Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> a <br /> §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  11 ... a1n <br /> <br /> 3.1. Định nghĩa Đặt: A   ... ... ...   aij  ,<br /> <br />   mn<br /> Hệ gồm n ẩn x i (i  1,..., n ) và m phương trình: am 1 ... amn <br /> <br /> a11x 1  a12x 2  ...  a1n x n  b1<br />    <br /> T T<br /> <br />  B  b1 ... bm và X  x 1 ... x n<br /> <br /> a 21x 1  a 22x 2  ...  a 2n x n  b2<br />  (I ) lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và<br /> <br /> ............................................<br />  ma trận cột ẩn.<br /> <br /> a x  am 2x 2  ...  amn x n  bm<br /> <br />  m1 1 Khi đó, hệ (I ) trở thành AX  B .<br /> <br />    <br /> T<br /> trong đó, các hệ số aij  ¡ (i  1,..., n; j  1,..., m ) , • Bộ số   1 ... n hoặc   1; ...; n<br /> được gọi là hệ phương trình tuyến tính. được gọi là nghiệm của (I ) nếu A  B .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> VD 1. Cho hệ phương trình: 3.2. Định lý Crocneker – Capelli<br /> <br /> x 1  x 2  2x 3  4x 4  4 Cho hệ phương trình tuyến tính AX  B . Gọi ma trận<br /> <br /> <br />  a <br /> 2x 1  x 2  4x 3  3  11 a12 ... a1n b1 <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> 2x  7x 3  5.<br />  2  <br /> <br /> <br /> mở rộng là A  A B   ... ... ... ... ... .<br /> <br /> Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: am 1 am 2 ... amn bm <br />   Định lý<br /> 1 1 2 4x 1   4  Hệ AX  B có nghiệm khi và chỉ khi r (A)  r (A).<br />     <br /> 2 1 x 2   <br />  4 0    3 Trong trường hợp hệ AX  B có nghiệm thì:<br /> x 3   <br /> 0 2 7 0   5  § Nếu r (A)  n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất;<br /> x 4 <br /> § Nếu r (A)  n : kết luận hệ có vô số nghiệm<br /> và   (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của hệ. phụ thuộc vào n  r tham số.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> 2 1 1 1 1 2 <br /> 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính    <br />  <br />  1  <br /> a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Giải. A  0 1 3   A   3  1<br /> 2 3.<br />  <br />  2  <br /> Cho hệ phương trình tuyến tính AX  B , với A là 2 1 1  1 0 1 <br /> ma trận vuông cấp n khả nghịch.<br /> Ta có: Hệ phương trình  X  A1B<br /> x  1 1 2  1  x  3<br /> AX  B  X  A1B.          <br />   1       <br />  y    3 2 3  3   y    6 .<br /> VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng <br />   2        <br /> phương pháp ma trận: z  1 0 1 1 z  1<br /> <br /> 2x  y  z  1 x  3,<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br />  y  3z  3 Vậy hệ đã cho có nghiệm  y  6,<br /> <br />  <br /> <br /> 2x  y  z  1. z  1.<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  10/13/2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> <br /> b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) • Bước 2. Kết luận:<br /> Cho hệ AX  B , với A là ma trận vuông cấp n . § Nếu   0 thì hệ có nghiệm duy nhất:<br /> • Bước 1. Tính các định thức:<br /> <br /> x j  j , j  1, n .<br /> a11 ... a1 j ... a1n <br />   det A  ... ... ... ... ... ,<br /> § Nếu    j  0, j  1, n thì hệ có vô số nghiệm<br /> an 1 ... anj ... ann<br /> (ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp).<br /> a11 ... b1 ... a1n<br /> § Nếu   0 và  j  0, j  1, n thì hệ vô nghiệm.<br />  j  ... ... ... ... ... , j  1, n<br /> an 1 ... bn ... ann<br /> (thay cột thứ j trong  bởi cột tự do).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> <br /> VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức: 2 1 1 2 1 1<br /> <br /> 2x  y  z  1<br /> <br />  2  0 3 3  24 , 3  0 1 3  4 .<br /> <br />  y  3z  3<br />  2 1 1 2 1 1<br /> <br /> 2x  y  z  1.<br /> <br /> <br /> 1 2 3<br /> Vậy x   3, y   6, z   1.<br /> Giải. Ta có:   <br /> 2 1 1 1 1 1<br />  0 1 3  4, 1  3 1 3  12 ,<br /> 2 1 1 1 1 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> <br /> (m  1)x  y  m  2 • m  2 : Hệ  x  y  0  hệ có vô số nghiệm.<br /> VD 6. Hệ phương trình <br /> <br /> <br /> x  (m  1)y  0<br /> <br /> <br /> x  y  2<br /> • m  0 : Hệ  <br /> có nghiệm khi và chỉ khi:<br />   hệ vô nghiệm.<br /> A. m  2 ; B. m  2  m  0 ; x y  0<br /> <br /> <br /> C. m  0 ; D. m  2 .<br /> Vậy với m  0 thì hệ có nghiệm  C .<br /> m 1 1<br /> Giải. Ta có:    m(m  2)<br /> 1 m 1<br /> <br />    0  m  2  m  0 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  10/13/2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> c) Phương pháp ma trận bậc thang VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:<br /> (phương pháp Gauss) <br /> 2x  y  z  1<br /> Xét hệ phương trình tuyến tính AX  B . <br /> <br />  y  3z  3<br />  <br /> • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc Giải. Ta có: <br /> <br /> <br /> <br /> 2x  y  z  1.<br /> 2 1 1 1  2 1 1 1 <br /> <br /> thang bởi PBĐSC trên dòng.<br />   <br />  <br /> • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.   <br /> A B  0 1 3 3     0 1 3 3  .<br />  <br /> d3 d 3 d1 <br />  <br /> Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: 2 1 1 1 0 0 2 2<br /> § có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng; <br /> 2x  y  z  1 <br /> x  3<br /> <br />  <br /> <br /> § có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó; <br /> Hệ   y  3z  3  y  6 . <br />  <br />  <br /> § có 1 dòng dạng 0...0 b , b  0 thì hệ vô nghiệm. <br /> <br /> <br /> <br /> 2z  2 <br /> <br /> <br /> <br /> z  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> <br /> 5  2 5 3 3 <br /> VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính: <br /> <br /> 5x 1  2x 2  5x 3  3x 4  3  <br />   0 13 5 2 7 <br /> d2 5d2 4d1<br />  <br />  <br /> d 3 5d3 2d1 <br /> 4x 1  x 2  3x 3  2x 4  1 0 39 15 6 11<br /> <br /> <br /> 2x  7x 2  x 3 =  1.<br /> <br />  1<br /> 5  2 5  3 3 <br />  <br /> <br /> 5  2 5  3 3   0 13 5 2 7.<br /> d 3 d 3 3d2<br />      <br />   <br />   <br /> Giải. Ta có: A B  4 1<br /> <br /> 3 2 1 <br />  0 0 0 0 10 <br /> 2 7 1 0 1<br /> Vậy hệ phương trình vô nghiệm.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br />  1 4<br /> <br /> <br /> <br /> x  4y  5z  1  5 1 1 4 5 1<br /> <br /> VD 9. Tìm nghiệm của hệ 2x  7y  11z  2 .    <br />  Giải. Ta có: 2 7 11 2   0 1 21 4 .<br />   <br />   <br /> 3x  11y  6z  1 <br /> <br />  3 11 6 1  0 1 21 4 <br /> A. ; B. Hệ có vô số nghiệm;<br /> <br /> x  15  79<br /> <br /> x  4y  5z  1 <br /> <br /> <br /> Hệ   <br />   4  21  D .<br /> y<br /> <br /> y  21z  4 <br /> <br />  z ¡<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br />  10/13/2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> <br /> 3x  y  2z  3 VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình<br /> VD 10. Tìm nghiệm của hệ   . <br />  x  2y  (7  m )z  2<br /> 2x  y  2z  7 <br /> <br /> <br />  tuyến tính <br /> 2x  4y  5z  1<br />  3  1 2 3  3  1 2 3  <br /> <br />      3x  6y  mz  3<br /> Giải. Ta có:   . <br /> <br /> 2 1 2 7  0 5 10 15<br /> có vô số nghiệm là:<br /> <br /> x  2 A. m  1; B. m  1; C. m  7 ; D. m  7 .<br /> <br /> 3x  y  2z  3 <br />  Giải. Ta có:<br /> Hệ    y  3  2  B . 1 2 2 7  m <br /> y  2z  3  1 2 7  m 2 <br />     <br /> z    ¡  c3 c4  <br /> <br />  <br /> A B  2 4<br /> <br /> 5 1  <br /> <br /> <br />  2 4 1 5 <br />  <br /> m 3 <br /> 3 6 3 6 3 m <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính<br /> <br /> 1 2 2 7  m  1 2 2 7  m <br />    <br />    <br />  0 0 3 2m  19  0 0 3 2m  19.<br />  <br />   <br /> <br /> 0 0 3 4m  21 0 0 0 2m  2 <br /> <br /> Hệ có vô số nghiệm  r (A)  r (A)  3  m  1.<br /> …………………………………………………………………<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4<br />