BÀI GIẢNG
LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
GVTH: Võ Văn Định
NĂM 2009
1
CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC
2.1 Khái niệm
2.2 Hàm truyền đạt và đại số sơ đồ khối
2.3 Sơ đồ dòng tín hiệu
2.4 Phương pháp không gian trạng thái
2
2.5 Tóm tắt
2.1 KHÁI NIỆM
Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết điều khiển là rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau như hệ thống điều khiển động cơ, lò nhiệt, máy bay, phản ứng hóa học … Do đó, cần có cơ sở để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau, cơ sở đó chính là toán học.
3
Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân bậc cao. Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khắn
2.1 KHÁI NIỆM
Có hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng hơn là:
- Phương pháp hàm truyền đạt
- Phương pháp không gian trạng thái
Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt các biến phụ (biến trạng thái).
4
Mỗi phương pháp mô tả hệ thống đều có ưu điểm riêng
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
a. Định nghĩa:
st
sF )(
f
f
et ). (
dt
(2.1)
t )(
L
0
Cho f(t) là hàm xác định với mọi t 0, biến đổi Laplace của f(t) là:
Trong đó:
L : là toán tử biến đổi Laplace
s: là biến phức (biến Laplace) s = + j
F(s): là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi laplace
5
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức ở biểu thức định nghĩa (2.1) hội tụ
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
(2.2)
t )(
Tính tuyến tính
t )(
sFa )( 2 2
sFa )( 1 1
fa 2
2
6
Nếu hàm f1(t) có biến đổi Laplace là L{f1(t)} = F1(s) và hàm f2(t) có là L{f2(t)} = F2(s) L 1 fa 1
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Ảnh của đạo hàm
sF
s )(
f
)0(
(2.3)
tdfL )( dt
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
Trong đó f(o+) là điều kiện đầu
sF
s )(
(2.4)
tdf )( dt
L
7
Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Ảnh của tích phân
t
f
(2.5)
sF )( s
0
L
)( d
8
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Định lý chậm trễ
f(t)
f(t-T)
t
t
T
Ts
Ts
Ttf (
e
.
e
.F(s) (2.6)
)
tf )(
Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta có f(t-T), khi đó:
L
L
9
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Định lý giá trị cuối
sF
s )(
(2.7)
lim t
lim)( tf s 0
10
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là các tín hiệu cơ bản
11
Các tín hiệu cơ bản là: hàm nấc, hàm mũ, hàm sin…
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
(t)
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
t
0
0
khi t
0
dt
1
Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
t )(
thỏa
t )(
khi t
0
12
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
(t)
t
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
0
t )(
dt
1
(2.8)
t )(
Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
0
khi khi
t t
0 0
st
st
0
et ).(
dt
et ).(
dt
et ).(
dt
1
(2.9)
0
0
0
0
0
1
thỏa
13
Theo định nghĩa: L t )( tL )(
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm nấc đơn vị
u(t)
1
tu )(
(2.10)
t
1 0
khi khi
t t
0 0
0
Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị
st
0
e
e
st
st
dt
dt
e
(2.11)
etu ).(
L tu )(
s
s
e s
1 s
0
0
0
L u(t)
14
1 s
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
f(t)
1
(2.12)
tut )(.
t )(
f
t
Hàm dốc đơn vị
t 0
khi khi
0 0
0
1
Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi t t
st
st
st
st
etf ).(
dt
et .
dt
tf )(
L
2
et . s
e s
1 2 s
0
0
0
(2.13)
L f(t)
15
1 2s
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
f(t)
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
1
at
t
at
f
t )(
e
tu )(.
(2.15)
0
e 0
khi khi
t t
0 0
Hàm mũ
) tsa
(
at
st
(
) tsa
e
. e
dt
dt
e
)( tf
L
e as
1 as
0
0
0
(2.16)
L f(t)
16
1 as
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
f(t)
1
t
khi t
t
f
t )(
(sin
tut ). )(
0
(2.17)
0
0
khi t
0
sin
t j
t j
e
sin
t
Hàm sin
e j .2
j t
j t
e
st
e .
dt
tut )().
2
Từ công thức Euler ta có:
1 j
s
2
s
0
1 sj 2
1 j
(2.18)
L f(t)
2
17
e j 2
s
Theo định nghĩa ta có: L (sin 2
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
r(t)
c(t)
Hệ thống
Tín hiệu vào
Tín hiệu ra
...
a c t ( ) n
a n
a 1
1
a 0
a. Định nghĩa:
dc t ( ) dt
m
d
...
( ) (2.19)
b 0
b m
1
b r t m
b 1
1 r t ( ) 1 m
dr t ( ) dt
n 1 d c t ( ) 1 n dt m d r t ( ) m dt
dt
18
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính bất biến lên tục đều có thể mô tả bởi phương trình vi phân hệ số hằng: n d c t ( ) n dt
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:
Trong đó các hệ số ai = (0n) và bj= (0m) là thông số của hệ thống (a0 0; b0 0); n là bậc của hệ thống.
Hệ thống được gọi là hợp thức nếu n m, hệ thống được gọi là không hợp thức nếu n < m. chỉ có các hệ thống mới tồn tại trong thực tế.
19
Khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân (2.19) rất khó khăn, nhờ vào phép biến đổi Laplace ta khảo sat hệ thống một cách dễ dàng.
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:
n
n
1
...
sCasa )() n
n
m
m
1
sa ( 0
sa 1
1
...
sb ( 0
sb 1
sRbsb )() m
1
m
m
m
1
n
n
1
)( sC sR )(
... ...
sb 0 sa 0
sb 1 sa 1
bsb 1 m m asa 1 n n
20
Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.19) ta được:
...
a 0
a 1
a n
1
a c t ( ) n
n d c t ( ) n dt
dc t ( ) dt
m
d
...
( ) (2.19)
b 0
b 1
b m
1
b r t m
1 r t ( ) 1 m
1 n d c t ( ) 1 n dt m d r t ( ) m dt
dt
dr t ( ) dt
n
n
1
...
a s ( 0
a s 1
1
1
m
m
...
a s a C s ) ( ) n b s ( 0
n b s 1
b s b R s ) ( ) m
1
m
m
m
1
n
n
1
)( sC sR )(
... ...
sb 0 sa 0
sb 1 sa 1
bsb 1 m m asa 1 n n
21
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
m
m
1
a. Định nghĩa:
sG )(
(2.20)
n
n
1
sC )( )( sR
... ...
sb 0 sa 0
sb 1 sa 1
bsb 1 m m asa 1 n n
Đặt:
G(s) là hàm truyền của hệ thống
Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện ban đầu bằng 0
22
Hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào bậc và thông số của hệ thống. Do đó ta có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống.
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
Trong hệ thống tự động các khâu hiệu chỉnh là các bộ điều khiển đơn giản được sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt của hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của hệ thống
Thường khâu hiệu chỉnh là các mạch điện.
Có hai loại mạch hiệu chỉnh: mạch hiệu chỉnh thụ động và mạch hiệu chỉnh tích cực.
