9/17/2017

Chương 2: Hàm liên tục

GIẢI TÍCH

GV. Phan Trung Hiếu

GV. Phan Trung Hiếu

60 tiết

§1. Khái niệm §2. Tính chất của hàm liên tục

LOG O

LOG O

I. Hàm số liên tục tại một điểm:

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trong một khoảng chứa x0. Ta nói: (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu

§1. Khái niệm

).

f x ( 0

lim ( ) f x  x x 0 (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu

).

f x ( 0

f x lim ( )  x x 0

4

3

).

(iii) f(x) liên tục tại x0 nếu 

f x ( 0

f x lim ( ) x 

x 0

Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau:  f(x) không xác định tại x0.  f(x) xác định tại x0, nhưng

không tồn tại

lim ( ) f x  x x 0

hoặc

không tồn tại

lim ( ) f x  x x 0

Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều sau:  f(x) xác định tại x0. 

tồn tại.

hoặc

f x lim ( ) x 

x 0

f x

f x lim ( ) x 

lim ( ). x 

 x 0

 x 0

).

f x ( 0

f x lim ( ) x 

x 0

).

f x ( 0

f x lim ( )  f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng x x  0 f x lim ( ) x 

x 0

6

5

1

9/17/2017

Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì

3

khi

x

0

cũng liên tục tại x0.

f x ( )

a

)

Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số xe ln(1

)

liên tục tại

0.x 0

1  2 x  2

Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau

m

khi

x

0

    1 

x

khi

x

0

a f x ( )

)

sin 3 x

tại

0.

x  0

khi

x

0

b

)

f x ( )

liên tục tại

3

khi

x

0

0.

x  0

khi

x

0

xe x m 

2

   

f g f g . , , ( g 0)   f g

tại

2

1.

x   0

x 1 khi x  1   b f x ( ) ) khi x 1  

3 khi

x

0

tại

0.x 0

c f x ) ( )

khi

x

0

2

x

3

khi

x

0

              1   

7

8

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn:

Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.

Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a,b). Định nghĩa 2.2:

f(x) liên tục trên (a,b)

a

b

a

b

f a ( )

f(x) liên tục trên [a,b]

lim ( ) f x  a x

Không liên tục

Liên tục

f b ( )

x 2 x 2

     

lim ( ) f x  b x

9

10

Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.

§2. Tính chất của hàm số liên tục

Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

Định lý 2.6:

f(x) liên tục trên [a,b]

a b ( , ) :

f c ( )

0.

c   

( ) 0

( ).

f a f b 

11

12

2