
x F x
X = R j ( ) )
= R ( ( ) ( ) <
Y y =
y )
x dx f Bước 1. Tìm miền giá trị của (
F y
Y X j < ( ) x y <
X
) = f y
( ) Y (cid:0) (
dF y
Y
dy Khoa Khoa Học và Máy Tính 35 Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010 Bước 2.
Bước 3. [ ] [ ,a b ,a b Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối [ ]
] ) ( X (cid:0) (cid:0) (cid:0) x a b
, - = (cid:0) x f ] (cid:0) (cid:0) ,
[ đều trên đoạn kí hiệu X~U ,nếu
1
b a
x
0, a b
, (cid:0) (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) � (
F x a � �
x b ,$4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên
1. Trường hợp rời rạc.
(
=
Giả sử:
�
x
