Bài giảng toán cao cấp A1 Cao đẳng - Ths. Đoàn Vương Nguyên

Chia sẻ: Nguyễn Hoàng Sky Skysinhvienit | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

1
1.318
lượt xem
384
download

Bài giảng toán cao cấp A1 Cao đẳng - Ths. Đoàn Vương Nguyên

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo gồm Chương 1. Hàm số một biến số Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số . toán cao cấp A1 là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Để học tốt môn toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng toán cao cấp A1 Cao đẳng - Ths. Đoàn Vương Nguyên

  1. BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1
  2. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 4. Chuỗi số TOÁN CAO C P A1 Chương 5. Đại số tuyến tính CAO Đ NG Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH (bậc Cao đẳng) S ti t: 45 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 1, 2 ----- (Dùng cho SV Cao đẳng) Chương 1. Hàm số một biến số –NXB Giáo dục. Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên Đoà Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số T i Slide bài gi ng Toán A1 CĐ t i bà Toá dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà §1. Bổ túc về hàm số – Nếu f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 thì f là đơn ánh. §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. §4. Hàm số liên tục – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. ……………………………. VD 1. §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x là đơn ánh. 1.1. Khái niệm cơ bản b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x 2 là toàn ánh. 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng. c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x là song ánh. Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) là một hàm số. • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: Khi đó: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df . – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu: { G = y = f (x ) x ∈ X . } f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df . Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Nhận xét 1.1.3. Hàm số ngược – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu g = f −1 , nếu x = g(y ), ∀y ∈ G f . 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg ⊂ D f . Nhận xét Khi đó, hàm số h(x ) = ( f g )(x ) = f [g(x )] được gọi là – Đồ thị hàm số y = f −1(x ) hàm số hợp của f và g. đối xứng với đồ thị của hàm số y = f (x ) qua Chú ý đường thẳng y = x . (f g )(x ) ≠ (g f )(x ). VD 2. Hàm số y = 2(x 2 + 1)2 − x 2 − 1 là hàm hợp của VD 3. Cho f (x ) = 2x thì f (x ) = 2x 2 − x và g(x ) = x 2 + 1 . f −1(x ) = log2 x , mọi x > 0. Toán cao c p A1 Cao đ ng 1
  3. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.2. Hàm số y = arccos x 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = cos x có hàm ngược trên [0; π] là  π π • Hàm số y = sin x có hàm ngược trên − ;  là f −1 : [−1; 1] → [0; π]  2 2  π π   x ֏ y = arccos x . f −1 : [−1; 1] → − ;   2 2 π   VD 5. arccos 0 = ; x ֏ y = arcsin x . 2 arccos(−1) = π ; VD 4. arcsin 0 = 0 ; 3 π −1 2π π arccos = ; arccos = . arcsin(−1) = − ; 2 6 2 3 2 Chú ý 3 π π arcsin = . arcsin x + arccos x = , ∀x ∈ [−1; 1]. 2 3 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà 1.2.3. Hàm số y = arctan x 1.2.4. Hàm số y = arccot x  π π • Hàm số y = tan x có hàm ngược trên − ;  là   • Hàm số y = cot x có hàm ngược trên (0; π) là  π π  2 2    f : ℝ → − ;  −1    f −1 : ℝ → (0; π)  2 2   x ֏ y = arctan x . x ֏ y = arc cot x . π VD 6. arctan 0 = 0 ; VD 7. arc cot 0 = ; π 2 arctan(−1) = − ; 3π 4 arc cot(−1) = ; π 4 arctan 3 = . π 3 arc cot 3 = . 6 π π Quy ước. arctan (+∞) = , arctan (−∞) = − . Quy ước. arc cot(+∞) = 0, arc cot(−∞) = π. 2 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ , 2.1. Các định nghĩa ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm Định nghĩa 1 x →+∞ • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x ) − L < ε . hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm được δ > 0 x →−∞ x →x 0 trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) − L < ε . khi x < N thì f (x ) − L < ε . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x → x 0 , ký hiệu hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = +∞ , nếu ∀ M > 0 lớn tùy ý cho trước ta lim f (x ) = L , nếu mọi dãy {xn} trong (a ; b ) \ {x 0 } mà x →x0 x →x 0 tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì x n → x 0 thì lim f (x n ) = L . f (x ) > M . n →∞ Toán cao c p A1 Cao đ ng 2
  4. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = − ∞ , nếu ∀ M < 0 có trị 2.2. Tính chất x →x0 tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được δ > 0 sao cho Cho lim f (x ) = a và lim g (x ) = b . Khi đó: x →x 0 x →x 0 khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) < M . 1) lim [C .f (x )] = C .a (C là hằng số). Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) x →x 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0 2) lim [ f (x ) ± g (x )] = a ± b . x →x 0 với x > x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 3) lim [ f (x )g (x )] = ab ; x →x0 +0 x →x 0 x →x+ 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0 f (x ) a 4) lim = , b ≠ 0; với x < x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu g (x ) x →x 0 b hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 5) Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) thì a ≤ b . x → x 0 −0 x →x− 0 6) Nếu f (x ) ≤ h (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) và Chú ý. lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L . lim f (x ) = lim g (x ) = L thì lim h (x ) = L . x →x0 x →x x→x 0 0 x →x 0 x →x 0 x →x 0 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Định lý an x n + an −1x n −1 + ... + a0 • Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: 2) Xét L = lim , ta có: x →x 0 x →x 0 x →∞ b x m m + bm−1x m−1 + ... + b0 lim [u(x )]v (x ) = a b . an x →x 0 a) L = nếu n = m ; 2x bn  2x x −1 b) L = 0 nếu n < m ; VD 1. Tìm giới hạn L = lim      . c) L = ∞ nếu n > m . x →∞  x + 3    sin αx tan αx A. L = 9 ; B. L = 4 ; C. L = 1; D. L = 0 . 3) lim = lim = 1. αx → 0 α x αx → 0 αx 4) Số e: Các kết quả cần nhớ  x 1 1 1) lim = −∞, lim = +∞. 1 1 + 1  = lim (1 + x )x = e. lim   − + x →±∞   x  x →0 x →0 x x →0 x Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà 2x  3x   §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN VD 2. Tìm giới hạn L = lim 1 +    .  x →∞   2x + 1  2 3.1. Đại lượng vô cùng bé A. L = ∞ ; B. L = e 3 ; C. L = e 2 ; D. L = 1. a) Định nghĩa • Hàm số α(x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) 1 khi x → x 0 nếu lim α(x ) = 0 (x0 có thể là vô cùng). x →x 0 VD 3. Tìm giới hạn L = lim 1 + tan2 x x →0 + ( ) 4x . A. L = ∞ ; B. L = 1; C. L = 4 e ; D. L = e . ( ) VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1− ; 1 β(x ) = là VCB khi x → +∞ . ln2 x Toán cao c p A1 Cao đ ng 3
  5. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà c) So sánh các VCB b) Tính chất của VCB • Định nghĩa 1) Nếu α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 thì α(x ) Cho α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 , lim = k. x →x 0 β(x ) α(x ) ± β(x ) và α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . Khi đó: 2) Nếu α(x ) là VCB và β(x ) bị chận trong lân cận x 0 – Nếu k = 0 , ta nói α(x ) là VCB cấp cao hơn β(x ), thì α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) . – Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) là VCB cấp thấp hơn β(x ). 3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), trong đó α(x ) là x →x 0 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB VCB khi x → x 0 . cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) . Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà VD 2. • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 • 1 − cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x → 0 vì: 1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )). x 2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) thì α(x ) ∼ γ(x ). 2 sin 2 3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) thì 1 − cos x 2 = 1. lim = lim x →0 x 2 x →0 x  2 2 α1(x )α 2 (x ) ∼ β1(x )β2(x ). 4     4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) thì α(x ) + β(x ) ∼ β(x ). 2   • sin2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1. • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho α(x ), β(x ) là tổng các VCB khác cấp khi x → x 0 α(x ) thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x →x 0 β(x ) nhất của tử và mẫu. Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà x 3 − cos x + 1 ln(1 − 2x sin2 x ) VD 3. Tìm giới hạn L = lim . VD 4. Tính giới hạn L = lim . x →0 x4 + x2 x →0 sin x 2 . tan x • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ; VD 5. Tính L = lim sin ( ) x + 1 − 1 + x 2 − 3 tan2 x . x →0 sin x 3 + 2x 3) arcsin x ∼ x ; 4) arctan x ∼ x Chú ý x2 Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho 5) 1 − cos x ∼ ; 6) e − 1 ∼ x ; x hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu 2 x tử hoặc mẫu của phân thức. 7) ln(1 + x ) ∼ x ; 8) n 1 + x − 1 ∼ . e x + e −x − 2 (e x − 1) + (e −x − 1) n VD 6. lim = lim x →0 x2 x →0 x2 Chú ý. Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta có thể thay x x + (−x ) bởi u(x ) trong 8 công thức trên. = lim = 0 (Sai!). x →0 x2 Toán cao c p A1 Cao đ ng 4
  6. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà 3.2. Đại lượng vô cùng lớn b) So sánh các VCL a) Định nghĩa • Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) f (x ) khi x → x 0 nếu lim f (x ) = ∞ (x0 có thể là vô cùng). Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x → x 0 , lim =k. x →x 0 x →x 0 g(x ) Khi đó: cos x + 1 – Nếu k = 0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ). VD 7. là VCL khi x → 0 ; 2x 3 − sin x x3 + x −1 – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ). là VCL khi x → +∞ . x 2 − cos 4x + 3 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL cùng cấp. Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x → x 0 thì – Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL 1 là VCB khi x → x 0 . tương đương. Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) . f (x ) Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà VD 8. • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi x → x 0 3 1 • là VCL khác cấp với khi x → 0 vì: f (x ) 3 3 x 2x + x thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất x →x 0 g(x ) 3 1  2x 3 + x x  lim  :   = 3 lim = 3 lim = ∞. của tử và mẫu. x →0    x 3 2x 3 + x   x →0 3 x →0 x 3 x VD 9. Tính các giới hạn: 3 • 2 x + x − 1 ∼ 2 x khi x → +∞ . 3 x 3 − cos x + 1 x 3 − 2x 2 + 1 A = lim ; B = lim . 3 x →∞ 3x + 2x x →+∞ 2 x 7 − sin2 x Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại 4.1. Định nghĩa x0 là hàm số liên tục tại x0. • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Số x 0 ∈ D f được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và ∃ε > 0 : ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) \ {x 0 } thì x ∉ Df . nhỏ nhất trên đoạn đó. 4.3. Hàm số liên tục một phía • Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ). • Định nghĩa x →x 0 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu • Hàm số f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi lim f (x ) = f (x 0 ) ( lim f (x ) = f (x 0 )). − + x →x 0 x →x 0 điểm x 0 ∈ X . • Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu Quy ước lim f (x ) = lim f (x ) = f (x 0 ). − + • Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x). x →x 0 x →x 0 Toán cao c p A1 Cao đ ng 5
  7. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà Chương 1. Hàm s m t bi n s Hà  3 tan2 x + sin2 x  4.4. Phân loại điểm gián đoạn  , x >0 VD 1. Cho hàm số f (x ) =   2x .   • Nếu hàm số f (x ) không liên tục tại x 0 thì x 0 được gọi  α, x ≤ 0   là điểm gián đoạn của f (x ). Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: • Nếu tồn tại các giới hạn: 1 3 A. α = 0 ; B. α = ; C. α = 1; D. α = . − + lim f (x ) = f (x 0 ), lim f (x ) = f (x 0 ) 2 2 − x →x 0 + x →x 0   ln(cos x )   ,x ≠0 nhưng − f (x 0 ), + f (x 0 ) và f (x 0 ) không đồng thời bằng VD 2. Cho hàm số f (x ) =  arctan2 x + 2x 2 .   nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một.  2α − 3, x = 0   Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai. 17 17 3 3 …………………………………………………………………………… A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . 12 12 2 2 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà §1. Đạo hàm Nhận xét. Do ∆x = x − x 0 nên: §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f (x ) − f (x 0 ) §4. Công thức Taylor f ′(x 0 ) = lim . §5. Quy tắc L’Hospital x →x 0 x − x0 ……………………………………………………… §1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía 1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận phải a) Định nghĩa đạo hàm f (x ) − f (x 0 ) (x 0 ; b ) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có) Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận (a ; b) của + x →x 0 x − x0 x 0 ∈ (a ; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y = f (x ) tại x 0 . ∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) + − lim = lim Ký hiệu là f ′(x 0 ). Tương tự, f ′(x 0 ). ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x (nếu có) được gọi là đạo hàm của y = f (x ) tại x 0 . Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi − + Ký hiệu là f ′(x 0 ) hay y ′(x 0 ). f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ). Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm ∆y • Nếu tỉ số → ∞ khi ∆x → 0 thì ta nói y = f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ∆x (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ; đạo hàm vô cùng tại x 0 . k ′  u ′ u ′v − uv ′ • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng   = −kv ′ , k ∈ ℝ ;      =   . một phía.   v  v 2 v     v2 VD 1. Cho f (x ) = 3 x ⇒ f ′(0) = ∞, 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]: f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ . f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ). Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y = y(x ): Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1 x ′(y ) = . tuyến tại x 0 của đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy . y ′(x ) Toán cao c p A1 Cao đ ng 6
  8. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà ′ Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp ( ) 7) e x = ex ; ( )′ = a .ln a ; 8) a x x ( )′ = α.x 1) x α α−1 ; 2) ( x )′ = 2 1x ; ( 9) ln x )′ = x ; 1 ( 10) loga x )′ = x .ln a ; 1 3) (sin x )′ = cos x ; 4) (cos x )′ = − sin x ; −1 11) (arcsin x )′ = 12)(arccos x )′ = 1 ; ; 1− x2 1 − x2 5) (tan x )′ = 6) (cot x )′ = − 1 1 ; 2 cos x sin2 x −1 13) (arctan x )′ = 14) (arc cot x )′ = 1 = 1 + tan2 x ; ; . 1 + x2 1 + x2 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) và f ′(x ) có đạo hàm thì x = x (t ), y = y(t ). Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược ( f ′(x ))′ = f ′′(x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ). và hàm số ngược này có đạo hàm thì: • Tương tự ta có: y ′(t ) y′ ′ y ′(x ) = x ′(t ) ′ hay yx = t . x t′ ( ) f (n )(x ) = f (n −1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).  x = 2t 2 − 1  VD 2. Tính y ′(x ) của hàm số cho bởi  , t ≠ 0. VD 4. Cho hàm số f (x ) = sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0). y = 4t 3    A. f (6)(0) = 32 ; B. f (6)(0) = −32 ; x = et   C. f (6)(0) = −16 ; D. f (6)(0) = 0 . ′ VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi  .  2 y = t − 2t   Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn VD 5. Tính f (n )(x ) của hàm số f (x ) = (1 − x )n +1 . • Cho phương trình F (x , y ) = 0 (*). Nếu y = y(x ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y(x ) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y(x ) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*). 1 VD 6. Tính y (n ) của hàm số y = . • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được Fx′ + Fy′.yx = 0 . ′ 2 x − 3x − 4 Fx′ ′ Vậy yx = − , F ′ ≠ 0. Fy′ y y ′(x ) = yx được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn y(x ). ′ Toán cao c p A1 Cao đ ng 7
  9. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà VD 7. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi xy − e x + e y = 0 . §2. VI PHÂN Tính y ′(x ). 2.1. Vi phân cấp một VD 8. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • Hàm số y = f (x ) được gọi là khả vi tại x 0 ∈ D f nếu xy − e x + ln y = 0 (*). Tính y ′(0). ∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới VD 9. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: dạng: ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x ) y với A là hằng số và 0(∆x ) là VCB khi ∆x → 0 . ln x 2 + y 2 = arctan . Tính y ′(x ). x Khi đó, đại lượng A.∆x được gọi là vi phân của hàm số Chú ý y = f (x ) tại x0. Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ). Ta có thể xem hàm ẩn y(x ) như hàm hợp u(x ) và thực hiện đạo hàm như hàm số hợp. Nhận xét ∆f (x 0 ) 0(∆x ) VD 10. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )⇒ =A+ ∆x ∆x y 3 + (x 2 + 1)y + x 4 = 0 . Tính y ′(x ). Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà ∆f (x 0 ) 2.2. Vi phân cấp cao ⇒   →0  A ⇒ f ′(x 0 ) = A . ∆x  → ∆x • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì ⇒ df (x 0 ) = f ′(x 0 ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x . d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n • Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . được gọi là vi phân cấp n của hàm y = f (x ). Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx . VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y = ln(sin x ). VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) = x 2e 3x tại x 0 = −1. VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y = e 2x . π VD 6. Tính vi phân cấp 2 của f (x ) = tan x tại x 0 = . VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y = arctan(x 2 + 1) . 4 Chú ý VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2 ln(arcsin x ) . Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức d ny = y (n )dx n không còn đúng nữa. Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI 3.1.3. Định lý Cauchy CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi 3.1. Các định lý trong (a;b ) và g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b). Khi đó, ∃c ∈ (a;b) sao cho: 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số f (x ) xác định trong (a ;b ) và có đạo hàm tại f (b) − f (a ) f ′(c) = . x 0 ∈ (a ;b ). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) g(b) − g(a ) g ′(c) tại x 0 trong (a ;b) thì f ′(x 0 ) = 0 . 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a;b ). 3.1.2. Định lý Rolle Khi đó, ∃c ∈ (a;b) sao cho: Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ] và khả vi trong f (b ) − f (a ) (a ;b ). Nếu f (a ) = f (b ) thì ∃c ∈ (a ;b ) sao cho f ′(c ) = 0 . = f ′(c ). b −a Toán cao c p A1 Cao đ ng 8
  10. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà 3.2. Cực trị của hàm số • Nếu f (x ) đơn điệu trong (a;b ) và liên tục trong (a;b ] thì 3.2.1. Hàm số đơn điệu f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trường hợp khác tương tự). a) Định nghĩa b) Định lý Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b ). Khi đó: Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a;b). Khi đó: • f (x ) được gọi là tăng (đồng biến) trong (a;b ) nếu • Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) thì f (x ) tăng trong (a;b ). f (x1 ) − f (x 2 ) • Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) giảm trong (a;b ). > 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a ;b) và x1 ≠ x 2 . x1 − x 2 VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của y = ln(x 2 + 1). • f (x ) được gọi là giảm (nghịch biến) trong (a;b ) nếu x2 + 1 VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của f (x ) = . f (x1 ) − f (x 2 ) (x − 1)2 < 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 . 1 x1 − x 2 VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của y = . • f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a;b ) nếu x 2 − 2x x 3 −4 f (x ) tăng hay giảm trong (a;b ). VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của y = e . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà 3.2.2. Cực trị 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa a) Định nghĩa Nếu f (x ) liên tục trong (a ;b) chứa x 0 và f (x 0 ) < f (x ) Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D và X ⊂ D . hay f (x 0 ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu: hay cực đại tại x 0 . ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = M và f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . b) Định lý Ký hiệu là: M = max f (x ). x ∈X Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b) chứa x 0 • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu: thỏa f ′(x 0 ) = ... = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 . ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = m và f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X . • Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . Ký hiệu là: m = min f (x ). x ∈X • Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 . Chú ý VD 5. Tìm cực trị (nếu có) của f (x ) = x , f (x ) = x . 4 3 • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X ⊂ D . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà • Nếu M = max f (x ) và m = min f (x ) thì: VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số x ∈X x ∈X m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . 3 f (x ) = x 4 − x 2 − x + 3 trên đoạn [0; 2]. 2 b) Phương pháp tìm max – min Chú ý Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] • Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ]. của hàm số trước khi làm bước 1. Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước sau: • Có thể đổi biến số t = t (x ) và viết y = f (x ) = g(t (x )). x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] Gọi T là miền giá trị của hàm t (x ) thì: • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n max f (x ) = max g(t ), min f (x ) = min g(t ). nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). x ∈X t ∈T x ∈X t ∈T • Bước 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b). VD 7. Tìm max, min của f (x ) = −x 2 + 5x + 6 . • Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã sin x + 1 tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm. VD 8. Tìm max, min của y = . sin x + sin x + 1 2 Toán cao c p A1 Cao đ ng 9
  11. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) 2) Nếu min{f (x 1 ),..., f (x n )} < min{L1, L2 } thì Cho hàm y = f (x ) liên tục trên (a; b) (a, b có thể là ∞ ). min f = min{f (x 1 ),..., f (x n )} . x ∈(a ;b ) Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước: 3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b ) • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n max (hoặc min). nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số • Bước 2. Tính f (x 1 ),..., f (x n ) và hai giới hạn x3 f (x ) = 2 trên khoảng (1; +∞). L1 = lim f (x ), L2 = lim f (x ). x −1 + x →a − x →b Chú ý • Bước 3. Kết luận: Ta có thể lập bảng biến thiên của f (x ) thay cho bước 3. 1) Nếu max{f (x 1 ),..., f (x n )} > max{L1, L2 } thì x VD 10. Tìm max, min của f (x ) = . max f = max{f (x 1 ),..., f (x n )}. x + 2 −1 2 x ∈(a ;b ) …………………………………………………………………… Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà §4. CÔNG THỨC TAYLOR Vậy: n f (k )(0) k 4.1. Công thức khai triển Taylor f (x ) = ∑ x + O(x n ). a) Khai triển Taylor với phần dư Peano k =0 k! • Cho hàm f (x ) liên tục trên [a ; b ] có đạo hàm đến cấp n + 1 trên (a ; b ) với x , x 0 ∈ (a ; b) ta có: • Khai triển Maclaurin được viết lại: f / (0) f // (0) 2 n f (k )(x 0 ) f (x ) = f (0) + x+ x + ... f (x ) = ∑ k! (x − x 0 ) + O((x − x 0 ) ). k n 1! 2! (n ) k =0 f (0) n ... + x + O(x n ). b) Khai triển Maclaurin n! • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x 0 = 0 được gọi là khai triển Maclaurin. VD 1. Khai triển Maclaurin của f (x ) = tan x đến x 3 . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ Chú ý 1 • Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta thay x trong các 1) = 1 + x + x 2 + ... + x n + 0(x n ). 1−x công thức trên bởi u(x ). x x2 xn 2) e x = 1 + + + ... + + 0(x n ). 1 1! 2! n! VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số y = đến x 6 . 2 x x2 x3 x4 1 + 3x 3) ln(1 + x ) = − + − + ... + 0(x n ). 1 2 3 4 VD 3. Khai triển Maclaurin của y = ln(1 − 2x 2 ) đến x 6 . x2 x4 x6 4) cos x = 1 − + − + ... + 0(x n ). 2! 4 ! 6! VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số y = 2x đến x 4 . x x3 x5 x7 5) sin x = − + − + ... + 0(x n ). VD 5. Cho hàm số f (x ) = x cos 2x . Tính f (7)(0). 1! 3! 5! 7 ! Toán cao c p A1 Cao đ ng 10
  12. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé tí hà §5. QUY TẮC L’HOSPITAL x 2 − sin2 x VD 2. Tìm giới hạn L = lim . Định lý (quy tắc L’Hospital) x 2 .arctan2 x x →0 Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục và khả vi trong lân 1 1 A. L = 0 ; B. L = ∞ ; C. L = ; D. L = . cận của điểm x 0 . 2 3 Nếu lim f (x ) = lim g (x ) = 0 (hoặc ∞ ) thì: x →x 0 x →x 0 f (x ) f ′(x ) x → 0+ ( ) VD 3. Tìm giới hạn L = lim x 3 ln x (dạng 0 × ∞ ). lim = lim . x →x 0 g (x ) x →x 0 g ′(x ) 1 e +e x −x −2 VD 4. Tìm giới hạn L = lim x x −1 (dạng 1∞ ). x →1 VD 1. Tìm giới hạn L = lim . x →0 2 x Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà §1. Tích phân bất định Tính chất §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng của tích phân xác định 1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ §4. Tích phân suy rộng ………………………… 2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH d dx ∫ 3) f (x )dx = f (x ) 1.1. Định nghĩa • Hàm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên 4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx . khoảng (a; b ) nếu F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ). MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Ký hiệu ∫ f (x )dx (đọc là tích phân). 1) ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ Nhận xét • Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là x α+1 2) ∫ x αdx = + C , α ≠ −1 nguyên hàm của f (x ). α +1 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà dx dx x −a 3) ∫ x = ln x + C ; 4) ∫ x = 2 x +C 13) dx ∫ x 2 −a2 = 1 ln +C 2a x + a ax ∫ e dx = e + C ; ∫ a dx = ln a + C x x x 5) 6) dx x 14) ∫ sin x = ln tan + C 2 7) ∫ cos xdx = sin x + C ; 8) ∫ sin xdx = − cos x + C dx dx dx x π 9) ∫ = tan x + C ; 10) ∫ = − cot x + C 15) ∫ = ln tan  +  + C   cos2 x sin2 x cos x 2 4    dx 1 x 11) ∫ x 2 + a 2 = a arctan a + C 16) ∫ dx = ln x + x 2 + a + C 2 dx x x +a 12) ∫ = arcsin a +C, a > 0 a2 − x 2 Toán cao c p A1 Cao đ ng 11
  13. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà dx 1.2. Phương pháp đổi biến VD 1. Tính I = ∫ 4 − x2 . • Định lý Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C thì: 1 2+x 1 2−x A. I = ln +C ; B. I = ln +C ; 4 2−x 4 2+x ∫ F (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C , với ϕ(t ) khả vi. 1 x −2 1 x +2 C. I = ln +C ; D. I = ln +C . dx 2 x +2 2 x −2 VD 3. Tính I = ∫ x ln x + 1 . dx VD 4. Tính I = ∫ . dx x 3 − ln 2 x VD 2. Tính I = ∫ x2 − x − 6 . dx VD 5. Tính I = ∫ x (x 3 + 3) . Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà 1.3. Phương pháp từng phần a) Công thức VD 8. Tính I = ∫ cos3 x esin xdx . ∫ u(x )v ′(x )dx = u(x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp hay ∫ udv = uv − ∫ vdu. αx • Đối với dạng tích phân ∫ P(x )e dx , ta đặt: VD 6. Tính I = ∫ x ln xdx . u = P (x ), dv = e αx dx . x α VD 7. Tính I = ∫ 2x dx . • Đối với dạng tích phân ∫ P(x )ln x dx , ta đặt: Chú ý u = lnα x , dv = P (x )dx . Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần. Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất b b 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b ]. Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia 1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ a a x 0 = a < x1 < ... < xn −1 < xn = b . b b b Lấy điểm ξk ∈ [x k −1; x k ] tùy ý (k = 1, n ). 2) ∫ [ f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx n a a a Lập tổng tích phân: σ = ∑ f (ξk )(x k − x k −1 ). a b a k =1 3) ∫ f (x )dx = 0; ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx a a b Giới hạn hữu hạn (nếu có) I = lim σ được gọi b c b max(x k −x k −1 )→ 0 k là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a ; b ]. 4) ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx , c ∈ [a ; b ] a a c b b Ký hiệu là I = ∫ f (x )dx . 5) f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0 a a Toán cao c p A1 Cao đ ng 12
  14. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà b b 2.2. Công thức Newton – Leibnitz 6) f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ g(x )dx • Nếu f (x ) liên tục trên [a ; b ] và F (x ) là một nguyên hàm a a b b tùy ý của f (x ) thì: 7) a < b ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx b b a a ∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ). 8) m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a; b ] a b Nhận xét ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. a 2) Hàm số f (x ) liên tục và lẻ trên [−α; α ] thì 9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì α ∫ b f (x )dx = 0 . ∃c ∈ [a; b ] : ∫ f (x )dx = f (c )(b − a ). −α a Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà 3) Hàm số f (x ) liên tục và chẵn trên [−α; α ] thì: 3 dx α α VD 1. Tính I = ∫ x 2 − 2x + 5 . ∫ f (x )dx = 2 ∫ f (x )dx . 1 −α 0 b π 4) Để tính ∫ f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để VD 2. Tính I = ∫ x cos x dx . a 0 tách f (x ) ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ. Đặc biệt 1 b b ∫ f (x ) dx = ∫ f (x )dx nếu f (x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b). VD 3. Tính I = ∫ x 2 + 1.sin3 x dx . −1 a a Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà • Công thức Walliss §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π π  (n − 1)!!    , n leû 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng 2 2  n !! ∫ sin n xdx = ∫ cos xdx =  n  a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát  π (n − 1)!!  . 0 0  , n chaün 2  n !! Trong đó:  0 !! = 1 !! = 1 ; 2 !! = 2; 3 !! = 3; 4 !! = 2 .4 ; 5 !! = 1 .3 .5; 6 !! = 2 .4 .6; 7 !! = 1 .3 .5 .7; ... π S S 2 7 !! π 105π ∫ sin 8 VD 4. x dx = . = . 8!! 2 768 0 π b d 2 S = ∫  f2 (x ) − f1 (x ) dx S = ∫ g 2 (y ) − g1 (y ) dy ∫ (cos 3 2 VD 5. Tính I = x − 1)cos x dx . 0 a c Toán cao c p A1 Cao đ ng 13
  15. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường x = y 2 và y = x − 2 . các đường y = x 2 và y = x 4 . 1 2 A. S = ; B. S = 15 15 4 8 C. S = ; D. S = . 15 15 VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = e x − 1, y = e 2x − 3 và x = 0 . 1 ln 4 − 1 1 − ln 2 1 A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 − 2 2 2 2 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số 3.2. Tính độ dài l của đường cong Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình a) Đường cong có phương trình tổng quát x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [α; β] thì: Cho cung AB có phương trình y = f (x ), x ∈ [a ; b ] thì: β b S = ∫ y(t ).x ′(t ) dt . l =∫ 1 + [ f ′(x )]2 dx . AB α a x2 VD 5. Tính độ dài cung parabol y = từ gốc tọa độ x2 y2 2 VD 4. Tính diện tích hình elip S : + ≤ 1.   1 a2 b2 O(0; 0) đến điểm M 1;  .    2  Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà b) Đường cong có phương trình tham số 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay Cho cung AB có phương trình tham số a) Vật thể quay quanh Ox x = x (t ) Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi    , t ∈ [α; β] thì: y = f (x ), y = 0 , x = a , x = b quay quanh Ox là: y = y(t )   b β V = π∫ [ f (x )]2 dx . l = ∫ [x ′(t )]2 + [y ′(t )]2 dt . a AB α VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình: y = ln x , y = 0 , x = 1, x = e quay xung quanh Ox.  x = t 2 + 1       , t ∈ 0; 1 . y = ln t + t 2 + 1  VD 8. Tính V do (E ) : x2 + y2 = 1 quay quanh Ox.         a2 b2 Toán cao c p A1 Cao đ ng 14
  16. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà b) Vật thể quay quanh Oy Giải. Phương trình parabol y = 2x − x 2 được viết lại: Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y = 2x − x 2 ⇔ (x − 1)2 = 1 − y x = g(y ), x = 0 , y = c và y = d quay quanh Oy là: x = 1 + 1 − y , x ≥ 1 d  ⇔ . V = π ∫ [g(y )]2dy. x = 1 − 1 − y , x < 1 c  1  2 ( ) − (1 − ) 2 VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng Vậy V = π∫  1 + 1 − y 1 − y  dy   S giới hạn bởi y = 2x − x 2 , y = 0 0   quay xung quanh Oy. 1 1 8π 8π = 4π∫ 1 − y dy = − (1 − y )3 = . 3 0 3 0 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chú ý §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tích phân suy rộng loại 1 Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi 4.1.1. Định nghĩa y = f (x ), y = 0 , x = a và x = b quay xung quanh Oy • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; +∞), khả tích trên còn được tính theo công thức: mọi đoạn [a ; b ] (a < b ). b V = 2π ∫ xf (x )dx (*). b a Giới hạn (nếu có) của ∫ f (x )dx khi b → +∞ được gọi a là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a ; +∞). VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Ký hiệu: +∞ b ∫ f (x )dx = lim b →+∞ ∫ f (x )dx . a a Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà +∞ • Định nghĩa tương tự: dx b b VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = ∫ xα . ∫ f (x )dx = lim a →−∞ ∫ f (x )dx ; Giải • Trường hợp α = 1: 1 −∞ a b +∞ b dx  b  ∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx . I = lim b →+∞ ∫ x  = lim ln x  = +∞ (phân kỳ). b →+∞  1  b →+∞ 1 −∞ a →−∞ a • Trường hợp α khác 1: b 1 dx  b • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân I = lim ∫ xα =lim x 1−α    hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. b →+∞ 1 − α b →+∞  1  1   1  , α >1 ( ) • Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo 1 sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). = lim b1−α − 1 =  − 1 α 1 − α b →+∞  + ∞, α < 1.    Toán cao c p A1 Cao đ ng 15
  17. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chú ý Vậy • Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞), ta dùng công thức: 1 x →+∞ Với α > 1 : I = (hội tụ). +∞ α −1 +∞ Với α ≤ 1: I = +∞ (phân kỳ). ∫ f (x )dx = F (x ) a . a • Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞), ta dùng công thức: x →−∞ 0 b dx VD 2. Tính tích phân I = ∫ b −∞ (1 − x ) 2 . ∫ f (x )dx = F (x ) −∞ . −∞ • Tương tự: +∞ +∞ dx +∞ VD 3. Tính tích phân I = ∫ 2 . ∫ f (x )dx = F (x ) −∞ . −∞ 1 + x −∞ Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ b) Tiêu chuẩn 2 a) Tiêu chuẩn 1 +∞ +∞ • Nếu 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞) và • Nếu ∫ f (x ) dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ (ngược lại a a +∞ +∞ không đúng). ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ. • Các trường hợp khác tương tự. a a • Các trường hợp khác tương tự. +∞ VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x cos 3x dx . +∞ 10 1 VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x dx . 1 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà c) Tiêu chuẩn 3 k = +∞    +∞ • Cho f (x ), g(x ) liên tục, luôn dương trên [a ; +∞) Nếu +∞   ∫ g(x )dx phaân kyø thì ∫ f (x )dx phân kỳ. f (x )  a a và lim = k . Khi đó:   x →+∞ g(x ) • Các trường hợp khác tương tự. Nếu 0 < k < +∞ thì: +∞ dx +∞ +∞ VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + x 2 + 2x 3 . ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ. 1 a a Chú ý +∞ +∞ • Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → +∞) thì Nếu k = 0 và ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ. +∞ +∞ a a ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx có cùng tính chất. a a Toán cao c p A1 Cao đ ng 16
