§5. Phương trình Lagrange loại 2
Nội dung
1Các khái niệm cơ bản
2Nguyên lý công ảo
3Nguyên lý d’Alembert
4Nguyên lý d’Alembert - Lagrange
5Phương trình Lagrange loại 2
Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ nchất điểm
Thí dụ áp dụng
Các tích phân đầu của chuyển động
Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 68 / 91
§5. Phương trình Lagrange loại 2
Giới thiệu sơ lược
Phương trình Lagrange loại 2 là PTVPCĐ của hệ hôlônôm gồm các chất
điểm và các vật rắn. Số phương trình đúng bằng số bậc tự do của hệ.
Giới thiệu cách thiết lập phương trình Lagrange loại 2 cho hệ nchất
điểm
Trong trường hợp hệ các vật rắn chịu các liên kết hôlônôm, kết quả
vẫn có dạng như trường hợp hệ chất điểm.
Một vài thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 69 / 91
§5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ nchất điểm
Nội dung
1Các khái niệm cơ bản
2Nguyên lý công ảo
3Nguyên lý d’Alembert
4Nguyên lý d’Alembert - Lagrange
5Phương trình Lagrange loại 2
Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ nchất điểm
Thí dụ áp dụng
Các tích phân đầu của chuyển động
Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 69 / 91
§5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ nchất điểm
Một vài công thức động học cần thiết
Vị trí của mỗi chất điểm thuộc hệ
~
rk=~
rk(q1,q2, ..., qm,t),qi=qi(t) (i=1, ..., m)(46)
⇒d~
rk
dt =~
vk=
m
X
i=1
∂~
rk
∂qi
˙qi+∂~
rk
∂t⇒∂~
vk
∂˙qj
=∂~
rk
∂qj
(47)
Do ~
vk=~
vk(q1, ..., qm,˙q1, ..., ˙qm,t)và ∂~
rk
∂qj=∂~
rk
∂qj(q1, ..., qn,t)nên ta có
∂~
vk
∂qj=
m
P
i=1
∂2~
rk
∂qi∂qj˙qi+∂2~
rk
∂qj∂t
d
dt ∂~
rk
∂qj=
m
P
i=1
∂2~
rk
∂qi∂qj˙qi+∂2~
rk
∂qj∂t
So sánh hai công thức ta rút ra hệ thức
d
dt ∂~
rk
∂qj=∂
∂qjd~
rk
dt =∂~
vk
∂qj
(48)
Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 70 / 91
§5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ nchất điểm
Thiết lập phương trình Lagrange loại hai
Xét hệ hôlônôm gồm nchất điểm và có fbậc tự do. Như thế cơ hệ xác
định bởi ftoạ độ suy rộng đủ: q1,q2, ..., qf. Nguyên lý d’Alembert -
Lagrange đối với hệ nchất điểm có dạng
n
X
k=1~
Fa
k−mk~
ak.δ~
rk=0(49)
Từ ~
rk=~
rk(q1,q2, ..., qm,t)suy ra δ~
rk=
f
P
i=1
∂~
rk
∂qiδqi. Thế vào (49) ta được
f
X
i=1 n
X
k=1
~
Fa
k.∂~
rk
∂qi!δqi−
f
X
i=1 n
X
k=1
mk
d2~
rk
dt2.∂~
rk
∂qi!δqi=0(50)
Theo định nghĩa lực suy rộng ta có
Qi=
n
X
k=1
~
Fa
k.∂~
rk
∂qi
(51)
Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 71 / 91