intTypePromotion=3

Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt

Chia sẻ: Phạm Kiều Thảo Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

1
892
lượt xem
271
download

Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là bài giảng bổ sung cho môn giải tích A3, đây là môn bắt buộc cho tất cả các sinh viên khoa toán tin vào học kỳ thứ 3. Tập bài giảng này không thay thế giáo trình, mục đích của tập bài giảng này là cung cấp tài liệu đọc thêm, sâu hơn, nhưng vẫn sát với nội dung môn học. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó..

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt

  1. Bài gi ng b sung môn Gi i tích A3: Tích phân B i, Tích phân Đư ng, Tích phân M t Huỳnh Quang Vũ Current address: Khoa Toán-Tin h c, Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Thành ph H Chí Minh, 227 Nguy n Văn C , Qu n 5, Thành ph H Chí Minh. Email: hqvu@hcmus.edu.vn z S v r r t y U u ψ V x s
  2. TÓM T T N I DUNG. Đây là t p bài gi ng b sung cho môn Gi i tích A3 (TTH024). Đây là môn b t bu c cho t t c các sinh viên Khoa Toán-Tin vào h c kì th 3. T p bài gi ng này không thay th giáo trình. Giáo trình chính tương đương v i quy n sách c a Stewart [Ste08]. M c đích c a t p bài gi ng này là cung c p tài li u đ c thêm, sâu hơn, nhưng v n sát v i n i dung môn h c. Nh ng ph n có đánh d u * là tương đ i khó hơn. Đây là m t b n th o, s đư c ti p t c s a ch a. B n m i nh t có trên trang web http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu. Ngày 7 tháng 9 năm 2011
  3. M cl c Chương 1. Tích phân b i 1 1.1. Tích phân trên hình h p 1 1.2. S kh tích 5 1.3. Đ nh lí Fubini 12 1.4. Tích phân trên t p t ng quát 15 1.5. Công th c đ i bi n 23 Chương 2. Tích phân đư ng 33 2.1. Tích phân đư ng 33 2.2. Đ nh lí cơ b n c a tích phân đư ng 42 2.3. Đ nh lí Green 45 Chương 3. Tích phân m t 49 3.1. Tích phân m t 49 3.2. Đ nh lí Stokes 56 3.3. Đ nh lí Gauss-Ostrogradsky 59 3.4. * Đ nh lí Stokes t ng quát 63 3.5. ng d ng c a Đ nh lí Stokes 69 Tài li u tham kh o 73 Ch m c 75 iii
  4. iv M cl c Đi u duy nh t tôi có th nói là b n ph i làm vi c g ng s c và đó là đi u chúng ta th c hi n. B n làm vi c và làm vi c, suy nghĩ và suy nghĩ. Không có công th c nào khác. Mikhail Gromov, 2009.
  5. Chương 1 Tích phân b i Trong chương này chúng ta s nghiên c u tích phân Riemann trong không gian nhi u chi u. Trong môn h c này, khi ta nói đ n không gian Rn thì ta dùng chu n và kho ng cách Euclid, c th n u x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn thì || x || = ( x1 + x2 + · · · + xn )1/2 . 2 2 2 1.1. Tích phân trên hình h p Tích phân trên không gian nhi u chi u là s phát tri n tương t c a tích phân m t chi u. Do đó các ý chính đã quen thu c và không khó. Ngư i đ c có th xem l i ph n tích phân m t chi u đ d theo dõi hơn. 1.1.1. Chia nh hình h p. M t kho ng (interval) là m t t p con c a R có d ng [ a, b ] v i a < b. M t hình h p n-chi u (rectangle) là m t t p con c a Rn có d ng [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ]. 1.1.1. Đ nh nghĩa. Th tích (volume) c a hình h p I = [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ] đư c đ nh nghĩa là s th c | I | = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ). Khi s chi u n = 1 ta thư ng thay t th tích b ng chi u dài (length). Khi n = 2 ta thư ng dùng t di n tích (area). M t phép chia (hay phân ho ch) (partition) c a m t kho ng [ a, b] là m t t p con h u h n c a kho ng [ a, b] mà ch a c a và b. Ta thư ng đ t tên các ph n t c a m t phép chia là x0 , x1 , . . . , xn v i a = x0 < x1 < x2 < · · · < x n = b. M i kho ng [ xi−1 , xi ] là m t kho ng con (subinterval) c a kho ng [ a, b] tương ng v i phép chia. n M t phép chia c a hình h p I = ∏i=1 [ ai , bi ] là m t tích c a các phép chia c a kho ng các kho ng [ ai , bi ]. C th n u m i Pi là m t phép chia c a kho ng [ ai , bi ] n thì P = ∏i=1 Pi là m t phép chia c a hình h p I . M t hình h p con (subrectangle) là m t tích các kho ng con c a các c nh c a n hình h p ban đ u. C th m t hình h p con c a hình h p I có d ng ∏i=1 Ti trong đó Ti là m t kho ng con c a kho ng [ ai , bi ] ng v i phép chia Pi . 1.1.2. Ví d . T p P = {0, 1 , 1} là m t phép chia c a kho ng [0, 1]. Đ i v i hình 2 h p [0, 1]2 thì Q = P × P = {(0, 0), (0, 1 ), (0, 1), ( 1 , 0), ( 1 , 1 ), ( 1 , 1)} là m t phép 2 2 22 2 chia. Hình h p [0, 1 ] × [ 1 , 1] là m t hình h p con ng v i phép chia Q. 2 2 1
