intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán 1 - Ths. Lê Thị Minh Hải

Chia sẻ: Bui Ngoc Ngu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST
Báo xấu
84
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán 1 khái quát các nội dung cơ bản khái quát các nội dung cơ bản của Toán học 1 đi từ cơ bản đến nâng cao. Ngoài những khái niệm, ví dụ minh họa, cuối bài giảng còn có phần bài tập giúp người học có thể nắm bắt và củng cố nội dung bài học một cách khái quát nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1 - Ths. Lê Thị Minh Hải

  1. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Bài s 1 Gi i h n và tính liên t c c a hàm s 1.1. Hàm s m t bi n s 1. nh nghĩa hàm s Cho 2 t p h p D và E là các t p con c a R . Tương ng f : D → E cho tương ng m i ph n t x ∈ D v i duy nh t m t ph n t y ∈ E ư c g i là hàm s m t bi n s th c. + T p D ư c g i là mi n xác c a f. + T p f(X) ư c g i là mi n giá tr c a f. + x ∈ D ư c g i là bi n s c l p ( hay i s ). + f ( x ), x ∈ D ư c g i là bi n s ph thu c ( hay hàm s ). 2. th c a hàm s : Gf = {( x, f ( x )) | x ∈ A} + Cách nh n bi t th theo phương pháp ki m tra ư ng th ng ng: M t ư ng cong trong m t ph ng xy là th c a m t hàm c a x n u và ch n u ư ng th ng song song v i Oy c t ương cong ó t i nhi u nh t m t i m. th hàm s Không là th hàm s 1.2 Gi i h n hàm s : 1. Ví d 1: Xét hàm s y = f ( x ) = x 2 − x + 2 . Ta l p b ng các giá tr c a hàm s t i nh ng i m x g n x0 = 2 .
  2. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Nh n th y khi x ti n g n n x0 = 2 thì các giá tr các hàm s f ( x ) ti n g n n 4. Ta nói r ng hàm s có gi i h n b ng 4 khi x → x0 = 2 . 2. nh nghĩa gi i h n hàm s nh nghĩa 1: Ta nói hàm s f ( x ) có gi i h n L (h u h n) khi x → x0 và vi t lim f ( x ) = L n u v i b t kỳ dãy { xn } mà xn → x0 thì lim f ( xn ) = L . x → x0 n →∞ nh nghĩa 2: theo ngôn ng δ − ε . lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε x → x0 Chú ý + N u hàm f ( x ) không tho mãn nh nghĩa, ta nói r ng f ( x ) không có gi i h n khi x → x0 , ho c lim f ( x ) không t n t i. x → x0 + Khi tìm gi i h n, ta ch quan tâm n các giá tr “x d n t i x0 ” ch không ph i xét khi x = x0 . Do ó hàm s f ( x ) có th không xác nh t i x = x0 nhưng ph i xác nh t i các i m thu c lân c n c a i m ó. x −1 Ví d 2: Hàm s f ( x ) = 2 không xác nh t i x = 1. Ta l p b ng tính các giá tr x −1 c a f ( x ) khi x → 1. T ó xem f ( x ) d n n giá tr nào. Nh n th y khi x ti n g n n x0 = 1 thì các giá tr các hàm s f ( x ) ti n g n n 0,5. Ta nói r ng hàm s có gi i h n b ng 0,5 khi x → x0 = 1.
  3. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Cách mô t này ch y u cho ta dáng i u c a f(x) khi x g n a, d oán giá tr c a gi i h n, có l i v tr c giác và phù h p v i m c ích th c hành. Tuy nhiên không ch t ch . x −1 1 S d ng nh nghĩa, ch ra r ng lim 2 = . x →1 x − 1 2 Th t v y, cho trư c ε > 0 , ch n δ = ε . Ta có: x −1 < δ thì x −1 1 x −1 2 − = < x − 1 < ε ( v i x trong lân c n c a 1). x −1 2 x +1 1 Ví d 3: Tìm gi i h n lim cos x →0 x 1 Gi i: t f ( x ) = cos . x 1 +V i x= , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 1. 2nπ 1 1 +V i x= , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 0 . V y lim cos không t n t i. π x →0 x + 2nπ 2 3. Gi i h n vô c c nh nghĩa: + lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 l n, sao cho ∀x > N ⇒ f ( x ) − L < ε . x →+∞ + lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 l n, sao cho ∀x < −N ⇒ f ( x ) − L < ε . x →−∞ 1 Ví d 4: Ch ng minh r ng lim =0. x →+∞ x 1 1 +T −0 < ε ⇔ x > . x ε2 1 + Ta có: ∀ε > 0 , ch n N = 2 . Khi ó ∀x > N ⇒ f ( x ) − 0 < ε . ε 4. Các tính ch t c a gi i h n nh lí 1: Gi s c là h ng s và lim f ( x ) = L, lim g ( x ) = M . Khi ó x →a x →a 1. lim [f ( x ) + g ( x )] = L + M 2. lim [f ( x ) − g ( x )] = L − M x →a x →a 3. lim c.f ( x ) = cL 4. lim f ( x ).g ( x ) = L.M x →a x →a f (x) L 5. lim = n u M ≠ 0. x →a g( x ) M nh lý 2: ( v gi i h n k p) Gi s các hàm s f ( x ), g ( x ), h( x ) tho mãn b t ng th c f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) trong lân c n c a i m a. Khi ó n u lim f ( x ) = lim h( x ) = L thì lim g ( x ) = L . x →a x →a x →a
  4. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i sin x Ví d 5: Ch ng minh r ng lim = 0. x →∞ x sin x 1 1 sin x Ta có: 0 ≤ ≤ . Mà lim = 0 nên lim = 0 , hay ta có pcm. x x x →∞ x x →∞ x 0 ∞ 5. M t s phương pháp kh d ng vô nh: , , ∞ − ∞, 1∞. 0 ∞ + Phân tích a th c thành nhân t ho c nhân bi u th c liên h p kh d ng vô nh. + S d ng gi i h n k p + S d ng m t s gi i h n cơ b n sau:  a x sin x ax −1 ln( x + 1) lim = 1, lim = ln a , lim = 1, lim 1+  = ea ,    x →0 x x →0 x x →0 x x →∞   x lim a x = 0, (0 < a < 1) , … x →+∞ x m −1 Ví d 6: Tìm lim . x →1 x n − 1 0 Gi i: + D ng . 0 x m −1 ( x − 1)( x m−1 + x m−2 + ... + 1) ( x m−1 + x m−2 + ... + 1) m + lim n = lim = lim = . x →1 x − 1 ( )( x →1 x − 1 x n −1 + x n−2 + ... + 1 ) x→1 ( x n−1 + x n−2 + ... + 1) n 3 x − 1 − 2x − 3 Ví d 7: Tìm lim x →2 x −2 0 + D ng 0 + lim 3 x − 1 − 2x − 3 = lim ( 3 ) ( x −1 −1 − 2x − 3 − 1 ) = lim ( 3 x −1 −1) − lim ( 2x − 3 −1 ) x →2 x −2 x →2 x −2 x →2 x −2 x →2 x −2 ( ) 0 3 x −1 −1 dang 0 + lim = x →2 x −2 ( ) 0 2x − 3 − 1 dang 0 + lim = . x →2 x −2 3 x − 1 − 2x − 3 1 4 + V y lim = +1= . x →2 x −2 3 3
  5. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i x+ x Ví d 8: Tìm lim x →+∞ x +1 ∞ Gi i: D ng . ∞ x+ x + lim = x →+∞ x +1 + KQ: 1. Ví d 9: Tìm lim x →+∞ ( x2 + x − x ) + D ng ∞ − ∞ + lim x →+∞ ( x2 + x − x = . ) + KQ: ∞ . x 2 +2 x  x 2 + 1  Ví d 10: Tìm lim  2   , x →+∞  x − 1    + D ng 1∞ ( 2 x 2 +2 x ) 2 x +2 x    2   x −1    x 2 −1 ( 2 x 2 +2 x )  2    2       x + 1      2    lim + lim  2   = lim 1+ 2    =e x →+∞ x 2 −1 = e2 . x →+∞  x − 1   x →+∞   x −1          1− cos x.cos 2 x Ví d 11: Tìm gi i h n sau lim . x →0 1− cos x 0 + D ng . 0 1− cos x.cos 2 x (1− cos x ) cos 2x + 1− cos 2x + lim = lim = x →0 1− cos x x →0 1− cos x = + KQ: 5. 1 Ví d 12: Tìm gi i h n sau lim (cos x ) x 2 . x →0 ∞ + D ng 1 x + Ta có: cos x = 1− (1− cos x ) = 1− 2sin2 2
  6. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i 1 + lim (cos x ) x 2 = x →0 1 − + KQ: e 2 6. Gi i h n m t phía a. nh nghĩa: Gi i h n c a f(x) khi x → a, x < a (ho c x → a, x > a ) n u t n t i g i là gi i h n trái ( ho c gi i h n ph i ). Ký hi u lim− f ( x ) = f (a− ), lim+ f ( x ) = f (a + ) . x →a x →a Ký hi u khác: lim f ( x ) = f (a − 0), lim f ( x ) = f (a + 0) . x →a−0 x → a +0   ∃ lim− f ( x )  x →a   b. nh lý: T n t i lim f ( x ) = L khi và ch khi ∃ lim+ f ( x ) x →a  x →a   lim f ( x ) = lim f ( x ) = L    x →a−  x → a+ x Ví d 13: Xét s t n t i c a lim . x →0 x x x x −x x Ta có: lim+ = lim+ = 1, lim− = lim− = −1. V y lim không t n t i. x →0 x x →0 x x →0 x x →0 x x →0 x  x − 4, x > 4  Ví d 14: N u f ( x ) =   , Xác nh s t n t i c a lim f ( x ) . 8 − 2 x, x < 4  x →4  GI I: Vì f ( x ) = x − 4 v i x > 4 , chúng ta có: lim f ( x ) = lim x − 4 = 4 − 4 = 0 x → 4+ + x→4 Vì f ( x ) = 8 − 2 x v i x < 4 , chúng ta có : lim f ( x ) = lim ( 8 − 2 x ) = 8 − 2.4 = 0 x → 4− − x →4 Gi i h n trái và gi i h n ph i b ng nhau. Vì v y, gi i h n t n t i và lim f ( x ) = 0 x→4 . th c a f ư c ch ra trong Hình 3.
  7. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i HÌNH 3 7. Vô cùng l n, vô cùng bé nh nghĩa: Hàm s f(x) ư c g i là vô cùng bé, vi t t t là VCB khi x → x0 n u lim f ( x ) = 0 . Hàm s f(x) ư c g i là vô cùng l n, vi t t t là VCL khi x → x0 n u x → x0 lim f ( x ) = +∞ . x → x0 Chú ý: + x0 có th h u h n ho c vô h n. 1 1 + lim f ( x ) = ∞ ⇔ lim = 0 . f ( x ) = (1+ x ) x x → x0 x → x0 f ( x ) + so sánh t c d n n 0 c a các VCB f(x), g(x) khi cùng x → x0 thì xét f (x) lim . Ta có các trư ng h p sau: x → x0 g ( x ) f (x) ♦ N u lim = 0 ta nói r ng f(x) b c cao hơn g(x), kí hi u x → x0 g ( x ) f ( x ) = o(g ( x )), x → x0 . f (x) ♦ N u lim = C ≠ 0 ta nói r ng f(x) cùng b c v i g(x). x → x0 g ( x ) f (x) ♦ N u lim = 1 ta nói r ng f(x) tương ương v i g(x), kí hi u f ( x ) ∼ g ( x ) . x → x0 g ( x ) M t s VCB cùng b c khi x → 0 : sin x ∼ x, ln(1+ x ) ∼ x, e x − 1 ∼ x . ln(1+ x ) ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v× lim =1 x →0 x f (x) f *(x) nh lý: N u f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x → x0 . Khi ó : lim = lim * . x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) e2x −1 Ví d 15: Tính lim . x →0 ln(1 + sin3 x ) Ta có: e 2 x − 1 ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0 e2x −1 2x 2 Do ó : lim = lim = . x →0 ln(1 + sin3 x ) x →0 3 x 3
  8. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i 1.3. Tính liên t c c a hàm s 1. nh nghĩa nh nghĩa 1: Hàm s f(x) liên t c t i i m x0 n u lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm s y = f(x) liên t c trên mi n D n u nó liên t c t i m i i m thu c mi n D. Chú ý: T nh nghĩa 1, ta th y y = f(x) liên t c t i i m x0 c n n 3 i u ki n: 1. x0 thu c t p xác nh c a hàm s . 2. T n t i lim f ( x ) . x → x0 3. lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Nh n xét: + Các a th c, hàm phân th c, hàm h u t , hàm lư ng giác, hàm mũ, hàm logarit là các hàm s liên t c trên mi n xác nh c a nó. + Hàm s y = f(x) liên t c trên (a, b) thì th c a nó là m t ư ng cong trơn trên kho ng này (t c là không b gãy, không b t o n). nh nghĩa 2: Hàm s f (x) ư c g i là liên t c ph i t i x0 n u lim+ f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm s f (x) ư c g i là liên t c trái t i x0 n u lim− f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm s y = f (x) liên t c t i x0 khi và ch khi nó v a liên t c trái, v a liên t c ph i t i x0 .  x2 − x − 2   x≠2 Ví d 16: Xét tính liên t c c a hàm s f (x) =  x − 2   1   x=2 + Ta th y hàm s liên t c t i m i i m x ≠ 2 . + Xét t i x = 2. x2 − x − 2 ( x − 2)( x + 1) lim f ( x ) = lim = lim = lim ( x + 1) = 3, f (2) = 1 x →2 x →2 x −2 x →2 x −2 x →2 Nhưng lim f ( x ) ≠ f (2) . Nên f không liên t c t i 2. x →2 Ví d 17: Tìm a hàm s sau liên t c trên R  sin 2 x   x>0 f (x) =  x   ax ae + x 2 − 1   x ≤0 + Hàm s liên t c v i m i x ≠ 0 , hàm s liên t c trên R thì nó ph i liên t c t i x =0. + T i x =0 sin 2 x lim+ f ( x ) = lim+ =2 lim f ( x ) = lim− (ae ax + x 2 − 1) = a − 1 = f (0) x x →0− x →0 x →0 , x →0
  9. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i hàm s liên t c t i x = 0 thì f (0+ ) = f (0− ) = f (0) ⇔ a − 1 = 2 ⇔ a = 3 . Ví d 18: Hàm s f(x) không xác nh t i x = 0, hãy xác nh f(0) hàm s f(x) liên t ct ix=0 v i: 1 f ( x ) = (1+ 2 x ) x 1 Gi i: hàm s liên t c t i x = 0 thì f (0) = lim f ( x ) = lim(1+ 2 x ) = e 2 . x x →0 x →0 2. i m gián o n c a hàm s nh nghĩa: Hàm s f(x) ư c g i là gián o n t i x = a n u t i x = a hàm s không liên t c. N u t n t i f (a + ), f (a− ) và f (a+ ) ≠ f (a− ) thì x = a ư c g i là i m gián o n lo i 1. N u f (a+ ) = f (a− ) thì x = a ư c g i là i m gián o n kh ư c. i m gián o n khác (không ph i lo i 1) g i là gián o n lo i 2. Ví d 19: Tìm và phân lo i i m gián o n c a các hàm s sau: x 1 a. f ( x ) = b. f ( x ) = x x e 1−x − 1 Gi i: a. Xét t i x = 0 lim+ f ( x ) = x →0 lim f ( x ) = x →0− nên x = 0 là gián o n lo i 1. b. ♦ T i x = 1. lim f ( x ) = + lim f ( x ) = x →1 x →1− nên x = 1 là gián o n lo i 1. ♦ T i x = 0. lim+ f ( x ) = lim f ( x ) = x →0 x →0− nên x = 0 là gián o n lo i 2. Ví d 20: Kh o sát s liên t c c a hàm s và tính ch t i m gián o n   cos π x  x ≤1 f (x) =  2   x −1    x >1 ( S: x = - 1 là i m gián o n lo i 1) Bài t p v nhà: Trang 87 ( Bài 1 – 19), trang 91 ( bài 18 – 62), 25 trang 251, Trang 278 ( Bài 33 - 43).
  10. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Bài s 2 o hàm c a hàm s m t bi n 2.1 nh nghĩa v o hàm 1. nh nghĩa o hàm Cho hàm s y = f ( x ) , o hàm f '( x ) c a hàm s f ( x ) là m t hàm m i có giá tr t i i m x ư c xác nh b i gi i h n sau (khi gi i h n t n t i): f ( x + ∆x ) − f ( x ) f '( x ) = lim . ∆x → 0 ∆x + N u gi i h n t n t i v i x = a, thì hàm s y = f(x) ư c g i là kh vi t i a. + Hàm kh vi là hàm s kh vi t i m i i m trong t p xác nh c a nó. y = f(x) y Q f(x0 +∆x) - f(x 0) P ∆x x0 x0 + ∆x x ● Chú ý : + f’(x) là d c c a ti p tuy n c a ư ng cong y = f(x) t i P. + Có nhi u cách ký hi u khác nhau c a o hàm hàm s y = f ( x ) : dy df ( x ) d f '( x ) , y’ , , , f ( x ). dx dx dx dy + N u y = f ( x ) thì còn ư c g i là su t bi n i c a y theo x . dx + N u ta mu n vi t giá tr s c a o hàm t i m t i m c th x = 3, ta vi t :  dy  dy     ho c , ho c f’(3) .    dx  x =3 dx x =3 f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x ) − f ( x0 ) + ∆x = x − x0 nên f '( x ) = lim = lim . ∆x → 0 ∆x x → x0 x − x0 2. Quy t c tìm o hàm t i m t i m theo nh nghĩa: ● B c 1. Tìm s gia f(x + ∆x) - f(x) và ti n hành rút g n f ( x 0 +∆x ) − f ( x0 ) ● B c 2. Thi t l p t s : ∆x ● B c 3. Tính gi i h n c a t s trên khi ∆x→0. N u gi i h n ó t n t i thì ó chính là o hàm c a hàm s t i i m c n tìm :
  11. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i f ( x + ∆x ) − f ( x ) f '( x ) = lim . ∆x → 0 ∆x 1 Ví d 1. Tìm f’(x) n u f(x) = x Bư c 1: 1 1 x − ( x + ∆x ) −∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = − = = x + ∆x x x ( x + ∆x ) x ( x + ∆x ) Bư c 2. f ( x 0 +∆x ) − f ( x0 ) −1 = ∆x x ( x + ∆x ) −1 1 Bư c 3. K t lu n f '( x ) = lim =− 2 ∆x →0 x ( x + ∆x ) x Ví d 2 : V th hàm s y = f ( x ) = x x và cho bi t nó không kh vi t i i m nào x 2, x ≥ 0  2 x, x > 0  Gi i : y = f ( x ) = x x =  2  nên f '( x ) =   −x , x ≤ 0  −2 x, x < 0    f (0 + ∆x ) − f (0) ∆x ∆x T i x = 0, ta có lim = lim = lim ∆x = 0 , hàm s kh vi t i ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 x = 0. V y hàm s kh vi v i m i x. (x -1)ln(x − 1) + 1  x >1 Ví d 3: Hàm s f ( x ) =   có kh vi t i x = 1 2 x − 1   x ≤1 không. f ( x ) − f (1) Gi i: + lim = + x →1 x −1 f ( x ) − f (1) + lim = x →1− x −1 V y hàm s không kh vi t i x = 1. Ví d 4: Ch ng minh r ng n u hàm f(x) có tính ch t f ( x ) ≤ x 2 v i m i x thì f(x) kh vi t i x = 0. Gi i: T f ( x ) ≤ x 2 , ∀x nên f (0) ≤ 0 ⇔ f (0) = 0 . f (0 + ∆x ) − f (0) f (∆x ) Ta có 0 ≤ = ≤ ∆x , mà lim ∆x = 0 ∆x ∆x ∆x → 0 f (0 + ∆x ) − f (0) Nên f '(0) = lim = 0 . V y hs kh vi t i x = 0. ∆x →0 ∆x Chú ý: + N u hàm s y = f ( x ) liên t c t i i m x thì : lim ∆y = 0 ∆x → 0
  12. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i + M t hàm kh vi t i m t i m thì liên t c t i i m ó vì: ∆y  ∆y   dy lim ∆y = lim ⋅ ∆x =  lim  lim ∆x  = ⋅0 = 0 . ∆x →0 ∆x   ∆x →0 ∆x → 0 ∆x →0 ∆x    dx + M t hàm có th liên t c t i m t i m mà không kh vi t i i m ó. + M t hàm s không liên t c t i x0 thì s không kh vi t i i m ó. 2. M T S CÔNG TH C VÀ QUY T C TÍNH O HÀM ÃH C d d α du 1. c=0 2. u = αu α−1 dx dx dx d u du d 1 du 3. a = au ln a 4. ln u = . dx dx dx u dx d du d 1 du 5. sin u = cos u. 6. tan u = 2 . dx dx dx cos u dx d du d du dv 7. cos u = − sin u. 8. (u + v ) = + dx dx dx dx dx d du dv d u u 'v − v ' u 9. (uv ) = v +u 10. = dx dx dx dx v v2 dy dy du 11. = . (Quy t c dây chuy n hay o hàm hàm h p). dx du dx Ví d 5. Tính y’ c a hàm s a. y = 1+ 1 + x . b. y = ln sin (ln x ) Gi i: a. y ' = x + KQ: . 2 2 2 1+ x . 1+ 1+ x b. y ' =
  13. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i cot (ln x ) + KQ: x 2.2. Hàm n và o hàm hàm n a. Hàm n H u h t các hàm ta g p có d ng y = f ( x ) , trong ó y bi u di n tr c ti p (ho c tư ng minh) theo x. Ngoài ra y thư ng nh nghĩa là hàm c a x b ng phương trình F ( x, y ) = 0 (1), không gi i ư c i v i y, nhưng trong ó x và y có liên quan v i nhau. Khi ó, ta nói phương trình (1) xác nh y như là m t (ho c nhi u) hàm n c a x. Ví d 6. + P/trình xy = 1 xác nh m t hàm n c a x mà ta có th vi t m t cách tư ng 1 minh là y = . x + P/trình 2x2 - 2xy = 5 - y2 xác nh hai hàm n: 2 y = x + 5−x và y = x − 5 − x2 . b. o hàm c a hàm n : Ví d 7 (i) Xét p/trình xy = 1. L y o hàm hai v theo x : dy dy y x +y =0 ho c =− dx dx x 1 dy y 1 1 1 1 + T phương trình ta có y = nên: =− =− y =− ⋅ =− 2 . x dx x x x x x 1 dy 1 +N u o hàm tr c ti p y = , cũng có =− 2 . x dx x (ii) T phương trình x2 + y2 = 25 o hàm 2 v ta có : dy dy x 2 xdx + 2y =0⇔ =− . dx dx y 2.3. Hàm ngư c và o hàm hàm ngư c 1. nh nghĩa : Cho hàm s : f:X → Y x → y = f (x) N u tương ng ngư c : Y → X sao cho y → x | y = f ( x ) cũng là m t hàm s thì ta nói r ng hàm s y = f ( x ) có hàm s ngư c f −1 : Y → X y → x = f −1 ( y )
  14. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Có hàm s ngư c f −1( x ) Không có hàm s ngư c 2. Công th c hàm s ng c : Xét hàm s : f : X → Y , x → y = f ( x ) Xét phương trình n x : f ( x ) = y (*) N u v i m i y ∈ Y phương trình (*) có duy nh t m t nghi m x ∈ X thì hàm s y = f ( x ) có hàm s ngư c: f −1 : Y → X y → x = f −1 ( y ) trong ó x = f −1( y ) chính là công th c nghi m duy nh t c a phương trình (*). 3 i u ki n t n t i hàm s ngư c a. Khái ni m : Hàm s y = f ( x ) ư c g i là hàm m t – m t n u v i x1 ≠ x2 thì ta có f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Không là hàm 1-1 b. i u ki n : N u y = f ( x ) là hàm m t - m t có TX là X và MGT là Y . Khi ó t n t i hàm ngư c f −1 v i TX là Y và MGT là X , hơn n a y = f ( x ) ⇔ x = f −1( y ) .
  15. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Chú ý : : + N u y = f (x) có hàm ngư c f −1 thì + f −1 (f ( x )) = x, ∀x ∈ X . + f (f −1( y )) = y , ∀y ∈ Y c. th : N u y = f ( x ) có hàm s ngư c y = f −1( x ) thì th c a hai hàm s ó s i x ng nhau qua ư ng phân giác th nh t y = x . 4. Hàm ngư c c a m t s hàm sơ c p f: »+ → »+ a) Hàm s : x y = f (x) = x có hàm s ngư c là y = x 2 . b) Hàm s ngư c c a hàm y = sin x : N u xét hàm s : sin : [−π / 2, π / 2] → [−1,1] x → y = sin x Khi ó t n t i hàm s ngư c : sin−1 : [−1,1] → [−π / 2, π / 2] y → x = sin−1 y Ký hi u khác : sin−1 x = arcsin x . Chú ý : a = sin−1 b = arcsin b chính là s o góc mà sin a = b . π 1 π 1 1 Ví d 8: sin = ⇔ = sin−1 = arcsin . 6 2 6 2 2 c) Hàm ngư c c a hàm cosine : Tương t , n u xét cos : [0, π ] → [−1,1] x → y = cos x Khi ó s t n t i hàm ngư c : y = cos−1 x . d. Hàm ngư c c a hàm tang Xét hàm s : Hình 9.19
  16. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i    π π tan : − ,  → (−∞, ∞)   2 2  x → y = tan x khi ó t n t i hàm s ngư c  π π tan−1 : (−∞, + ∞) → − ,      2 2  Chú ý : a = tan−1 b chính là s o c a góc mà tan a = b . th c a hàm y = tg – 1x là ư ng m nét hình 9.19. e. Hàm ngư c c a hàm cotang : Khi xét cotan : (0, π) → (−∞, ∞) x → y = cot x −1 Tương t : Hàm y = arccot x = (cot) ( x ) 5. o hàm hàm ngư c a. nh lý : Cho hàm y = f ( x ) là hàm liên t c, m t – m t trên kho ng (a, b ). Khi ó t n t i hàm ngư c x = f −1( y ) xác nh trong lân c n c a y 0 v i y 0 = f ( x0 ) . Gi s y = f ( x ) có o hàm t i x0 và f ( x0 ) ≠ 0 , thì hàm ngư c x = f −1( y ) s có o hàm ' 1 t i y 0 và f −1  ( y 0 ) = . f ' ( x0 ) Ví d 9: Hàm s y = f ( x ) = x có hàm ngư c x = f −1( y ) = y 2 1 '  f −1  ( y ) = 2 y = 2 x = 1 1 Ta có : f '( x ) = , ∀x > 0 ;   = , ∀x > 0 . 2 x 1 f '( x ) 2 x b. o hàm hàm lư ng giác ngư c Cho u là hàm kh vi c a x, ta có : d 1 du d 1 du (sin−1 u ) = (cos−1 u ) = − dx 2 dx 2 dx 1− u dx 1− u d 1 du d 1 du (tan−1 u ) = (tan−1 u ) = − dx 1+ u 2 dx dx 1+ u 2 dx Ví d 10: Tính dy/dx c a hàm s y = x tan−1 x − ln 1+ x 2 . 1 Gi i : y = x tan−1 x − ln(1+ x 2 ) nên 2 dy = = tan−1 x . dx
  17. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Ví d 11: Tính dy/dx c a hàm s y = sin−1 x + x 1− x 2 . dy Gi i : = = 2 1− x 2 . dx 2.4 .VI PHÂN a. nh nghĩa : Cho hàm s y = f ( x ) , tích s f '( x ).∆x g i là vi phân c a f(x) t i i m x, kí hi u dy = f '( x ).∆x . Khi y = f ( x ) = x thì f '( x ) = 1 nên dy = dx = ∆x , do ó : dy = df = f '( x )dx . N u hàm s f(x) kh vi t i x thì ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = f '( x ).∆x + o (∆x ) b. Công th c vi phân. Quy t c tính o hàm d n n các công th c vi phân tương ng. d c=0 d(c) = 0 dx d n du u = nu n−1 d(xn) = nxn-1dx dx dx d du (cu ) = c d(cu) = cdu dx dx d du dv (u + v ) = + d(u + v) = du + dv dx dx dx d dv du (uv ) = u +v d(uv) = vdu + udv dx dx dx du dv v −u d u dx dx u vdu − udv ( )= d( ) = dx v v2 v v2 d n du u = nu n−1 d(un) = nun-1du dx dx Ví d 12. Gi s y = x4 + 3x2 + 7 tìm dy Gi i :+ Cách 1 : Tìm o hàm dy = 4x3 + 6x dx và nhân v i dx, ta ư c dy = (4 x 3 + 6 x )dx + Cách 2: Chúng ta cũng có th dùng các công th c vi phân trên dy = d(x4 + 3x2 + 7) = dx4 +3 d(x2) + d(7) = 4x3dx + 3.2xdx+0 = (4x3 + 6x) dx
  18. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i x2 Ví d 13. Tính d ( ) x2 +1 Gi i: + Dùng công th c vi phân c a m t thương: x2 x 2 + 1.d ( x 2 ) − x 2d ( 1+ x 2 ) d( )= x2 +1 x2 +1 x 3dx 2 x x 2 + 1dx −  2   x2 +1 x 3 + 2x  x  d = = 2 dx .   x 2 + 1   x2 +1 ( x + 1)3/2 Ví d 14: Gi thi t r ng y là m t hàm kh vi i v i x và th a mãn phương trình: x2y3 - 2xy + 5 = 0. dy Hãy s d ng vi phân tìm . dx Gi i: + K t qu : dy 2y − 2 xy 3 = 2 2 v i /k 3 x 2 y 2 − 2 x ≠ 0 . dx 3 x y − 2 x Chú ý: ý r ng ti p tuy n v i ư ng cong ôm sát ư ng cong g n ti p i m. i u này có nghĩa r ng khi dx nh , thì ư ng cong th c s g n v i ti p tuy n c a nó, và vì th vi phân dy d dàng ư c tính toán, nó cho x p x t t i v i s gia ∆y . c. ng d ng c a vi phân trong tính g n úng Xét hàm s y = f ( x ) kh vi trong lân c n c a x0 ∈ (a, b ) . Theo công th c s gia c a hàm kh vi ta có f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x Ví d 15: Tính x p x ln11. Gi i: + Xét f ( x ) = ln x, x0 = 10, ∆x = 1 + Áp d ng f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x ta có 1 ln11 = ln(10 + 1) ≈ ln10 + .1 ≈ 1,043 . 10.ln10 2.5 o hàm và vi phân c p cao 1. nh nghĩa:
  19. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Cho hàm s f(x) xác nh trong kho ng (a, b). Gi s hàm s y = f(x) có o hàm y’ = f’(x) và f’(x) có o hàm thì ta g i o hàm c a f’(x) là o hàm c p hai c a hàm f(x). Kí hi u y” = f”(x) = [f’(x)]’. Tương t ta có o hàm c p n c a hàm y = f(x): y ( n ) ( x ) =  y ( n−1) ( x ) ′ 2 Ví d 16: Cho hàm s y = e− x . Tính y ′′′ . Ta có: y'= y ′′ = ( y ') ' = y ′′′ = ( y ") ' 2 = 4e− x (3 x − 2 x 3 ). 2. Các quy t c l y o hàm c p cao: a. V i f, g là các hàm s có o hàm c p n và λ, µ ∈ R , ta có: (λf ( x ) + µg ( x ))( n ) = λf ( n ) ( x ) + µg ( n ) ( x ) b. Quy t c Leibniz: V i f, g là các hàm s có o hàm c p n, ta có: n (fg )( n ) = ∑ Cn f ( n−k )g ( k ) k k =0 Ví d 17: Tìm công th c tính o hàm c p n c a: 1 a. y = , b. y = x k , v i k ∈ R x −1 Gi i: 1 a. y = = ( x − 1)−1 , nên y ' = , y"= , x −1 …, Nên 1 y (n) = = (−1)n n !. . ( x − 1)n+1 b. N u k ∉ N thì y ' = , y"= ,…, y (n ) = k (k − 1)...(k − n + 1)x k −n  k >n   (n) N u k ∈ N thì y = k ! k =n  0    k
  20. Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i (n − 1)x n−2 y n−1 − (n − 1)y n−2 .y '.x n−1 (n − 1)x n−2 y n−1 + (n − 1)y −1.x 2n−2 y '' = − =− y 2 n−2 y 2n−2 (n − 1)x n−2 y −1( x n + y n ) (n − 1)a n x n−2 =− =− y 2n−2 y 2 n−1 3. Vi phân c p cao: Vi phân c p 2 c a hàm s f(x) t i m t i m nào ó (n u có) là vi phân c a vi phân c p m t df. Kí hi u d 2f = d (df ) . Quy n p ta có: Vi phân c p n, kí hi u là d n f là vi phân c p m t c a vi phân c p (n- 1): d n f = d (d n−1f ) . Chú ý: Khi tìm vi phân c p cao c a hàm s , ta luôn coi dx như là h ng s . d 2 y = d (dy ) = d ( y ' dx ) = y "(dx )2 = y " dx 2 .................... d n y = d (d n−1y ) = y ( n )dx n Ví d 19: Cho hàm s y = ln x . Tìm d 5 y 4! 5 24 5 Ta có: d 5 y = y (5)dx 5 = dx = 5 dx . x5 x Bài t p v nhà: Trang 90 ( Bài 6 - 13), trang 254 ( Bài 1 – 4), Trang 287 ( Bài 1 - 9). Trang 104 ( bài 1- 5), Trang 108 ( bài 1 - 8), Trang 112( bài 1 - 12).
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2