0
bài giảng
đại số tuyến tính
Người soạn: Lê Thị Nguyệt
1
Chương 0
tập hợp và ánh xạ
Bài 1: tập hợp
I. Khái niệm tập hợp.
1.1. Định nghĩa. Thuật ngữ ”tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Ta thường
nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập nghiệm của
một phương trình,.... Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng
làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các
khái niệm đơn giản hơn. Ta có thể hình dung tất cả những đối tượng xác định nào
đó hợp lại tạo thành một tập hợp.
Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳn hạn, khi nói
về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là học sinh của
lớp học đó, khi nói về tập hợp các số nguyên thì các đối tượng của tập hợp là các số
nguyên.
Mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. Để chỉ alà
một phần tử của tập Ata viết a∈A(đọc là athuộc A). Viết a/∈A(đọc là akhông
thuộc A) nghĩa là akhông là phần tử của tập A.
Ví dụ: ở chương trình toán phổ thông ta đã biết các tập hợp sau
a) Tập hợp Ncác số tự nhiên.
b) Tập hợp Zcác số nguyên
c) Tập hợp Qcác số hữu tỉ
d) Tập hợp Rcác số thực.
1.2 Cách mô tả tập hợp. Muốn mô tả một tập hợp ta phải làm đủ rõ để khi cho
ta một phần tử ta biết được nó có thuộc tập hợp đã cho hay không. Thường có hai
cách
1) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp.
2) Mô tả tính chất của tập hợp.
1.3 Tập rỗng. Là tập hợp không có phần tử nào và được ký hiệu là ∅
II. Sự bằng nhau của hai tập hợp.
III. Các phép toán trên tập hợp.
3.1 Phép hợp. Hợp của hai tập hợp Avà Blà tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc
một trong hai tập Ahoặc B, ký hiệu là A∩B.
Như vậy
A∪B={x|x∈Ahoặc x∈B}
Tổng quát
[
i∈I
Ai={x|∃i∈I:x∈Ai}
3.2 Phép giao. Giao của hai tập hợp Avà Blà tập hợp tất cả các phần tử đồng thời
thuộc Avà B. Ký hiệu là A∩B. Như vậy
A∩B={x|x∈Avà x∈B}
Tổng quát
\
i∈I
Ai={x|∀i∈I,x ∈Ai}
2
3.3 Phép hiệu. Hiệu của hai tập hợp Avà Blà tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc
Anhưng không thuộc B. Ký hiệu là A|B.Vậy
A|B={x|x∈Avà x/∈B}
Nếu Blà con của Athì A|Bđược gọi là phần bù của Btrong A.
3.4 Tích đề các. Tích đề các của hai tập hợp Avà Blà tập tất cả các cặp (a, b),
trong đó a∈A, b ∈B. Ký hiệu là A×B.Vậy
A×B={(a, b)|a∈A, b ∈B}
Tương tự ta có thể định nghĩa tích đề các của ntập hợp A1,A
2, ..., Anlà
A1×A2×... ×An={(a1,a
2, ..., an)|a1∈A1,a
2∈A2, ..., an∈An}
Nếu A1=A2=... =Anthì ta viết Anthay cho A×A×... ×A(nlần).
3.5 Các tính chất.
a) A∪B=B∪A
b) A∩B=B∩A
c) A∪A=A
d) A∩A=A
e) (A∪B)∩C=A∪(B∩C)
f) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
g) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
h) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
Tính chất phân phối
(\
α∈I
Aα)[B=\
α∈I
(Aα[B)
([
α∈I
Aα)\B=[
α∈I
(Aα\B)
Quy tắc De Morgan.
Cho Aα,α∈Ilà các tập con của tập X.Tacó
X|[
α∈I
Aα=\
α∈I
(X|Aα)
X|\
α∈I
Aα=[
α∈I
(X|Aα)
3
Bài 2: ánh xạ
I. Các khái niệm cơ bản
1.1 Định nghĩa. Cho Xvà Ylà các tập khác rỗng. Một ánh xạ từ tập Xvào tập
Ylà một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử xcủa tập Xvới một phần tử xác định
duy nhất ycủa tập Y. Khi đó phần tử yđược gọi là ảnh của của phần tử xqua ánh
xạ đã cho.
Thông thường, ánh xạ được ký hiệu bằng một chữ. Thuật ngữ "ánh xạ ftừ Xvào
Ymà phần tử xđược đặt tương ứng với ảnh y=f(x)” được ký hiệu như sau
f:X−→ Y
x7→ y=f(x)
Tập hợp Xđược gọi là tập nguồn hoặc là miền xác định của f. Tập hợp Yđược gọi
là tập đích của f.
Ví dụ: 1) Cho X={1,2,3,4};Y={a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
f:X−→ Y
17→ a
27→ c
37→ d
47→ b
là ánh xạ.
2) Cho X={1,2,3,4};Y={a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
g:X−→ Y
17→ a
27→ a
37→ d
47→ b
là ánh xạ.
3) Cho X={1,2,3,4,5};Y={a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
h:X−→ Y
17→ a
27→ a
37→ d
47→ b
4
không là ánh xạ.
4) Cho X={1,2,3,4};Y={a, b, d}. Khi đó tương ứng
k:X−→ Y
17→ a
27→ a
37→ d
47→ b
là ánh xạ.
5) Cho X=Ntập các số tự nhiên, Y={0,1}. Quy tắc mxác định bởi
m(x)=1−(−1)x
2=0,nếu xchẵn
1,nếu xlẻ
là ánh xạ.
6) Tương ứng
n:R−→ Z
x7→ n(x)=[x]
là ánh xạ.
1.2 Định nghĩa. Hai ánh xạ f:X−→ Yvà f1:X1−→ Y1được gọi là bằng nhau
nếu X=X1,Y =Y1và với mọi x∈X, f(x)=f1(x).
Giả sử f:X−→ Ylà ánh xạ. Tập hợp
f(X)={f(x)|x∈X}
được gọi là ảnh của ánh xạ fvà được ký hiệu là Imf.
Nếu Alà tập con của Xthì tập
f(A)={f(x)|x∈A}
được gọi là ảnh của tập Aqua ánh xạ f.
Nếu y∈Ylà một phần tử cố định thì tập
f−1(y)={x∈X|f(x)=y}
được gọi là nghịch ảnh của ybởi ánh xạ f.
Nếu B⊂Ythì tập hợp
f−1={x∈X|f(x)∈B}
được gọi là nghịch ảnh của B
1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Đơn ánh. ánh xạ f:X−→ Yđược gọi là đơn ánh nếu với mọi y∈Y, tập f−1(y)
có không quá một phần tử. Như vậy, flà đơn ánh khi và chỉ khi
∀x1,x
2∈X, f(x1)=f(x2)⇒x1=x2