  18. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà +∞ dx 4.2. Tích phân suy rộng loại 2 VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + sin x + x . 4.2.1. Định nghĩa 1 • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; b ) và không xác định +∞ tại b , khả tích trên mọi đoạn [a ; b − ε] (ε > 0). dx VD 8. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ là: b −ε 1 3 x . ln x + 1 α Giới hạn (nếu có) của ∫ f (x )dx khi ε → 0 được gọi là 3 1 a A. α > 3 ; B. α > ; C. α > 2 ; D. α > . tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a ; b ). 2 2 Ký hiệu: +∞ b b−ε (x 2 + 1)dx VD 9. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ? ∫ f (x )dx = lim ε→0 ∫ f (x )dx . 1 2x α + x 4 − 3 a a Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà • Định nghĩa tương tự: b b • Trường hợp α khác 1: b b  b ∫ f (x )dx = lim ε→ 0 ∫ f (x )dx (suy rộng tại a ); I = lim ∫ dx = lim ∫ x −αdx = 1 lim x 1−α    a a+ε ε→ 0 xα ε→ 0 1 − α ε→0   ε   b b −ε ε ε  b1−α  ∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx (suy rộng tại a , b ).  a ε→ 0 a+ε = 1 1−α lim b ε→0 1−α ( −ε1−α = 1 − α   , α 1.  hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.  b dx Vậy VD 10. Khảo sát sự hội tụ của I = ∫x α , b > 0. Với α < 1: I = b1−α (hội tụ). 0 Giải. • Trường hợp α = 1: 1−α b dx  b Với α ≥ 1 : I = +∞ (phân kỳ). I = lim ∫ = lim ln x  = ln b − lim ln ε = +∞ .  + ε ε→ 0 + x ε→0   ε→0+ ε Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà 1 3 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ 3dx • Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. VD 11. Tính tích phân I = ∫ . 1 1 − 9x 2 Chú ý 6 b b π π π A. I = − ; B. I = ; C. I = ; D. I = +∞ . • Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → b ) thì ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx 3 3 6 a a có cùng tính chất (với b là cận suy rộng). e dx 1 x αdx VD 12. Tính tích phân I = ∫ 3 . VD 14. Tích phân suy rộng I = ∫ 1 x . ln 2 x 0 x (x + 1)(2 − x ) 2 hội tụ khi và chỉ khi: dx VD 13. Tính tích phân I = ∫ x2 − x . 1 1 A. α < −1; B. α < − ; C. α > − ; D. α ∈ ℝ . 1 2 2 Toán cao c p A1 Cao đ ng 17
  19. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tí tí hà 1 α x +1 I → −∞ ( phaân kyø )  I  → +∞ ( phaân kyø ) VD 15. Tích phân suy rộng I = ∫ dx 2)  1  hoặc  1  (x 2 + 1)sin x I 2 ≤ 0  I 2  ≥0 0   phân kỳ khi và chỉ khi: thì I phân kỳ. 1 1  I → −∞ ( phaân kyø ) I  → +∞ ( phaân kyø ) A. α ≤ −1; B. α ≤ − ; C. α ≥ − ; D. α ∈ ℝ . 3)  1  hoặc  1  2 2 I 2 > 0  I 2  1 thì Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ. • Nếu chuỗi ∑ un hội tụ thì lim un = 0 , n →∞ ∞ n =1 Vậy ∑ aq n −1 hội tụ ⇔ q < 1 . ngược lại nếu lim un ≠ 0 thì ∞ ∑ un phân kỳ. n =1 n →∞ ∞ n =1 1 VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n(n + 1) . n =1 ∞ n4  ∞ 1 VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 3n 4 + n + 2 . VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ ln 1 + .   n =1 n =1   n   ∞ ∞ n5 VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 1 . VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n4 + 1 . n n =1 n =1 Toán cao c p A1 Cao đ ng 18
  20. dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i §2. CHUỖI SỐ DƯƠNG 1.3. Tính chất 2.1. Định nghĩa ∞ ∞ ∞ • Nếu ∑un , ∑ vn hội tụ thì: • ∑ un được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0, ∀n . n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ Khi un > 0, ∀n thì chuỗi số là dương thực sự. ∑(un + vn ) = ∑ un + ∑vn . 2.2. Các định lý so sánh n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương ∑ u n , ∑ vn thỏa: • Nếu ∑un hội tụ thì: ∑ αun = α∑un . n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 0 ≤ u n ≤ vn , ∀ n ≥ n 0 . ∞ ∞ • Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng. • Nếu ∑ vn hội tụ thì ∑ un hội tụ. n =1 n =1 ∞ ∞ • Nếu ∑ un phân kỳ thì ∑ vn phân kỳ. n =1 n =1 Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i ∞ Định lý 2 1 VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n.2n . ∞ ∞ n =1 Cho hai chuỗi số ∑ un , ∑ vn thỏa: n =1 n =1 un un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim = k. n →∞ vn ∞ ∞ ∞ 1 VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa ∑n bằng cách • Nếu k = 0 thì ∑ un phân kỳ ⇒ ∑ vn phân kỳ. n =1 n =1 n =1 ∞  1 ∞ ∞ so sánh với ∑ ln 1 + n .        • Nếu k = +∞ thì ∑ un hội tụ ⇒ ∑ vn hội tụ. n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ • Nếu 0 < k < +∞ thì ∑ un , ∑ vn cùng tính chất. n =1 n =1 Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i ∞ 2n (n + 1) VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n.3n +1 bằng cách 2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert n =1 ∞ un +1 ∞  2 n so sánh với ∑ 3     . Cho chuỗi số dương ∑ un và lim = D.   n =1 n =1 n →∞ un • Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ. Chú ý • Nếu D > 1 thì chuỗi phân kỳ. ∞ 1 • Nếu D = 1 thì chưa thể kết luận. Chuỗi ∑ nα hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1. n n =1 ∞ 1  1 + 1  . VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n  n    n =1 3   ∞ n +1 VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . ∞ 5n (n !)2 n =1 2n 5 + 3 VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . n =1 (2n )! Toán cao c p A1 Cao đ ng 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản