intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính

Chia sẻ: ádajd Akshdj | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST
Báo xấu
343
lượt xem 143
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó... Phương pháp tính là một môn học đã có từ lâu,nhưng từ khi máy tính điện tử ra đời môn học này phát triển rất nhanh,nhằm xây dựng những thuật toán đơn giản,có hiệu lực và giải đến kết quả bằng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính

  1. Prof. NGUY N TH HÙNG PHƯƠNG PHÁPTÍNH NUMERICAL METHODS FOR ENGINEERS *********** DANANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Danang 2000
  2. M CL C Chương 0: Ph n b túc A. Phép tính vec tơ 1 B. Phép tính Tensor 3 C. Các phương pháp bi n i 5 1. Phép bi n i t a 5 2. Phép bi n hình b o giác 5 3. Phép bi n i LapLace 6 4. Phép bi n i sigma 6 D. M t vài ng d ng c a gi i tích hàm 7 1. Không gian Mêtrix 7 2. Không gian tuy n tính nh chu n 7 3. Không gian EUCLIC- Không gian HILBERT 7 Chương 1: Sai s 10 1.1 Sai s tuy t i 9 1.2 Sai s tương i 9 1.3 Cách vi t s x p x 9 1.4 Sai s quy tròn 9 1.5 Sai s c a s ã quy tròn 9 1.6 nh hư ng c a sai s quy tròn 9 1.7 Các quy t c tính sai s 10 1.8 Sai s tính toán và sai s phương pháp 10 1.9 S n nh c a quá trình tính 10 Chương 2: N i suy 14 2.1 a th c n i suy Lagrăng 13 2.2 N i suy Newton 13 2.3 N i suy Spline 15 2.4 Phương pháp bình phương c c ti u 17 Chương 3: Tính g n úng o hàm và tích phân 22 3.1 Tính g n ú ng o hàm 22 3.2 Tính g n ú ng tích phân xác nh 22 3.2.1 Công th c hình thang 22 3.2.2 Công th c Simpson 24 3.2.3 Công th c c a Gauss 25 3.2.3.1 Liên h gi a các h t a t ng th và h t a a phương 25 3.2.3.2 Tích phân s 27 Chương 4: Gi i g n úng phương trình và h phương trình phi tuy n 32 4.1 Gi i g n úng phương trình 32 4.1.1 Phương pháp dây cung 32
  3. 4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson 33 4.2 Gi i h p hương trình phi tuy n 34 Chương 5: Các phương pháp s c a i s tuy n tính 38 5.1 Ma tr n 38 5.1.1 Các nh nghĩa 38 5.1.2 Phép bi n i tuy n tính trong không gian n chi u 38 5.1.3 Các phép tính ma tr n 40 5.1.4 Véc tơ riêng, tr riêng và các d ng toàn phương c a ma tr n 41 5.2 Gi i h i tuy n 42 5.2.1 Phân tích LU và phân tích Cholesky 42 5.2.2 Phương pháp l p ơn h phương trình 43 5.2.3 Phương pháp l p Seiden 44 5.2.4 Phương pháp Gradient liên h p 45 Chương 6: Nghi m g n úng c a h phương trình vi phân thư ng 48 6.1 M u 48 6.2 Nghi m g n úng c a bài toán Cauchy i v i p hương trình vi phân thư ng 48 6.2.1 Phương pháp x p x liên ti p Pica 49 6.2.2 Phương pháp Euler 50 6.2.3 Phương pháp Runghe-Kutta b c 4 51 6.2.4 Phương pháp Adam 52 Chương 7: Gi i g n úng phương trình o hàm riêng b ng phương pháp s 58 7.1 Phân lo i phương trình o hàm riêng b c 2 tuy n tính 58 7.2 Các bài toán biên thư ng g p 59 7.3 Tư tư ng cơ b n c a các phương pháp g n úng 59 7.4 Phương pháp c trưng 60 7.5 Phương pháp sai phân 61 7.5.1 Tính nh t quán c a lư c sai phân 64 7.5.2 S n nh c a lư c 64 7.5.3 Các ng d ng trong cơ h c 65 7.6 Phương pháp ph n t h u h n 66 7.6.1 Phương pháp bi n phân Reyleigh-Ritz 66 7.6.2 Phương pháp bi n phân Galerkin 66 7.6.3 Phương pháp ph n t h u h n 67 7.7 Phương pháp th tích h u h n 67 7.8 phương pháp ph n t biên 68 Chương 8: Phương pháp ph n t h u h n 76 8.1 Các lo i ph n t 76 8.2 Hàm n i suy 77 8.2.1 Hàm n i suy cho bài toán 1 chi u 80 8.2.2 Hàm n i suy cho bài toán 2 chi u 82
  4. 8.2.3 Hàm n i suy cho bài toán 3 chi u 85 8.3 Tích phân s 87 8.3.1 Liên h gi a các h t a t ng th và h t a a phương 87 8.3.2 Tích phân s 89 8.4 Các bư c tính toán cơ b n và k thu t l p trình cho máy tính s theo phương pháp ph n t h u h n 90 8.5 Phương pháp ph n t h u h n- Áp d ng cơ v t r n 98
  5. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chương 0 PH N B TÚC Supplement A. PHÉP TÍNH VECTO → → → c = a× b → → → b c b → → → a a a a.b = abcosϕ • Tích vô hư ng : a.b = x1 x 2 + y1 y 2 + z1z 2 c = a × b = ab sin ϕ • Tích vector : → → → → Có tính ch t: b × a = − a × b i j k a × b = x1 y1 z1 x2 y2 z2 • Tích h n t p : x1 y1 z1 abc = (a × b) . c = a.(b × c) = bca = cab = x 2 y2 z2 x3 y3 z3 abc = - bac = - cba = - acb 1 1 abc V1 = abc, V2 = V1 = 6 6 Trang 1 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  6. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t V1 là th tích hình h p d ng trên các vector a, b, c V2 là th tích hình chóp d ng trên các vector a, b, c n y. Toán t Haminton ∂U ∂U ∂U gradU = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az divA = + + ∂x ∂y ∂z  ∂Az ∂Ay   ∂Ax ∂Az   ∂Ay ∂Ax  rotA =   ∂y − ∂z  i +  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y k        Công th c Ostrogradsky - Gauss: ∫ Adσ = ∫ divAdΩ σ Ω z (L) s r x y V i σ : m t và Ω : th tích Công th c Stokes : ∫ Adr = ∫ rotAdsv i r = x i + y j + zk (L ) ( S) Phép toán v i toán t ∇ ∂ ∂ ∂ ∇=i + j +k ∂x ∂y ∂z ∂U ∂U ∂U ∇U = i +j +k = gradU ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ∂Ax ∂Ay ∂Az  ∂x + j ∂y + k ∂z  • (iAx + jAy + kAz ) = ∂x + ∂y + ∂z = divA ∇ • A = i    Trang 2 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  7. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t i j k ∂ ∂ ∂ CurlA = ∇ X A = ∂X ∂Y ∂Z AX AY AZ ∂A Z ∂A Y ∂A ∂A ∂A ∂A CurlA = i( - ) + j( X - Z ) + k( Y - X ) = rotA ∂Y ∂Z ∂X ∂Z ∂X ∂Y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A • ∇ = (iA X + jA Y + kA Z ) •  i  ∂x + j ∂y + k ∂z  = A X ∂x + A Y ∂y + A Z ∂z    ∂ d = v•∇ + ∂t dt ∂u ∂u ∂u 2 2 2 ∂2 ∂2 ∂2 ∆ = ∇ = ∇ • ∇ = 2 + 2 + 2 , divgrad u = ∇ u = ∆u = 2 + + 2 2 ∂x ∂y 2 ∂z 2 ∂x ∂y ∂z Ví d : Chi u phương trình Navier- Stocks lên h tr c t a t nhiên: r dv r 1 r = F − gradp + υ∆v ρ dt rr Trong ó: F ≡ g r v : Trư ng v n t c dòng ch y. ρ : Kh i lư ng riêng. p: Áp su t( Vô hư ng). υ : H s nh t ch t l ng. ∂v Hư ng d n: VT= + v.∇v ∂t Mà v = iv x + jv y + kv z ∂v ∂v ∂v ∇v = i +j +k ∂x ∂y ∂z ∂p ∂p ∂p ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2v 1 + k ) + υ( 2 + 2 + 2 ) VP= iFx + jFy + k Fz − (i +j ρ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Cân b ng hai v r i chi u lên ox, oy, oz B. PHÉP TÍNH TEN-X (Tensor analysis) H ng c a Tensor là s ch s c a Tensor ó. Ví d : ai có m t ch s , nên là tensor h ng nh t aij có hai ch s , nên là Tensor h ng hai Trang 3 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  8. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Qui t c ch s Khi có hai ch s gi ng nhau, bi u th m t t ng: 3 aibi=a1b1+ a2b2+ a3b3= ∑ ai bi i =1 H th ng i x ng khi aij=aji, ph n i x ng khi aij= -aji Ví d : 1 khi i= j δ ij =  i≠ j 0 khi là m t Tensor h ng hai i x ng. • T ng các Tensor cùng h ng là m t Tensor cùng h ng: Cijk = aijk ± bijk (h ng ba) • Nhân Tensor: Cijklm= aijk.blm (m i tích có th có c a t ng thành ph n Tensor) Vô hư ng ư c xem như Tensor h ng zero. • Phép cu n Tensor: ư c th c hi n khi có hai ch s b t kỳ trùng nhau: 3 aijkk = ∑ aijkk = aij11+ aij22+ aij33 = Cij k =1 Phép nhân trong: Cijm = aijkbkm Là phép nhân và cu n ng th i các Tensor , cho ta tìm ư c v t c a Tensor. Phép nhân trong cho ta i m x u t p hát quan tr ng nh n ư c các b t b i n c a các i tư ng hình h c và v t lý. Thí d : V t c a Tensor aij=xiyj Khi cho i = j => aii = xiyi = x1y1+ x2y2+ x3y3 = vô hư ng Trang 4 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  9. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t C . CÁC PHƯƠNG PHÁP BI N I 1. Phép bi n i t a y' y *M b x’ O1 o a x + Phép t nh ti n: x = x '+ a y = y'+ b ,  x ' = x − a y' = y − b , + Phép quay: x = x ' cosα − y' sin α y = x ' sinα + y' cosα ,  x ' = x cosα + y sinα y' = −x sinα + y cosα , 2. Phép bi n hình b o giác B B' W = f(z) C C' A A' y v o o' x u Trang 5 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  10. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t γ' l' γ l g' h' g h v y (u0,v0) (x0,y0) σ σ' φ' φ λ' λ o' o u x Cho W = f(z) gi i tích trong mi n D, s p h c z = x + yi và W = u + vi A(x,y) → A’(u,v), Phép bi n i i m: AB BC CA = ' ' = ' ' và các góc tương ng b ng nhau: Các c nh t l v i nhau: '' A B BC CA góc β = β ’ (b o giác) 3. Phép bi n i Laplace ∂U(x i , t ) Xét phương trình vi phân : α∆U( x i , t ) = , v i t>0 ∂t Nhân 2 v c a p hương trình trên v i e-pt ( v i p > 0 ), l y tích phân theo t t 0 → ∂U(x i , t ) − Pt ∞ ∞ α ∫ ∆U(x i , t )e dt = ∫ −Pt ∞ , ta ư c : e dt ∂t 0 0 ∞ t U(x i , P) = ∫ U(x i , P)e dt , hàm U ( x i , P) ư c g i là phép bi n − Pt i Laplace 0 c a hàm U(x i ,t) iv it. Bi u th c trên ư c vi t l i theo U ( x i , P) : α.∆ U = PU − U( x i , P) , Gi i d dàng hơn và tìm ư c U , có U dùng b ng tra tìm U. ∂U( x i , t ) −Pt ∞ ∞ e dt = [U(x i , P).e ] + P∫ U(x i , t )e−Ptdt − Pt Chú ý: ∫ ∂t 0 0 i Sigma σ 4. Phép bi n ⇒ σ=1 ξ=x z= ξ t i m t thoáng z = - h(x,y) ⇒ σ = - 1 t i áy η=y 2(z − ξ ) σ= σ ∈ [ −1,+1] + 1 => h(x , y ) + ξ t’=t Trang 6 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  11. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t z σ m t nư c 1 ξ(x,y,t) m t nư c O x,y 0 ξ, η áy h(x,y) áy -1 σ Ta Ta z D . M T V ÀI NG D NG C A GI I TÍCH HÀM 1. Không gian mêtrix nh nghĩa: M t t p h p X ư c g i là m t không gian Metrix, n u ng v i m i c p ph n t x,y ∈X có m t s th c ρ (x,y) ≥ 0 , g i là kho ng cách gi a x & y, th a i u ki n sau: ρ(x,y) = 0 khi và ch khi x = y, ρ(x,y) = ρ(y,x) ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y), ∀x,y,z ∈ X (b t ng th c tam giác). 2 . Không gian tuy n tính n h chu n T p h p X ư c g i là không gian tuy n tính n u trên t p h p ó xác nh hai phép tính: C ng các ph n t và nhân ph n t v i m t s ng th i th a các tiên : x+y =y+x , (x + y) + z = x + (y + z ), λ(x + y) = λx + λy , (λ+ µ)x = λx + µx λ (µx) = (λµ)x , T n t i p h n t θ ∈ X, g i là ph n t không, sao cho 0.x = θ, ∀x ∈ X Không gian tuy n tính ư c g i là nh chu n, n u ng v i m i x ∈ X ta xác nh ư c m t s th c g i là chu n c a x và ký hi u x ng th i s th c ó th a i u ki n sau: x ≥ 0 , x = 0, khi và ch khi x = θ λx = λ . x ∀λ∈R, ∀x∈X , x + y < x + y , ∀ x,y ∈ X ( b t ng th c tam giác ). 3 . Không gian EUCLIC- Không gian HILBERT Cho m t không gian tuy n tính X (trên trư ng s th c ho c p h c). Gi s ng v i m i c p ph n t x ,y ∈ X, xác nh ư c m t s th c ho c p h c (x,y) th a các i u ki n sau : (x,y) = (y,x) , trong trư ng s ph c thì (x,y) = ( y, x ) (x + y,z) = (x,z) + (y,z), ∀ x,y,z ∈ X (λx,y) = λ(x,y) (x,x) ≥ 0, trong ó (x,x) = 0 khi và ch khi x = θ S (x,y) như v y ư c g i là tích vô hư ng c a hai ph n t x,y. Trang 7 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  12. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Không gian tuy n tính mà trong ó có xác nh tích vô hư ng ư c g i là không gian Euclic. Không gian Euclic , vô h n chi u ư c g i là không gian Hilbert. Toán T Tuy n Tính - Phi m Hàm Tuy n Tính Gi s X,Y là hai không gian Topo tuy n tính Toán t (hay ánh x ): A: X → Y (y = Ax , x ∈ X , y ∈ Y) ư c g i là tuy n tính n u ta có: A(λx1 + µx2 ) = λAx1 + µAx2 T p h p t t c các gía tr x ∈ X mà t i ó A x ác nh, ư c g i là mi n xác nh c a toán t A và ký hi u D(A). Mi n giá tr c a A ư c ký hi u R(A) ⊂ Y. Trong trư ng h p Y = R1 (trư ng s th c), thì toán t tuy n tính A ư c g i là phi m hàm tuy n tính. Câu h i: 1. Nêu ý nghĩa v t lý và trình bày công th c tính c a các toán t Haminton (GradU, DivA, RotA)? S ích l i c a nó ?. 2. Hãy nêu nh ng ưu như c i m c a phép tính toán t so v i phép tính tensor ? 3. Hãy nêu vài ng d ng c a công th c Stockes và công th c Oxtrograski – Gauss ? 4. Hãy nêu vài ng d ng c a các phép bi n i (Laplace, bi n hình b o giác, Sigma) ? Bài t p : Bài 1: Ch ng minh: divgradu = ∇ 2u rot (u.a) = gradu × a + urota v i: a là véctơ, u = u(x,y,z) Bài 2 : ∇.∇(• ) = ∆ (• ) = ∇ 2 (• ) = divgrad (• ) ∂u 1 u Bài 3: T p hương trình véc tơ: F − gradp = + grad ( ) + rotU ρ ∂t 2 Hãy vi t n ó d ng chi u lên các tr c t a ox,oy,oz. Bài 4: Vi t các thành ph n hình chi u lên các tr c ox, oy, oz c a các phương trình sau: TÀI LI U THAM KH O 1. Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996. 2. Nguy n Th Hùng, Phương pháp ph n t h u h n trong ch t l ng, NXB Xây D ng, Hà N i 2004. 3. ào Huy Bích & Nguy n ăng Bích, Cơ h c môi trư ng liên t c, NXB Xây D ng, Hà N i 2002 Trang 8 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  13. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 4. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 5. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 6. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 7. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 8. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Website tham kh o: http://ocw.mit.edu/index.html http://ebookee.com.cn http://db.vista.gov.vn http://dspace.mit.edu http://ecourses.ou.edu http://www.dbebooks.com The end Trang 9 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  14. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t SAI S Chương 1 Approximate numbers 1. 1 Sai s tuy t i G i a là giá tr g n ú ng c a A, ta vi t ư c A = a ± ∆a ∆a : g i là sai s tuy t i gi i h n ∆a 1.2 Sai s tương i δa = , d ng khác: A = a (1 ± δa) a “ch t lư ng“ c a 1 s x p x , ch t lư ng Sai s tuy t i không nói lên y y ư c ph n nh qua sai s tương i. 1.3 Cách vi t s x p x + Ch s có nghĩa: ó là ch s ≠ 0 u tiên tính t trái sang ph i 002,74 → 2,74 Ví d : 00,0207 → 0,0207 + Ch s áng tin: M t s a có th ư c vi t a = ± ∑ α s10s 65,807 = 6.101 + 5.100 + 8.10-1 + 0 .10-2 + 7.10 -3 V y α1 = 6 , α0 =5 , α -1 = 8 , α -2 =0 , α -3 = 7 N u ∆a ≤ 0,5.10S thì αS là ch s áng tin. N u ∆a > 0,5.10S thì αS là ch s áng nghi. Ví d : a = 65,8274 ; ∆a = 0,0043 → Ch s 6,5,8,2 áng tin ∆a = 0,0067 → Ch s 6,5,8 áng tin 1.4 Sai s quy tròn: Quy t c quy tròn Ch s b i u tiên ≥ 5 : Thêm vào ch s gi l i cu i cùng 1 ơn v Ch s b i u tiên < 5 : nguyên ch s gi l i cu i cùng Ví D : 65,8274 → 65,827 ; 65,827 → 65,83 1.5 Sai s c a s ã quy tròn: Gi s quy tròn a thành a’ v i sai s quy tròn tuy t i θa’ a '−a ≤ θa’ thì ∆a’ = ∆a + θa’ (t c tăng sai s tuy t i) 1.6 nh hư ng c a sai s quy tròn : ( ) 2 − 1 10= 3363− 2378 2 Ap d ng nh th c Newton, ta có: Bây gi thay 2 b i các s quy tròn khác nhau: V trái V ph i 2 1,4 0,0001048576 33,8 1,41 0,00013422659 10,02 1,414 0,000147912 0,508 1,41426 0,00014866394 0,00862 Trang 10 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  15. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 1,4142613563 0,00014867678 0,001472 1.8 Các quy t c tính sai s Xét hàm s : u = f(x,y) Ta ký hi u ∆x , ∆y, ∆u : ch các s gia c a x, y, u dx , dy , du : ch các vi phân c a x , y, u ∆X , ∆Y, ∆U : sai s tuy t i c a x, y, u ∆x ≤ ∆ X Ta luôn có: ∆y ≤ ∆y Ta ph i tìm ∆U có: ∆u ≤ ∆ U Sai s c a t ng: u = x + y ∆u ≤ ∆x + ∆y ∆u = ∆x + ∆y → Ta có → ∆u ≤ ∆ X + ∆ Y (≡ ∆ X + Y ) + N u u = x – y v i x, y cùng d u: ∆U ∆X + ∆Y δU = n u x − y là r t bé thì sai s r t l n. = x−y u + N u u = x .y → ∆u ≈ du = ydx + xdy = y∆x + x∆y ∆u ≤ y ∆ X + x ∆ Y ⇒ ∆ U = y ∆ X + x ∆ Y ∆U ∆X ∆Y Do ó : δU = = δX + δY = + u x y x , v i y ≠ 0, δU = δX + δY +N uu= y Công th c t ng quát: u = f(x1 , x2 , x 3, ... , xn) n ∂f ∑ ∆X ∆U = Thì: ∂x i i i =1 1.9 Sai s tính toán và sai s phương pháp Phương pháp thay bài toán ph c t p b ng bài toán ơn gi n (phương pháp g n úng) → t o ra sai s phương pháp. Sai s t o ra b i t t c các l n q uy tròn → sai s tính toán. 1.10 S n nh c a quá trình tính Ta nói quá trình tính là n nh n u sai s tính toán, t c là các sai s q uy tròn tích lũy l i không tăng vô h n (ta s g p l i v n n y phương pháp sai phân). i gi i h n và sai s tương Ví d : Tìm sai s tuy t i gi i h n c a th tích hình c u. 1 π .d 3 . V= 6 N u ư ng kính d=3,7cm ± 0,05 và π =3,14. Bi t ∆d =0,05, ∆π =0,0016. Trang 11 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  16. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Gi i: Xem π và d là i s c a hàm V Ta có: δ v = δ π + 3δ d 0,0016 V i: δ π = = 0,0005 3,14 0,05 δd = = 0,0135 3,7 ⇒ δ v = 0,0005+3.0,0135 = 0,04. 1 V = π .d 3 = 26,5cm3. M t khác: 6 3 V y có: ∆v = 26,5.0,04 = 1,06 ≈ 1,1cm . V = 26,5 ± 1,1 cm3 Câu h i: nh nghĩa sai s tuy t i, sai s tương i ? Trong th c t tính toán, ngư i ta s d ng sai s 1. tuy t i hay sai s tương i ? Vì sao ? 2. Trình bày các quy t c tính sai s ? 3. Nêu s khác nhau gi a sai s tính toán và sai s phương pháp? Hãy nêu ra m t quá trình tính có s li u c th minh h a và ch ra sai s tính toán và sai s phương pháp ? 4. ưa ra vài ví d tính toán, ch ra s c n thi t ph i chú ý n sai s qui tròn ? Bài t p: 1 ) Hãy xác nh ch s tin tư ng trong các s sau: a) x= 0,3941 v i ∆ x = 0,25.10-2 b) y=0,1132 v i ∆ y = 0,1.10 -3 c) z=38,2543 v i ∆ z = 0,27.10-2 2 ) Hãy xác nh sai s tuy t i, bi t sai s tương i c a các s x p x sau: a) x=13267 n u δ x =0,1% b) x=0,896 n u δ y =10% 3) Hãy qui tròn các s dư i ây có ư c 3 ch s tin tư ng và xác nh sai s tuy t i ∆ và sai s tương i δ c a chúng: a) x=2,1514 b) y=0,16152 c) z=1,1225 d) v=0,01204 Trang 12 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  17. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 4) Hãy tính thương u=x 1/x2 c a hai s x p x : x 1=5,735; x2 = 1,23 và xác nh sai s tương i gi i h n δ u , và sai s tuy t i gi i h n ∆ u 5 ) Hãy xác nh sai s tương i gi i h n δ a , sai s tuy t i gi i h n ∆ a và s ch s áng tin c a c nh a c a hình vuông, bi t di n tích hình vuông s=16,45cm2 v i ∆ s =0,01 áp s : 1 ) a) 2; b) 3; c)4 2) a) ∆ x =0,13.10 2 b) ∆ y =0,9.10-1 3) a) 2,15; ∆ x =0,14.10-2; δ x =0,65.10-3 b) 0,162; ∆ y = 0,48.10-3; δ y = 0,3.10-2 c) 1,23; ∆ z =0,5.10-2; δ z =0,41.10-2 d) 0,0120; ∆ v = 0,4.10-4; δ v =0,33.10 -2 4) u=4,66; δ u ≈ 0,0042; ∆ u ≈ 0,02 5) a = x =4,056cm; δ a ≈ 0,0003 ; ∆ a ≈ 0,0012; a có ba ch s áng tin TÀI LI U THAM KH O T V ăn ĩnh, Phương pháp tính, NXBGD, 1997 1. Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996. 2. inh Văn Phong, Phương pháp s trong cơ h c, NXB KHKT, Hà N i 1999. 3. 4. Lê Tr ng Vinh, Gi i tích s , NXB KHKT, Hà N i 2000. 5. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 6. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 7. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 8. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 9. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Website tham kh o: http://ocw.mit.edu/index.html http://ebookee.com.cn http://www.info.sciencedirect.com/books http://dspace.mit.edu http://www.dbebooks.com The end Trang 13 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  18. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Chương 2 N I SUY (INTERPOLATION) Trong nhi u bài toán k thu t, ta ph i tìm các tr yi t i các i m x i bên trong o n [a,b], ho c khi quan h gi i tích y = f(x) ã có s n nhưng ph c t p, ho c c n tìm o hàm, tích phân c a hàm s ,.…Khi ó ta dùng phép n i suy d dàng tính toán mà v n mb o chính xác theo yêu c u c a th c t . 2.1 a th c n i suy Lagrange Cho b ng các giá tr x x1 x2 x3 .... . .. xn y y1 y2 y3 ... ...yn C n l p a th c: y = f(x) có b c m ≤ n - 1, nh n các giá tr yi cho trư c ng v i các xi : yi = f(xi), v i i = 1, 2, 3,…. ...,n Ký hi u: ϕ(x) = (x - x 1)(x - x2)... ... (x - xn) Ta có ư c ng th c: y1ϕ (x) y 2 ϕ (x) f (x) = + + ... (x - x1 )(x 1 − x 2 )(x1 − x 3 )...(x1 − x n ) (x − x 2 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )....(x 2 − x n ) y n ϕ(x) + (x − x n )(x n − x1 )(x n − x 2 ).......(x n − x n −1 ) n y k ϕ(x ) ∑ Hay: f(x)= ây là a th c n i suy Lagrange ' ϕ ( x k ).(x − x k ) k =1 Ví d : x 0 1 2 3 y 3 4 7 8 Tìm a th c n i suy Lagrange và tìm y khi bi t x=1,5. Ta có: ϕ (x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) = x(x-1)(x-2)(x-3) 3.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) 4.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) ⇒ f(x) = + + x.(−1).(−2).(−3) ( x − 1).1.(−1).(−2) 7.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) 8.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) + ( x − 2).2.1.(−1) ( x − 3).3.2.1 =-1/2(x-1)(x-2)(x-3)+2x(x-2)(x-3)-7/2x(x-1)(x-3)+4/3x(x-1)(x-2) T i x =1,5 th vào f(x) ta có y=5,5 2.2 N i suy Newton Gi s y0 , y1 , y2 , ... là nh ng giá tr nào ó c a hàm y = f(x) tương ng v i các giá tr cách u nhau c a các i s x0 , x1 , x2 ...t c là: x K + 1 - xK = ∆x K = const Trang 14 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  19. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Ký hi u: y1 - y0 = ∆y0 ; y2 - y1 = ∆y1 ; ... ... ; yn - yn - 1 = ∆yn - 1 là sai phân c p 1. ∆y1 - ∆y0 = ∆2y0 ; ∆y2 - ∆y1 = ∆2y1 ; ..... là sai phân c p 2. n n n+1 n n n+1 ∆ y1 - ∆ y0 = ∆ y0 ; ∆ y2 - ∆ y1 = ∆ y1 ; ..... là sai phân c p n + 1 . Ti n hành các phép th liên ti p, ta nh n ư c: ..., ∆2y0 = y2 - 2y1 + y0 ; ∆3y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0 ,…. n ∑ (−1) n K CnK yn − K ∆ y0 = K =0 Tương t ta cũng nh n ư c: y1 = y0 + ∆y0 , y2 = y0 + 2∆y0 + ∆2y0 , y3 = y0 + 3∆y0 + 3∆2y0 + ∆3y0 ,… n(n − 1) 2 ∆ y0 + ... + ∆ny0 yn = y0 + n∆y0 + (1) 2! N u trong (1) ta xem n không nh ng là ch là s nguyên dương mà có th là s n = t b t kỳ, ta nh n ư c công th c n i suy Newton: t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3 t ∆ y 0 + ... + ∆t y 0 yt = y0 + ∆y 0 + ∆ y0 + (2) 1! 2! 3! xn − x0 Do bư c tăng ∆x = const, ta ư c xn = x0 + nh, suy ra n = h x − x0 , th vào (2), ta có ư c d ng khác c a (1) t x = x0 + t.h, suy ra t = h x − x0 ( x − x 0 )(x − x 0 − h ) 2 ∆y 0 + ∆ y 0 + .... yn = y0 + (3) 2!h 2 h Víd : x 1 2 3 4 y 5 7 10 12 Tìm hàm n i suy Newton. Gi i: Ta có: Sai phân c p 1 ∆y0 = y1 - y0 =7-5=2 Sai phân c p 2 ∆ 2 y0 = y2 – 2y1 +y0 = 10-2.7+5=1 Sai phân c p 3: ∆ 3 y0 = y3 - 3y2 +3y1 - y0 = 12-3.10+3.7-5 =-2 ∆x = h = 1 x − x0 ( x − x0 )( x − x0 − h) 2 ( x − x0 )( x − x0 − 2h) 3 ⇒ yn = y0 + ∆y0 + ∆ y0 + ∆ y0 2 3!h3 2!h h x −1 ( x − 1)( x − 1 − 1) ( x − 1)( x − 1 − 2.1) (−2)3 .2 + .1 + =5+ 2 3 1 2!1 3!1 1 5 19 = - x3 + x 2 − x+6 3 2 6 Trang 15 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
  20. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 2.3 N i suy SPLINE y y3 f(x) 3 y2 f(x) 2 y1 f(x) 1 y0 x3 x x0 x1 x2 Phương pháp Spline n i suy b ng cách g n m t s a th c b c th p v i nhau; ây ch nghiên c u n i suy Spline b c 3, vì thư ng áp ng yêu c u trong nhi u bài toán th c t . Hình v bên ch ra n i suy 4 i m b ng cách dùng 3 hàm b c 3(cubic) f1(x), f2(x), f3(x). T ng quát n u có (n + 1) i m, ta c n n hàm Spline b c 3 d ng: fi(x) = A1i + A2i x + A3i x2 + A4i x3 , i = 1,2,3, . . . , n Có 4n h s Aji có th xác nh theo các i u ki n sau: (i) Hàm Cubics ph i g p t t c các i m bên trong: có ư c 2n phương trình fi(xi) = yi , i = 1, . . . n ; fi + 1(xi) = yi , i = 0,1, . . . n - 1 (ii) o hàm b c 1 p h i liên t c t i các i m b ên trong, d n n ư c (n – 1) phương trình: f’i(xi) = f’i + 1(xi), i = 1, 2,. . . ,n - 1 (iii) o hàm b c 2 cũng ph i liên t c t i các i m bên trong, thêm ư c (n – 1) phương trình n a: f”i(xi) = f”i + 1(xi), i = 1,2, . . ., n-1 (iv) Hai i u ki n cu i cùng d a vào 2 i m cu i c a ư ng Spline, ây thư ng t f”1(x0) = 0 và f”n(x n) = 0. S p x p l i hàm fi(x), ta ch c n (n-1) phương trình c n thi t gi i, có d ng: y = fi(x) = f " ( xi −1 )( xi − x) 3 f " ( xi )( x − xi −1 ) 3  yi −1 f " ( xi −1 ) ∆xi  y  f " ( xi )∆xi ( x i − x ) +  i − ( x − xi −1 ) + = +  ∆x −   ∆x  6∆xi 6∆xi 6 6 i  i  V i ∆xi = xi - x i – 1, v i i = 1,2,….,n (d ng sai phân lùi). o hàm phương trình này và áp d ng i u ki n liên t c v o hàm b c nh t ta ư c:  ∆y  ∆y ∆xif”(xi - 1) + 2(∆x i + ∆xi + 1).f”(xi) + ∆x i + 1. f”(xi + 1) = 6  − i + i +1   ∆x ∆x i +1    i Trang 16 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2