5.1. Không gian Euclid 5.1.1. Tích vô hướng
5.1.1. Tích vô hướng
Cho Vlà một không gian véc tơ trên R.
Định nghĩa
Một tích vô hướng trên Vlà một ánh xạ h·,·i:V×V→Rthỏa mãn các điều
kiện sau: với mọi u,v,w∈Vvà với mọi k∈R, ta có
1hu,vi=hv,ui;
2hu+v,wi=hu,wi+hv,wi;
3hku,vi=khu,vi;
4hu,ui ≥ 0 và hu,ui=0 khi và chỉ khi u=0.
Không gian véctơ có trang bị một tích vô hướng được gọi là không gian có tính
vô hướng.
Không gian vectơ hữu hạn chiều có tích vô hướng được gọi là không gian Euclid.
3 / 62
5.1. Không gian Euclid 5.1.1. Tích vô hướng
Tích vô hướng Euclid cho Rn
Xét Rnvới tích vô hướng được định nghĩa như sau: nếu u= (x1,...,xn)và
v= (y1, . . . , yn), thì
hu,vi:= x1y1+··· +xnyn.
Kiểm tra được đây thực sự là một tích vô hướng trên Rn. Tích vô hướng trên Rn
này được gọi là tích vô hướng Euclid (hay chính tắc, hay chuẩn tắc, hay thông
thường) trên Rn.
Một tích vô hướng khác trên R2
Trên R2xét
hu,vi:= x1y1+2x2y2.
Đây là một tích vô hướng trên R2.
Ví dụ
Trên R2, xét
hu,vi:= x1y1−2x2y2.
Đây là không là cũng là một tích vô hướng.
4 / 62