Mạch hiệu chỉnh thụ động có độ lợi 1
23
Mạch hiệu chỉnh tích cực có độ lợi >1
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
R
i(t)
C
vi(t)
vo(t)
Khâu tích phân bậc 1
)( t
)( t
Cti )(
C
dv c dt
dv 0 dt
24
Quan hệ dòng điện và điện áp trên tụ C cho ta:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
R
i(t)
C
vi(t)
vo(t)
Khâu tích phân bậc 1
tv )( R
tv )( C
tv )( i
t )(
tiR )(.
RC
)(
(2.21)
tv )( C
tv )( i
tv )( 0
tv i
25
dv 0 dt
Theo định luật Kirchoff ta có:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
Khâu tích phân bậc 1
Biểu thức (2.21) chính là phương trình vi phân mô tả khâu tích phân bậc một.
sVsVs )( )( )(
sG )(
RCsV o
o
i
1 RCs
1
V o V i
26
Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace biểu thức (2.21), ta được:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
Khâu tích phân bậc 1
sG )(
(2.22)
1 Ts
1
27
Đặt T =RC phương trình trên sẽ trở thành:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
Khâu vi phân bậc 1
C
sG )(
(2.23)
i(t)
Ts
Ts
1
vi(t)
vo(t)
R
Chứng minh tương tự như khâu tích phân bậc 1 ta có:
28
Với: T = RC
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
R1
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
C
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
i(t)
vi(t)
vo(t)
R2
Khâu sớm pha
(2.24)
KsG )( C
Ts 1 Ts 1
Chứng minh tương tự như khâu tích phân bậc 1 ta có:
T
KC
R 2 RR 1 2
CRR 21 RR 1 2
và
CRT
1và
29
RR 1 2 R 2
Trong đó:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
R1
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
vi(t)
vo(t)
R2
i(t)
Khâu trễ pha
C
(2.25)
KsG )( C
Ts 1 Ts 1
Chứng minh tương tự như khâu tích phân bậc 1 ta có:
T
(
)
1 CRR
2
1CK
và
CRT
2
30
R 1 RR 1 2
Trong đó:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực
Khâu tỉ lệ P (Proportional)
R2
)(
(2.26)
PKsG
R1
vi
Khâu tỉ lệ có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào.
KP
vo
R 2 R 1
31
Trong đó:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực
Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)
C
R2
G(s)
K
(2.27)
P
R1
K I s
Khâu tỉ lệ có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào.
vo
K
;
K
P
I
R 2 R 1
vi 1 CR 1
32
Trong đó:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực
Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)
t
)(
)(
)( d
(2.28)
I
vKtvKtv o iP i
0
33
Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PI là:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực
Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)
R2
sKKsG .
)(
(2.29)
P
D
R1
Khâu vi phân tỉ lệ PD có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào và vi phân của tín hiệu vào.
C
vi
vo
K
K
P
D
CR 2
R 2 ; R 1
34
Trong đó:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực
Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)
(t)
)(
)(
(2.30)
KtvKtv o iP
D
dv i dt
35
Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PD là:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực
C2
R2
Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)
C1
KsG )(
(2.31)
P
sK . D
vi
vo
K I s
Khâu vi tích phân tỉ lệ PID có đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, vi phân của tín hiệu vào và tích phân của tín hiệu vào. R1
;
K
;
K
P
CR 12
I
D
CRCR 11 22 CR 21
1 CR 21 36
Trong đó: K
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực
Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)
t
(t)
)(
)(
)( d
K
(2.32)
I
D
vKtvKtv o iP i
dv i dt
0
37
Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PID là:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Ví dụ tính toán hàm truyền
Động cơ một chiều kích từ độc lập
KT
Rư
Lư
Eư
Uư
M1, B, J
38
Sơ đồ nguyên lý của động cơ điện một chiều:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Động cơ một chiều kích từ độc lập
Trong đó:
- tốc độ góc Lư - điện cảm phần ứng
Rư - điện trở phần ứng Mt - moment tải
B - hệ số ma sát Uư - điện áp phần ứng
39
J - moment quán tính Eư - sức phản điện động
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Động cơ một chiều kích từ độc lập
t )(
)(
(2.33)
i ö
Rt ).( ö
L ö
tE ö
(t)U ö
di ö dt
Theo định luật Kirchoff ta có phương trình cân bằng điện áp ở mạch điện phần ứng:
Trong đó: Eư(t) - sức phản điện phần ứng Eư(t) = K(t) (2.34)
K - là hệ số
40
- từ thông kích từ
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Động cơ một chiều kích từ độc lập
)( tB
J
(2.35)
(t)M d
tMt )(
td )( dt
Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay, ta có phương trình cân bằng moment trên trục động cơ:
41
Trong đó: Mđ – là moment động cơ : Mđ = Kiư(t) (2.36)
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Động cơ một chiều kích từ độc lập
I
(
sILRs ).
sEs )(
)(
(2.37)
(s)U ö
ö
ö
ö
ö
ö
K
s )(
(2.38)
(s)E ö
)(
Js
s )(
(2.39)
(s)M ñ
sBsMt )(
s )(
(2.40)
(s)M ñ
IK ö
42
Biến đổi Laplace các phương trình (2.33), (2.34), (2.35), (2.36) ta có:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Động cơ một chiều kích từ độc lập
L ö T ö R
ö
Đặt : Là hằng số thời gian điện từ động cơ.
T C
J B
43
Là hằng số thời gian điện cơ của động cơ.
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Động cơ một chiều kích từ độc lập
s )(
1(
- (s)U ö
sE )( ö
ö
I
s )(
(2.41)
ö
R ö - (s)U ö R 1( ö
IsT ) u sE )( ö sT ) c
-
B
1(
)() s
(s)Md
sT c
s )(
(2.42)
sM )( t (s)M - d B 1(
44
sM )( t sT ) c
Ta có thể viết lại (2.37) và (2.39) như sau:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển
Động cơ một chiều kích từ độc lập
Mt(s)
1
1
(s)
Uư(s)
Iư(s)
Mđ(s)
K
1
B c1 sT
R ö sT ö
K
45
Từ các biểu thức (2.38), (2.40), (2.41), (2.42) ta có sơ đồ cấu trúc của động cơ một chiều như sau:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
a. Sơ đồ khối
Ở mục 2.2.2 chúng ta đã dẫn ra được hàm truyền của các phần tử cơ bản trong hệ thống điều khiển. Trong thực tế hệ thống gồm nhiều phần tử cơ bản kết nối với nhau. Một cách đơn giản nhưng hiệu quả rất nhiều trong việc biểu diễn các hệ thống phức tạp là dùng sơ đồ khối.
Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống.
46
Sơ đồ khối gồm ba thành phần chính: khối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh.
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
a. Sơ đồ khối
Khối chức năng: tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền.
Điểm rẽ nhánh: tại điểm rẽ nhánh các tín hiệu đều bằng nhau.
x
y
x
y
y
x
G
z
z
c)
a)
b)
y = xG
x = y = z
y = x - z
Bộ tổng: tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng các tín hiệu vào.
47
a) Khối chức năng; b) Điểm rẽ nhánh; c) Bộ tổng
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
R(s)
C(s)
R2(s)
C2(s)
G2(s)
Gn(s)
R1(s)
C1(s)
Rn(s)
Cn(s)
G1(s )
Hệ thống nối tiếp
n
G(s)
).
sG ( 1
C(s) R(s)
(s)C(s)C . 1 (s)C(s)R . 1
(s)C n (s)R 2
1 (
2
).
).
sGsG ). (
(
).
sG ( 1
sG ( 1
2
1
(s)CsC ). n sC(s)R . )(
(s)C n (s)R 1 (s)C n (s)R 2
(s)C n (s)R 3
2
2
n
48
...
)...
).
(
(2.44)
sGsGsG ( )( 2
n
1
sG )( i
i
1
Hàm truyền tương đương của hệ thống nối tiếp:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
R1(s)
C1(s)
G1(s )
R(s)
C(s)
R2(s)
C2(s)
G2(s )
Rn(s)
Cn(s)
Gn(s ) ...
)(
sC )( n
1
2
G(s)
C(s) R(s)
sCsC )( sR )(
Hệ thống song song
...
)(
(2.45)
49
n sG i 1 i
sC )( 1 sR )( 1
sC )( 2 sR )( 2
sC )( n )( sR n
(Tổng đại số)
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
R(s)
E(s)
C(s)
R(s)
E(s)
C(s)
G(s)
G(s)
Cht(s)
Cht(s)
H(s)
H(s)
Hệ hồi tiếp một vòng
50
a) Hồi tiếp âm b) Hồi tiếp dương
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp một vòng
R(s)
E(s)
C(s)
G(s)
sGk )(
Cht(s)
sC )( sR )(
H(s)
Hàm truyền hồi tiếp âm:
sC )(
sGsE ). )(
(
sR )(
)(
sCsE )(
(do
s )(E
sCsR (
)(
))
ht
ht sHsCsE ( )(
)(
).
C(S).H(s) )
(S)C (do ht C(s) (do
E(s).G(s) )
sHsGsEsE ). )(
)(
).
(
(
51
Ta có:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
R(s)
E(s)
C(s)
G(s)
Hệ hồi tiếp một vòng
Cht(s)
Hàm truyền hồi tiếp âm:
H(s)
(2.46)
sGk )(
1
sG )( ). sHsG ( )( Trường hợp đặc biệt khi H(s) = 1 ta có hệ thống hồi tiếp âm đơn vị. Trong trường hợp này (2.46) trở thành:
(2.47)
sGk )(
sG )( sG )(
1
52
Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta có:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
R(s)
E(s)
C(s)
Hệ hồi tiếp một vòng
G(s)
Cht(s)
sGk )(
H(s)
sC )( sR )(
Hàm truyền hồi tiếp dương:
C(s)
E(s).G(s)
R(s)
E(s)
(do E(s)
R(s)
(s)C ht
) (s)C ht
E(s)
C(s).H(s)
(S)
C(S).H(s) )
(do
E(s)
E(s).G(s).
H(s)
E(s).G(s) )
C ht (do C(s)
53
Ta có:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
R(s)
E(s)
C(s)
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
G(s)
Hệ hồi tiếp một vòng Hàm truyền hồi tiếp dương:
Cht(s)
H(s)
(2.48)
sGk )(
sG )( ). sHsG ( )(
1
54
Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta có:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng
Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực hiện các phép biến đổi tương đương với sơ đồ khối để là xuất hiện các dạng kết nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp một vòng) và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ trong ra ngoài.
55
Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra như nhau.
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng
Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:
x1
x3
x1
x3
G(s)
G(s)
x2
x2
1/G(s)
Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước ra phía sau:
x1 = x2 ; x3 = x1.G(s) x3 = x1.G(s);
56
x2= x3.(1/G(s)) = x1.G(s).(1/G(s)) = x1
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng
Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:
x1
x3
x1
x3
G(s)
G(s)
x2
x2
G(s)
Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước :
x3 = x1.G(s); x3 = x1.G(s); x2= x1.G(s)
57
x2 = x3 = x1.G(s)
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng
Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:
x1
x1
x2
x2
G(s)
G(s)
x3
x3
G(s)
Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau:
x2 = (x1- x3) G(s) x2 = x1.G(s) - x3.G(s)
58
= (x1 - x3).G(s)
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng
Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:
x1
x1
x2
x2
G(s)
G(s)
x3
x3
1/G(s)
Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước:
x2 = x1.G(s) - x3 x2 = (x1 - x3.[1/G(s)]).G(s)
59
= x1.G(s) - x3
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng
Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:
x1
x4
x1
x4
x3
x2
x2
x3
Chuyển vị trí hai bộ tổng:
60
x4 = (x1 - x2) + x3 x4 = (x1 + x3) - x2
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng
Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:
x3
x3
x1
x4
x1
x4
x2
x2
Tách một bộ tổng thành hai bộ tổng:
61
x4 = x1 - x2 + x3 x4 = (x1 – x2) + x3
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng Chú ý: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau đây rất hay bị nhầm lẫn là biến đổi tương đương:
x3
x3
x1
x4
x1
x4
x2 x4 = x1 - x2
x2 x4 = x1 - x2
Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng
62
x3 = x4 = x1 - x2 x3 = x1
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối
Hệ hồi tiếp nhiều vòng Chú ý: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau đây rất hay bị nhầm lẫn là biến đổi tương đương:
x4
x4
x1
x5
x1
x5
x3
x3
x2 x4 = x1 - x2
x2 x4 = x1 + x3
Chuyển vị trí hai bộ tổng khi giữa hai bộ tổng đó có điểm rẽ nhánh
63
x5 = (x1 - x2) + x3 x5 = (x1 + x3) - x2
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống
G1(s )
R(s)
C(s)
2
1
G2(s ) G3(s )
G4(s )
64
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống
Biến đổi tương đương sơ đồ khối như sau:
G1(s )
R(s)
C(s)
G2(s )
2
1
GA(s)
65
- Chuyển vị trí hai bộ tổng 1 và 2, đặt GA(s) = [G3(s)//G4(s)], ta được sơ đồ khối tương đương:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống
- GB= [G1(s) // hàm truyền đơn vị]
R(s)
C(s)
GB(s)
GC(s)
)(
)(
4
sGsGsG )( 3
1)(
A sG B
sG )( C
sG )( 1 sG )( 2 ). sGsG ( )(
1
1
).[
(
)]
A
2
sG )( 2 sGsGsG )( ( 3
4
2
66
- GC(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), GA(s)]
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
R(s)
C(s)
GB(s)
GC(s)
c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống
)(
).
(
sGsGsG )( B
ht
(
sG )( ht
)]
1
C )( sGsG 1[ )]. 1 2 ( ).[ sGsGsG )( ( 3
2
4
67
- Hàm truyền tương đương của hệ thống:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
Nhận xét:
Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn giản và trực quan dùng để tìm hàm truyền tương đương của hệ thống.
68
Khuyết điểm của phương pháp biến đổi sơ đồ khối là không mang tính hệ thống, mỗi sơ đồ cụ thể có thể nhiều cách biến đổi sơ đồ khác nhau tùy theo trực giác của người giải bài toán.
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.3 Đại số sơ đồ khối
Nhận xét:
Ngoài ra, khi tính hàm truyền tương đương ta phải thực hiện nhiều phép tính trên các phân thức đại số, đối với các hệ thống phức tạp các phép tính này hay bị nhầm lẫn. Do đó phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối chỉ thích hợp để tìm hàm truyền tương đương của các hệ thống đơn giản.
69
Đối với các hệ thống phức tạp ta có một phương pháp hiệu quả hơn, đó là phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu sẽ đề cập đến ở mục 2.3 tiếp theo.
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason
a. Định nghĩa:
Để biểu diễn hệ thống tự động, ngoài phương pháp sử dụng sơ đồ khối ta còn có thể sử dụng phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu.
C(s)
R(s)
1
E(s) G(s)
1
C(s)
R(s)
G(s)
-H(s)
H(s)
b)
a)
So sánh sơ đồ khối và sơ đồ dòng tín hiệu của hệ thống như hình:
70
b) Sơ đồ dòng tín hiệu a) Sơ đồ khối
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason
a. Định nghĩa:
Định nghĩa:
Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh.
- Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống.
- Nhánh: là đường nối trực tiếp giữa hai nút, trên mỗi nhánh có mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ tín hiệu giữa hai nút.
- Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra.
71
- Nút đích: là nút chỉ có các nhánh hướng vào.
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason
a. Định nghĩa:
Định nghĩa:
- Nút hỗn hợp: nút có tất cả các nhánh ra và các nhánh vào.
Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng tổng đại số của các tín hiệu vào.
- Đường tiến: đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần.
72
- Độ lợi của một đường tiến: tích của các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến đó.
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason
a. Định nghĩa:
Định nghĩa:
- Vòng kín: đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần.
73
- Độ lợi của vòng kín: tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín đó.
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason
b. Công thức Mason:
G
(2.49)
k P k
1
k
Hàm truyền tương đương của hệ thống tự động biểu diễn bằng sơ đồ dòng tín hiệu có thể tính theo công thức sau:
Trong đó: Pk - độ lợi của đường tiến thứ k.
1
...
(2.50)
LL i
j
LLL mj i
L i
i
ji ,
mji , ,
74
- định thức của sơ đồ dòng tín hiệu.
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason
iL
i
b. Công thức Mason:
iLL
j
, ji
- Tổng độ lợi vòng của các vòng kín có trong sơ đồ dòng tín hiệu.
i LLL mj
, mji ,
- Tổng các tích độ lợi vòng của hai vòng không dính nhau.
k
- Tổng các tích độ lợi vòng của ba vòng không dính nhau.
75
- Định thức con của sơ đồ dòng tín hiệu, k được suy ra từ bằng các bỏ đi các vòng kín có dính tới đường tiến Pk.
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason
b. Công thức Mason:
Chú ý: - “Không dính” = không có nút chung nào.
76
- “Dính” = có ít nhất một nút chung.
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason
Bài ví dụ:
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống mô tả bởi sơ đồ dòng tín hiệu như sau:
G7
G6
R(s) 1 C(s) G1 G2 G3 G5 G4
-H1
77
-H2
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason
G7 Giải:
G6
R(s) 1 C(s) G1 G2 G3 G5 G4
-H1
-H2
P2 = G1.G4.G5 G6; P3= G1.G2.G7
- Độ lợi của các đường tiến: P1 = G1.G2.G3.G4.G5 ; - Độ lợi của các vòng kín:
L1 = - G4.H1 ; L2 = - G2.G7.H2 ; L3 = - G6.G4.G5.H2 ;
78
L4 = - G2.G3.G4.G5.H2
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason
Giải:
- Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu; = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4) + L1.L2
- Các định thức con:
1 = 1 ; 3 = 1 - L1
G
)
.ΔP 2 2
.Δ(P 1 1
.ΔP 3 3
1(
)
.
.
.
2
5
3
5
G
1 Δ GGGGGGGGGGGG . . 1 1 7 . .
. 4 HGGHGHGGGGHGGGHGGHG
HG . 4 1 .
. 4
.
. 2 .
.
. 1 .
6 .
.
.
.
1
4
1
2
7
2
2
3
4
5
2
6
4
5
2
2
7
. 1
4
2 79
2 = 1 ; Hàm truyền tương đương của hệ thống là:
2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU
2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason
Trong trường hợp hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng công thức Mason, trước tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu.
Khi từ sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu cần chú ý:
- Có thể gộp hai bộ tổng liền nhau thành một nút.
- Có thể gộp một bộ tổng và một điểm rẽ nhánh liền sau nó thành một nút.
80
- Không thể gộp một điểm rẽ nhánh và một bộ tổng liền sau nó thành một nút
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.1 Khái niệm
Như ta đã biết, quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ thống liên tục bất kỳ có thể mô tả bằng phương trình vi phân bậc n.
Nghiên cứu hệ thống dựa trên phương trình vi phân bậc n rất khó khăn, do đó cần mô tả toán học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống dễ dàng hơn
81
Phương pháp hàm truyền chuyển quan hệ phương trình vi phân cấp n thành phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.1 Khái niệm
Nghiên cứu hệ thống mô tả bằng hàm truyền thuận lợi hơn bằng phương trình vi phân, tuy nhiên hàm truyền có một số khuyết điểm sau:
- Chỉ áp dụng được khi điều kiện ban đầu bằng 0.
- Chỉ áp dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến, không thể áp dụng mô tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian.
82
- Nghiên cứu hệ thống trong miền tần số.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.1 Khái niệm
Một phương pháp khác được sử dụng để khảo sát hệ thống tự động là phương pháp không gian trạng thái.
Phương pháp không gian trạng thái chuyển phương trình vi phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc nhất bằng các đặt n biến trạng thái.
83
Phương pháp không gian trạng thái khắc phục được khuyết điểm của phương pháp hàm truyền.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái
Trạng thái
Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm tt0 ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0.
Hệ thống bậc n có n biến trạng thái. Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hay không phải là biến vật lý.
84
Phương pháp mô tả hệ thống bằng cách sử dụng các biến trạng thái gọi là phương pháp không gian trạng thái.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái
Véctơ trạng thái
T
x
(2.51)
x x 1 2
... nx
n biến trạng thái hợp thành véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu:
Ax(t)
Br(t)
(2.52)
Cx(t)
Dr(t)
(t)x c(t)
85
Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái
Ax(t)
Br(t)
(2.52)
Cx(t)
Dr(t)
(t)x c(t)
Véctơ trạng thái
n
A
B
a 12 a 22
a 1 n a 2
a n
2
a nn
a 11 a 21 a 1 n
b 1 b 2 nb
1dD
1 cC
2 c
nc
86
Trong đó :
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái
Véctơ trạng thái
Phương trình (2.52) được gọi là phương trình trạng thái của hệ thống. Nếu A là ma trận thường, ta gọi (2.52) là phương trình trạng ở thái thường; nếu A là ma trận chéo, ta gọi (2.52) là hệ phương trình trạng thái ở dạng chính tắc.
87
Đối với hệ thống hợp thức chặt (bậc của tử số hàm truyền nhỏ hơn bậc mẫu số) thì D = 0.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái
Véctơ trạng thái
Hệ thống mô tả bởi hệ phương trình trạng thái (2.52) có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ trạng thái như sau:
D
x
x
c(t) r(t)
B C
88
A
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
...
)(
(2.53)
a 1
a n
1
tca )( n
trb 0
n tcd )( n dt
n 1 tcd )( 1 n dt
tdc )( dt
Cho hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:
89
Để ý rằng trong phương trinh (2.53) hệ số a0 = 1. Nếu a0 1 ta chia hai vế phương trình vi phân cho a0 để được dạng (2.53).
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
tc )(
tx )(1
- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra:
tx )( i
1 t )(
- Biến trạng thái thứ i (i = 2 n) đặt theo quy tắc: biến sau bằng đạo hàm biến trước: x i
90
Phương pháp đặt biến trạng thái như trên (biến sau bằng đạo hàm của biến trước) gọi là phương pháp tọa độ pha.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
tc )( tc )(
)( tx 1 tx )( 2 tx )( 3
)( tc tx )( 1 tx )( 2
)( tx 2 tx )( 3
)( t
)( tx n
x n
1
)( tx n
tx )( n
91
1 n )( tcd 1 n dt
n )( tcd n dt
Áp dụng cách đặt biến trạng thái như mô tả ở trên ta có:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
...
tx )( n
txa )( n 1
txa )( 21 n
txa )( n 1
trb )( 0
92
Thay các biến trạng thái vào phương trình (2.53) ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
tx )( 2 tx )( 3
)54.2(
t )(
...
t )(
tx )( n txa )( n 1
txa )( n 21
txa )( n 1
trb )( 0
xa n 2
1
• Quy tắc đặt biến trạng thái
93
Kết hợp phương trình trên với quan hệ giữa các biến trạng thái ta được hệ phương trình sau: tx )( 1 tx )( 2 x n 1 tx )( n
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
0
1
0
0
0
tx )( 1 tx )( 2
0
0
1
0
tx )( 1 tx )( 2
0
t )(
0
0
0
1
t )(
0
x 1 n tx )( n
x 1 n tx )( n
a n
a n
1
a n
2
a 1
b 0
)(. tr
94
Viết lại (2.54) dưới dạng ma trận:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
tx )( 1 tx )( 2
tc )(
01
tx )( 1
t )(
x n 1 tx )( n
00
95
Đáp ứng của hệ thống:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
Ax(t)
Br(t)
(2.55)
Cx(t)
(t)x c(t)
96
Vậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
1
0
0
0
tx )( 1 tx )( 2
0
0
1
0
tx )(
A
t )(
0
0
0
1
x n 1 tx )( n
a n
a n
1
a n
2
a 1
97
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
C C
0 0 0 0
B B
01 01
00 00
0 0
b b 0 0
98
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Ví dụ:
)(6)(5)(2 tc tc tc
tc )(10
tr )(
99
Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào - tín hiệu ra mô tả bằng phương trình vi phân sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải:
tc
tc )(5,0)(5)(3)(5,2)( tr
tc
tc
Đặt các biến trạng thái như sau:
tc ; )(
; )(
x 1
x 2
tx 1
x 3
tx )( 2
100
Chia hai vế phương trình vi phân cho 2, ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải:
Ax(t)
Br(t)
Cx(t)
(t)x c(t)
101
Áp dụng công thức (2.55), ta có hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải:
1
0
1
0
0
0
tx )(
A
0
0
0
1
0
1
5
3
a 3
a 2
a 1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
5,2
102
Với:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải:
0
0
001C 001C
B
0
0 0b
5,0
103
Với:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
...
a 1
a n
1
tca )( n
n tcd )( n dt
tdc )( dt
m
d
...
)(
(2.56)
b 0
b 1
b m
1
trb m
1 tr )( 1 m
1 n tcd )( 1 n dt m trd )( m dt
dt
tdr )( dt
Xét bài toán xây dựng hệ phương trình trạng thái cho hệ thống:
104
Để có thể áp dụng các công thức dưới đây, m phải thỏa mãn điều kiện m = n - 1 (các hệ số b0, b1, … có thể bằng 0).
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
tc )(
tx )(1
- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra:
t )(
tx )( i
x i
tr )( i 1
1
105
- Biến trạng thái thứ i (i = 2 n) đặt theo quy tắc:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
Ax(t)
Br(t)
Cx(t)
(t)x c(t)
106
Với quy tắc đặt biến trạng thái như trên, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
1 0
0 0
0 1
0 0
1 2
A
B
0
0
0
1
a n
a n
1
a n
2
a 1
1 n n
C
01
00
107
Trong đó :
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Quy tắc đặt biến trạng thái
b 0 b 1 b 2
a 11 a a 21 12
...
b n
1
a 1 n
1
a n
11
1 2 3 n
108
Với :
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
a 2
tca )( 3
a 1
3 tcd )( n dt
(2.57)
b 0
b 1
trb )( 2
2 tcd )( 1 n dt 2 trd )( 2 dt
tdc )( dt tdr )( dt
109
Xét hệ bậc 3 có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra qua phương trình vi phân sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
(2.58)
(2.59)
tc )( tc )(
tr )(
tr )(
(2.60)
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
tc )( tx )( 1 tx )( 2
tr )( 1 2
tr )( 1 )( tr 1
2
110
Đặt các biên trạng thái như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
)59.2(
(2.61)
)60.2(
(2.62)
)( tc )( tc )(c t
tr )( )( tr
(2.63)
tx )( 2 tx )( 3 tx )( 3
tr )( 1 )( tr 1 )( tr 1
2 2
111
Với cách đặt biến trạng thái như trên ta có:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
tx )( 3
)( tr 1 txa )( 2 2
)( tr 2 tr )( 1
txa )( 3 1 txa )( 13
tr )( 1 )( trb 0
2 )( trb 1
tr )( trb )( 2
)() tr
tx )( 3
)() tr
tr )()
txa )( 13 b ( 1
txa )( 12 a 11
txa )( 31 b ( 2
2
b ( 1 0 a a 21 12
(2.64) 112
Thay (2.58), (2.61), (2.62) và (2.63) vào phương trình (2.57) ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
0
1
0
a 11
2
b 0 b 1
a 11
b 0 b 1
1 2
Chọn 1, 2 sao cho đạo hàm của tín hiệu vào trong biểu thức (2.64) bị triệt tiêu:
3
b 2
a a 21 12
113
Đặt:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
tr )(
(2.65)
tx )( 3
txa )( 13
txa )( 22
txa )( 31
3
Thay vào (2.64) ta được:
tr )(
tr )( 1 2
tr )(
114
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
tx )( 2 tx )( 3 txa )( 13
txa )( 22
txa )( 11
3
Kết hợp (2.59), (2.60) và (2.65) ta được hệ phương trình:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
0
1
0
0
0
1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
a 3
a 2
a 1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
1 2 3
tr )(.
115
Viết lại dưới dạng ma trận:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
b 0 b 1 b 2
a 11 a a 21 12
1 2 3
116
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự
tc )(
001
tx )( 1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
117
Đáp ứng của hệ thống:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Ví dụ áp dụng:
tc
tc tc )(6)(5)(
tc )(10
)(10 tr
tr )(20
118
Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có quan hệ tín hiệu vào và tín hiệu ra qua phương trình vi phân sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải :
tr )(
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
tc )( tx )( 1 tx )( 2
tr )( 1 2
119
Đặt biến trạng thái như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải :
0 0
1 0
0 1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
a 3
a 2
a 1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
1 2 3
tr )(.
120
Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải :
0
10
05
10
20
06
10
5
30
b 0 b 1 b 2
a 11 a a 21 12
1 2 3
121
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải :
0
1
0
0
0
0
1
10
10
6
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
5
tx )( 1 )( tx 2 tx )( 3
tr )(. 30
122
Thay các thông số của hệ vào phương trình trạng thái, ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân
Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín hiệu vào
• Giải :
tc )(
001
tx )( 1
tx )( 1 )( tx 2 tx )( 3
123
Đáp ứng của hệ thống:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
124
Nếu hệ phương trình cho dưới dạng hàm truyền, ta có thể biến đổi Laplace ngược để chuyển quan hệ hàm truyền thành phương trình vi phân, sau đó áp dụng phương pháp thành lập hệ phương trình trạng thái như trình bày ở mục 2.4.3.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
Ví dụ:
R(s)
C(s)
10 ss (
)3
1 s
2
125
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
Giải:
Hàm truyền của hệ thống kín:
( ) G s k
G s ( ) ( ). ( ) 1 H s G s
1
10 s s 1 ) .(
10 s s 1 ) .( 1 s 2
) 10 s 2 .( ) s s 3 s 2 ).( .(
10
126
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
3
sC )( )( sR
s )2 .(10 ).(3 s )2
ss .(
10
s
s 10 2 s 5
20 s 6
10
3
2
s (
s 5
s 6
).10
sC )(
s 10(
).20
sR )(
tc
tc tc )(6)(5)(
tc )(10
)(10 tr
tr )(20
127
Giải:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
Giải:
tr )(
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
tc )( tx )( 1 tx )( 2
tr )( 1 2
128
Đặt biến trạng thái như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
Giải:
0 0
1 0
0 1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
a 3
a 2
a 1
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
1 2 3
tr )(.
129
Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
Giải:
0
10
05
10
20
06
10
5
30
b 0 b 1 b 2
ba 01 ba 11
ba 02
1 2 3
130
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
Giải:
0
1
0
0
0
0
1
10
10
6
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
5
tx )( 1 )( tx 2 tx )( 3
tr )(. 30
131
Thay các thông số của hệ vào phương trình trạng thái, ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân
Giải:
tc )(
001
tx )( 1
tx )( 1 )( tx 2 tx )( 3
132
Đáp ứng của hệ thống:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
m
m
1
(2.66)
1
sC )( )( sR
sb 0 n s
... ...
sb 1 n sa 1
bsb 1 m m asa 1 n n
Xét hệ thống bậc n có hàm truyền là:
133
Để thuận lợi cho việc xây dựng hệ phương trình biến trạng thái, trong biểu thức (2.66) hệ số a0 =1 (nếu a0 1, ta chia tử số và mẫu số cho a0) và m = n -1 (các hệ số b0, b1…có thể bằng 0).
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
m
m
1
sC )(
...
).
)(
(2.67)
sb ( 0
sb 1
sYbsb m
n
n
1
sR )(
(
s
...
m ).
(2.68)
sa 1
1 sYasa )( n
1
n
Đặt biến phụ Y(s) sao cho:
m 1
d
Biến đổi Laplace ngược hai vế (2.67) và (2.68) ta được:
( ) c t
...
( ) (2.69)
b 0
b 1
b m 1
b y t m
( ) y t m 1
( ) dy t dt
( ) r t
(
...
a
a 1
n 1
a y t n
( ) (2.70) 134
m ( ) d y t m dt n ( ) d y t n dt
dt n 1 ( ) d y t n 1 dt
( ) dy t dt
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
)( ty
(2.71)
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
ty )( tx )( 1 tx )( 2
ty )( tx )( 1
n
1
d
t )(
tx )( n
x n
1
ty )( 1 n
dt
135
Xét phương trình (2.70), ta đặt các biến trạng thái nhứ sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
tc )(
t )(
...
txb )( n 0
xb n 1
1
txb )( 21 m
txb )( m 1
Thay các biến trạng thái ở biểu thức (2.71) vào phương trình vi phân (2.69) ta được:
txCtc )( )(.
(2.74)
Viết dưới dạng véc tơ:
(2.75)
bC m
b m
1
b 1
b 0
136
Với:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
tx )(
tAx )(
tBr )(
(2.72)
Thay các biến trạng thái từ (2.70) vào (2.71) ta suy ra được hệ phương trịnh trạng thái:
0
1
0
0
(2.73)
0
0
1
0
1 2
A
;
B
tx )(
;
0
0
0
1
x
t )(
a
a
a
n
n
1
n
2
a 1
n 1 tx )( n
1 n n 137
Trong đó: tx )( 1 tx )( 2
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
tAx )(
tBr )(
tCx )(
tx )( tc )(
Tóm lại, bằng các đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
138
Với các ma trận trạng thái xác định bằng biểu thức (2.73) và (2.75)
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
Ví dụ ứng dụng:
R(s)
C(s)
10 ss (
)3
1 s
2
139
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối dưới đây bằng phương pháp tọa độ pha:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
Giải:
3
sC )( )( sR
s 10 2 s 5
20 s 6
s
10
Hàm truyền của hệ thống là:
sC )(
s 10(
).20
sY )(
3
2
sR )(
(
s
s 5
s 6
).10
sY )(
140
Đặt biến phụ Y(s) thỏa:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
Giải:
ty )(10 )(0)( tc ty ty )(20 ty ty ty )( )(6)(5)( tr
ty )(10
Suy ra:
ty )( )( ty
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
ty )( tx )( 1 tx )( 2
141
Đặt các biến trạng thái:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
Giải:
tAx )(
tBr )(
tCx )(
tx )( )( tc
142
Áp dụng các công thức từ (2.72) đến (2.75), ta có hệ phương trình mô tả trạng thái hệ thống là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
B- Phương pháp tọa độ pha
Giải:
1 0
A
0 0
0 1
0 0
1 0
0 1
B
10
6
a 3
a 2
a 1
5
0 0 1
10
20
0
bC 2
b 1
b 0
143
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
Nhận xét:
144
Mặt dù ví dụ cho ở sơ đồ khối mục A và mục B là như nhau nhưng hệ phương trình trạng thái thành lập được ở hai ví dụ trên lại khác nhau. Điều này không có gì vô lý vì là bản chất các biến trạng thái là các biến phụ được đặt ra nhằm chuyển phương trình vi phân bậc n thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất, do cách đặt biến trạng thái ở hai ví dụ trên là khác nhau nên kết quả hệ phương trình biến trạng thái bắt buộc phải khác nhau.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối.
R(s)
C(s)
10 )(1
ss (
s
)3
145
Ví dụ 1: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
R(s)
C(s)
X3(s)
X2(s)
X1(s)
1 s
(
)1
10 s
(
)3
1 s
146
Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống trên với các biến trạng thái được đặt như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
sX )( 1
sX )( 2
10 s 3
10
sX 1
s )(3)( sX 1
sX )( 2
10
(2.76)
tx )( 1
tx )(3 1
tx )( 2
147
Với cách đặt biến trạng thái như hình vẽ, ta có các quan hệ sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
sX )( 2
sX )( 3
1
s
1
sX
sXs )( )(
2
2
sX )( 3
(2.77)
tx )( 2
tx )( 2
tx )( 3
148
Giải:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
)(
)( sCsR
sX )(3
1 s
sX
s )(
sXsR )(
)(
3
1
tr )(
(2.78)
tx )( 3
tx )( 1
149
Giải:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
(2.79)
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
tx )( 1 )( tx 2 )( tx 3
3 0 1
10 0 11 0 0
0 )(. tr 0 1
150
Kết hợp (2.76), (2.77) và (2.78) ta được hệ phương trình trạng thái:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
tc )(
tx )( 1
.001
tx )( 1 )( tx 2 tx )( 3
151
Đáp ứng của hệ thống:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
R(s)
E(s)
C(s)
X2(s)
X1(s)
s s
2 5
3 s
4
X3(s)
s s
1 6
152
Ví dụ 2: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
sX )( 1
sX )( 2
s s
2 5
s )(
2)(5
sX
s )(
(2.80)
sX 1
sX 1
sX )( 2
2
153
Với các biến trạng thái như sơ đồ khối, ta có các quan hệ sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
)(
)( sXsR
sX )( 2
sE )( 2
3
sX
3 4 4
s s )(
sR )(3)(
(2.81)
2
3 s 4 3)( sX 3
sX 2
sX )( 3
sX )( 1
sX
s s s )(
6)(
s )(
(2.82)
3
1 6 sX 1
sX )( 3
sX 1
154
Giải:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
s )(
2)(5
4)(
3)(
sR )(3)(
sX 1
sX 1
sX 2
sX 2
sX 3
s )(
2)(5
3)(
sR )(3)(
(2.83)
sX 1
sX 1
sX 2
sX 3
155
Thay sX2(s) ở biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
sX
s )(
6)(
3)(
sR )(3)(
3
sX 1
sX 3
sX 2)(5)( 1
sX 2
sX 3
sX
s )(
2)(4
9)(
sR )(3)(
(2.84)
3
sX 1
sX 2
sX 3
156
Thay sX1(s) ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
tr )(3)(3)(2)(5
tr )(3)(9)(2)(4
tx )( 1 tx )( 2 tx )( 3
tx tx 2 3 tx )(3)(3)(4 tr 3 tx 2
tx 1 tx 2 tx 1
tx 3
157
Từ các biểu thức (2.81), (2.82) và (2.84) ta suy ra hệ phương trình trạng thái:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Giải:
tx )(
tAx )(
Viết lại dưới dạng ma trận:
tBr )( 5 0
A
2 4
3 3
;
B
3 3
tx )(
;
4
2
9
3
tx )( 1 tx )( 2 )( tx 3
Trong đó:
)( tc )( tx tCx )( 1 001C
158
Đáp ứng của hệ:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Để thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta thực hiện theo các bước sau:
tAx )(
tBr )(
(2.85)
tCx )(
tx )( tc )(
1. Thành lập biến phương trình trạng thái ở dạng thường:
tx )(
tMy )(
159
2. Thực hiện phép đổi biến trạng thái:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
tMy )(
tx )(
AMy
t )(
tBr )(
CMy
t )(
tyM )( tc )(
1
AMy
1 tBrMt )( )(
CMy
t )(
Mty )( )( tc
trBtyA )(
ty )( )( )( tyCtc )(
160
Thay vào phương trình (2.85)
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
1
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
AMMA
1
BMB
CMC
Trong đó:
Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương trình (2.85).
161
Để (2.86) có dạng chính tắc, phải chọn M sao cho ma trận M-1AM chỉ có đường chéo khác 0.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
M
1 n 2 n n 1 n
1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 n n n 1 1 1 2 3
Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M được chọn như sau:
162
Trong đó I, (i = 0 n) là các trị riêng của ma trận A, tất là nghiệm của phương trình: det(I –A) = 0
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Ví dụ:
sG )(
2
sC )( )( sR
s 3 1 3 s
2
s
Cho hệ thống có hàm truyền:
163
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái chính tắc mô tả hệ thống.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
tAx )(
tBr )(
tCx )(
tx )( )( tc
Áp dụng phương pháp tọa độ pha ta dễ dàng suy ra hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
0
1
A
B
31C
2
3
0 1
164
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
det(
AI
0)
0
1
0
2
3
01 det 10
1
0
2
3
det
165
Trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
32
02
1 2
1 2
Giải :
M
1 1 1 2
1 1
1 2
2
2
1
1M
1
1
1
1 )2(1 1)1(
1
1
166
Thực hiện phép đổi biến: x(t) = My(t) với ma trận M là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
trBtyA )(
ty )( )( )( tyCtc )(
167
Với cách biến đổi trên, ta được hệ phương trình biến trạng thái có dạng:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
2
1
1
1
1
0
1AMMA
1
2
1
0
0 1
1 3
2
2
2
1
1
1BMB
1
1
0 1
1
2
1
CMC
1
2
1
31
1
168
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
ty )( 1 ty )( 2
ty )( 1 )( ty 2
1 0
0 2
1 )(. tr 1
tc )(
1
2
ty )( 1 )( ty 2
169
Vậy hệ phương trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
tAx )(
tBr )(
tCx )(
tx )( )( tc
Cho hệ thống mô tả bởi hpt trạng thái:
sX
s )(
sAX )(
sBR )(
(2.88)
sC )(
sCX )(
(2.89)
170
Biến đổi Laplace hai vế phương trình trên (giả sử điều kiện đầu bằng 0), ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
(
sI
sXA ) )(
sBR )(
sX )(
(
sI
1 A )
sBR )(
sICsCX
)(
(
1 ) A
sBR )(
Từ (2.88) suy ra:
sICsC
)(
(
1 A )
sBR )(
sG )(
sIC (
1BA )
(2.90)
sC )( sR )(
171
Kết hợp với biểu thứ (2.88) ta được
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Công thức (2.90) cho phép ta tính được hàm truyền khi biết hệ phương trình trạng thái:
tx )( 1 )( tx 2
0 2
1 3
tx )( 1 )( tx 2
0 )(. tr 1
tc )(
tx )( 1 )( tx 2
31
Ví dụ: cho hệ thống có hệ phương trình biến trạng thái là:
172
Tính hàm truyền của hệ thống?
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Giải:
sICsG
)(
(
1) BA
Hàm truyền của hệ thống là:
0
1
s
1
(
sI
sA )
2
s
01 10
3
2
3
1
s
1
s
1
(
sI
) A
2
s
2
s
1 3 s
s
2
2
3
13
173
Ta có:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Giải:
s
(
sI
1 ) BA
2
2
2
s
s
1 3 s
s
2
1 3 s
2
s
13
0 1
1
1
s 3
1
sIC (
1 BA )
2
2
s
s
s 3
2
s
s 3
2
1 31
sG )(
Ta có:
2
s 3 1 3 s
2
s
174
Vậy ta có hàm truyền:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
tx )( tc )(
tAx )( )( tCx
tBr )( (2.91) (2.92)
Cho hệ thống có phương trình trạng thái như sau:
175
Muốn tính được đáp ứng của hệ thống khi biết tin hiệu vào r(t), trước tiên ta phải tính được nhiệm x(t) của phương trình (2.91).
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
sX
s )(
x )0(
sAX )(
sBR )(
sI (
sXA ) )(
x )0(
sBR )(
1
1
sX )(
(
sI
A )
x(0
)
(
sI
A )
sBR )(
(2.93)
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.91) ta được:
s )(
(
sI
-1) A
sX )(
xs )0()(
sBRs )( )(
(2.94)
176
Đặt: , thay vào phương trình (2.93) ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
t
tx )(
xt )0()(
d)(
Br
)
(2.95)
t (
0
Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94), ta được:
t )(
1 s )] [ (
1 [(
sI
A
1 ])
(2.96)
L
L
Trong đó:
177
Ma trận (t) được gọi là ma trận quá độ của hệ thống. Tính (t) theo (2.96) tương đối khó khăn, nhất là đối với các hệ thống bậc ba trở lên, do trước tiên phải tính ma trận nghịch đảo, sau đó thực hiện phép biến đổi Laplace ngược. Công thức dẫn ra dưới đây sẽ cho việc tính toán (t) dễ dàng hơn.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
tx )(
xt )0()(
(2.97)
Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy khi r(t) = 0 thì:
tx )(
tAx )(
(2.98)
Mặt khác, khi r(t) = 0 phương trình (2.91) trở thành:
tx )(
At xe
)0(
(2.99)
178
Nhiệm của (2.98) là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
t )(
Ate
(2.100)
So sánh (297) và (2.99) suy ra:
At
t )(
e
...
(2.101)
2 ACACIC ][ ][ 1
2
0
1 n AC ][ 1 n
Theo định lý Haley – Hamilton, ta có:
179
Thay A = , là các trị riêng của ma trận A (tất là nghiệm của phương trình det(I –A) = 0) vào biểu thức (2.101), ta sẽ tính được các hệ số Ci (i = 0 (n-1)).
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Tóm lại:
• Để tính nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái ta thực hiện các bước sau đây:
1- Tính ma trận quá độ (t) theo công thức (2.96) hoặc (2.101).
t
tx )(
d)(
Br
)
t (
0
180
2- Tính nghiệm của phương trình biến trạng thái theo công thức (2.95), nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Tóm lại:
tc )(
tCx )(
181
• Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phương pháp biến trạng thái, trước tiên tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái, sau đó tính:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Ví dụ:
sG )(
2
s 3 s
2
s
Cho hệ thống có hàm truyền là:
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống trên
2- Tìm ma trận quá độ
182
3- Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (giả sử điều kiện đầu bằng 0).
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
2
sC )( sR )(
s 3 s
2
s
s 3
sC )()2
sR
s )(
( 2 s )(2)(3)( tc tc tc
)( tr
Theo đề bài ta có:
tr )(
tx )( 1 tx )( 2
tc )( tx )( 1
183
Đặt biến trạng thái như sau:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
tAx )(
tBr )(
tCx )(
tx )( )( tc
Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
A
B
1 a 1
0 a 2
0 2
1 3
1 2
1 3
184
Trong đó:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
do 1 = b0 = 1
2 = b1 – a11 = 0 – 3*1 =3
185
C = [ 1 0 ]
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
2- Tính ma trận quá độ
t )(
1 s )] [ (
1 [(
sI
A
1 ])
L
L
Cách 1:
0
1
s
1
(
sI
sA )
2
s
01 10
3
2
3
s
s
1
)( s
(
sI
) A
2
2
s
2
s
1 3 s
s
2
1 s )(1
(
s
)2
13
13
186
Ta có:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
(
s
)2
(
s
)2
1
t )(
1 s [ ( )]
L
L
s 3 )(1 s 2 s )(1
(
s
1 s )(1 s )(1 s
)2
(
s
)2
1
1
L
L
)2
(
s
(
s
)2
1
1
L
L
s 3 )(1 s 2 s )(1
)2
(
s
(
s
)2
1 s )(1 s )(1 s
187
2- Tính ma trận quá độ
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
1
1
L
L
(
(
s
)2
(
(
s
)2
1 s [ ( )]
L
1
1
L
L
2 s )1 2 s )1
(
1 2
(
s
)2
1 s )1 1 s )1
(
1 2
(
s
)2
t
t 2
t
t 2
e 2(
e
e (
e
t )(
t
) t 2
t
) t 2
e 2
)
(
e
e 2
e 2(
)
188
2- Tính ma trận quá độ
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
At
2- Tính ma trận quá độ
Φ(t)
e
ACIC
(2.102)
0
1
Cách 2:
0
1
0
2
3
01 det 10
1
32
02
2
1 2
189
Các trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(sI - A) = 0
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
2- Tính ma trận quá độ
t
t
CC 0 CC 0
11 21
t e 1 e 2
CC 0 1 2C 1
C 0
e t 2 e
t
2 t
e
2 t
e
0 2 e t eC 1
C
190
Thay A = i vào công thức (2.102), ta được:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
2- Tính ma trận quá độ
t
t 2
t
t 2
t )(
e 2(
e
)
e (
e
)
1 3
t 2
0 2 t 2
t
t
e
e (
e
e 2(
t )(
01 10 ) t 2
) t 2
t
t
e 2
)
e (
e 2
e 2(
Thay C0 và C1 vào công thức (2.102), ta được:
191
Ta thấy ma trận quá độ tính theo hai cách đều cho kết quả giống nhau
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
3- Đáp ứng của hệ thống
t
tx )(
d)(
Br
)
t (
0
t
( t
)
(2
t
)
( t
)
(2
t
)
2( e
e
( e
e
d
( t
)
(2
t
( t
)
(2
t
) )
) )
2 e
( e
2 e
)
0
1 3
2( e
192
Trước tiên ta tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái. Với điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phương trình trạng thái là:
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
t
t (
)
(2
t
)
)( tx
2 e
)
t (
)
(2
t
4 e
0
( e ( e
) d )
t
( t
)
(2
t
)
( e
2 e
0 t
( t
)
(2
t
)
( e
4 e
0
d ) d )
193
3- Đáp ứng của hệ thống
2.4 TÓM TẮT
Chương này đã trình bày hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp không gian trạng thái.
Tùy theo hệ thống và bài toán điều khiển cần giải quyết mà chúng ta chọn bài toán mô tả toán học phù hợp.
194
Nếu bài toán là bài toán phân tích, nếu hệ thống có một ngõ vào, một ngõ ra và nếu quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra có thể biểu diễn bằng một phương trình vi phân hệ số hằng thì có thể chọn phương pháp hàm truyền đạt hay phương pháp không gian trạng thái đều được.
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
t
2 t
e
e
)( tx
t
2 t
e
2 e
)( tx 1 tx )( 2
1
3- Đáp ứng của hệ thống
2 t
)( tc
e
t
e
)( tx 1
01
)( tx 1 )( tx 2
195
Đáp ứng của hệ thống là:
2.4 TÓM TẮT
Nếu hệ thống khảo sát là hệ biến đổi theo thời gian hay hệ phi tuyến, hệ đa biến thì phương pháp không gian trạng thái nên được sử dụng.
196
Nếu bài toán là bài toán thiết kế hệ thống điều khiển tối ưu thì bất kể hệ thống loại gì ta phải chọn phương pháp không gian trạng thái.
![Bài giảng Lý thuyết điều khiển TS. Nguyễn Thu Hà [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250515/hoatrongguong02/135x160/241747304992.jpg)
![Tự Động Hóa Thủy Khí: Nguyên Lý và Ứng Dụng [Chi Tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250702/kexauxi10/135x160/27411767988161.jpg)
