Chương 7 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Huỳnh Văn Kha

ĐH Tôn Đức Thắng

Toán T1 - MS: C01016

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 16

Nội dung

1 Cực trị địa phương Định nghĩa Điều kiện cần Điều kiện đủ

2 Cực trị có điều kiện - pp nhân tử Lagrange

3 GTLN - GTNN

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 1 / 16

Định nghĩa cực trị Một lân cận của điểm (a, b) là một đĩa tròn tâm (a, b)

Định nghĩa Cho f xác định trên một lân cận của (a, b) Điểm (a, b) được gọi là điểm cực đại (địa phương) của f nếu f (x, y ) ≤ f (a, b) với mọi (x, y ) trong một lân cận nào đó của (a, b). Khi đó số f (a, b) được gọi là một giá trị cực đại (địa phương) của f .

Tương tự, điểm (a, b) được gọi là điểm cực tiểu (địa phương) của f nếu f (x, y ) ≥ f (a, b) với mọi (x, y ) trong một lân cận nào đó của (a, b). Khi đó số f (a, b) được gọi là một giá trị cực tiểu (địa phương) của f .

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 2 / 16

Nếu (a, b) là điểm cực đại hoặc cực tiểu của f , thì ta nói (a, b) là một cực trị của f Nếu f (x, y ) ≤ f (a, b) (hay f (x, y ) ≥ f (a, b)), ∀(x, y ) ∈ D (D là tập xác định của f ), thì ta nói f đạt giá trị lớn nhất (hay giá trị nhỏ nhất) tại (a, b)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 3 / 16

Điều kiện cần Định lý Nếu f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một đều tồn tại, khi đó fx(a, b) = 0 và fy (a, b) = 0

Điểm (a, b) được gọi là điểm dừng của f nếu fx(a, b) = 0 và fy (a, b) = 0, hoặc nếu một trong hai đạo hàm riêng nói trên không tồn tại. Định lý này nói rằng nếu f có cực đại hoặc cực tiểu tại (a, b) thì (a, b) là điểm dừng của f . Tuy nhiên, không phải mọi điểm dừng đều là điểm cực đại hay cực tiểu.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 4 / 16

Ví dụ 1 Cho f (x, y ) = x 2 + y 2 − 2x − 6y + 14

f chỉ có một điểm dừng là (1, 3) Do f (x, y ) = 4 + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ 4 = f (1, 3) với mọi x, y , nên f đạt cực tiểu tại (1, 3)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 5 / 16

Ví dụ 2

Xét hàm f (x, y ) = y 2 − x 2

f chỉ có một điểm dừng là (0, 0). Trên trục Ox thì f (x, 0) = −x 2 < 0, nếu x (cid:54)= 0 Trên trục Oy thì f (0, y ) = y 2 > 0, nếu y (cid:54)= 0 Do đó trên một đĩa tròn tâm (0, 0), luôn có các điểm mà ở đó f nhận giá trị dương, cũng như luôn có các điểm mà ở đó f nhận giá trị âm.

Vậy f (0, 0) = 0 không thể là giá trị cực đại hoặc cực tiểu của f . Nói cách khác f không có cực trị.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 6 / 16

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 7 / 16

Điều kiện đủ

Định lý Giả sử các đạo hàm riêng cấp hai của f đều tồn tại và liên tục trên một đĩa tròn tâm (a, b) và giả sử rằng fx(a, b) = 0, fy (a, b) = 0 (tức là (a, b) là điểm dừng của f ). Đặt:

D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 a. Nếu D > 0 và fxx(a, b) > 0 thì (a, b) là điểm cực

tiểu

b. Nếu D > 0 và fxx(a, b) < 0 thì (a, b) là điểm cực đại c. Nếu D < 0 thì (a, b) không là cực trị.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 8 / 16

Chú ý

Nếu trường hợp (c) xảy ra thì điểm (a, b) gọi là điểm yên ngựa Định lý không đề cập đến trường hợp D = 0. Nếu D = 0 thì (a, b) có thể là cực đại, có thể là cực tiểu, cũng có thể là điểm yên ngựa Công thức D có thể viết dưới dạng định thức:

D =

= fxxfyy − (fxy )2

fxx fyx

fxy fyy

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 9 / 16

Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm số f (x, y )

1. f (x, y ) = 9 − 2x + 4y − x 2 − 4y 2 2. f (x, y ) = x 3y + 12x 2 − 8y 3. f (x, y ) = −9y 4 + 6xy 2 − x 2 − 4y 2 + 4y + 1 4. f (x, y ) = (1 + xy )(x + y )

+

5. f (x, y ) = xy +

1 x

1 y

6. f (x, y ) = x 4 + y 4 − 4xy + 1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 10 / 16

Bài toán cực trị có điều kiện

Xét bài toán tìm cực đại, cực tiểu của hàm hai biến f (x, y ) trên đường cong g (x, y ) = 0. Ta gọi g (x, y ) = 0 là ràng buộc

Nếu ∇g (x0, y0) (cid:54)= 0 và (x0, y0) là điểm cực trị của f với ràng buộc g (x, y ) = 0 thì có λ sao cho: ∇f (x0, y0) = λ∇g (x0, y0)

Số λ nói trên gọi là nhân tử Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y ) gọi là hàm Lagrange

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 11 / 16

Phương pháp nhân tử Lagrange Lập hàm L(x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y )

 

1. Giải hệ: ∇L = 0 ⇔

fx(x, y ) + λgx(x, y ) = 0 fy (x, y ) + λgy (x, y ) = 0 g (x, y ) = 0

2. Với mỗi nghiệm (x, y , λ) = (x0, y0, λ0), tính: A = d2L = Lxxdx 2 + 2Lxy dxdy + Lyy dy 2 dg = gxdx + gy dy = 0 (∗) 3. Dựa vào kết quả sau để kết luận:

- Nếu A > 0, ∀(dx, dy ) (cid:54)= (0, 0) thỏa ràng buộc (∗) thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) - Nếu A < 0, ∀(dx, dy ) (cid:54)= (0, 0) thỏa ràng buộc (∗) thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại (x0, y0)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 12 / 16

Ví dụ

1. Tìm cực trị của f (x, y ) = x 2 + y 2 với điều kiện

x + y = 4

2. Tìm cực trị của f (x, y ) = 6 − 5x − 4y với điều kiện

x 2 − y 2 = 9

3. Tìm cực trị của f (x, y ) = xy với điều kiện

x 2 + 4y 2 = 8

4. Tìm cực trị của f (x, y ) = x 2 + 2y 2 với điều kiện

x 2 + y 2 = 1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 13 / 16

Tập đóng và tập bị chận

Cho D là tập con của R2, điểm (a, b) gọi là điểm biên của D nếu mọi đĩa tròn tâm (a, b) đều vừa có các điểm thuộc D, vừa có các điểm không thuộc D Tập D gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó

Tập D gọi là bị chận nếu nó bị chứa trong một đĩa tròn nào đó.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 14 / 16

Tìm GTLN, GTNN Định lý Nếu hàm f liên tục trên tập đóng và bị chận D ⊂ R2, thì f đạt giá trị lớn nhất f (x1, y1) và giá trị nhỏ nhất f (x2, y2) tại các điểm (x1, y1) và (x2, y2) nào đó trong D

Nếu f đạt GTLN, GTNN tại (a, b), thì (a, b) hoặc là điểm dừng hoặc là điểm biên. Để tìm GTLN, GTNN, ta làm các bước sau:

1. Tìm giá trị của f tại các điểm dừng bên trong D 2. Tìm GTLN, GTNN của f trên biên của D 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị

trên chính là GTLN và GTNN của f trên D

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 15 / 16

Ví dụ

1. Tìm GTLN, GTNN của f (x, y ) = x 2 − 2xy + 2y trên miền D = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}

2. Tìm GTLN, GTNN của hàm

f (x, y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y trên miền x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3

3. Tìm GTLN, GTNN của f (x, y ) = x 2 + 2y 2 trên

miền x 2 + y 2 ≤ 1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 7: Cực trị hàm nhiều biến Toán T1 - MS: C01016 16 / 16