Bài giảng với các nội dung: tạo lưới, sai phân hóa, rời rạc hóa phương trình tích phân, thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA, bài tập mô hình hóa và mô phỏng sử dụng phương pháp thể tích hữu hạn; bài toán lan truyền chất...
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp thể tích hữu hạn giải các bài toán
- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN
GIẢI CÁC BÀI TOÁN
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Böôùc moät: Taïo löôùi.
Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt
W E
B A
P
The åtích kieåm soaùt Caùc ñieåm nuùt
N J+
n 1j-1
E J
W w e
j
T s Thể tích kiểm
E S J- soát vô hướng
1
t
I-1 i I i+ I+ (phương trình
e 1 1 liên tục)
n s
N S
P
w
b
W
B
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Sai phân hóa
∂
( ρφ ) + div( ρuφ ) = div(Γgradφ ) + Sφ
∂t
Tích phân theo thể tích hữu hạn rời rạc
t + ∆t ∂ t + ∆t
t + ∆t
t + ∆t
∫V ∫t ∂t
(ρφ) dt
dV + ∫t A
∫
n .(ρu φ)dA
dt = ∫t A
∫
n .( Γ gradφ)dA
dt + ∫t V
∫ φ dt
S dV
t + ∆t ∂ t + ∆t t + ∆t t + ∆t
∫V ∫t ∂t (ρφ)dt dV = ∫t (∆(AΓφ))dt − ∫t (∇(Aρuφ))dt + ∫t S.∆Vdt
t + ∆t ∂
∫V ∫t ∂t
ρφ = ρ φ − φ P ).∆V
0
( ) dt dV ( P
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Sai phân hóa
t + ∆t t + ∆t
∫ (∆(AΓφ))dt − ∫ (∇(Aρuφ))dt =
t t
∂φ
t + ∆t
∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ
∫ (AΓ ) e − (AΓ ) w + (AΓ ) n − (AΓ ) s + (AΓ ) t − (AΓ ) b dt −
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
t
t + ∆t
∫ ([(Aρuφ)
t
e − (Aρuφ) w ] + [(Aρuφ) n − (Aρuφ) s ] + [(Aρuφ) t − (Aρuφ) b ])dt
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Rời rạc hoá phương trình tích phân
∂φ ∂φ φE − φP φ − φw
AΓ − AΓ = A e Γe − A w Γw P
∂x e ∂x w x PE x PW
∂φ ∂φ φN − φP φ − φS
AΓ − AΓ = A n Γn − A s Γs P
∂y n ∂y s y PN y PN
∂φ ∂φ φT − φP φP − φB
AΓ − AΓ = A t Γt − A b Γb
∂z t ∂z b z PT z PB
Đặt:
F = Aρu; D = AΓ/xi,j
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Rời rạc hoá phương trình tích phân
t + ∆t
ρ(φ P − φ ).∆V = − ∫ {[F φ − Fw φ w ] + [Fn φ n − Fs φ s ] + [Ft φ t − Fb φ b ]}dt +
0
P e e
t
t + ∆t
∫ {(D
t
e (φ E − φ P ) ) − (D w (φ P − φ w ) ) + (D n (φ N − φ P ) ) − (D s (φ P − φ S ) ) + (D t (φ T − φ P ) ) − (D b (φ P − φ B ) )}dt
t + ∆t
+ ∫ S.∆Vdt
t
(*)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Rời rạc hoá phương trình tích phân
Để xác định vế phải của phương trình (*), tham số trọng
lượng θ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 sẽ được áp dụng.
Các tích phân bên vế phải sẽ được viết lại như sau:
t + ∆t
Iφ = ∫ φ P dt = [θ.φ P + (1 − θ)φ ]∆t
0
(**)
P
t
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Rời rạc hoá phương trình tích phân
Sử dụng phương trình (**) for φE, φW, φN, φS, φT, φB vào
phương trình (*) và chia phương trình này cho ∆t, ta được:
ρ(φ P − φ 0P ).∆V
= −θ{[Fe φ e − Fw φ w ] + [Fn φ n − Fs φ s ] + [Ft φ t − Fb φ b ]} −
∆t
{[ ] [ ] [
(1 − θ) Fe φ 0e − Fw φ 0w + Fn φ 0n − Fs φ s0 + Ft φ 0t − Fb φ 0b + ]}
θ{(D e (φ E − φ P ) ) − (D w (φ P − φ w ) ) + (D n (φ N − φ P ) ) − (D s (φ P − φ S ) ) + (D t (φ T − φ P ) ) − (D b (φ P − φ B ) )} +
{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
(1 − θ) D e (φ 0E − φ 0P ) − D w (φ 0P − φ 0W ) + D n (φ 0N − φ 0P ) − D s (φ 0P − φ S0 ) + D t (φ 0T − φ 0P ) − D b (φ 0P − φ 0B ) )}
+ S∆V
(***)
Khi θ = 0, phương trình (***) trở nên tường minh, nếu 0
- Rời rạc hoá phương trình tích phân
Bởi vì phương pháp này áp dụng cho quá trình thay đổi tức thời
(transient), nên người ta sử dụng các phương trình khuếch tán-đối
lưu và các sơ đồ chuyển đổi qua lại. Do đó, ta có:
a P φ P = a W φ W + a E φ E + a S φS + a N φ N + a B φ B + a T φ T + a 0P φ 0P + S u
Trong đó:
a P = a W + a E + a S + a N + a B + a T + a + ∆F − S P 0
P
Với:
ρ P ∆V
0
aP =
0
S.∆V = S u + S P φ P
∆t
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Rời rạc hoá phương trình tích phân
Fw Fe
aW = max Fw , D w + ,0 a E = max − Fe , D e − ,0
2
2
Fs Fn
a S = max Fs , D s + ,0 a N = max − Fn , D n − ,0
2 2
Fb
a B = max Fb , D b + ,0 Ft
2 a T = max − Ft , D t − ,0
2
∆F = Fe – Fw + Fn – Fs + Ft – Fb
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA
φ1 = C1
-β2φ1 + D2φ2 - α2φ3 = C2
-β3φ2 + D3φ3 - αP1φP1 = C3
………..
-βnφn-1 + Dnφn - αnφn+1= Cn
φn+1 = Cn+1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA
Trong các phương trình trên, φ1 và φn+1 được xem là những giá trị
biên. Phương trình dạng tổng quát được viết như sau:
-βjφj-1 + Djφj - αjφj+1 = Cj
α2 β C
φ2 = φ 3 + 2 φ1 + 2
D2 D2 D2
α3 β3 C3
φ3 = φ4 + φ2 +
D3 D3 D3
…………………………..
αn βn Cn
φn = φ n +1 + φ n −1 +
Dn Dn Dn
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- BÀI TẬP
MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG
SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- 1. Bài toán truyền dẫn nhiệt
Quá trình truyền nhiệt ổn định qua tấm phẳng có bề dày L = 2cm;
hệ số dẫn nhiệt k = 0,5 (W/m.độ); nguồn cấp nhiệt không đổi
q/ρCp = 1000 (kW/m3). Các bề mặt A và B của tấm phẳng có nhiệt
độ 100oC và 200oC. Giả sử rằng kích thước theo phương y và z đủ
lớn để gradient nhiệt độ chỉ xuất hiện theo phương x.
Xác định:
1) Phương trình mô tả quá trình truyền nhiệt
2) Biết rằng: Nghiệm giải tích của bài toán trên có dạng:
TB − TA q
T = + ( L − x).x + TA
L 2k
Đánh giá kết quả gần đúng theo kết quả mô phỏng và
kết quả chính xác theo nghiệm giải tích trên (5 nút)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Xuất phát từ phương trình tổng quát
∂
( ρφ ) + div( ρuφ ) = div(Γgradφ ) + Sφ
∂t
Phương trình truyền nhiệt dạng tổng quát được viết
dưới dạng:
∂T ∂T ∂T ∂T ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
ρC p + ρC p u x + uy + uz = k x 2 + k y 2 + k z 2 + Q
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Phương trình truyền nhiệt trong tấm phẳng có kích
thước chiều y>>x và z >>x có dạng:
∂T ∂ 2T
ρC p = kx 2 + Q
∂t ∂x
Trong trường hợp truyền nhiệt ổn định:
∂ 2T
kx 2 + Q = 0
∂x
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt
A
W E
B w e
P
Caùc ñieåm nuùt
∆x/2 ∆x ∆x
Điểm giữa
d dT
∫(V ) dx k dx dV + (V∫)qdV = 0
dT dT
Ak − Ak + q (V ) = 0
dx e dx w
TE − TP TP − Tw
Ae ke − Aw k w + qA∆x = 0
xPE xPW
a PTP = aW TW + aETE + aP0 TP0 + Su
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Fw Fe
aW = max Fw , Dw + ,0 = Dw aE = max − Fe , De − ,0 = De
2 2
aP = aW + aE − S P
F=0 D = Ak/∆x
Sp = 0 SU = qA∆x
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Bieân cuûa theå tích kieåm soaùt
A
W E
B w e
P
Caùc ñieåm nuùt
∆x/2 ∆x ∆x
Điểm 1
d dT
∫(V ) dx k dx dV + (V∫)qdV = 0
dT dT
Ak − Ak + q (V ) = 0
dx e dx w
TE − TP TP − TB
Ae ke − Aw k w + qA∆x = 0
xPE xPW / 2
a PTP = aW TW + aETE + aP0 TP0 + Su
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Fw Fe
aW = max Fw , Dw + ,0 = 0 aE = max − Fe , De − ,0 = De
2 2
aP = aW + aE − S P
F=0 D = Ak/∆x
2kA
SP = − SU = qA∆x+2kATB/∆x
∆x
Làm tương tự đối với điểm 5
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- aW = Dw aE = 0
aP = aW + aE − S P
F=0 D = Ak/∆x
2kA
SP = − SU = qA∆x+2kATA/∆x
∆x
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
