Chương 2 DÃY SỐ THỰC

ĐH Tôn Đức Thắng

Huỳnh Văn Kha

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

1 / 19

Toán T1 - MS: C01016

Nội dung

1 Dãy số hội tụ và các tính chất

2 Dãy con và Định lý Bolzano - Weierstrass

3 Dãy Cauchy

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

1 / 19

Dãy số – Giới hạn – Một số tính chất Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn

Dãy số

Một dãy số có thể được xem là một dãy (vô hạn) các con số được được xếp theo một thứ tự nào đó

a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . .

Với mỗi số tự nhiên n ta có tương ứng duy nhất một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là một ánh xạ từ N vào R. Dãy số {a1, a2, a3, . . . } được ký hiệu là

{an} hoặc {an}∞ n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

2 / 19

Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác.

n=1

Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an. Ví dụ 1. (cid:27)∞ (cid:26) n 1. Dãy có an = n + 1 n n + 1

(cid:27) , , , , . . . , , . . . 2 3 3 4 4 5 n n + 1

n=3

(cid:26)1 2 √ √ (cid:111)∞ (cid:110) n − 3 n − 3 2. Dãy (−1)n có an = (−1)n

√ √ √ (cid:110) (cid:111) 0, 1, − 2, 3, . . . , (−1)n n − 3, . . .

n=0 có an = cos(nπ/3)

3. Dãy {cos(nπ/3)}∞

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

3 / 19

{1, 1/2, −1/2, −1, . . . , cos(nπ/3), . . . }

Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công thức đơn giản như vậy. Ví dụ 2

1. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp

n ≥ 3 a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2,

2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số

π thì các phần tử đầu tiên của dãy {an} là

{1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, . . . }

3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

4 / 19

Năm n.

Dãy số hội tụ Xét dãy số an =

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

5 / 19

n n + 1

Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn. Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là

= . 1 − n n + 1 1 n + 1

Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn. Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có giới hạn là 1 và viết

= 1. lim n→∞ n n + 1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

6 / 19

an = L hoặc lim an = L. Tổng quát, dãy {an} được nói là có giới hạn bằng L nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu lim n→∞

Một cách chính xác, ta có định nghĩa

Định nghĩa Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

7 / 19

|an − L| < ε, ∀n ≥ N.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

8 / 19

Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M, ∀n ≥ N (tương ứng an < M, ∀n ≥ N). Khi đó ta cũng ký hiệu lim an = ∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy {an} có giới hạn bằng ∞ (hoặc −∞). Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an} là dãy hội tụ. Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói {an} là dãy phân kỳ.

Một số tính chất

Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . của giới hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim an và lim bn đều tồn tại thì:

lim(an ± bn) = lim an ± lim bn lim(anbn) = (lim an) (lim bn)

lim = (với bn (cid:54)= 0, lim bn (cid:54)= 0)

lim an lim bn √ an bn √ an = lim an (với an ≥ 0, lim an ≥ 0)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

9 / 19

lim lim(an)r = (lim an)r .

Tiêu chuẩn giới hạn kẹp Nếu an ≤ bn ≤ cn, ∀n ≥ n0 và lim an = lim cn = L thì lim bn = L.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

10 / 19

Dãy đơn điệu - Dãy bị chận

Dãy {an} gọi là dãy tăng nếu: an ≤ an+1, ∀n ∈ N. Dãy {an} gọi là dãy giảm nếu: an ≥ an+1, ∀n ∈ N. Nếu {an} là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {an} đơn điệu.

√ n + 1 , an = (−1)n an = Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau. n + 1 an = n2, n

{an} gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, an ≤ M, ∀n ∈ N. {an} gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, an ≥ N, ∀n ∈ N. Nếu {an} bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

11 / 19

Ví dụ 4. Xét tính bị chận của các dãy số trên.

Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e

Tiêu chuẩn Weierstrass Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ.

(cid:18) (cid:19)n 1 + . Người ta chứng minh được nó Xét dãy an = 1 n

là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ.

n→+∞

(cid:18) (cid:19)n Ta định nghĩa e = lim 1 + 1 n

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

12 / 19

e là số vô tỉ và e ≈ 2.7182818284590 . . .

Các giới hạn cơ bản

na = +∞. 1. Nếu a > 0 thì lim n→∞ lim n→∞

2. Nếu |a| < 1 thì: 1 na = 0, an = 0. lim n→∞

Nếu a > 1 thì an = +∞. lim n→∞

n

3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim n→∞ nα an = 0. √ a = 1 4. Nếu a > 0 thì

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

13 / 19

lim n→∞ √ n Đồng thời n = 1. lim n→∞ (cid:16) (cid:17)n 5. Giới hạn liên quan số e: 1 + = ex lim n→+∞ x n

Tính giới hạn

Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất, sử dụng giới hạn kẹp, . . . .

Ví dụ 5. Tính các giới hạn các dãy số sau.

1.

n

2. lim n→∞ lim n→∞ √ n2 + 1 − n(cid:1) √ (cid:17) 3. n − 2n + 1 lim n→∞

n

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

14 / 19

√ 4. lim n→∞ 4n2 + 1 3n2 + 2 (cid:0)√ (cid:16)(cid:112)2n + √ n √ n2 + n n + 1

5. lim n→∞

6. lim n→∞

(cid:19)n 7. lim n→∞

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

15 / 19

(cid:19)2n 3 · 5n − 2n 4n + 2 · 5n n2n + 1 3n + n2 (cid:18)2n − 1 2n (cid:18) n 8. lim n→∞ n + 1 √ n 9. lim n→∞ n sin n2 + n − 1

Dãy con

Định nghĩa Cho dãy số (an). Nếu: n1 < n2 < n3 < · · · < nk < . . . là dãy tăng (ngặt) các số tự nhiên thì dãy bk = ank gọi là dãy con của dãy (an)

Ví dụ: Các dãy

a1, a3, a5, a7, a9, . . . , a2k−1, . . . a1, a2, a3, a5, a8, . . . (với nk+2 = nk+1 + nk)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

16 / 19

là các dãy con của dãy an. Đặt biệt, (an) là dãy con của chính nó.

Định lý Dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung một giới hạn.

Suy ra nếu dãy {an} có một dãy con không hội tụ hoặc có hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau thì {an} không hội tụ. Ngoài ra, ta còn có tính chất sau

Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu

Định lý Bolzano-Weierstrass Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

17 / 19

Dãy Cauchy

Định nghĩa Dãy xn gọi là dãy Cauchy nếu:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀m, n ≥ n0 : |xm − xn| < ε

Có thể kiểm chứng dễ dàng rằng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Ngoài ra, do tính đầy đủ của R nên ta có chiều ngược lại. Tức là:

Định lý Dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

18 / 19

Bài tập. Tính các giới hạn các dãy số sau.

√ (cid:16)√ 3n2 + n − n (cid:17) 3 2. 1. lim n→∞ lim n→∞

(cid:19)2n 3. 1 + 4. lim n→∞ lim n→∞

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Dãy số thực

Toán T1 - MS: C01016

19 / 19

5. 6. lim n→∞ lim n→∞ n + 1 n + 2 (cid:19)n n − 3n+2 2n + 3n √ n √ 3n (cid:18) n 8. 7. lim n→∞ lim n→∞ 2n + n3 1 + 2n3 (cid:18) 2 3n n! + n + 1 (n + 1)! + 2 (cid:19)n (cid:18)3n − 1 3n + 1 2n + 1