Giải tích toán học (tiếng Anh: mathematical analysis), còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng toán giải tích - Nguyễn Văn Đắc
- BỘ MÔN TOÁN HỌC
CHỦ BIÊN : NGUYỄN VĂN ĐẮC
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH
(Toán I – II, dành cho khối ngành kinh tế)
1
- MÔN HỌC: TOÁN I - II (Giải tích)
- Số tín chỉ : 4 (3.1.0) - Số tiết : 60 tiết ; LT: 45 tiết ; BT: 15 tiết .
- Chương trình đào tạo ngành: Dành cho các ngành kinh tế
- Đánh giá: Điểm quá trình : 40% Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ - hình thức thi: viết, 90 phút)
- Tài liệu chính thức:
+ James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University .
+ Toán cao cấp (Nguyễn Đình Trí chủ biên) tập 2, tập 3.
+ Toán cao cấp phần giải tích dành cho các nhóm ngành kinh tế của các trường kinh tế.
LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY LÝ THUYẾT (Syllabus)
Buổi Nội dung lý thuyết (2 tiết / 1 buổi)
1 + Phổ biến đề cương và thông báo các quy định của Bộ môn về môn học.
+ Hàm số: các hàm cơ bản và cách thiết lập hàm mới từ các hàm đã biết.
+ Một số hàm trong kinh tế.
2 + Giới hạn của dãy số.
+ Giới hạn của hàm số.
+ Các dạng vô định.
3 + Vô cùng bé- Vô cùng lớn.
+ Khử các dạng vô định bằng VCL – VCB.
+ Tính liên tục của hàm số.
4 + Đạo hàm và ý nghĩa trong kinh tế.
+ Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản.
+ Quy tắc L’Hopital để khử dạng vô định.
5 + Vi phân của hàm số và ứng dụng- Các quy tắc tính vi phân.
+ Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao.
+ Một số định lý về hàm khả vi.
6 + Khai triên Taylor và ứng dụng.
+ Ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
+ Ứng dụng trong kinh tế: Giá trị cận biên, hệ số co giãn, quyết định tối ưu.
7 + Hàm hai biến và ví dụ.
+ Giới hạn của hàm hai biến.
+ Tính liên tục.
8 + Đạo hàm riêng.
+ Vi phân toàn phần.
+ Đạo hàm riêng của hàm hợp.
2
- 9 + Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn.
+ Vi phân toàn phần cấp cao.
+ Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế.
10 + Cực trị tự do và ứng dụng: Khái niệm, cách tìm, ứng dụng trong kinh tế.
11 + Cực trị có điều kiện ràng buộc.
+ Cực trị trên miền đóng và bị chặn.
+ Một số ví dụ trong kinh tế.
12 + Hàm cầu Marshall và hàm cầu Hick.
+ Kiểm tra giữa kỳ tại lớp lý thuyết.
13 + Khái niệm nguyên hàm (Tích phân bất định).
+ Các định lý.
+ Cách tìm nguyên hàm của một số lớp hàm.
14 + Khái niệm tích phân xác định.
+ Một số định lý cơ bản về tích phân xác định.
+ Cách tính.
15 + Tích phân suy rộng với cận vô hạn.
+ Tích phân suy rộng với cận hữu hạn.
+ Một số ví dụ về ứng dụng tích phân trong kinh tế.
16 Tích phân hai lớp:
+ Khái niệm.
+ Tính chất.
+ Các cách tính.
17 + Các khái niệm mở đầu về phương trình vi phân.
+ Một số dạng phương trình vi phân cấp I: Phân ly biến số; thuần nhất; tuyến tính; Bernoulli.
18 + Phương trình vi phân cấp 2 có thể hạ cấp
+ Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng.
19 Chuỗi số:
+ Định nghĩa và một số tính chất.
+ Một số chuỗi thường gặp.
+ Một số tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương.
20 + Chuỗi đan dấu.
+ Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ.
21 + Chuỗi lũy thừa.
+ Đạo hàm và tích phân chuỗi lũy thừa.
+ Chuỗi taylor và Maclaurin.
22 Ôn tập và giải đáp thắc mắc
3
- LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY BÀI TẬP (Syllabus)
Buổi Nội dung bài tập (2 tiết / 1 buổi)
1 Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số
2 Đạo hàm, vi phân hàm một biến và các ứng dụng
3 Hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn.
4 Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và các ứng dụng
5 Hàm cầu Marshall, hàm cầu Hick. Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng.
6 Tích phân hai lớp và phương trình vi phân
7 Chuỗi số, chuỗi hàm
CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC
Môn học: TOÁN I - II (Giải tích, dành cho kinh tế)
Hình thức thi: Tự luận - (Thời gian 90 phút)
Câu 1 (2 điểm) Giới hạn, hàm số và đạo hàm
+ Tính giới hạn.
+ Hàm liên tục, gián đoạn, khả vi, hàm ngược.
+ Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế.
Câu 2 (2 điểm) Hàm nhiều biến
+ Tính đạo hàm riêng hàm 2 biến.
+ Cực trị hàm 2 biến và ứng dụng trong kinh tế.
Câu 3 (2 điểm) Tính tích phân
+ Tích phân 1 lớp.
+ Tích phân 2 lớp.
Câu 4 (2 điểm) Phương trình vi phân
+ Giải phương trình vi phân cấp 1.
+ Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, hệ số hằng số với vế phải đặc biệt.
Câu 5 (2 điểm) Chuỗi
+ Tìm tổng của chuỗi; khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.
+ Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa.
+ Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa.
4
- $1. HÀM MỘT BIẾN
Đối tượng chính của giải tích toán học là hàm số. Chương này đề cập đến những khái niệm cơ bản nhất về
hàm số một biến, cần nhấn mạnh là có bốn cách biểu thị một hàm số: Bằng phương trình, bằng bảng, bằng
đồ thị và bằng lời. Ngoài ra, có nhắc lại một số hàm đã học ở chương trình phổ thông và cách xây dựng hàm
mới từ các hàm đã cho, đặc biệt lưu ý về các hàm ngược. Cuối cùng là khái niệm về mô hình toán và một số
mối quan hệ hàm trong phân tích kinh tế.
Các mục chính:
1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến
1.2. Lập hàm số mới từ các hàm số đã biết
1.3. Mô hình toán học
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN
1. Định nghĩa hàm một biến
Khái niệm hàm số xuất hiện khi có một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác.
Ta xét các tình huống sau đây:
được cho bởi phương trình . Mỗi số dương r được ấn định với một giá trị duy nhất của S, ta
A. Diện tích S của một đường tròn thì phụ thuộc vào bán kính r của nó, quy tắc kết nối giữa r với S
nói S là hàm của r.
B. Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau đây ghi lại
giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t.
Chẳng hạn 1980
-
4 450 000 000. Nhưng chắc chắn rằng với mỗi
t cho trước thì chỉ có duy nhất một giá trị P(t) tương ứng. Ta nói P là
hàm của t.
C. Chi phí vận chuyển bưu phẩm C thì phụ thuộc vào cân nặng w của
bưu phẩm. Mặc dù không có một công thức đơn giản xác lập mối quan
hệ của C theo w nhưng bưu điện vẫn có một quy tắc để xác định được
duy nhất một giá trị của C khi đã biết w. Như thế, C là hàm của w.
D. Gia tốc chuyển động thẳng đứng a của bề mặt trái đất được đo bởi
máy ghi địa chấn trong một trận động đất là một hàm của thời gian t.
Hình 1 là đồ thị được tạo ra bởi máy đo địa chấn trong suốt trận động
đất tại Los Angeles vào năm 1994.
Hình 1
Với mỗi giá trị t cho trước, dựa vào đồ thị ta tìm được duy nhất một giá trị a tương ứng.
Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc, mà theo đó cứ mỗi giá trị được cho trước (r, t, w hoặc t) ta xác
định được duy nhất một số tương ứng (S, P, C hoặc a). Trong mỗi trường hợp đó ta nói số sau là
hàm của số trước. Tổng quát ta có định nghĩa.
5
- Định nghĩa hàm một biến số
Cho D là một tập con khác của tập số thực .
Một hàm f là một quy tắc ấn định mỗi số cho trước thuộc tập D với duy nhất một số, ký hiệu là
f(x), trong tập E.
• D được gọi là tập xác định của f.
• Số f(x) được gọi là giá trị của f tại x, đọc là “ f tại x ”.
• Tập gồm các giá trị của f tại x,với x chạy khắp tập xác định, được gọi là tập giá trị của f.
• Ký hiệu được dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập xác định của f được gọi là biến độc
lập, ký hiệu dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập giá trị của f thì được gọi là biến phụ
thuộc. Trong Ví dụ A, r là biến độc lập và S là biến phụ thuộc.
Việc hình dung một hàm như một chiếc máy là việc rất có ích xem Hình 2.
Hình 2 Mô hình chiếc máy cho hàm số
Nếu x nằm trong tập xác định của hàm f , khi biến đầu vào x được đưa vào máy thì nó được
chấp nhận và máy sẽ tạo ra, theo quy tắc của f, “sản phẩm” là biến đầu ra f(x). Như thế, ta có thể
hình dung tập xác định là tập các biến đầu vào và tập giá trị là tập gồm các biến đầu ra.
Một cách khác để hình dung về một hàm số là dùng biểu đồ mũi tên như Hình 3.
Hình 3 Biểu đồ mũi tên cho hàm f.
Mỗi mũi tên kết nối một số thuộc tập xác định với giá trị được ấn định cho nó theo quy tắc f. Như
thế, f(x) là số được ấn định cho x, f(a) được ấn định cho a, và cứ thế.
Phương pháp phổ biến nhất để hình dung một hàm số là xét đồ thị của nó. Nếu f là một hàm số
với tập xác định là D, thì đồ thị của nó là tập gồm các cặp số có thứ tự
,
-
(Lưu ý, đây chính là cặp biến đầu ra-đầu vào.) Nói khác đi, đồ thị của f là tập gồm các điểm
(x, y) trên mặt phẳng tọa độ với y = f(x) và x thuộc tập xác định của f. Đồ thị của hàm f cho ta một
bức tranh tổng thể về đặc điểm của hàm số. Bởi vì tung độ y của điểm (x,y) trên đồ thị là số sao cho
y = f(x) nên ta có thể thấy giá trị của hàm số là khoảng cách đại số từ điểm đó đến trục hoành (xem
Hình 4). Hình chiếu của đồ thị trên trục hoành chính là tập xác định và hình chiếu của nó trên trục
tung là tập giá trị (xem Hình 5).
Hình 4 Hình 5
6
- VÍ DỤ 1 Đồ thị của hàm f được cho ở Hình 6.
Hình 6
(a) Tìm giá trị của f(1) và f(5).
(b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm f.
Giải
(a) Từ Hình6, ta có điểm (1, 3) nằm trên đồ thị của hàm số, nên giá trị của hàm tại 1 là f(1) =
khoảng 0,7 đơn vị vì thế, ta ước đoán giá trị 5
-
0,7.
3. Khi x = 5, điểm nằm trên đồ thị tương ứng nằm phía dưới trục hoành và cách trục hoành
Tập xác định là [0, 7] và tập giá trị là | ! 2 # # 4 $!2; 4&.
(b) Hình chiếu của đồ thị hàm số trên trục hoành là [0, 7] và trục tung là [-2; 4] nên ta có
VÍ DỤ 2 Cho hàm số
- 2 ! 5 ' 1 và ( ) 0, hãy tính
*+,-
- .*+
-
-
theo a và h.
Giải Trước tiên tính / ' (
- bằng cách thay thế x trong công thức f(x) bởi a + h :
/ ' (
- 2/ ' 4/( ' 2( ! 5/ ! 5( ' 1
/ ' (
- ! /
- 2/ ' 4/( ' 2( ! 5/ ! 5( ' 1
- ! 2/ ! 5/ ' 1
-
Thay vào biểu thức đã cho và đơn giản hóa, ta được
( (
4/ ' 2( ! 5
*+,-
- .*+
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