  6. 2 1. Tích phân b i Cho P và P là hai phép chia c a hình h p I . N u P ⊂ P thì ta nói P là m n hơn (finer) P. 1.1.3. Ví d . P = {0, 1 , 1} là m t phép chia c a kho ng [0, 1], và {0, 1 , 1 , 1} là m t 2 32 phép chia m n hơn P. 1.1.2. Ý c a tích phân trên hình h p. Ý c a tích phân Riemann đã quen thu c, ta ch nh c l i dư i đây. Cho I là m t hình h p, và f : I → R. Ta mu n tính t ng giá tr c a hàm f trên hình h p I . Ta s chia nh hình h p I b ng nh ng hình h p con. Trên m i hình h p con đó ta x p x giá tr c a hàm f b ng m t hàm h ng. N u như hàm f liên t c thì lư ng bi n thiên c a giá tr c a f s n u như kích thư c c a hình h p con là “nh ”, do đó s x p x b ng hàm h ng s là “t t”. N u ta cho s hình h p con tăng lên vô h n thì ta s đư c giá tr đúng c a t ng. Sau đây là m t cách gi i thích hình h c. Gi s thêm hàm f là không âm, ta mu n tìm "th tích" c a kh i bên dư i đ th c a hàm f bên trên hình h p I . Ta s x p x kh i đó b ng nh ng hình h p v i đáy là m t hình h p con c a I và chi u cao là m t giá tr c a f trong hình h p con đó. Khi ta cho s hình h p tăng lên vô h n thì s đư c giá tr đúng c a th tích. C th hơn, v i m t phép chia P c a I , thành l p t ng Riemann ∑ f ( x R )| R| R đây t ng đư c l y trên t t c các hình h p con R c a P, và x R là m t đi m b t kì trong R. “Gi i h n” c a t ng Riemann khi phép chia “m n hơn và m n hơn” s là tích phân c a hàm f trên I , kí hi u là f. I f là t ng giá tr c a hàm f trên mi n I .1 Vy I 1.1.3. Đ nh nghĩa tích phân trên hình h p. Đ làm chính xác ý tư ng trên ta c n làm rõ quá trình gi i h n. Có th làm đư c vi c này, nhưng chúng ta s không đi vào chi ti t hơn. Thay vào đó chúng ta s dùng m t cách trình bày khác c a Jean Gaston Darboux. Ý tư ng c a cách trình bày này có l không d hi u b ng cách c a Riemann nh ng nó có ph n đơn gi n hơn v k thu t. Cho hình h p I trong Rn . Cho hàm f : I → R b ch n. 1Kí hi u do Gottfried Leibniz đ t ra. Nó đ i di n cho ch cái "s" trong ch Latin "summa" (t ng).
  7. 1.1. Tích phân trên hình h p 3 Cho phép chia P c a hình h p I . G i ∑(inf f )| R|, L( f , P) = R R trong đó t ng đư c l y trên t t c các hình h p con ng v i phép chia P, là t ng dư i (lower sum), hay x p x dư i. Tương t , ∑(sup f )| R|, U ( f , P) = R R đư c g i là t ng trên (upper sum), hay x p x trên. 1.1.4. B đ . N u phép chia P là m n hơn phép chia P thì L ( f , P ) ≥ L ( f , P ), và U ( f , P ) ≤ U ( f , P ). CH NG MINH. M i hình h p con R c a P n m trong m t hình h p con R c a P. Ta có infR f ≥ infR f . Vì th ∑ ∑ ∑ (inf f )| R | ≥ (inf f )| R | = inf f | R | = (inf f )| R|. R R R R ⊂R R R ⊂R R ⊂R L y t ng hai v c a b t đ ng th c trên theo t t c hình h p con R c a P ta đư c L ( f , P ) ≥ L ( f , P ). n n n N u P = ∏i=1 Pi và P = ∏i=1 Pi là hai phép chia c a hình h p I = ∏i=1 [ ai , bi ] n thì ∏i=1 ( Pi ∪ Pi ) cũng là m t phép chia c a I , m n hơn c P và P , đư c g i là m n hóa chung (common refinement) c a P và P . 1.1.5. B đ (X p x dư i ≤ x p x trên). N u P và P là hai phép chia b t kì c a cùng m t hình h p thì L( f , P) ≤ U ( f , P ). CH NG MINH. L y phép chia m n hóa chung P c a P và P . Khi đó L( f , P) ≤ L ( f , P ) ≤ U ( f , P ) ≤ U ( f , P ). M t h qu c a k t qu trên là ch n trên nh nh t c a các x p x dư i supP L( f , P) và ch n dư i l n nh t c a các x p x trên infP U ( f , P) t n t i, và supP L( f , P) ≤ infP U ( f , P). 1.1.6. Đ nh nghĩa (Tích phân Riemann). Cho hình h p I . M t hàm f : I → R là kh tích (integrable) n u f b ch n và supP L( f , P) = infP U ( f , P). N u f kh tích thì tích phân (integral) c a f đư c đ nh nghĩa là s th c supP L( f , P) = infP U ( f , P), và đư c kí hi u là f. I c = c | I |. 1.1.7. Ví d . N u c là h ng s thì I Khi s chi u n = 1 ta có tích phân c a hàm m t bi n quen thu c t trung h c, b thư ng đư c vi t là f ( x ) dx. Khi n = 2 ta có tích phân b i hai (double integral) a
  8. 4 1. Tích phân b i thư ng đư c vi t là f ( x, y) dA. Khi n = 3 ta có tích phân b i ba (triple integral), I thư ng đư c vi t là f ( x, y, z) dV . Hi n gi dx, dA và dV ch là kí hi u đ ch I lo i tích phân. 1.1.4. Tính ch t c a tích phân. Nh ng tính ch t quen thu c sau có th đư c ch ng minh d dàng t 1.2.1, gi ng như trư ng h p hàm m t bi n. 1.1.8. M nh đ . Gi s f và g kh tích trên hình h p I , và c là m t s th c, khi đó: (1) f + g kh tích và I( f + g) = f+ g. I I (2) c f kh tích và I cf = c I f. (3) N u f ≤ g thì f ≤ I g. I Bài t p. f liên t c trên hình h p I và f ( x ) ≥ 0 trên I . Ch ng minh r ng n u 1.1.9. Gi s f =0 I thì f = 0 trên I . 1.1.10. Đi u sau đây là đúng hay sai, gi i thích: √ ( x2 + y) sin( xy2 ) dA = 10. [0,1]×[1,4]
  9. 1.2. S kh tích 5 1.2. S kh tích 1.2.1. M nh đ . Cho f b ch n trên hình h p I . Khi đó f là kh tích trên I n u và ch > 0 có phép chia P c a I sao cho U ( f , P) − L( f , P) = ∑ R (supR f − n uv im i infR f )| R| < . CH NG MINH. (⇒) Cho f kh tích. Cho > 0, có phép chia P và P sao cho L( f , P) > − + f I và U( f , P ) < + f I L y P là m n hóa chung c a P và P . Khi đó U ( f , P ) − L( f , P ) ≤ U ( f , P ) − L( f , P) < 2 (⇐) Gi s > 0 cho trư c b t kì có phép chia P sao cho U ( f , P) − vi L( f , P) < . B t đ ng th c này d n t i 0 ≤ infP U ( f , P) − sup L( f , P) < vi m i >0. Do đó infP U ( f , P) = supP L( f , P). Sau đây là m t đi u ki n đ đơn gi n quen thu c cho s kh tích, r t thư ng đư c dùng: 1.2.2. Đ nh lí (liên t c thì kh tích). M t hàm liên t c trên m t hình h p thì kh tích trên đó. CH NG MINH. Ta s dùng các k t qu sau trong Gi i tích 2 (b n đ c nên xem l i): (1) M t t p con c a Rn là comp c khi và ch khi nó đóng và b ch n. (2) M t hàm th c (t c m t hàm vào R) liên t c trên m t t p con comp c c a Rn thì b ch n trên đó. (3) M t hàm th c liên t c trên m t t p con comp c c a Rn thì liên t c đ u trên đó. Bây gi cho f là m t hàm liên t c trên hình ch h p I . Khi đó f liên t c đ u trên > 0, có δ > 0 sao cho || x − y|| < δ ⇒ f ( x ) − f (y) < . I , do đó cho trư c L y m t phép chia P c a I sao cho kho ng cách gi a hai đi m b t kì trong m t hình h p con c a P là nh hơn δ. Đi u này không khó: n u chi u dài c nh l n nh t trong t t c các hình h p con c a P không quá δ thì chi u dài c a m t đư ng chéo √ c a m t hình h p con không quá nδ. V i phép chia P, cho hai đi m x, y b t kỳ thu c v m t hình h p con R thì f ( x ) − f (y) < . Suy ra supR f − infR f ≤ . Vì th ∑(sup f − inf f )| R| ≤ ∑| R| = U ( f , P) − L( f , P) = |I| R R R R Theo tiêu chu n 1.2.1 ta có k t qu .
  10. 6 1. Tích phân b i 1.2.3. Ví d . Cho f : [0, 1] → R,  1 x= 0, 2 f (x) = 1 x= 1, 2 N u ta l y phép phân chia P c a [0, 1] sao cho chi u dài c a các kho ng con nh hơn thì sai khác gi a U ( f , P) và L( f , P) nh hơn . Vì th hàm f kh tích. 1 Chú ý r ng f không liên t c t i 2 . 1.2.4. Ví d . Cho f : [0, 1] → R,  x∈Q 1, f (x) = x∈Q 0, / V i b t kì phép chia P nào c a kho ng [0, 1] ta có L( f , P) = 0 and U ( f , P) = 1. Do đó f không kh tích. Chú ý r ng f không liên t c t i b t kì đi m nào. 1.2.1. T p có th tích không. 1.2.5. Đ nh nghĩa. M t t p con C c a Rn đư c g i là có th tích không (of content zero) (còn g i là không đáng k - negligible) n u v i m i s > 0 có m t h các m m ∑i=1 |Ui | < . hình h p {U1 , U2 , . . . , Um } sao cho i =1 Ui ⊃ C và a Rn là có th Nói cách khác, m t t p con c tích không n u ta có th ph (cover) t p đó b ng h u h n hình h p có t ng th tích nh hơn s dương cho trư c b t kì. 1.2.6. Ví d . D th y t p h p g m m t đi m trong Rn có th tích không. M r ng hơn m t chút, m t t p con h u h n c a Rn có th tích không. M t t p vô h n cũng có th có th tích không, ví d như c nh c a m t hình ch nh t trong R2 . V sau ta s th y nhi u t p khác có th tích không. Vì v y đi u ki n đ sau là m t k t qu m nh: 1.2.7. Đ nh lí (liên t c tr ra t p th tích không thì kh tích). M t hàm th c b ch n trên m t hình h p và liên t c trên đó tr ra m t t p có th tích không thì kh tích trên đó. CH NG MINH. G i f là m t hàm th c b ch n trên hình h p I , do đó có s th c M sao cho | f ( x )| ≤ M v i m i x ∈ I . Cho C là t p h p các đi m thu c I mà t i đó hàm f không liên t c. Gi thi t r ng C có th tích không. Cho > 0, có m t h các hình h p U ph C và có t ng th tích nh hơn . M r ng m i hình h p thu c U thành m t hình h p m i có kích thư c l n hơn, đ đư c m t h m i các hình h p U ph C v i t ng th tích nh hơn 2 . Có th gi s m i hình h p Ui thu c U là m t t p con c a I , b ng cách thay Ui b ng Ui ∩ I n u c n. G i P là phép chia c a I nh n đư c b ng cách l y t a đ đ nh c a các hình h p thu c U làm các đi m chia trên các c nh c a I . Chú ý r ng m t hình h p con c a P mà không ph i là t p con c a m t hình h p thu c U thì s r i kh i C. G i T là h i c a các hình h p con như v y. Khi đó f liên t c trên T .
