Bài giảng Sức bền vật liệu Chương 4: PGS. TS. Trần Minh Tú (Chuẩn nhất)

Tháng 01/2015 Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 1

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng Email: tpnt2002@yahoo.com

NỘI DUNG

CHƯƠNG 4 – TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM

4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

4.2. Trạng thái ứng suất phẳng

4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất

4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

4.5. Trạng thái ứng suất khối

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 2

4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

a. Trạng thái ứng suất tại một điểm

 Xét điểm K(x,y,z) trong vật thể chịu lực

 Mặt cắt a-a đi qua điểm K có các thành

phần ứng suất:

 Ứng suất pháp σ

 Ứng suất tiếp τ

 Qua điểm K có vô số mặt cắt

 Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 3

4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

 Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại

một điểm:

→ Tách ra một phân tố lập phương vô

cùng bé chứa điểm đó

→ Gắn hệ trục toạ độ xyz

→ Trên mỗi mặt vuông góc với trục có 3 thành phần ứng suất: 1 thành phần ứng suất pháp và 2 thành phần ứng suất tiếp

 Trạng thái ứng suất tại một điểm có thể được biểu diễn hoàn toàn bằng ten-xơ ứng suất tại điểm đó

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 4

4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

b. Mặt chính – ứng suất chính –

phương chính

 Mặt chính: Là mặt không có tác dụng

của ứng suất tiếp.

là phương pháp tuyến

 Phương chính: của mặt chính.

 Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác

dụng trên mặt chính.

 Tại mỗi điểm bất kỳ trong vật thể, luôn tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc với nhau.

 Phân tố chính: ứng suất tiếp trên các

mặt bằng 0.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 5

4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

 Tại 1 điểm luôn tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc với nhau; 3 ứng suất chính tương ứng được ký hiệu là σ1, σ2, σ3 và được đặt tên theo thứ tự σ1 ≥ σ2 ≥ σ3  Phân loại trạng thái ứng suất:

Trạng thái ứng suất khối

Trạng thái ứng suất phẳng

Trạng thái ứng suất đơn

3 ứng suất chính khác 0

Có 1 ứng suất chính bằng 0

Có 2 ứng suất chính bằng 0

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 6

4.2. Trạng thái ứng suất phẳng

Xét phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

 Mặt vuông góc với trục z (mặt xy) là mặt

chính có ứng suất chính bằng 0

→ Chỉ tồn tại các thành phần ứng suất

trong mặt phẳng Oxy

 Một

trạng thái ứng suất phẳng được

đặc trưng bởi 4 giá trị: σx; σy; τxy; τyx

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 7

4.2. Trạng thái ứng suất phẳng

Quy ước dấu:  Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra

khỏi phân tố

 Ứng suất tiếp dương khi đi vòng quanh

phân tố theo chiều kim đồng hồ a. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp:

Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau có trị số bằng nhau, có chiều cùng đi vào cạnh chung hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung

Vậy, trạng thái ứng suất phẳng được xác định bởi 3 giá trị độc lập (σx; σy; τxy)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 8

4.2. Trạng thái ứng suất phẳng

b. Ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ // Oz  Xét mặt nghiêng có pháp tuyến u hợp với chiều dương của trục x một góc α (α>0: từ x quay đến u theo chiều ngược chiều kim đồng hồ)

 Xét cân bằng của phân tố hình lăng trụ:

α >0 – ngược chiều kim đồng hồ

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 9

4.2. Trạng thái ứng suất phẳng

c. Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị)

Phương chính được xác định từ điều kiện:

Mặt khác, phương của mặt có ứng suất pháp cực trị được xác định từ điều kiện:

(1);(2) → α1 ≡ α0 → Các phương này trùng nhau Vậy, các ứng suất chính cũng chính là các ứng suất pháp cực trị của trạng thái ứng suất phẳng. Từ các pt trên, ta có 2 nghiệm α01 và α02 hơn kém nhau 90o, xác định 2 phương chính tương ứng (1 phương chính đã biết – là phương z):

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 10

4.2. Trạng thái ứng suất phẳng

c. Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị) (tiếp theo)

 Công thức tính ứng suất chính, ứng suất pháp cực trị:

 Công thức xác định phương pháp tuyến của các mặt có ứng suất pháp cực

đại và cực tiểu tương ứng là:

Ghi chú: Trạng thái ứng suất phẳng có một ứng suất chính bằng 0, công thức này xác định cho ta 2 ứng suất chính còn lại.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 11

4.2. Trạng thái ứng suất phẳng

d. Ứng suất tiếp cực trị

Vậy: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 45o.

e. Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất phẳng

Tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 12

4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất

Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:

Christian Otto Mohr (1835 -1918)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 13

4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất

Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:

Christian Otto Mohr (1835 -1918)

;

→ Phương trình đường tròn tâm

bán kính

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 14

4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất

Vòng tròn Mohr ứng suất:

 Vòng tròn Mohr được vẽ theo 3 giá trị (σx; σy; τxy).

 Tâm

 Bán kính

 Cực của vòng tròn Mohr

là điểm P (σy; τxy).

Phân tố chính

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 15

4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt  Trạng thái ứng suất đơn (thanh chịu kéo-nén đúng tâm)

 Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý (xoắn thuần tuý thanh tròn)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 16

4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt  Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt (dầm chịu uốn ngang phẳng)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 17

4.5. Trạng thái ứng suất khối

 Trạng thái ứng suất khối: cả 3 ứng suất

chính (σ1; σ2; σ3) đều khác 0.

 Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng

suất:

 Dựa trên 3 giá trị (σ1; σ2; σ3), vẽ được 3 vòng tròn Mohr C1, C2, C3.  Ứng suất p trên mặt cắt nghiêng bất kỳ sẽ được biểu diễn bằng toạ độ của 1

điểm nằm trong miền giới hạn giữa 3 vòng tròn Mohr.

 Bán kính của các vòng tròn Mohr là giá trị của các ứng suất tiếp cực trị.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 18

Ví dụ

Ví dụ 4.1: Cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng như hình vẽ. 1. Tìm các ứng suất trên mặt cắt nghiêng như

trên hình vẽ của phân tố.

2. Xác định các phương chính và tính các ứng

suất chính.

3. Xác định các phương có ứng suất tiếp cực trị

và tính ứng suất tiếp cực trị đó.

GIẢI: Gắn hệ trục xy như hình vẽ. 1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 19

Ví dụ

2. Ứng suất chính, phương chính:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 20

Ví dụ

3. Phương có ứng suất tiếp cực trị và giá trị ứng suất tiếp cực trị:

Mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 45o

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 21

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

 Định luật Hooke cho biến dạng dài

Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối, theo nguyên lý cộng tác dụng:

Robert Hooke (1635 -1703)

Tương tự:

Trong hệ trục toạ độ bất kỳ xyz, giả thiết ứng suất tiếp không gây ra biến dạng dài nên ta có thể viết:

E – mô-đun đàn hồi kéo-nén m– Hệ số Poisson

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 22

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

 Định luật Hooke cho biến dạng góc

Charles Augustine de Coulomb (1736 -1806)

Giả thiết ứng suất pháp không ảnh hưởng đến biến dạng góc; và ứng suất tiếp trong mặt phẳng nào chỉ phát sinh biến dạng góc trong mặt phẳng đó → Chỉ cần xét phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý như hình vẽ

Định luật Hooke cho quan hệ tuyến tính giữa biến dạng trượt và ứng suất tiếp:

γxy; γyz; γzx – biến dạng trượt trong các mặt phẳng xy, yz, zx G – mô-đun đàn hồi trượt (mô-đun Coulomb) của vật liệu, được xác định bằng thực nghiệm hoặc xác định bằng công thức:

Đối với thép, E = 2.1x103kN/cm2; m≈ 0.3 → G = 8x103kN/cm3

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 23

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

 Định luật Hooke cho biến dạng thể tích

Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối như hình vẽ

Gọi θ là biến dạng thể tích tỷ đối:

Robert Hooke (1635 -1703)

Vo – Thể tích trước biến dạng V – Thể tích sau biến dạng

Khai triển và bỏ qua vô cùng bé bậc cao:

Thay ε1, ε2, ε3 bằng biểu thức của định luật Hooke cho biến dạng dài, ta có:

Đây là biểu thức của định luật Hooke cho biến dạng thể tích

Đặt Σ = σ1 + σ2 + σ3

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 24

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

 Định luật Hooke cho trạng thái ứng suất phẳng

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 25

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

 Thế năng biến dạng đàn hồi

Xét phân tố chính: τ = 0

Hình dạng

Phân tố biến dạng → Thay đổi

Thể tích

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 26

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

 Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng biến đổi thể tích utt

Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u

Thế năng biến đổi hình dạng uhd

=

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 27

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

 Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng biến đổi thể tích utt

Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u

Thế năng biến đổi hình dạng uhd

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 28

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

Ví dụ 4.2: Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng trên bề mặt vật thể chịu lực, bằng các cảm biến điện trở, người ta đo được biến dạng dài tỷ đối theo 3 phương lần lượt là: εm=2,81×10–4; εn=–2,81×10 –4; εu=1,625×10 –4 Xác định phương chính và các ứng suất chính tại điểm đó. Biết E=2×10–4 kN/cm2; μ=0,3. GIẢI: Định luật Hooke cho biến dạng dài theo phương m và n:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 29

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

Định luật Hooke cho biến dạng dài theo phương u và bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất:

Mặt khác, ta có:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 30

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke

Với 3 giá trị cơ bản (σm; σn; τmn), trạng thái ứng suất phẳng được xác định. Ta có:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 31

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Trạng thái ứng suất đơn (kéo-nén

đúng tâm):

→ Điều kiện bền

 Trạng thái ứng suất

trượt

thuần

tuý (xoắn thuần tuý thanh tròn):

→ Điều kiện bền

 Giá trị các ứng suất cho phép được xác định theo ứng suất nguy hiểm → từ thực nghiệm.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 32

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Tương tự, đối với trạng thái ứng suất phức tạp, cần phải tiến hành thí nghiệm để xác định ứng suất nguy hiểm cho trạng thái ứng suất tương ứng → không thực hiện được, vì:

 Số lượng thí nghiệm là vô số (tương ứng với vô số tỷ lệ giữa các ứng

suất chính có thể xảy ra trong thực tế)

 Nhiều thí nghiệm không tiến hành được do điều kiện kỹ thuật hạn chế

 Không tiến hành thí nghiệm được → Không biết được nguyên nhân

phá hoại của vật liệu → Cần đưa ra các giả thuyết

 Thuyết bền là các giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật

liệu

 Các nguyên nhân có thể: ứng suất, biến dạng, thế năng biến dạng

đàn hồi…

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 33

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (Thuyết bền 1)

Galileo Galilei (1564-1642) Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất pháp lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới ứng suất nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Điều kiện bền:

(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu giòn.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 34

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất (Thuyết bền 2)

Edme Mariotte (1620-1684) Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới biến dạng dài tương đối nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Điều kiện bền:

(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu giòn.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 35

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền 3)

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797 -1886)

Henri Tresca (1814 -1885)

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới ứng suất pháp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Điều kiện bền:

(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu dẻo (có độ bền kéo, nén như nhau).

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 36

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất (Thuyết bền 4)

Richard Edler von Mises (1883 -1953)

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới thế năng biến đổi hình dạng nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Điều kiện bền:

(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu dẻo (có độ bền kéo, nén như nhau).

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 37

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền Mohr (Thuyết bền 5)

Dựa vào kết quả thí nghiệm → Vẽ vòng tròn Mohr ứng suất giới hạn → Vẽ đường bao → Xác định miền an toàn của vật liệu

Christian Otto Mohr (1835 -1918)

Nếu vòng tròn Mohr ứng suất khối nằm trong đường bao giới hạn bền thì trạng thái ứng suất đó là bền.

Điều kiện bền:

(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu giòn.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 38

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

Ví dụ 4.3: Kiểm tra bền cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng như hình vẽ. • Áp dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất. • Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất. • Áp dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình

dạng lớn nhất.

GIẢI:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 39

4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

• Áp dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất:

→ Phân tố thoả mãn điều kiện bền ứng suất pháp cực đại

• Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

→ Phân tố không thoả mãn điều kiện bền ứng suất tiếp lớn nhất

(vượt quá 1% so với ứng suất cho phép)

• Áp dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất:

→ Phân tố thoả mãn điều kiện bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 40