Bài giảng toán cao cấp B1

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Tài liệu tham khảo cho các bạn học toán tốt. Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tập hợp được mô tả như một toàn thể nào đó bao gồm các đối tượng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định. Các đối tượng lập nên tập hợp gọi là phần tử.

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Nội dung Text: Bài giảng toán cao cấp B1

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOAÙN CAO CAÁP B1 (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008
Môc lôc I. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 1. TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 TËp hîp-TËp con- TËp hîp b»ng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. ¸nh x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 ¶nh vµ nghÞch ¶nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 §¬n ¸nh- Toµn ¸nh- Song ¸nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Quan hÖ trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1 Quan hÖ hai ng«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Quan hÖ t-¬ng ®-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 Quan hÖ thø tù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4. C¸c cÊu tróc ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 PhÐp to¸n hai ng«i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 C¸c cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. Tr-êng sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.1 §Þnh nghÜa sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 BiÓu diÔn sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. §a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.1 Vµnh ®a thøc mét biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 6.2 PhÐp chia Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.3 NghiÖm cña ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.4 S¬ ®å Horner . . . . . . . . 20 6.5 §a thøc trªn tr-êng sè phøc . . . . . . . . 20 6.6 §a thøc trªn tr-êng sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.7 §a thøc trªn tr-êng sè h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.8 Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®¹i sè b»ng c¨n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7. Ph©n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.1 Tr-êng c¸c ph©n thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Ph©n tÝch ph©h thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
II. Ma trËn vµ ®Þnh thøc 1. Ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 §Þnh nghÜa ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2 C¸c ma trËn ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3 C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4 BiÕn ®æi s¬ cÊp trªn ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2. §Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Ho¸n vÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 NghÞch thÕ-Ký sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 §Þnh nghÜa ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 C¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 ¸dông ®Þnh thøc tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 H¹ng cña ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8 HÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III. Kh«ng gian vector 1. Kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.1 §Þnh nghÜa vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2 Kh«ng gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.3 Kh«ng gian con sinh bëi mét tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.4 C¬ së- Sè chiÒu- Täa ®é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2. Tæng, tÝch, th-¬ng c¸c kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1 Tæng c¸c kh«ng gian con- Tæng trùc tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2 TÝch c¸c kh«ng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Kh«ng gian th-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 ¶nh vµ nh©n cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 §¼ng cÊu tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4. PhÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh vµ chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.1 §æi c¬ së - C«ng thøc ®æi täa ®é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Ma trËn ®ång d¹ng - ChÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 Gi¸ trÞ riªng - Vector riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4 Tiªu chuÈn chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.5 ThuËt tãan chÐo hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.6 ThuËt tãan chÐo hãa ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5. D¹ng song tuyÕn tÝnh - D¹ng toµn ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1 D¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 Ma trËn biÓu diÔn d¹ng song tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 D¹ng toµn ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.4 D¹ng chÝnh t¾c cña d¹ng toµn ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.5 D¹ng x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 IV. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm mét biÕn thùc 1. Sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.1 Sè h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.2 Sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.3 C¸c phÐp tãan sè häc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.4 CËn trªn cËn d-íi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2. D·y sè thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.1 Kh¸i niÖm d·y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 D·y bÞ chÆn, d·y ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.3 Giíi h¹n d·y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.4 C¸c tÝnh chÊt vµ phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5 C¸c ®iÒu kiÖn héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.6 Sè e vµ logarithm tù nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3. Hµm mét biÕn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1 Kh¸i niÖm hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2 C¸c phÐp to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 C¸c lo¹i hµm sè víi tÝnh chÊt ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4 Hµm hîp, hµm ng-îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5 C¸c hµm s¬ cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4. Giíi h¹n hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1 Kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Giíi h¹n mét phÝa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4 Giíi h¹n v« cïng, giíi h¹n ë v« cïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5 V« cïng bÐ, v« cïng lín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5. Hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Kh¸i niÖm hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Liªn tôc mét phÝa - §iÓm gi¸n ®o¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 C¸c tÝnh chÊt cña hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6. §¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.1 Kh¸i niÖm ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2 ý nghÜa h×nh häc vµ c¬ häc cña ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 C¸c tÝnh chÊt vµ qui t¾c tÝnh ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7. Vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.1 §Þnh nghÜa vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.2 øng dông cña vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.3 C¸c qui t¾c tÝnh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.4 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n cña phÐp tÝnh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.1 C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2 Khai triÓn Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9. øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t hµm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.1 TÝnh ®¬n ®iÖu - Cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1i5 9.2 TÝnh låi, lâm, ®iÓm uèn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 V. PhÐp tÝnh tÝch ph©n hµm mét biÕn 1. Nguyªn hµm - TÝch ph©n bÊt ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.1 Nguyªn hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.2 B¶ng tÝnh tÝch ph©n c¸c hµm s¬ cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.3 C¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 1.4 C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2. TÝch ph©n mét sè líp hµm th«ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.1 TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.2 TÝch ph©n c¸c hµm v« tØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 TÝch ph©n c¸c hµm l-îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3. TÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.1 Bµi to¸n diÖn tÝch h×nh thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3 C¸c líp hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 3.5 C«ng thøc Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.6 C¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7 øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4. TÝch ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.2 TÝch ph©n suy réng lo¹i 1 cña hµm kh«ng ©m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.3 Sù héi tô tuyÖt ®èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.4 TÝch ph©n suy réng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 VI. Lý thuyÕt chuçi 1. C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.1 Chuçi sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.2 Tiªu chuÈn héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 1.3 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2. Chuçi d-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.1 Chuçi d-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.2 C¸c dÊu hiÖu héi tô cña chuçi d-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3. Chuçi víi dÊu bÊt kú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.1 Chuçi ®an dÊu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.2 Chuçi héi tô tuyÖt ®èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4. Chuçi hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.1 Kh¸i niÖm chuçi hµm, sù héi tô, héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi hµm héi tô ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5. Chuçi lü thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1 Kh¸i niÖm chuçi luü thõa, b¸n kÝnh héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2 C¸c tÝnh chÊt cña chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Khai triÓn hµm thµnh chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4 Khai triÓn mét sè hµm s¬ cÊp thµnh chuçi lòy thõa . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6. Khai triÓn Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.1 Chuçi l-îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2 Khai triÓn Fourier cña hµm ch½n, hµm lÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.3 Khai triÓn Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2π . . . . . . . . . . 160 6.4 Th¸c triÓn tuÇn hoµn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.5 TÝch ph©n Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1 I. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 1 TËp hîp 1.1 TËp hîp - TËp con - TËp b»ng nhau TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm nguyªn thñy. TËp hîp ®-îc m« t¶ nh- mét toµn thÓ nµo ®ã bao gåm c¸c ®èi t-îng cã cïng mét dÊu hiÖu hay mét tÝnh chÊt nhÊt ®Þnh. C¸c ®èi t-îng lËp nªn tËp hîp gäi lµ phÇn tö. Cã hai c¸ch ®Ó x¸c ®Þnh mét tËp hîp. Mét lµ liÖt kª tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã A = {a1, a2, . . . , an }, hai lµ m« t¶ ®Æc tÝnh cña c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp A = {a | a cã tÝnh chÊt E}. NÕu a lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a ∈ A. NÕu a kh«ng lµ mét phÇn tö cña cña tËp hîp A, th× ta viÕt a ∈ A. TËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo / gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu lµ ∅. NÕu mäi phÇn tö cña tËp hîp A ®Òu lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X , th× ta nãi A lµ tËp con cña X , ký hiÖu A ⊂ X . Râ rµng ta cã ∅ ⊂ X víi mäi tËp hîp X . C¸c tËp con cña X lËp thµnh mét tËp hîp , ký hiÖu 2X , vµ gäi lµ tËp hîp c¸c tËp con cña X . Hai tËp hîp A vµ B gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu A = B , nÕu A ⊆ B vµ B ⊆ A. NÕu A ⊆ B vµ A = B , th× ta nãi A lµ tËp con thùc sù cu¶ B , khi ®ã ta viÕt A B. 1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp §Þnh nghÜa 1. Hîp cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A ∪ B , lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö hoÆc thuéc A hoÆc thuéc B . Giao cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A ∩ B , lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö võa thuéc A võa thuéc B . NÕu A ∩ B = ∅, th× ta nãi A vµ B rêi nhau.
2 HiÖu cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A \ B , lµ tËp hîp gåm c¸c phÇn tö thuéc A nh-ng kh«ng thuéc B . NÕu A lµ tËp con cña X th× hiÖu X \ A gäi lµ phÇn bï cña A trong X . TÝch trùc tiÕp hay tÝch Descartes cña hai tËp hîp A vµ B , ký hiÖu A × B , lµ tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (x, y ) víi x ∈ A vµ y ∈ B . MÖnh ®Ò 1. Cho A, B, C, X lµ c¸c tËp hîp bÊt kú. Khi ®ã 1) ∅ ⊂ A, A ⊂ A. 2) NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ C , th× A ⊂ C . 3) (A ∩ B ) = (B ∩ A), (A ∪ B ) = (B ∪ A). 4) (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ), (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ). 5) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ), A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ). 6) Qui t¾c De Morgan X \ (A ∪ B ) = (X \ A) ∩ (X \ B ), X \ (A ∩ B ) = (X \ A) ∪ (X \ B ). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®-îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c«ng thøc De Morgan. ThËt vËy ta cã x ∈ X \ (A ∪ B ) ⇐⇒ x ∈ X vµ x ∈ (A ∪ B ) / ⇐⇒ x ∈ X vµ (x ∈ A vµ x ∈ B ) / / ⇐⇒ (x ∈ X vµ x ∈ A) vµ (x ∈ X vµ x ∈ B ) / / ⇐⇒ x ∈ (X \ A) vµ x ∈ (X \ B ) ⇐⇒ x ∈ (X \ A) ∪ (X \ B ). 2 2 ¸nh x¹ 2.1 C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2. Cho hai tËp hîp X vµ Y . Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét qui t¾c cho t-¬ng øng mçi phÇn tö x ∈ X víi duy nhÊt mét phÇn tö y ∈ Y . PhÇn tö y gäi lµ ¶nh cña x, ký hiÖu lµ f (x), vµ x ®-îc gäi lµ t¹o ¶nh cña y . TËp hîp X ®-îc gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh, cßn tËp Y gäi lµ tËp ®Ých hay miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ f . Mét ¸nh x¹ th-êng ®-îc viÕt nh- sau f : X −→ Y x −→ y = f (x).