  11. 1.2. S kh tích 7 Bây gi ta làm tương t như 1.2.2. Vì T là comp c nên f liên t c đ u trên T , do đó ta có th l y đư c m t phép chia P m n hơn P v i kích thư c các hình h p con đ nh sao cho v i b t kì hình h p con R c a P mà là t p con c a T ta có supR f − infR f < . Khi đó v i P ta có ∑ (sup f − inf f )| R| < ∑ | R| ≤ |I| R R R⊂ T R⊂ T N u hình h p con R c a P không ph i là t p con c a T thì R là t p con c a m t hình h p thu c h U , do đó ∑ (sup f − inf f )| R| ≤ ∑ ∑ | R | < 2 M2 2 M| R| = 2 M . R R RT RT RT K t h p hai đánh giá trên ta có U ( f , P ) − L( f , P ) < (| I | + 4 M ) . T đó ta k t lu n hàm f kh tích. 1.2.2. Đi u ki n c n và đ cho s kh tích. Trong ph n này chúng ta s tr l i hoàn ch nh v n đ kh tích. Ph n này khó hơn nh ng ph n trư c, n u ngư i đ c th y quá khó ho c không có đ th i gian thì ch c n n m đư c phát bi u k t qu . K t qu chính c a ph n này n m trong 1.2.8 và 1.2.10. 1.2.8. Đ nh nghĩa (đ đo không). M t t p con C c a Rn là có đ đo không (of > 0 có m t h các hình h p {U1 , U2 , . . . , Un , . . . } measure zero) n u v i m i s ∞ ∑∞ 1 |Un | < .2 ⊃ C và sao cho i =1 Ui n= Nói cách khác, m t t p con c a Rn là có đ đo không n u ta có th ph t p đó b ng m t h đ m đư c hình h p có t ng th tích nh hơn s dương cho trư c b t kì. 1.2.9. Ví d . M t t p có th tích không thì có đ đo không. M t m nh đ P( x ) thư ng đư c g i là đúng h u kh p (almost everywhere) n u nó đúng v i m i x tr ra m t t p có đ đo không. 1.2.10. Đ nh lí (kh tích=b ch n+liên t c h u kh p). M t hàm th c b ch n trên m t hình h p là kh tích trên hình h p đó khi và ch khi t p h p nh ng đi m t i đó hàm không liên t c có đ đo không. Nói cách khác, m t hàm b ch n là kh tích trên m t hình h p khi và ch khi nó liên t c h u kh p trên đó. 1.2.11. Ví d . Sau đây là m t ví d kinh đi n c a m t hàm kh tích có t p h p các đi m không liên t c có đ đo không nhưng không có th tích không. Cho f : [0, 1] → R,  p x = q , p, q ∈ Z, q > 0, gcd( p, q) = 1 1, q f (x) = x∈Q 0, / 2Ch "đ đo" đây ch đ đo Lebesgue. Lí thuy t tích phân Lebesgue đư c phát tri n sau lí thuy t tích phân Riemann.
  12. 8 1. Tích phân b i Rõ ràng f không liên t c t i các s h u t . M t khác có th ch ng minh là f liên t c t i các s vô t (Bài t p 1.2.20). T p h p các s h u t trong kho ng [0, 1] có đ đo không nhưng không có th tích không (Bài t p 1.2.21). Hóa ra hàm f kh tích. Th c v y, cho > 0, g i C là t p h p các s h u t x p d ng t i gi n thì 1 ≥ . Vì 0 ≤ p ≤ q ≤ 1 , nên t p trong [0, 1] sao cho n u x = q q C là h u h n. Ta ph C b ng m t h U g m h u h n các kho ng con r i nhau c a kho ng [0, 1] có t ng chi u dài nh hơn . Các đi m đ u mút c a các kho ng này sinh ra m t phép chia P c a kho ng [0, 1]. Ta có ∑ R∈U (supR f )| R| ≤ ∑ R∈U | R| < . p Trong khi đó n u s x = q d ng t i gi n không thu c C thì 1 < , do đó q ∑ R∈U (supR f )| R| < ∑ R∈U | R| ≤ . V y U ( f , P) < 2 . T đây ta k t lu n f kh / / tích, hơn n a [0,1] f = 0. Đ nh lí sau nói r ng giá tr c a m t hàm b ch n trên m t t p có th tích không không nh hư ng đ n tích phân. 1.2.12. Đ nh lí. Gi s f và g là hàm b ch n trên m t hình h p I và f ( x ) = g( x ) trên I tr ra m t t p con có th tích không. N u f kh tích trên I thì g cũng kh tích trên I , và g. f= I I Đ ch ng minh đ nh lí này chúng ta c n b đ sau đây: (1) N u m t t p con c a Rn có th tích không thì bao đóng c a 1.2.13. B đ . nó cũng có th tích không. (2) H i c a m t t p con c a Rn có đ đo không và m t t p con c a Rn có th tích không là m t t p có đ đo không. Có th ch ng minh b đ này m t cách d dàng t các đ nh nghĩa. CH NG MINH 1.2.12. G i C là t p h p các đi m t i đó f không liên t c. Theo gi i thi t C có đ đo không. G i D là t p các đi m t i đó g( x ) = f ( x ), thì D có th tích không, do đó theo 1.2.13 bao đóng D c a D cũng có th tích không. N u m t đi m x0 không thu c D thì có m t lân c n c a x0 mà trên đó f ( x ) = g( x ). Vì lí do này g liên t c t i x0 khi và ch khi f liên t c t i x0 . V y t p h p các đi m t i đó hàm g không liên t c là m t t p con c a t p C ∪ D. Theo 1.2.13 t p C ∪ D có đ đo không. V y g kh tích. g. Đ t h = g − f thì h kh tích, và h( x ) = 0 tr ra Gi ta ch ng minh f= I I trên D. Ta ch c n ch ng minh h = 0. I L y m t phép chia P c a I b t kì và xét m t hình h p con R c a P b t kì. Vì D có th tích không trong khi R có th tích khác không nên D không th ch a R. Do đó có đi m x trong R không thu c D, và h( x ) = 0. T quan sát trên ta suy ra L(h, P) ≤ 0 và U (h, P) ≥ 0. Vì h kh tích nên ta ph i có h = 0. I 1.2.3. * Ch ng minh Đ nh lí 1.2.10.
  13. 1.2. S kh tích 9 1.2.14. B đ . Trong Đ nh nghĩa 1.2.5 và 1.2.8, hình h p đóng có th đư c thay b ng hình h p m , chính xác hơn, gi thi t ph b ng m t h các hình h p có th đư c thay b i gi thi t ph b ng m t h ph n trong c a các hình h p. CH NG MINH. Cho > 0. Ta c n ch ng minh r ng n u có m t ph c a A ∞ b ng các hình h p đóng U1 , U2 , . . . sao cho ∑i=1 |Ui | < thì có ph c a A b ng ∞ ph n trong c a các hình h p V1 , V2 , . . . sao cho ∑i=1 |Vi | < . ∞ Gi s ∑i=1 |Ui | = δ < . L y δ sao cho 0 < δ < − δ. V i m i hình h p Ui l y hình h p Vi có cùng tâm v i Ui nhưng l n hơn m t chút, c th là sao cho |Ui | < |Vi | < |Ui | + 2i . δ Khi đó h các ph n trong c a các hình h p V1 , V2 , . . . ph A và ∞ ∞ ∞ δ ∑ |Vi | < ∑ |Ui | ∑ 2i + = δ+δ < . i =1 i =1 i =1 1.2.15. B đ . M t t p comp c có đ đo không thì có th tích không. CH NG MINH. Gi s A là comp c và có đ đo không. Cho > 0. Theo 1.2.14 có m t ph c a A b i m t h đ m đư c các ph n trong c a các hình h p sao cho t ng th tích c a các hình h p đó nh hơn . Vì A comp c nên t ph m trên có m t ph con h u h n. Suy ra A có th tích không. Cho f là m t hàm b ch n trên mi n xác đ nh là m t t p con D c a Rn , và cho x ∈ D. Đ nh nghĩa dao đ ng (oscillation) c a f t i x là s th c f − inf f− o ( f , x ) = inf ( sup f ) = lim ( sup f) inf δ →0 B ( x ,δ ) ∩ D δ >0 B ( x ,δ ) ∩ D B ( x ,δ ) ∩ B ( x ,δ ) ∩ D 1.2.16. B đ . Hàm f liên t c t i x khi và ch khi o ( f , x ) = 0. CH NG MINH. (⇒) Gi s o ( f , x ) = 0. Cho trư c > 0, có δ > 0 sao cho supB( x,δ) f − infB( x,δ) f < . Suy ra f (y) − f ( x ) < và f ( x ) − f (y) < , vì th | f (y) − f ( x )| < v i m i y ∈ B( x, δ) ∩ D. V y f liên t c t i x. (⇐) Gi s f liên t c t i x. Cho s dương , có δ > 0 sao cho | f (y) − f ( x )| < v i m i y ∈ B( x, δ). Vì v y v i y, z ∈ B( x, δ) ta có | f (y) − f (z)| < 2 . Suy ra supB( x,δ) f − infB( x,δ) f ≤ 2 . V y o ( f , x ) = 0. > 0, t p { x ∈ D | o ( f , x ) ≥ } là t p đóng trong D. 1.2.17. B đ . V i m i CH NG MINH. Ta s ch ng minh r ng A = { x ∈ D | o ( f , x ) < } là t p m trong D. Gi s x ∈ A. Có δ > 0 sao cho supB( x,δ) f − infB( x,δ) f < . L y y ∈ B( x, δ) ∩ D. L y δ > 0 sao cho B(y, δ ) ⊂ B( x, δ). Khi đó supB(y,δ ) f − infB(y,δ ) f < supB( x,δ) f − infB( x,δ) f < . Đi u này d n t i y ∈ A. CH NG MINH PH N ĐI U KI N Đ C A 1.2.10. Ph n này đư c phát tri n t ch ng minh c a 1.2.7, dùng kĩ thu t trong 1.2.11.
  14. 10 1. Tích phân b i Gi s | f ( x )| ≤ M v i m i x trong hình h p I . G i C là t p các đi m trong I t i đó f không liên t c. Gi s C có đ đo không, ta s ch ng minh r ng f kh tích trên I b ng cách dùng 1.2.1. > 0. Đ t C = { x ∈ I | o ( f , x ) ≥ }. Khi đó C là m t t p Cho trư c Rn comp c trong và là t p con c a C. Do 1.2.15 và 1.2.14có m t h U các hình h p U1 , U2 , . . . , Um (có th gi s m i hình h p này là t p con c a I ) sao cho C đư c ◦ m m Ui , và ∑i=1 |Ui | < . ph b i h các ph n trong c a các Ui , nghĩa là C ⊂ i =1 ◦ m Đ tT = I\ Ui . Khi đó T r i kh i C . V i m i x ∈ T ta có o ( f , x ) < i =1 . Có hình h p R x là lân c n c a x trong I sao cho supRx f − infRx f < .H ◦ {Rx | x ∈ T } là m t ph m c a t p comp c T , do đó có m t ph con h u h n { Ri | i = 1, 2, . . . , k}. Các hình h p Ri và Uj , 1 ≤ i ≤ k và 1 ≤ j ≤ m sinh ra m t phép chia nh P c a I (t o ra t các t a đ đ nh c a các hình h p). V i m i hình h p con R c a P n m trong T ta có R ⊂ Ri v i i nào đó, và vì th supR f − infR f < . Do đó ∑ (sup f − inf f )| R| < ∑ | R| < |I| R R R⊂ T R⊂ T N u hình h p con R c a P không ch a trong T thì R ⊂ Ui v i i nào đó. Khi đó n ∑ (sup f − inf f )| R| < ∑ ∑ | R| = 2 M ∑ |Ui | < 2 M 2 M| R| = 2 M R R i =1 RT RT RT T hai đánh giá trên ta có U ( f , P) − L( f , P) < (| I | + 2 M ) . Ta k t lu n hàm f kh tích. 1.2.18. B đ . H i c a m t h đ m đư c các t p có th tích không là m t t p có đ đo không. T ng quát hơn, h i c a m t h đ m đư c các t p có đ đo không là m t t p có đ đo không. Có th ch ng minh đi u này b ng cách hoàn toàn tương t như trong ch ng minh dư i đây. Ai , i ∈ Z+ là m t t p có th tích không. Đ t A = CH NG MINH. Gi s ∞ Ai . i =1 > 0. V i m i i có m t h h u h n các hình h p {Ui, j | 1 ≤ j ≤ ni } ph Cho ni ∑ j=1 |Ui, j | Ai và < 2i . Bây gi ta li t kê các t p Ui, j theo th t U1,1 , U1,2 , . . . , U1,n1 , U2,1 , U2,2 , . . . , U2,n2 , U3,1 , . . . ∞ Đây là m t ph đ m đư c c a A có t ng di n tích nh hơn ∑i=1 = . V y A có 2i đ đo không. 1.2.19. B đ . Biên c a m t hình h p có th tích không. CH NG MINH. Do 1.2.18 ta ch c n ch ng minh m i m t c a m t hình h p n-chi u có th tích không trong Rn . M i m t c a hình h p là m t t p h p D các
  15. 1.2. S kh tích 11 đi m có d ng ( x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) v i a j ≤ x j ≤ b j cho j = i và xi = c. Cho trư c > 0. L y hình h p R ph D có c nh chi u th i đ bé, c th R g m các đi m có d ng ( x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ) v i a j ≤ x j ≤ b j cho j = i và c − δ ≤ xi ≤ c + δ. Khi đó | R| = δ ∏ j =i (b j − a j ) < n u δ đ nh . CH NG MINH PH N ĐI U KI N C N C A 1.2.10. Gi s | f ( x )| ≤ M v i m i x trong hình h p I và f kh tích trên I . G i C là t p các đi m trong I t i đó f liên t c. ∞ Đ t C1/m = { x ∈ I | o ( f , x ) ≥ 1/m}. Khi đó C = m=1 C1/m . Ta s ch ng minh m i t p C1/m có th tích không, và do đó theo 1.2.18 t p C có đ đo không. > 0. Vì f kh tích nên có phép chia P c a I sao cho U ( f , P) − L( f , P) < Cho . G i S là t p các hình h p con c a P mà ph n trong có ph n giao khác r ng v i C1/m . N u R ∈ S thì có x ∈ C1/m n m trong m t qu c u ch a trong R. Do đó supR f − infR f ≥ o ( f , x ) ≥ 1/m. V y 1 ∑ (sup f − inf f )| R| ≥ ∑ | R |. > m R R R∈S R∈S V y ta đư c ∑ | R| < m . R∈S G i T là h i c a biên c a các hình h p con c a P. Ta có C1/m ⊂ T ∪ ( R ). R∈S Theo 1.2.19 t p T có th tích không. Có m t ph Q c a T b ng h u h n các hình h p sao cho t ng th tích c a các hình h p này nh hơn . Do đó C1/m đư c ph b i h S ∪ Q v i t ng th tích nh hơn (m + 1) . Ta k t lu n C1/m có th tích không. Bài t p. 1.2.20. Hàm đư c đ nh nghĩa trong Ví d 1.2.11 liên t c t i các s vô t . p n Hư ng d n: Gi s x ∈ [0, 1] là m t s vô t và { qn }n∈Z+ là m t dãy các s h u t h i t v x. N u dãy {qn }n∈Z+ không ti n ra vô cùng thì s có m t s th c M sao cho v i m i k ∈ Z+ có nk > k sao cho qnk < M. Dãy {qnk }k∈Z+ b ch n, nên có dãy con {qnk }l ∈Z+ h i t v m t s nguyên c. l 1.2.21. T p h p các s h u t trong kho ng [0, 1] có đ đo không nhưng không có th tích không. Hư ng d n: T p h p các s h u t là đ m đư c. Dùng 1.2.13. 1.2.22. N u f kh tích thì | f | kh tích và f≤ I | f |. I
  16. 12 1. Tích phân b i 1.3. Đ nh lí Fubini Đ nh lí Fubini Theorem là công c chính đ tính tích phân b i. Sau đây là m t d ng thư ng dùng c a đ nh lí Fubini trong không gian hai chi u. 1.3.1. Đ nh lí (Đ nh lí Fubini trong không gian hai chi u). Cho f liên t c trên hình ch nh t [ a, b] × [c, d]. Khi đó f ( x, y) dA = f ( x, y) dy d x = f ( x, y) dx dy [ a,b ] × [ c,d ] [ a,b ] [ c,d ] [ c,d ] [ a,b ] Các tích phân bên v ph i c a đ ng th c trên đư c g i là các tích phân l p. Ta có cách gi i thích hình h c như sau. Gi s f > 0. Khi đó f là [ a,b ] × [ c,d ] "th tích" c a kh i bên dư i m t z = f ( x, y) bên trên hình ch nh t [ a, b] × [c, d]. Đ t I (x) = f ( x, y) dy. Khi đó I ( x0 ) là di n tích c a m t c t (cross-section) c a [ c,d ] kh i b i m t ph ng x = x0 . V y đ nh lí Fubini nói r ng th tích c a kh i b ng t ng di n tích các m t c t song song. Có th gi i tích đi u này b ng cách x p x th tích c a kh i như sau. Chia kho ng [ a, b] thành nh ng kho ng con. ng v i nh ng kho ng con này, kh i đư c c t thành nh ng m nh b i nh ng m t c t song song. Vì chi u dài m i kho ng con là nh , ta có th x p x th tích c a m i m nh b i di n tích m t m t c t nhân v i chi u dài c a kho ng con. Có th gi i thích công th c Fubini theo cách đ nh lư ng như sau: t ng giá tr c a hàm trên hình h p b ng t ng giá tr trên các m t c t. Cũng có th gi i thích b ng x p x theo t ng Riemann như sau. Gi s a= x0 < x1 < · · · < xm = b là m t phân ho ch c a kho ng [ a, b] và c = y0 < y1 < · · · < yn = d là m t phân ho ch c a kho ng [c, d]. Khi đó ta có th x p x như sau, đây xi∗ là đi m đ i di n b t kì thu c kho ng con ∆ xi và yi là đi m b t kì thu c ∗ ∆ yi : m ∑ f ( x, y) dy |∆ xi | ≈ f ( x, y) dy d x [ a,b ] [ c,d ] [ c,d ] i =1 m n ∑ ∑ f (xi∗ , y∗ )|∆y j | | ∆ xi | = j i =1 j =1 ∑ f (xi∗ , y∗ )|∆xi ||∆y j | = j i, j ≈ f ( x, y) dA [ a,b ] × [ c,d ] Sau đây là m t d ng t ng quát c a đ nh lí Fubini. 1.3.2. Đ nh lí (Đ nh lí Fubini). Cho A là m t hình h p trong Rm và B là m t hình h p trong Rn . Cho f kh tích trên hình h p A × B trong Rm+n . Gi s v i m i
  17. 1.3. Đ nh lí Fubini 13 x ∈ A tích phân f ( x, y) dy t n t i. Khi đó B f= f ( x, y) dy d x A× B A B Các gi thi t v hàm f s đư c th a mãn n u f liên t c, do đó ta có d ng thư ng dùng sau: 1.3.3. H qu . Cho A là m t hình h p trong Rm và B là m t hình h p trong Rn . Cho f liên t c trên hình h p A × B trong Rm+n . Khi đó f= f ( x, y) dy d x = f ( x, y) dx dy A× B A B B A H qu trong trư ng h p 3 chi u là: 1.3.4. H qu . Cho f liên t c trên hình h p [ a, b] × [c, d] × [e, f ]. Khi đó f ( x, y, z) dV = f ( x, y, z) dz dy d x [ a,b ] × [ c,d ] × [ e, f ] [ a,b ] [ c,d ] [ e, f ] Và tương t cho năm trư ng h p còn l i. CH NG MINH 1.3.2. Ch ng minh này đơn gi n là m t cách vi t chính xác cách gi i thích b ng x p x v i t ng Riemann trên. G i P là m t phép chia b t kì c a hình h p A × B. Khi đó P là tích c a m t phép chia PA c a A và m t phép chia PB c a B. Đ i v i t ng dư i, ta có: ∑[xinfA f ( x, y) dy]| R A | L( f ( x, y) dy, PA ) = ∈R B B RA ≥ ∑( inf ∑[ inf f ( x, y)]| R B |)| R A | R A x ∈ R A R B y∈ R B ≥ ∑( inf ∑[ f ( x, y)]| R B |)| R A | inf R A x∈R A RB R A ×RB = ∑(∑[ inf f ( x, y)]| R B |)| R A | R A RB R A ×RB ∑ f ( x, y)| R A || R B | = inf R A ×RB R A ×RB ∑ f ( x, y)| R A × R B | = L( f , P) = inf R A ×RB R A ×RB f ( x, y) dy, PA ) ≤ U ( f , P). T đây ta Tương t , thay inf b i sup ta đư c U ( B có ngay đ nh lí. Bài t p. ∂2 f ∂2 f 1.3.5. Cho f : R2 → R. Gi s và liên t c. ∂ x ∂y ( x, y) ∂y∂ x ( x, y) (a) Trên hình ch nh t [ a, b] × [c, d], dùng đ nh lí Fubini, hãy ch ng t ∂2 f ∂2 f dA = dA. [ a,b ] × [ c,d ] ∂ x ∂ y [ a,b ] × [ c,d ] ∂ y ∂ x ∂2 f ∂2 f (b) Dùng ph n (a), ch ng t ∂y∂ x . = ∂ x ∂y
  18. 14 1. Tích phân b i Đây là m t ch ng minh dùng tích phân b i c a m t đ nh lí quen thu c trong Gi i tích 2, đôi khi đư c g i là Đ nh lí Clairaut.
  19. 1.4. Tích phân trên t p t ng quát 15 1.4. Tích phân trên t p t ng quát Bây gi ta phát tri n lí thuy t tích phân trên t p t ng quát hơn hình h p. Chúng ta ch xét các t p con c a Rn . Đ ng n g n hơn ta s dùng t mi n (region) đ ch m t t p con c a Rn . Hơn n a chúng ta ch xét nh ng mi n b ch n. Nh l i r ng trong Gi i tích 1 đ xét tích phân trên kho ng không b ch n (ho c tích phân c a nh ng hàm không b ch n) ta đã ph i dùng đ n gi i h n và do đó có khái ni m tích phân suy r ng. Gi s r ng D là m t mi n b ch n, và f : D → R. Vì D b ch n nên có hình h p I ch a D. M r ng hàm f lên hình h p I thành hàm F : I → R xác đ nh b i   f ( x ), x ∈ D F(x) = x∈D 0, / Ta đ nh nghĩa m t cách t nhiên: 1.4.1. Đ nh nghĩa. Tích phân c a f trên D đư c đ nh nghĩa là tích phân c a F trên I. Ta nh n th y ngay đ nh nghĩa này không mâu thu n v i đ nh nghĩa đã có khi D là m t hình h p. M t đi u ki n c n đ tích phân c a f trên D đư c đ nh nghĩa là f ph i b ch n trên D. Đ nh nghĩa tích phân c a f trên D c n ph i không ph thu c vào cách ch n hình h p I . 1.4.2. B đ . Tích phân f không ph thu c vào cách ch n hình h p I . D CH NG MINH. Gi s F1 là m r ng c a f lên I1 ⊃ D, b ng không ngoài D và F2 là m r ng c a f lên I2 ⊃ D, b ng không ngoài D. Ta c n ch ng minh đi u sau: n u F1 kh tích trên I1 thì F2 kh tích trên I2 , và khi đó F2 . F1 = I1 I2 Đ t I3 = I1 ∩ I2 , ta ch ng minh đi u sau là đ : F1 kh tích trên I1 khi và ch khi F3 kh tích trên I3 , và khi đó F3 . F1 = I1 I3 Đ t F1 xác đ nh trên I1 sao cho F1 trùng v i F1 tr ra trên biên c a I3 , nơi mà F1 đư c đ nh nghĩa là b ng không. Vì F1 ch khác F1 trên m t t p có th tích không nên theo 1.2.12 F1 kh tích khi và ch khi F1 kh tích, và khi đó F1 . F1 = I1 I1 M t phép chia b t kì P c a I3 sinh ra m t phép chia P c a I1 b ng cách thêm vào t a đ các đ nh c a I1 . B t kì m t hình h p con nào c a P cũng là m t hình h p con c a P , t đó U ( F3 , P) = U ( F1 , P ) và L( F3 , P) = L( F1 , P ) ( ch này có dùng gi thi t F1 b ng không trên biên c a I3 ). Do tiêu chu n 1.2.1 ta k t lu n n u F3 kh tích thì F1 kh tích, và khi đó F3 . F1 = I1 I3 M t khác, m t phép chia b t kì cho trư c P c a I1 sinh ra m t phép chia P c a I1 m n hơn P b ng cách thêm vào t a đ các đ nh c a I3 . H n ch P lên I3 ta đư c m t phép chia P c a I3 . Gi ng như đo n v a r i ta có U ( F3 , P) = U ( F1 , P ) và L( F3 , P) = L( F1 , P ). Do đó n u F1 kh tích thì F3 kh tích và khi đó tích phân c a chúng b ng nhau.
  20. 16 1. Tích phân b i 1.4.1. Th tích c a mi n t ng quát. Ta đ nh nghĩa th tích thông qua tích phân. 1.4.3. Đ nh nghĩa. Cho D là m t t p con b ch n c a Rn . Th tích (n chi u) c a D đư c đ nh nghĩa là giá tr c a tích phân 1. D Ta thư ng thay t th tích (volume) b ng t di n tích (area) khi s chi u n = 2 và b ng t chi u dài (length) khi n = 1. Ta thư ng kí hi u th tích c a D b ng | D |. T ý c a tích phân, ta có th th y ý c a th tích, đó là x p x trong và x p x ngoài mi n đã cho b ng h i c a nh ng hình h p thích h p. HÌNH 1.4.1. X p x ngoài và x p x trong di n tích c a m t hình tròn. 1.4.4. Đ nh lí. M t t p con b ch n c a Rn có th tích khi và ch khi biên c a nó có th tích không. Đ ch ng minh đ nh lí này ta c n b đ sau: 1.4.5. B đ . Biên c a m t t p con b ch n c a Rn có đ đo không khi và ch khi nó có th tích không. CH NG MINH. Biên c a m t t p con c a Rn luôn là m t t p đóng. Vì t p đã cho là b ch n nên biên c a nó cũng b ch n, và do đó biên là comp c. Theo 1.2.15 ta có k t qu . Gi ta có th ch ng minh đ nh lí. CH NG MINH 1.4.4. Cho D là mi n b ch n trong Rn , l y m t hình h p I ch a D và l y hàm F b ng 1 trên D và b ng 0 ngoài D. T p h p các đi m không liên t c c a F là chính t p biên c a D. V y F kh tích khi và ch khi biên c a D có đ đo không, và đi u này x y ra khi và ch khi nó có th tích không. 1.4.2. S kh tích. Tích phân f t n t i n u và ch n u tích phân F t n t i. D I Theo 1.2.10 ta bi t tích phân F t n t i khi và ch khi F liên t c h u kh p trên I . I T p đi m t i đó F không liên t c g m nh ng đi m trên D mà f không liên t c và có th m t s đi m khác trên biên c a D.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản