intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Chương I: Một số khái niệm cơ bản về lôgic, tập hợp và suy luận toán học - GVC ThS. Võ Minh Đức

Chia sẻ: Vo Minh Duc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:43

534
lượt xem
102
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Chương I: Một số khái niệm cơ bản về lôgic, tập hợp và suy luận toán học" do GVC ThS. Võ Minh Đức biên soạn trình bày về: mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự tương đương lôgic; tập hợp và các phép toán trên tập hợp; lượng từ và vị từ; quan hệ, suy luận trong Toán học. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương I: Một số khái niệm cơ bản về lôgic, tập hợp và suy luận toán học - GVC ThS. Võ Minh Đức

  1. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÔGIC, TẬP HỢP VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC 6(4,2) I. Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự tương đương lôgic Mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề lôgic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa. Ta hiểu mệnh đề là một câu nói phải hoặc đúng hoặc sai. Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lí của nó, được quy định như sau: Mệnh đề có giá trị chân lí 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lí 0 là mệnh đề sai. Kí hiệu: • Người ta thường dùng các chữ cái A, B, C,... để kí hiệu cho các mệnh đề. • Nếu mệnh đề A có giá trị chân lí là 1 thì ta kí hiệu G(A) = 1; nếu mệnh đề A có giá trị chân lí là 0 thì ta kí hiệu là G(A) = 0. Chẳng hạn, để kí hiệu A là mệnh đề "Paris là thủ đô của nước Pháp" ta sẽ viết: • A = "Paris là thủ đô của nước Pháp" hoặc A : "Paris là thủ đô của nước Pháp". Ở đây, A là mệnh đề đúng nên G(A) = 1. Chú ý: Page 1
  2. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức 1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn: • Sáng nay bạn An đi học. • Trời mưa. •Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè. 2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề: • Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai. •Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai. 3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng biết "chắc chắc" nó nhận một giá trị. Chẳng hạn: • Trên sao Hỏa có sự sống. 1.1 Mệnh đề và câu "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai". Một câu có thể là mệnh đề hoặc không. Ví dụ: Gọi sinh viên trả lời khẳng định tính đúng sai của cá mệnh đề sau: Page 2
  3. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức 1. "Paris là thủ đô của nước Pháp" ← đúng. 2. "Nước Việt Nam nằm ở châu Âu" ← sai. 3. "Tháng 12 có 28 ngày" ← sai. 4. "Một năm có 12 tháng và mỗi tuần có 7 ngày" ← đúng. 5. "20 là số chẵn" ← đúng. 6. "Số 123 chia hết cho 3" ← đúng. 7. "2 cộng với 3 bằng 7" ← sai. 8. "15 lớn hơn 30" ← sai. GV: Các câu sau có là mệnh đề không? Vì sao? 9. Các câu sau: "Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?" "Bao giờ lớp mình đi tham quan Đền Hùng?" "Ôi! ngôi nhà mới đẹp làm sao!" "Tất cả hãy anh dũng tiến lên!" đều không phải là mệnh đề. Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề. 1.2 Các phép toán lôgic cơ bản Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia,...) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự, khi có mệnh đề, người ta dùng các phép lôgic tác động vào chúng để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép toán này. 1.2.1 Phép phủ định Page 3
  4. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức Phủ định của mệnh đề A là một mệnh đề, kí hiệu là A , đúng khi A sai và sai khi A đúng. Bảng giá trị chân lí của phép phủ định A A 1 0 0 1 Ví dụ 1: Nếu A = "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định A có thể diễn đạt như sau: • A = "Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp" • hoặc A = "Paris không phải là thủ đô của nước Pháp". Ở đây G(A) = 1 còn G( A ) = 0. Ví dụ 2: Nếu b = "15 lớn hơn 30" thì mệnh đề phủ định B có thể diễn đạt như sau: • B = "Không phải 15 lớn hơn 30" • hoặc B = "15 không lớn hơn 30" • hoặc B = "15 nhỏ hơn 30" Ở đây G(b) = 0 còn G( B ) = 1. Ví dụ 3: Page 4
  5. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức Nếu c = "Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ" thì mệnh đề phủ định C có thể diễn đạt như sau: C = "Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ". Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định C sẽ sai (hoặc đúng). Chú ý: Mệnh đề phủ định A thường được diễn đạt là "không phải A". 1.2.2 Phép hội Hội của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A và B, kí hiệu A Λ B (hoặc A.B), đúng khi cả hai mệnh đề A, B cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép hội A B AΛB 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề A, B ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "và" hay một liên t ừ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng,... hoặc dùng dấu phảy hoặc không dùng liên từ gì. Ví dụ 1: Page 5
  6. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh" là hội của hai mệnh đề A = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội" và B = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh". Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(A Λ B) = 0. Ví dụ 2: "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô" là hội của hai mệnh đề A = "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước" và B = "Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô". Rõ ràng là G( A) = 1 và G(B) = 1 nên G(A Λ B) = 1. Ví dụ 3: • "Số π lớn hơn 2 song nhỏ hơn 3". • "Chị Nga nói thạo tiếng Pháp mà không biết tiếng Anh". • "ABC là tam giác vuông cân" là h ội c ủa c ủa hai mệnh đề a = "ABC là tam giác vuông" và b = "ABC là tam giác cân". • "Không những trời nắng to mà còn gió tây". • "Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa". Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ "và" nhưng không có nghĩa của mệnh đề hội. Chẳng hạn: • "Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau c ủa t ập số tự nhiên". • "Hùng đạt được tất cả 20 điểm 9 và 10". Page 6
  7. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức 1.2.3 Phép tuyển Tuyển của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề đọc là A hoặc B, kí hiệu là A ν B (hoặc A+B), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép tuyển A B AνB 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ. Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề A và B, chỉ đúng khi hoặc A, hoặc B đúng. Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề A, B ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "hoặc" (hay liên từ khác cùng loại). Ví dụ 1: "Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4" là tuyển của hai mệnh đề a = "Tháng 12 có 31 ngày" và b = "2 + 2 = 4". Ở đây G(a ν b) = 1. Ví dụ 2: • "3 nhỏ hơn hoặc bằng 4" ← là mệnh đề đúng Page 7
  8. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức •"Số lẻ là số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9" ← là mệnh đề đúng • "20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3" ← là mệnh đề sai Chú ý: Trong thực tế, liên từ "hoặc" thường được dùng với hai nghĩa "loại trừ" và "không loại trừ". • Phép tuyển "hoặc a hoặc b" là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b. • Phép tuyển "a hoặc b" là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b. Chẳng hạn: • "Hôm nay là ngày Chủ nhật hoặc ngày lễ" ← là phép tuyển không loại trừ. • "20 là số lẻ hoặc nó chia hết cho 2" ← là phép tuyển loại trừ. 1.2.4 Phép kéo theo a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo a b a b 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Page 8
  9. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: "Nếu a thì b" "Có b khi có a" "Từ a suy ra b" "a là điều kiện đủ để có b" "b là điều kiện cần (ắt có) để có a" .............. Ví dụ: • "15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5" ← mệnh đề đúng. • "Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng" ← mệnh đề đúng. Chú ý: 1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Ví dụ: • "Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu" ← mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" và b = "Việt Nam nằm ở Châu Âu" đều sai. Page 9
  10. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức • "Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai. 2. Theo bảng chân lí trên, ta thấy: • Nếu a sai thì a b luôn đúng. • Nếu a đúng thì a b đúng khi b đúng. Vì vậy để chứng minh mệnh đề a b đúng ta chỉ cần xét trường hợp a và b cùng đúng và phép chứng minh mệnh đề a b được tiến hành theo ba bước: Bước 1. Giả sử a đúng. Bước 2. Từ giả thiết a đúng, dùng lập luận và các mệnh đề toán học đã biết, suy ra b đúng. Bước 3. Kết luận a b luôn đúng. Trong mệnh đề a b ta gọi a là giả thiết, b là kết luận. 3. Nếu ta coi a b là mệnh đề thuận thì b a là mệnh đề đảo, là mệnh đề phản và là mệnh đề phản đảo. 4. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú. Chẳng hạn: "Bao giờ bánh đúc có xương, Bấy giờ dì ghẻ mới thương con chồng" hoặc "Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, Bay cao thì nắng bay vừa thì râm". 1.2.5 Phép tương đương Bài chi tiết: Tương đương logic Page 10
  11. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai. Bảng giá trị chân lí của mệnh đề tương đương a b a b 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Chú ý: 1. Trong thực tế, mệnh đề "a tương đương b" thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn: "a khi và chỉ khi b" "a nếu và chỉ nếu b" "a và b là hai mệnh đề tương đương" "a là điều kiều kiện cần và đủ để có b" 2. Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ: • "Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đ ất quay quanh mặt trời" là mệnh đề đúng. • "12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh đang ở thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai. Page 11
  12. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức "Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là • số nguyên tố" là mệnh đề đúng. 3. Một cách khác, người ta cũng nói rằng a tương đương b khi và chỉ khi cả hai mệnh đề a b và b a cùng đúng. Vì vậy để chứng minh mệnh đề a b ta chứng minh hai mệnh đề a b và b a. 4. Các cặp mệnh đề thuận và phản đảo, đảo và phản là những cặp mệnh đề tương đương. Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh gián tiếp trong toán học. 1.3 Sự tương đương lôgic và luật 1.3.1 Công thức Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các m ệnh đề. Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c,... khi dùng các phép toán lôgic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác: a) Mỗi mệnh đề gọi là một công thức. b) Nếu P, Q là những công thức thì , P Λ Q, P ν Q, P Q, P Q cũng đều là công thức. c) Mọi dãy kí hiệu khác không xác định theo quy tắc a), b) đều không phải là công thức. Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của các phép toán lôgic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lí, dùng bảng chân lí của các phép lôgic ta khẳng định được công thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là Page 12
  13. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức mệnh đề đúng (hoặc sai) thì ta nói công thức P có giá tr ị chân lí bằng 1 (hoặc 0). Ví dụ: • (1) là công thức có giá trị chân lí bằng 1 (với mọi mệnh đề a). Bảng giá trị chân lí của công thức (1) a aΛ 0 1 0 1 1 0 0 1 • (2) là một công thức có giá trị chân lí bằng 0 (với mọi mệnh đề a, b). Page 13
  14. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức Bảng giá trị chân lí của công thức (2) ab 1100 1 1 1 0 1001 0 0 1 0 0110 1 1 1 0 0011 1 1 1 0 1.3.2 Sự tương đương lôgic Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương lôgic với nhau, kí hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lí gán cho các mệnh đề có m ặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí như nhau. Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương lôgic, kí hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai. Chú ý: 1. Kí hiệu a ≡ b là để chỉ hai mệnh đề tương đương lôgic chứ không phải là hai mệnh đề bằng nhau. 2. Hai mệnh đề tương đương lôgic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không có liên quan. Chẳng hạn: "Tháng 2 có 31 ngày ≡ 2 + 2 = 11". 3. Quan hệ P ≡ Q còn được gọi là một đẳng thức. 1.3.3 Đẳng thức Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong lôgic mệnh đề: Page 14
  15. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức i. Phủ định của phủ định (1) ≡ a. ii. Luật Đờ Moócgăng (2) ≡ (3) ≡ iii. Tính chất kết hợp của các phép lôgic (4) (a Λ b) Λ c ≡ a Λ (b Λ c) (5) (a ν b) ν c ≡ a ν (b ν c) iv. Tính chất giao hoán của các phép lôgic (6) a Λ b ≡ b Λ a (7) a ν b ≡ b ν a (8) a b ≡ b a v. Tính chất phân phối (9) a Λ (b ν c) ≡ (a Λ b) ν (a Λ c) (10) a ν (b Λ c) ≡ (a ν b) Λ (a ν c) vi. Tính lũy đẳng (11) a Λ a ≡ a (12) a ν a ≡ a vii. Biểu diễn phép kéo theo qua các phép lôgic khác (13) ≡ (14) ≡ (15) ≡ (luật phản đảo) viii. Biểu diễn tương đương qua các phép lôgic khác (16) ≡ (17) ≡ ix. Các đẳng thức về 0 và 1 Page 15
  16. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức Người ta còn dùng kí hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng (hoặc luôn luôn sai). Ta có các đẳng thức sau về 0 và 1: (18) a Λ 0 ≡ 0 (19) a ν 0 ≡ a (20) a Λ 1 ≡ a (21) a ν 1 ≡ 1 (22) a ν ≡ 1 (luật bài trung) (23) a Λ ≡ 0 (luật mâu thuẫn) x. Chứng minh đẳng thức Để chứng minh một đẳng thức trong lôgic mệnh đề ta thường dùng phương pháp lập bảng giá trị chân lí. Ví dụ 1: Chứng minh: ≡ Bảng giá trị chân lí a b 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức và luôn nhận giá trị chân lí như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh: ≡ Bảng giá trị chân lí a b Page 16
  17. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức và luôn nhận giá trị chân lí như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề lôgic và mệnh đề mờ Nếu như trong Lôgic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng lôgic mờ, mà ở đó giá trị chân lí của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị chân lí 0 là sai, có giá trị chân lí 1 là đúng. Còn giá trị chân lí nằm giữa 0 và 1 chỉ ra m ức đ ộ thay đổi của chân lí. 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 2.1 Khái niệm Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào đó. Chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng mà nhờ chúng có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không. • Tập hợp có thể được xác định bằng lời: A là tập hợp bốn số nguyên dương đầu tiên. B là tập hợp các màu trên quốc kỳ Pháp. • Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng giữa cặp dấu { }, chẳng hạn: Page 17
  18. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức C = {4, 2, 1, 3} D = {đỏ, trắng, xanh} Các tập hợp có nhiều phần tử có thể liệt kê một số phần tử. Chẳng hạn tập hợp 1000 số tự nhiên đầu tiên có thể liệt kê như sau: {0, 1, 2, 3,..., 999}, Tập các số tự nhiên chẵn có thể liệt kê: {2, 4, 6, 8,... }. Tập hợp F của 20 số chính phương đầu tiên có thể cho như sau F = {n2 / n là số nguyên và 0 ≤ n ≤ 19} • Tập hợp có thể xác định bằng đệ quy. Chẳng hạn tập các số tự nhiên lẻ L có thể cho như sau: 1. 1 L 2. Nếu n L thì n + 2 L • Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là: 2.2 Quan hệ giữa các tập hợp 2.2.1 Quan hệ bao hàm • Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B, ký hiệu là A B, và tập hợp B bao hàm tập hợp A. A được gọi là tập con của B • Qui ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp: A, ∀A Page 18
  19. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức Ví dụ: : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số hữu tỉ = \ : Tập hợp số vô tỉ : Tập hợp số thực Ta có Một tập hợp có n phần tử thì có 2n tập hợp con. [1] 2.2.2 Quan hệ bằng nhau • Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B. Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính của tập A. 2.3 Các phép toán trên các tập hợp 2.3.1 Các định nghĩa • Hợp: Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A B Ta có A B = {x/ x A hoặc x B} Page 19
  20. bai_giang_chuong_i_3559.doc GVC, ThS. Võ Minh Đức • Giao: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A B Ta có A B = {x / x A và x B} • Hiệu: Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A B Ta có: A \ B = {x: x A và x B} Lưu ý, A \ B B \ A • Phần bù: là hiệu của tập hợp con. Nếu A B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu C A B • Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi là tập vũ trụ-đôi khi có nghĩa như trường hay không gian - trong vật lý), người ta thường xét phần bù của mỗi tập A, B, C,... đang xét trong tập U, khi đó ký Page 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2