3 Hai ¸nh x¹ f vµ g gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu f = g , nÕu chóng cã cïng tËp nguån X vµ f (x) = g (x) víi mäi x ∈ X . √ VÝ dô. a) T-¬ng øng f : R −→ R, x −→ 3 x, lµ mét ¸nh x¹. b) T-¬ng øng IdX : X −→ X , x −→ x, lµ mét ¸nh x¹ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn X . c) Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X . Khi ®ã t-¬ng øng f |U :−→ Y x¸c ®Þnh bëi f |U (x) = f (x) víi mäi x ∈ U lµ mét ¸nh x¹, gäi lµ h¹n chÕ cña ¸nh x¹ f lªn bé phËn U . ¶nh vµ NghÞch ¶nh 2.2 §Þnh nghÜa 3. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ U ⊂ X , V ⊂ Y lµ c¸c tËp con. Khi ®ã tËp hîp f (U ) = {f (x) | x ∈ U } gäi lµ ¶nh cña tËp U qua ¸nh x¹ f , vµ tËp hîp f −1 (V ) = {x ∈ X | f (x) ∈ V } gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp V qua ¸nh x¹ f . NÕu V = {y }, th× ta viÕt f −1 (y ) thay cho f −1 ({y }). MÖnh ®Ò 2. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y vµ A, B ⊂ X , U, V ⊂ Y . Khi ®ã 1) NÕu A ⊂ B , th× f (A) ⊂ f (B ). 2) NÕu U ⊂ V , th× f −1 (U ) ⊂ f −1 (V ). 3) f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ), f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). 4) f −1 (U ∪ V ) = f −1 (U ) ∪ f −1 (V ), f −1 (U ∩ V ) = f −1 (U ) ∩ f −1 (V ). Chøng minh. C¸c c«ng thøc ®-îc dÔ dµng suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, c¸c c«ng thøc thø hai trong 3) vµ 4). ThËt vËy, ta cã ∀y ∈ f (A ∩ B ) =⇒ ∃x ∈ (A ∩ B ) : f (x) = y =⇒ (∃x ∈ A vµ ∃x ∈ B ) : f (x) = y =⇒ (∃x ∈ A : f (x) = y ) vµ (∃x ∈ B : f (x) = y ) =⇒ y ∈ f (A) vµ y ∈ f (B ) =⇒ y ∈ f (A) ∩ f (B ). Tõ ®ã suy ra f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). T-¬ng tù, ta cã ∀x ∈ f −1 (U ∩ V ) ⇐⇒ f (x) ∈ U ∩ V ⇐⇒ f (x) ∈ U vµ f (x) ∈ V ⇐⇒ x ∈ f −1 (U ) vµ x ∈ f −1 (V ) ⇐⇒ x ∈ f −1 (U ) ∩ f −1 (V ).
4 VËy f −1 (A ∩ B ) = f −1 (A) ∩ f −1 (B ). 2 NhËn xÐt. §¼ng thøc f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B ) nãi chung kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n, víi ¸nh x¹ f : R → [−1, 1] , f (x) = sinx, vµ A = [0, π/2], B = [π/4, π ]. 2.3 §¬n ¸nh - Toµn ¸nh - Song ¸nh §Þnh nghÜa 4. Cho ¸nh x¹ f : X −→ Y . ¸nh x¹ f gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu víi mäi x1 , x2 ∈ X sao cho f (x1) = f (x2 ), th× suy ra x1 = x2 . Nh- vËy, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i kh«ng qu¸ mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x). ¸nh x¹ f gäi lµ toµn ¸nh nÕu f (X ) = Y , tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i Ýt nhÊt mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x). ¸nh x¹ f gäi lµ song ¸nh nÕu f võa ®¬n ¸nh võa toµn ¸nh. Tøc lµ, víi mçi phÇn tö y ∈ Y tån t¹i ®óng mét phÇn tö x ∈ X sao cho y = f (x). VÝ dô. a) ¸nh x¹ f : R −→ R, x −→ x3, lµ mét song ¸nh. ThËt vËy, víi mçi √ y ∈ R, ph-¬ng tr×nh y = x3 cã duy nhÊt nghiÖm x = 3 y . b) ¸nh x¹ f : R −→ R, x −→ x2, kh«ng ph¶i lµ ®¬n ¸nh, v× víi 1 ∈ R cã hai sè thùc 1, −1, lµ t¹o ¶nh cña 1. 2.4 C¸c phÐp to¸n trªn ¸nh x¹ 2.4.1 Hîp hai ¸nh x¹ §Þnh nghÜa 5. Cho hai ¸nh x¹ f : X → Y vµ g : Y → Z . Hîp cña f vµ g , ký hiÖu g ◦ f , lµ ¸nh x¹ tõ X vµo Z x¸c ®Þnh bëi g ◦ f (x) = g (f (x)). VÝ dô. Víi f : R → R, f (x) = x2 vµ g : R → R, g (x) = x + 2, ta cã (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (x2) = x2 + 2, (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x + 2) = (x + 2)2 . NhËn xÐt. Nãi chung g ◦ f = f ◦ g . MÖnh ®Ò 3. Cho c¸c ¸nh x¹ f : X → Y , f : Y → Z , h : Z → T . Khi ®ã 1) f ◦ IdX = IdY ◦ f = f , 2) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f. Chøng minh. 1) lµ hiÓn nhiªn. 2) suy ra tõ h ◦ (g ◦ f )(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g (f (x))) = (h ◦ g )(f (x)) = (h ◦ g ) ◦ f (x). 2
5 ¸nh x¹ ng-îc 2.4.2 §Þnh nghÜa 6. ¸nh x¹ f : X −→ Y gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ g : Y −→ X sao cho g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . ¸nh x¹ g khi ®ã gäi lµ ¸nh x¹ ng-îc cu¶ ¸nh x¹ f vµ ký hiÖu g = f −1 . NhËn xÐt. ¸nh x¹ ng-îc cña f : X −→ Y nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö f cã hai ¸nh x¹ ng-îc lµ g, g : Y −→ X . Khi ®ã ta cã g ◦ f = IdX vµ f ◦ g = IdY . Tõ ®ã suy ra g = g ◦ IdY = g ◦ (f ◦ g ) = (g ◦ f ) ◦ g = IdX ◦ g = g . MÖnh ®Ò 4. ¸nh x¹ f : X −→ Y kh¶ nghÞch khi vµ chØ khi f lµ song ¸nh. Khi ®ã f −1 : Y −→ X ®-îc x¸c ®Þnh bëi x = f −1 ( y ) ⇔ y = f ( x ) . Chøng minh. Gi¶ sö f cã ¸nh x¹ ng-îc lµ f −1 : Y −→ X . f lµ ®¬n ¸nh v× víi mäi x, x ∈ X : f (x) = f (x ) =⇒ f −1 (f (x)) = f −1 (f (x )) =⇒ (f −1 ◦ f )(x) = (f −1 ◦ f )(x ) =⇒ IdX (x) = IdX (x ) =⇒ x = x . B©y giê, gi¶ sö y lµ mét phÇn tö bÊt kú cu¶ Y . Khi ®ã tån t¹i x = f −1 (y ) sao cho f (x) = f (f −1 (y )) = y . VËy f lµ toµn ¸nh. Suy ra f lµ song ¸nh. Ng-îc l¹i, nÕu f : X −→ Y lµ mét song ¸nh th× víi mçi y ∈ Y cã duy nhÊt x ∈ X sao cho y = f (x). §iÒu nµy cho phÐp ta x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ g : Y → X bëi x = g (y ) ⇔ y = f (x). Ta dÔ dµng kiÓm tra r»ng (g ◦ f ) = IdX vµ (f ◦ g ) = IdY . VËy g lµ ¸nh x¹ ng-îc cu¶ f . 2 VÝ dô. a) ¸nh x¹ f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1], f (x) = sin x, lµ song ¸nh. ¸nh x¹ ng-îc cña f ®-îc ký hiÖu lµ f −1 (x) = arcsinx, tøc lµ ta cã y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y. b) Ký hiÖu R>0 lµ tËp c¸c sè thùc d-¬ng. Khi ®ã ¸nh x¹ f : R −→ R>0 , f (x) = ex, cã ¸nh x¹ ng-îc lµ f −1 (x) = ln x. V× ta cã y = ln x ⇐⇒ x = ey .
6 MÖnh ®Ò 5. Cho f : X → Y , g : Y → Z , lµ c¸c song ¸nh. Khi ®ã f −1 vµ g ◦ f còng lµ song ¸nh vµ ta cã 1) (f −1 )−1 = f . 2) (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Chøng minh. f −1 vµ g ◦ f lµ song ¸nh lµ dÔ dµng kiÓm tra. §¼ng thøc 1) lµ hiÓn nhiªn. §¼ng thøc 2) suy ra tõ (g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 ) = g ◦ (f ◦ f −1 ) ◦ g −1 = g ◦ g −1 = IdZ , (f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ (g −1 ◦ g ) ◦ f = f −1 ◦ f = IdX . 2 3 Quan hÖ trªn mét tËp hîp 3.1 Quan hÖ hai ng«i §Þnh nghÜa 7. Quan hÖ (hai ng«i) trªn tËp X ®-îc ®Þnh nghÜa lµ mét tËp con R cña tÝch trùc tiÕp X × X . NÕu cÆp phÇn tö (x, y ) ∈ R th× ta nãi x cã quan hÖ R víi y vµ ký hiÖu lµ xRy . VÝ dô. a) Trªn tËp X bÊt kú ta cã quan hÖ b»ng nhau R = {(x, y ) ∈ X × X | x = y } = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X } b) Cho X lµ tËp bÊt kú. Trªn 2X ta cã quan hÖ bao hµm R = {(A, B ) ∈ 2X × 2X | A ⊂ B } 3.2 Quan hÖ t-¬ng ®-¬ng §Þnh nghÜa 8. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ t-¬ng ®-¬ng nÕu vµ chØ nÕu nã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X . 2) §èi xøng: NÕu xRy th× y Rx. 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ y Rz th× xRz . Víi mçi x ∈ X tËp con [x]R := {y ∈ X | y Rx} gäi lµ líp t-¬ng ®-¬ng cña x (theo quan hÖ t-¬ng ®-¬ng R). TËp tÊt c¶ c¸c líp t-¬ng ®-¬ng gäi lµ tËp th-¬ng cña X ®èi víi quan hÖ t-¬ng ®-¬ng R, ký hiÖu lµ X/R := {[x]R | x ∈ X }.
7 ¸nh x¹ X −→ X/R cho bëi x −→ [x]R lµ mét toµn ¸nh ®-îc gäi lµ toµn cÊu chÝnh t¾c. Ng-êi ta th-êng sö dông dÊu ∼ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn X vµ x ∼ y ®äc lµ x t-¬ng ®-¬ng víi y . VÝ dô. a) XÐt ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã quan hÖ R(f ) = {(x, y ) ∈ X × Y | f (x) = f (y )} lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn X . §Æc biÖt víi Y = X vµ f = IdX , R(IdX ) lµ quan hÖ b»ng nhau trªn tËp X . b) XÐt V lµ tËp hîp c¸c vector h×nh häc. Trªn V cho mét quan hÖ x¸c ®Þnh bëi xRy :⇐⇒ x = y. Khi ®ã R lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng vµ tËp th-¬ng X/R chÝnh lµ tËp c¸c vector tù do. c) Cho n lµ mét sè tù nhiªn. Trªn tËp c¸c sè nguyªn Z x¸c ®Þnh quan hÖ ®ång d- modulo n nh- sau x≡y mod n ⇐⇒ x − y chia hÕt cho n. DÔ kiÓm tra r»ng ®©y lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng. Líp t-¬ng ®-¬ng cña m lµ tËp con [m] = {m + nk | k ∈ Z}. TËp th-ong cña Z ®èi víi quan hÖ ®ång d- modulo n, th-êng ®-îc ký hiÖu lµ Zn hay Z/n, gåm n phÇn tö Z/n = {[0], [1], . . . , [n − 1]}. 3.3 Quan hÖ thø tù §Þnh nghÜa 9. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ R trªn X gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu vµ chØ nÕu nã tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1) Ph¶n x¹: xRx, víi mäi x ∈ X . 2) Ph¶n ®èi xø ng: NÕu xRy vµ y Rx th× x = y . 3) B¾c cÇu: NÕu xRy vµ y Rz th× xRz .
8 Mét tËp hîp X mµ trªn ®ã cã trang bÞ mét quan hÖ thø tù R gäi lµ tËp s¾p thø tù hay tËp ®-îc s¾p. TËp ®-îc s¾p th-êng ®-îc viÕt lµ (X, R). Ng-êi ta th-êng sö dông dÊu ≤ ®Ó ký hiÖu mét quan hÖ thø tù trªn X . Khi ®ã x ≤ y ®-îc ®äc lµ x bÐ h¬n hoÆc b»ng y . NÕu x ≤ y vµ x = y th× ta viÕt x < y vµ ®äc lµ x bÐ h¬n y . VÝ dô. a) Quan hÖ bÐ h¬n hoÆc b»ng ≤ th«ng th-êng trªn tËp sè thùc lµ mét quan hÖ thø tù. b) Cho X lµ mét tËp hîp. Quan hÖ bao hµm ⊂ trªn tËp hîp 2X lµ mét quan hÖ thø tù. c) Quan hÖ chia hÕt x | y lµ mét quan hÖ thø tù trªn tËp sè tù nhiªn N. Trong vÝ dô a) hai phÇn tö x, y bÊt kú ta lu«n lu«n so s¸nh ®-îc, tøc lµ lu«n lu«n cã x ≤ y hoÆc y ≤ x. Mét quan hÖ thø tù trªn tËp X = ∅ mµ mäi cÆp phÇn tö cña X ®Òu so s¸nh ®-îc gäi lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn. Trong vÝ dô c) kh«ng ph¶i hai phÇn tö nµo còng so s¸nh ®-îc, ch¼ng h¹n 2 vµ 3, nÕu X cã nhiÒu h¬n mét phÇn tö th× ®iÒu nµy còng x¶y ra trong vÝ dô b). Mét quan hÖ thø tù kh«ng toµn phÇn gäi lµ quan hÖ thø tù bé phËn. 4 C¸c cÊu tróc ®¹i sè 4.1 PhÐp to¸n hai ng«i 4.1.1 §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 10. Cho X vµ Y lµ hai tËp kh¸c rçng. Mét ¸nh x¹ f : X × X → X ®-îc gäi lµ mét phÐp to¸n (hai ng«i) trªn X . PhÇn tö f (x, y ) gäi lµ c¸i hîp thµnh cña x vµ y . NÕu f : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X th× ta th-êng ký hiÖu c¸i hîp thµnh f (x, y ) bëi xfy . Ng-êi ta hay sö dông c¸c ký tù ®Æc biÖt nh- : ∗ , +, ·, , ⊥, . . ., ®Ó chØ phÐp to¸n. NÕu dïng c¸c ký tù + vµ ·, th× ta gäi c¸c phÐp to¸n t-¬ng øng lµ phÐp céng vµ phÐp nh©n. C¸i hîp thµnh x + y , x · y (th-êng ®-îc viÕt kh«ng cã dÊu chÊm xy ) lóc nµy sÏ ®-îc gäi lµ tæng vµ tÝch cña x vµ y . VÝ dô. a) Trªn tËp sè nguyªn Z c¸c ¸nh x¹ (x, y ) → x + y , (x, y ) → xy (phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn th«ng th-êng) lµ c¸c phÐp to¸n. ¸nh x¹ (x, y ) → 2x + 6xy + 5y còng lµ phÐp to¸n trªn Z. Tuy nhiªn ¸nh x¹ (x, y ) → xy
9 kh«ng ph¶i lµ mét phÐp to¸n trªn Z v× nãi chung xy kh«ng thuéc Z. b) C¸c t-¬ng øng (A, B ) → A ∪ B , (A, B ) → A ∩ B lµ phÐp to¸n trªn tËp c¸c tËp con 2X . c) T-¬ng øng (f, g ) → g ◦ f lµ phÐp to¸n trªn Map(X ) = {¸nh x¹ f : X → X }. 4.1.2 C¸c tÝnh chÊt cña phÐp to¸n hai ng«i TÝnh giao ho¸n. PhÐp to¸n ∗ : X × X → X gäi lµ giao ho¸n nÕu a∗b = b∗a a, b ∈ X. víi mäi TÝnh kÕt hîp. PhÐp to¸n ∗ : X × X → X gäi lµ kÕt hîp nÕu (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) a, b, c ∈ X. víi mäi TÝnh ph©n phèi. Gi¶ sö ∗, : X × X → X lµ hai phÐp to¸n trªn X . PhÐp to¸n ∗ gäi lµ ph©n phèi bªn tr¸i ®èi víi phÐp to¸n nÕu víi mäi a, b, c ∈ X ®Òu cã a ∗ (b c) = (a ∗ b) (a ∗ c). T-¬ng tù, phÐp to¸n ∗ gäi lµ ph©n phèi bªn ph¶i ®èi víi phÐp to¸n nÕu víi mäi a, b, c ∈ X ®Òu cã (b c) ∗ a = (b ∗ a) (c ∗ a). NÕu ∗ võa ph©n phèi tr¸i võa ph©n phèi ph¶i ®èi víi th× ta nãi phÐp to¸n ∗ cã tÝnh chÊt ph©n phèi ®èi víi . VÝ dô. Trªn tËp sè tù nhiªn N, phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng th-êng cã tÝnh giao ho¸n, kÕt hîp, phÐp nh©n ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. PhÐp to¸n (m, n) → mn kh«ng giao ho¸n còng kh«ng kÕt hîp. 4.1.3 C¸c phÇn tö ®Æc biÖt ®èi víi phÐp to¸n hai ng«i PhÇn tö ®¬n vÞ. Cho ∗ : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X . PhÇn tö e cña X gäi lµ phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n ∗ nÕu víi mäi x ∈ X ®Òu cã e ∗ x = x ∗ e = x. PhÇn tö kh¶ nghÞch. Cho ∗ : X × X → X lµ mét phÐp to¸n trªn X vµ e lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña X ®èi víi phÐp to¸n ∗. Ta nãi phÇn tö a ∈ X lµ kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i mét phÇn tö a ∈ X sao cho a ∗ a = a ∗ a = e.
10 Khi ®ã phÇn tö a gäi lµ phÇn tö nghÞch ®¶o cña a. Ng-êi ta hay gäi phÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n céng lµ phÇn tö kh«ng, kÝ hiÖu 0, vµ gäi phÇn tö nghÞch ®¶o cña x lµ phÇn tö ®èi cña x, kÝ hiÖu −x. NÕu phÐp to¸n ®-îc viÕt theo lèi nh©n, th× phÇn tö ®¬n vÞ th-êng ®-îc kÝ hiÖu lµ 1, vµ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x sÏ ®-îc kÝ hiÖu lµ x−1 . VÝ dô. a) Trªn tËp 2X , phÇn tö ®¬n vÞ ®èi phÐp to¸n hîp ∪ lµ e = ∅, mäi tËp A = ∅ ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch. PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp ∩ lµ e = X , mäi tËp A = X ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch. b) PhÇn tö ®¬n vÞ ®èi víi phÐp to¸n hîp trªn tËp Map(X ) = {¸nh x¹ f : X → X } lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt IdX . Mäi song ¸nh f trong Map(X ) ®Òu kh¶ nghÞch, vµ nghÞch ®¶o cña nã lµ ¸nh x¹ ng-îc f −1 . 4.2 C¸c cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n 4.2.1 Nhãm §Þnh nghÜa 11. Mét nhãm lµ mét cÆp (G, ∗), trong ®ã G lµ mét tËp hîp kh«ng rçng, cßn ∗ lµ phÐp to¸n hai ng«i trªn G cã tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n vÞ vµ mäi phÇn tö cña G ®Òu kh¶ nghÞch. Mét nhãm ®-îc gäi lµ nhãm giao ho¸n hay nhãm Abel nÕu phÐp to¸n trªn nã cã tÝnh giao ho¸n. VÝ dô. 1) (Z, +), (Q, +), (R, +)víi phÐp céng c¸c sè th«ng th-êng lµ c¸c nhãm giao ho¸n, gäi lµ nhãm céng c¸c sè nguyªn, sè h÷u tØ, sè thùc . 2) (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) víi phÐp nh©n th«ng th-êng lµ c¸c nhãm giao ho¸n, gäi lµ nhãm nh©n c¸c sè h÷u tØ vµ sè thùc kh¸c kh«ng. 3) Cho tËp hîp X = ∅ ®Æt S (X ) = {f : X → X | f song ¸nh}. Khi ®ã (S (X ), ◦), víi phÐp hîp c¸c ¸nh x¹ lµ mét nhãm, gäi lµ nhãm c¸c ho¸n vÞ cña X hay nhãm ®èi xøng cña X. Trong tr-êng hîp ®Æc biÖt X = {1, 2, . . . , n} ta viÕt Sn = S ({1, 2, . . . , n}). Mçi phÇn tö cña Sn gäi lµ mét ho¸n vÞ cña {1, 2, . . . , n}. 4.2.2 Vµnh §Þnh nghÜa 12. Mét vµnh lµ mét bé ba (R, +, ·), trong ®ã R lµ mét tËp hîp kh«ng rçng, cßn + vµ · lµ c¸c phÐp to¸n trªn R sao cho: (R, +) lµ mét nhãm giao ho¸n, phÐp · cã tÝnh kÕt hîp vµ ph©n phèi ®èi víi phÐp céng. Mét vµnh ®-îc gäi lµ vµnh giao ho¸n nÕu phÐp to¸n · cã tÝnh giao ho¸n. Mét vµnh ®-îc gäi lµ vµnh cã ®¬n vÞ nÕu phÐp to¸n · cã ®¬n vÞ.
11 VÝ dô. 1) (Z, +, ·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn th«ng th-êng lµ mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn. 2) Víi sè nguyªn d-¬ng p cho tr-íc ®Æt [m]p := {n ∈ Z | n = m + pt, t ∈ Z} Zp := {[m]p, m ∈ Z}. DÔ dµng chøng minh ®-îc r»ng Zp lµ tËp h÷u h¹n gåm p phÇn tö Zp := {[0]p, [1]p, . . . , [p − 1]p}. Trªn Zp x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh- sau [m]p + [n]p = [m + n]p, [m]p[n]p = [mn]p. Khi ®ã (Zp , +, ·) lµ mét vµnh giao ho¸n gäi lµ vµnh sè nguyªn ®ång d- modulo p. Ch¼ng h¹n víi m = 4 ta cã b¶ng céng vµ nh©n trong Z4 nh- sau, trong ®ã [m]4 ®-îc viÕt lµ m ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 3 0 1 2 3 + . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 4.2.3 Tr-êng §Þnh nghÜa 13. Mét tr-êng lµ mét vµnh giao ho¸n (K, +, ·) cã ®¬n vÞ 1 = 0 vµ mäi phÇn tö kh¸c 0 ®Òu kh¶ nghÞch. VÝ dô. 1) (Q, +, ·) víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè h÷u tØ th«ng th-êng lµ mét tr-êng, gäi lµ tr-êng sè h÷u tØ. 2) (Zp , +, ·), víi p nguyªn tè, lµ mét tr-êng. 5 Tr-êng sè phøc 5.1 §Þnh nghÜa sè phøc §Æt C = R × R = {(x, y ) | x, y ∈ R}. Trªn C x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n céng vµ nh©n nh- sau (x1, y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2, y1 + y2 ) (x1, y1) · (x2 , y2) = (x1 x2 − y1y2 , x1y2 + x2y1 ).
12 Khi ®ã (C, +, ·) lµ mét tr-êng gäi lµ tr-êng sè phøc. NhËn xÐt. Víi kÝ hiÖu i = (0, 1) ∈ C, ta cã i2 = i · i = (−1, 0). NÕu ®ång nhÊt R víi tËp con {(x, 0) | x ∈ R} cña C, tøc lµ xem x ∈ R nh- lµ phÇn tö (x, 0) cña C, th× khi ®ã R ⊂ C vµ i2 = (−1, 0) ≡ −1. 5.2 BiÓu diÔn sè phøc 5.2.1 D¹ng ®¹i sè cña sè phøc Tõ ®¼ng thøc (x, y ) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) vµ tõ nhËn xÐt ë trªn cã thÓ viÕt mét sè phøc z = (x, y ) bÊt kú d-íi d¹ng sau z = x + iy. D¹ng z = x + iy gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z . C¸c sè thùc x, y lÇn l-ît gäi lµ phÇn thùc, phÇn ¶o cña z vµ ®-îc ký hiÖu lµ Rez , Imz . Sè phøc z = x − iy gäi sè phøc liªn hîp víi z . DÔ dµng kiÓm tra c¸c tÝnh chÊt sau MÖnh ®Ò 6. . a) z + w = z + w; zw = z · w. b) z + z = 2Rez ; z − z = 2iImz ; z · z = x2 + y 2 . c) z = z ⇐⇒ z ∈ R. x y d) NÕu z = x + iy = 0, th× z −1 = 2 −i 2 . 2 x + y2 x +y NhËn xÐt. Céng, trõ (tøc céng víi sè ®èi), nh©n , chia (tøc lµ nh©n víi sè nghÞch ®¶o) c¸c sè phøc d-íi d¹ng ®¹i sè nh- sè thùc víi chó ý lµ i2 = 1. 5.2.2 D¹ng l-îng gi¸c cña sè phøc Cã mét sù t-¬ng øng mét-mét gi÷a tËp tÊt c¶ c¸c sè phøc z = (a, b) víi tËp c¸c −→ ®iÓm M (a, b) hay vector OM = (a, b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Descartes Oxy cßn −→ −→ gäi lµ mÆt ph¼ng phøc, víi e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) lµ hai vector c¬ së, trôc hoµnh gäi lµ trôc thùc, trôc tung gäi lµ trôc ¶o (H.1). Trong c¸ch biÓu diÔn nµy phÐp céng c¸c sè phøc ®-îc biÓu thÞ bëi phÐp céng c¸c vector h×nh häc.
13 yT b M r ¨ e2 T ϕ E E e1 O a x H.1 −→ −→ Gi¶ sö (a, b) = (0, 0), gäi ϕ lµ gãc ®Þnh h-íng t¹o bëi e1 vµ OM vµ r lµ ®é dµi −→ cña vector OM . Khi ®ã ta cã c¸c liªn hÖ sau  √ r = a2 + b2 a = r sin ϕ b tgϕ = b = r cos ϕ a Do ®ã ta cã mét biÓu diÔn kh¸c cña sè phøc z = (a, b) nh- sau z = r(cos ϕ + i sin ϕ). BiÓu thøc z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gäi lµ d¹ng l-îng gi¸c cña sè phøc z . Sè thùc r gäi lµ modul cña sè phøc z , ký hiÖu lµ | z |, cßn ϕ gäi lµ argument cña z , ký hiÖu lµ Argz . TÊt nhiªn cã v« sè argument sai kh¸c nhau k 2π , k ∈ Z. Argument cña ϕ n»m trong kho¶ng (−π, π ] gäi lµ gi¸ trÞ chÝnh cña Argz , kÝ hiÖu lµ argz . Nh- vËy ta cã Argz = argz + k 2π. √ √ π π 3π 3π VÝ dô. z = 1 + i 3 = 2(cos + i sin ); z = −1 − i = 2(cos − i sin ). 3 3 4 4 C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cho thÊy sù thuËn tiÖn cña c¸ch biÓu diÔn sè phøc d-íi d¹ng l-îng gi¸c. MÖnh ®Ò 7. . a) | z1z2 |=| z1 || z2 |; Arg (z1z2 ) = Argz1 + Argz2. n b) r(cos ϕ + i sin ϕ) = rn (cos nϕ + i sin nϕ) (C«ng thøc Moivre). Chøng minh. a) Gi¶ sö z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Khi ®ã z1, z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2)) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )),