Link xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem phim mới 2023 hay nhất xem phim chiếu rạp mới nhất phim chiếu rạp mới xem phim chiếu rạp xem phim lẻ hay 2022, 2023 xem phim lẻ hay xem phim hay nhất trang xem phim hay xem phim hay nhất phim mới hay xem phim mới link phim mới

intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

15
lượt xem
2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán giải tích gồm có 4 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: hàm số - giới hạn và tính liên tục của hàm số; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân của hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

  1. Chƣơng 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN  Mục đích yêu cầu Học xong chƣơng này, Sinh viên phải thành thạo: - Nắm vững công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản. - Các tính chất của tích phân bất định, tích phân xác định. - Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến số, từng phần. - Tích phân các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác đơn giản qua từng vấn đề. - Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz. - Phân biệt đƣợc sự khác nhau giữa phép biến đổi trong tích phân bất định và tích phân xác định. - Vận dụng đƣợc các phƣơng pháp tính tích phân. - Ứng dụng tính diện tích – thể tích. - Tính các tích phân suy rộng loại 1 và loại 2.  Kiến thức chuẩn bị Để học đƣợc chƣơng này cần trang bị các kiến thức: - Các công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp. - Các cách tính đạo hàm và vi phân của các hàm một biến. - Các cách tính giới hạn học ở chƣơng 1 và chƣơng 2. 50
  2. 3.1. Tích phân không xác định 3.1.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định 3.1.1.1. Định nghĩa Hàm số F (x ) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên a;b  nếu (3.1.1) F '(x )  f (x ), x  a;b  Ví dụ 1:  sin x  '  cos x  sin x là nguyên hàm của cosx . 3.1.1.2. Định lý * Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó. * Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x )  C cũng là nguyên hàm của f (x ) . (Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó). Định nghĩa Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x ) đƣợc gọi là tích phân không xác định của f (x ) , kí hiệu là:  f (x )dx .  f (x )dx  F (x )  C (3.1.2) 3.1.1.3. Tính chất của tích phân không xác định Cho f , g là các hàm số có nguyên hàm. Khi đó i)   f (x )dx    f (x )dx ( là hằng số). ii)   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx .   f (x )dx   f (x ) . ' iii) iv)  f (x )dx  f (x )  C . 51
  3. Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp  Nguyên hàm của các HSCB y  f (x ) Hàm y  ax  b ( a  0 )  dx  x  C .  x  1  x dx   C   1 . 1 1 1  1  (ax  b)2dx   a . ax  b  C 1 1  x 2dx   x  C x  0 .  ax  b 1 dx  2 1 ax  b  C a 1  x dx  2 x  C . a x b 1 aa x b  a dx  a  . ln a  C . ax 1 ax b  a dx  ln a  C . x  e dx  a e  C . ax b  e dx  e x x C . 1 1  ax  bdx  a ln ax  b  C . 1  xdx  ln x  C . 1  sin(ax  b)dx  - a cos(ax  b)  C  sin xdx  - cos x  C . 1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  cos xdx  sin x  C . 1 1 1  cos2(ax  b)dx  a tan(ax  b)  C .  cos2 xdx  tan x  C . 1 1 1  sin2(ax  b)dx   a cot(ax  b)  C .  sin2 xdx   cot x  C . 1  1 - x 2 dx  arcsin x  C   arccos x  C 1  x 2  1dx  arctan x  C  arc cot x  C 1 1 x  x 2  a 2dx  a arctan a  C 1 1 1x  1  x2 dx  ln 2 1x C 1 1 x a  x 2  a 2dx  2a ln x  a C 1  2 x a dx  ln x  x 2  a  C 52
  4. 3.1.2 Các phƣơng pháp tính 3.1.2.1. Phƣơng pháp phân tích Biến đổi hàm dấu tích phân về dạng tổng của các hàm đơn giản hoặc dạng một hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản x5 x4 x2 Ví dụ 2: a)  (x  3x  x  1)dx  4 3 3   x C . 5 4 2  2  dx 2 b)   x   dx   xdx  2  x x  4 x C .  x  x 3 1  dx c)   sin x - 2  dx   sin xdx     cos x - tan x  C .  cos x  cos2 x 3.1.2.2. Phƣơng pháp đổi biến số  Qui tắc 1 Đặt t   (x ) , trong đó  (x ) là một hàm khả vi theo biến t . Ta có  f  (x ) . (x )dx   f (t )dt (3.1.3)  Qui tắc 2 Đặt x  (t ) , trong đó (t ) là một hàm khả vi và đơn điệu nghiêm ngặt theo biến t . Ta có  f (x )dx   f (t ) .(t )dt (3.1.4)  Chú ý: Qui tắc 2 thƣờng áp dụng khi có tích phân có chứa a2  x 2 ; a2  x 2 ; x 2  a2 . a sin t *  R(x, a 2  x 2 )dx , đặt x   . (3.1.5) a cos t  a tan t *  R(x, a 2  x 2 )dx , đặt x   . (3.1.6) a cot t   a  sin t *  R(x, x 2  a 2 )dx , đặt x   a . (3.1.7)   cos t Ví dụ 3: Tính tích phân của các hàm số sau: sin 3 x a) I   (x 2  3x  1)5(2x  3)dx b) J   3 x2 dx (a  0) 53
  5. Giải a) Đặt t  x 2  3x  1  dt  (2x  3)dx . t6 (x 2  3x  1)6 Khi đó I   t dt   C  5 C . 6 6 b) Đặt t  3 x  t 3  x  3t 2dt  dx . sin t Khi đó I   2 .3t 2dt   3 sin tdt  3 cos t  C  3 cos 3 x  C .  t ? Tính các tích phân sau: dx x 1 a)  tan xdx b)  c)  3 dx x ln x  1 3x  1 Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I   a 2  x 2dx (a  0) Giải   Đặt x  a sin t  dx  a cos tdt , với t    ;  .  2 2  a2  a (1  sin t ).a cos tdt   a cos tdt  2  2 2 2 2 Khi đó I  (1  cos 2t )dt a2  sin 2t  a2  x x 2 2   t   C   arcsin  2 a  x  C . 2  2  2  a a  x x Mà sin t   t  arcsin a a x sin 2t  2 sin t cos t  2 2 a 2  x 2 a a2  arcsin x  x a 2  x 2   C . I     2  a a2  3.1.2.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần Giả sử u, v là các hàm khả vi. Khi đó, ta có:  udv  uv   vdu (3.1.8) 54
  6.  Nhận xét: Nếu P(x ) là một đa thức Đặt Dạng u du sin(ax  b)dx  P(x )sin(ax  b)dx P(x )  P(x )cos(ax  b)dx P(x ) cos(ax  b)dx  P(x )e ax b dx P(x ) eax bdx  P(x )arcsin(ax  b)dx P(x ) arcsin(ax  b) P(x )dx  P(x )arccos(ax  b)dx arccos(ax  b) P(x )dx ln(ax  b)  P(x )ln(ax  b)dx P(x )dx e ax b .sin(ax  b)dx eax b sin(ax  b)dx e ax b .sin(ax  b)dx sin(ax  b) eax bdx Ví dụ 5: Tính: a) I   xcosxdx b) J   x arctan xdx Giải:  u x  du  dx   a) Đặt   .  dv  cos xdx    v  sin x Khi đó I  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C .  du  1 dx  u  arc tan x  x2  1 b) Đặt    dv  xdx  vx 2  2 x2 1 x2 x2 1 1  Khi đó I  arctan x   2 dx  arctan x    1  2  dx 2 2 x 1 2 2  x 1 x2 1 1  arctan x  x  arctan x  C  2 2 2  Chú ý - Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trƣớc khi lấy tích phân từng phần. - Phép lấy tích phân từng phần liên tiếp nhiều khi đƣa về tích phân ban đầu. 55
  7. ? Tính: a) I   cos xe sin xdx b) J   e x cos xdx 3.1.3. Tích phân một số hàm thƣờng gặp 3.1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ Adx dx a)  A  A ln x  a  C . x a x a Adx A b)  k A (x  a ) dx  k (x  a )1k  C . (x  a ) 1k dx c)  ax 2  bx  c  Nếu ax 2  bx  c  0 , có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng công thức 1 1 x a  x 2  a 2dx  2a ln x  a  C 1 1  1  1 dx  1 ln x  a  C hay  (x  a)(x  b) a  b   x  a x  b  a  b x  a dx   Nếu ax 2  bx  c  0 , có nghiệm kép. 1 1 1 Áp dụng công thức:  2dx   . C (ax  b) a ax  b 1 1  1  1 dx  1 ln x  a  C . hay  (x  a)(x  b) a  b   x  a x  b  a  b x  b dx   Nếu ax 2  bx  c  0 vô nghiệm 1 1 x Áp dụng công thức:  2 2dx  arctan  C . x a a a Ví dụ 6: Tính: 3dx dx dx a) I   x 2  4x  5 b) J   4x 2  4x  1 c) K   x 2  2x  2 Giải 3dx dx a) I   x 2  4x  5  (x  5)(x  1)  3 . 1 1 1  1 x 5     dx  ln C 2 x  5 x  1 2 x 1 dx dx 1 b) J   4x 2  4x  1  2x  12 2(2x  1)  C .    56
  8. dx dx c) K   x 2  2x  2   x  12  1  arctan(x  1)  C . ? Tính dx dx dx a) I   4x 2  x  5 b) J   x 4  4x 2  5 c) K   x 4  3x 2 Ax  B d)  ax 2  bx  c .dx (A  0, a  0) .  Nếu ax 2  bx  c  0 , có hai nghiệm phân biệt. Ta dùng phƣơng pháp cân bằng hệ số đồng bậc, đƣa về cách tính nhƣ ở mục a).  Nếu ax 2  bx  c  0 vô nghiệm hay có nghiệm kép. Ta phân tích Ax  B A 2ax  b Ab dx  ax  bx  c 2 dx  2a  ax  bx  c 2 dx  (B  2a  ax  bx  c ) 2 . 2ax  b  ax 2  bx  cdx  ln ax  bx  c  C . 2 * dx *  ax  bx  c thì tính nhƣ ở mục c). 2 2x  1 x 1 Ví dụ 7: Tính: a) I   x  5x  6dx 2 b) J   x  x  1dx 2 Giải a) Ta phân tích 2x  1 A B (A  B )x  3A  2B 2    x  5x  6 x  2 x  3 (x  2)(x  3) A  B  2  A  3  * Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc :   .  3A  2B  1 B 5   2x  1  3 5  I   x 2  5x  6dx    x  2  x  3  dx  3 ln x  2  5 ln x  3  C . x 1 1 (2x  1)  3 1 2x  1 dx 3 dx b) J   x 2  x  1dx  2  2 x x 1 dx   2   2 2 x x 1 2 x x 1 1 3 dx 1 3 2x  1  ln(x 2  x  1)   2  ln(x 2  x  1)  arctan C 2 2  2 1  3  2 2 3 x       2  2  57
  9. P (x ) e) Tổng quát I   Q(x ) dx . Bƣớc 1: Nếu bậc đa thức P(x ) lớn hơn bậc đa thức Q(x ) thì ta chia P(x ) cho P(x ) p(x ) Q(x ) , ta có:  m(x )  (trong đó: m(x ) là đa thức và bậc p(x ) < bậc Q(x ) Q(x ) Q(x ) )  Bƣớc 2: Phân tích mẫu số của phân thức ra các thừa số tuyến tính và bậc 2: Q(x )  an (x  a)m (x  b)p ...(x 2  cx  d )l (x 2  ex  f )k ... (trong đó a, b,...  , c2  4d  0, e2  4 f  0 và m  p  ...  2(l  k )  n ). p(x )  Bƣớc 3: Phân tích phân thức thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản Q(x ) sau: p(x ) A A2 M1x  N 1 M 2x  N 2 Ml x  N l  1  2  ...  2   ...    x 2  px  q  2 l Q(x ) x  a (x  a ) x  px  q x 2  px  q  Bƣớc 4: Xác định các hệ số A1, A2,..., M1, M2,..., N1, N 2,... bằng phƣơng pháp hệ số bất định. Tích phân các hàm hữu tỉ đơn giản A *I  dx  A ln x  a  C . x a A (x  a )K 1 *J  dx  A. C .  x  a K K  1 Mx  N *K   x 2  px  qdx M 2x  p Mp dx  2  x 2  px  qdx  (N  2 ) 2 x  px  q M d (x 2  px  q ) Mp dx   x 2  px  q  (N  2 )   p2 2 2 p x q  2 4 p p2 Đặt t  x  ; 2  q  . 2 4 M Mp dt K  ln x 2  px  q  (N  ) 2 2 2 t  2 M Mp 1 t  ln x 2  px  q  (N  ) arctan 2 2   58
  10. p x M Mp 1 2.  ln x 2  px  q  (N  ) arctan 2 2   Mx  N Mx  N p p2  K dx   2 *L K dx với   ;  q  .  x 2  px  q   x   2   2    2 4 x Gt  H G d (t 2  1) Đặt t  ta đƣợc : L   2 dt   2  H .I n ,  (t  1)n 2 t 1 dt với I n   (t 2  1)n đƣợc tính theo công thức truy hồi. x2  x  1 Ví dụ 8: Tính I   (x  1)(x 2  x  1)dx . Giải * Ta phân tích x2  x  1 A Bx  C (A  B )x 2  (A  B  C )x  A  C    (x  1)(x 2  x  1) x  1 x 2  x  1 (x  1)(x 2  x  1) A  B  1  A  3 * Cân bằng hệ số đồng bậc, ta đƣợc :  A  B  C  1   .   B  C  2 A  C  1 3 2x  2 Suy ra I   dx   2 dx x 1 x x 1 2x  1 dx  3 ln x  1    2 dx   2   x x 1 x  x  1  d(x 2  x  1) dx  3 ln x  1   2  2 x x 1 2 x  1    3       2  2  2 2x  1   3 ln x  1  ln x 2  x  1   3 arctan 3 C .  x 2  2x  1 1 ? Tính a) I   x 3  x 2  x  1dx b) J   x(x  1)2 dx  ax  b  3.1.3.2. Tích phân các hàm vô tỉ:  R  x , n dx .  cx  d  ax  b Đặt t  n , đƣa tích phân đã cho về dạng hàm số hữu tỉ. cx  d 59
  11. dx Ví dụ 9: Tính I  1 3 x 1 . Giải: Đặt t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2dt  dx . 3t 2dt 1  t2  Khi đó I   1t   3 (t  1  t 1 )dt  3   t  ln t  1   C . 2   3  x  12   3  3 x  1  ln 3 x  1  1   C   2     ax  b n2 ax  b ax  b   Chú ý : Nếu tích phân có dạng  R  x, n 1 cx  d , cx  d ,..., nk cx  d dx thì ta  ax  b đổi biến bằng cách đặt t  n với n  BCNN (n1, n2,..., nk ) . cx  d dx Ví dụ 10: Tính I   x  3 x  1 . Đặt t  6 x . 3.1.3.3. Tích phân hàm số lƣợng giác Tính I   R(sin x, cos x )dx , trong đó R(u, v) là hàm hữu tỉ theo u, v  Phƣơng pháp chung x 2dt Đặt t  tan  x  2 arctan t  dx  2 1  t2 2t 1  t2 Áp dụng CT: sin x  ; cos x  (3.1.9) 1  t2 1  t2  2t 1  t 2  2dt Khi đó I   R  2, 2 2 . Đây là tích phân hàm hữu tỷ theo biến t .  1  t 1  t  1  t  Một số trƣờng hợp đặc biệt x Bằng phép thế t  tan bao giờ cũng đƣa về nguyên hàm của hàm hữu tỷ 2 theo t nhƣng nhiều khi phép thế đó đƣa đến việc tính toán phức tạp. Với một số dạng đặc biệt ta có tính toán đơn giản hơn.  Dạng 1: R( sin x,  cos x )  R(sin x, cos x ) thì ta đặt t  tan x (hàm chẵn theo sin x , cosx ) dt * Đặt t  tan x  x  arctan t  dx  . 1  t2 2 t2 2 1 Áp dụng CT: sin x  2 ; cos x  (3.1.10) 1t 1  t2 60
  12.  Dạng 2: R( sin x, cos x )  R(sin x, cos x ) thì ta đặt t  cos x (hàm lẻ theo sin x ).  Dạng 3: R(sin x,  cos x )  R(sin x, cos x ) thì ta đặt t  sin x (hàm lẻ theo cos x ) Ví dụ 11: Tính: dx dx a) I   b) J   2 4 sin x  3 cos x  5 sin x  3cos2x sin3 xdx c) K   cos xdx 3 d) L   cos x Giải x 2dt a) Đặt t  tan  dx  2 1  t2 2dt 1  t2 2dt Khi đó I   2  2 2t 1t 2t  8t  8 4 2 3 2 5 1t 1t dt 1 1  2  C  x C . (t  2) t 2 tan  2 2 dt b) Đặt t  tan x  x  arctan t  dx  . 1  t2 dx 1 t 3 1 tan x  3 Khi đó J   t2   ln C  ln C .  3 2 2 3 t 3 2 3 tan x  3 c) Đặt t  sin x  dt  cos xdx . K   cos2 x cos xdx   (1  sin2 x ) cos xdx . t3 sin3 x   (1  t )dt  t   C  sin x  2 C 3 3 d) Đặt t  cosx  dt   sin xdx . sin2 x sin xdx (1  cos2 x ) sin xdx L  cos x   cos x 2 t 1 1 t2 cos2 x  dt    t  dt   ln t  C   ln cos x  C t  t 2 2 dx sin2 x  1 ? Tính : a) I   b) J   dx 3  5 cos x cos4x sin3 x dx c) K   dx d) L   sin2 x. cos x cos2x  1 61
  13. Ngoài ra trong một số trƣờng hợp việc áp dụng các công thức lƣợng giác đã học giúp ta nhận đƣợc kết quả dễ dàng hơn. Ví dụ 12: Tính I   sin 5x sin 3xdx . 3.2. Tích phân xác định  Bài toán tính diện tích hình thanh cong Cho hàm số (C ) : y  f (x ) xác định dƣơng trên a;b  , có đồ thị biểu diễn nhƣ hình vẽ y  f (x ) y B A O a x i 1 ci x i b x  Hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  f (x ); x  a, x  b và trục Ox đƣợc gọi là hình thang cong  Ta tính diên tích hình thang cong AabB đó.  Ta chia đoạn a;b  thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: x 0  a  x1  x2  ...  xn  b  Tƣơng ứng hình thang cong cũng đƣợc chia thành n cột cong nhỏ.  Ta gọi xi đồng thời là đoạn thẳng và là độ dài của đoạn [xi -1, xi ], i  1,..., n và d là độ dài lớn nhất của các xi : dn  max xi  . 1i n  Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý ci .  Nếu xi khá bé có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích của hình chủ nhật có hai kích thƣớc xi ; f (ci ) : Si  f (ci )xi ( Si là cột cong thứ i ). n  Do đó diện tích S của AabB có thể xấp xỉ với Sn   f (ci )xi i 1 * Định nghĩa: Diện tích hình thang cong AabB là n S  lim dn 0  f (ci )xi (nếu tồn tại) (3.1.11) i 1 62
  14. 3.2.1. Định nghĩa Giả sử y  f (x ) là hàm số xác định và bị chặn trên a;b  .  Chia a;b  thành n đoạn nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia x 0  a  x1  x2  ...  xn  b . Gọi xi  xi  xi 1, i  1; n  và đặt dn  max xi  . 1i n  Trên mỗi đoạn x i lấy điểm tuỳ ý ci và lập tổng tích phân n Sn   f (ci )xi . i 1  Khi n   thì dn  0 nếu tồn tại giới hạn S  lim Sn tồn tại không phụ n  thuộc vào cách chia đoạn a;b  và cách lấy điểm ci  xi thì giới hạn này đƣợc b gọi là tích phân xác định của hàm số f (x ) trên a;b  , kí hiệu:  f (x )dx . Khi đó, ta a cũng nói f (x ) khả tích trên a;b  . b n I   f (x )dx  lim  f (ci )x i (3.2.1) dn 0 a i 1 * Ý nghĩa hình học của tích phân xác định b Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) chính là: S   f (x )dx a 3.2.2. Tính chất Cho hàm số f , g khả tích trên a;b  . Khi đó b b b i)   f (x )  g(x )dx   f (x )dx   g(x )dx . (3.2.2) a a a b b ii)  kf (x )dx  k  f (x )dx . (3.2.3) a a b b iii) Nếu f (x )  g(x ) x  a;b  thì ta có  f (x )dx  g(x )dx . (3.2.4) a a a a iv) Nếu f (x ) là hàm chẵn thì  f (x )dx  2 f (x )dx . (3.2.5) a 0 a v) Nếu f (x ) là hàm lẻ thì  f (x )dx  0 . (3.2.6) a 63
  15. b c b vi) Với c  a;b  , ta có  f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx . (3.2.7) a a c 3.2.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân Định lý 1 (Đạo hàm theo cận trên) x Nếu f (x ) liên tục trên a;b  thì với x  a;b  , hàm số F (x )   f (t )dt khả vi a x d tại x và ta có F '(x )  dx  f (t )dt  f (x ) . (3.2.8) a   (x )  Hệ quả :   f (t )dt   f (x )  (x ) (3.2.9)    a   (x )    f (t )dt   f  (x ) (x )  f (x ) (x ) (3.2.10)   (x )    x2  sin tdt Ví dụ 13: Tính giới hạn: L  lim 0 0 3   x 0 x 0 Giải  x2    sin tdt   0  sin x 2.2x 2x 3 2 L  lim  lim 2  lim 2  lim x  0 . x 0 x   3  x 0 3x x 0 3x 3 x 0 Định lý 2 (Công thức Newton – Leibniz) Nếu f (x ) liên tục trên a;b  và F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) thì b  f (x )dx  F (x ) a  F (b)  F (a) b (3.2.10) a 3.2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định Có 2 phƣơng pháp nhƣ §1 a) Phƣơng pháp đổi biến số (Nhớ đổi cận) b Tính I   f (x )dx với f là hàm liên tục trên a;b  . a 64
  16.  Qui tắc 1: - Đặt t   (x ) sau đó tính dx theo t và dt . x  a  t   - Đổi cận:  . x  b  t   - Tính f (x )dx  g(t )dt (theo t ) b  - Suy ra : I   f (x )dx   g(t )dt (3.2.11) a  e2  dx x sin xdx Ví dụ 14: Tính a) I   x ln x b) J   1  cos2x e 0 Giải dx a) * Đặt t  ln x  dt  . x x  e 2  t  2 * Đổi cận  x  e  t  1 2 dt  t  ln t 1  ln 2 . 2 Khi đó I  1 b) * Đặt x    t  dx  dt . x    t  0 * Đổi cận  x  0  t   1 1 (  t ) sin(  t )dt (  t ) sin tdt J  2  0 1  cos (  t ) 0 1  cos2t 1 1 1 .  sin tdt t sin tdt  sin tdt   1  cos2t   1  cos2t   1  cos2t  J 0 0 0     sin tdt  d(cost )  2 Suy ra J   2 0 1  cos2t 2 0 1  cos2t 2   arctan(cost)  0 4  52 ? e 9 ln xdx x dx 2 cos3 xdx Tính: a) I  x 1  ln2 x b) K   (1  x 5 )3 c) L   3 sin x 1 0  2  Qui tắc 2: - Đặt x  (t )  dx   (t )dt . x  a  t   - Đổi cận:  . x  b  t   65
  17. b  - Suy ra : I   f (x )dx   f ((x )) (t )dt (3.2.12) a  1 Ví dụ 15: I   1  x 2dx 0 Giải   * Đặt x  sin t  dx  cos tdt , với t    ;  .  2 2  x  1  t    2. * Đổi cận:  x  0  t  0    2 2 1  cos2t 1 1  dt   t  sin 2t   2 Khi đó I   cos tdt  2 0 0 2 2 2 0 4 2 ? Tính I   4  x 2dx 0 b) Phƣơng pháp tích phân từng phần Cho u, v là các hàm có đạo hàm liên tục trên a;b  . Khi đó, ta có: b b  udv  uv a b a   vdu a (3.2.13) 1 Ví dụ 16: I   (x  1)e 2xdx 0 Giải  u  x  1  du  dx  Đặt  2x  1 2x .  dv  e dx  v e  2 1 1 1 1 1 1 3 2x 1 Khi đó I  (x  1) e 2x   e 2xdx  e 2  e 2x  e  2 0 0 2 4 0 4 4  /3 e ? xdx Tính: a) I   b) J   x ln xdx .  /4 sin2 x 1 66
  18. 3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định a) Diện tích hình phẳng * Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đƣờng thẳng x  a , x  b , y  0 và cung của đồ thị hàm số liên tục y  f (x ) trên a;b  đƣợc tính theo công thức b S   f (x )dx a (3.2.14) b y y  f (x )  Nếu f (x )  0 thì S   f (x )dx . a S O a b x b  Nếu f (x )  0 thì S    f (x )dx . a  Lƣu ý: Cho f ( x)  0 (1) để tìm nghiệm của nó (i) Nếu (1) không có nghiệm trên  a; b thì b b S   a f (x )dx   f (x )dx a (3.2.15) (ii) Nếu (1) có đúng 1 nghiệm c   a; b thì b c b S   f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx a a c (3.2.16) (iii) Nếu (1) có đúng 2 nghiệm c1, c2   a; b và c1  c2 thì b c1 c2 b S   a f (x )dx   f (x )dx  a  f (x )dx  c1  f (x )dx c2 (3.2.17)  Chú ý: Nếu phƣơng trình đƣờng cong cho dƣới dạng x  g(y ) , g(y ) liên tục trong c; d  thì diện tích S đƣợc tính theo công thức d S   g(y) dy c (3.2.18) y y  f1(x ) * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng thẳng S x  a , x  b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục y  f2 (x ) y  f1(x ); y  f2(x ) trên a;b  đƣợc tính theo công thức O a b x b S   f (x )  f (x )dx a 1 2 (3.2.19) 67
  19.  Lƣu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f1(x )  f2 (x )  0 để tìm nghiệm thuộc a;b  , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của đoạn a;b  . * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phƣơng trình x  x (t ) , y  y(t ), a  x (t1) , b  y(t2 ), y  0 thì diện tích là t2 S   y(t ).x '(t ) dt t1 (3.2.20) Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1) : y 2  2px và (C 2 ) : x 2  2py p  0 . y Giải x 2  2py * Tìm giao điểm của (C1) và (C 2 ) : y 2  2px (1) 2 y 2  2px y  2px 2  p   2  x2 x  2 py y  (2) O 2p x  2p x4 4 3 x  0 Từ (1) và (2):  2  2px  x  8 p x  0   4p x  2p 2p  x2  4 2 * Diện tích cần tìm là : S     2 px  dx  p 2p  3 0 x 2 y2 Ví dụ 18: Tính diện tích của (E ) :   1. y a 2 b2 b Giải Phƣơng trình tham số của (E) là x  a cos t  -a O a  y  b sin t (0  t  2 ) . -b x   Do tính đối xứng của hình, ta có  /2  /2 S 4  b sin t.(a sin t ) dt  4ab  sin2 tdt   ab  0 0 ? a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2  2x  1 và x  y  1  0 . b) Tính diện tích của hình tròn (C ) : x 2  y 2  R2 . 68
  20. b) Độ dài cung của đƣờng cong phẳng * Cung (L) có phƣơng trình y  f (x ), a  x  b  b 1  y (t ) .dt 2 Độ dài cung của (L) là l   (3.2.21) a x  x (t )  * Cung (L) có phƣơng trình tham số   t1  t  t2  . y  y(t )  t2  x (t )  y (t ) .dt 2 2 Độ dài cung của (L) là l  (3.2.22) t1 x  a(t  sin t )  Ví dụ 18: Tính độ dài cung cycloid:   0  t  2  .  y  a(1  cos t )  Giải Ta có: x   a(1  cost ); y   a sin t Độ dài cung cần tìm là 2 2 2 t t    2a sin 2 dt 2 2 2 2 2 2 L a (1  cos t )  a sin t .dt  4a s in .dt  0 0 2 0 2 t  2a  sin dt  8a .  0 2 x2 ? a) Tính độ dài dây cung parabol y  từ gốc O(0, 0) đến điểm M 2;2  . 2 b) Dùng tích phân xác định kiểm chứng chu vi đƣờng tròn bán kính R là 2 R . c) Thể tích của vật thể Giả sử ta có một vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  a và x  b . Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x  a, b  cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là S (x ) và S (x ) là hàm liên tục tại x . Khi đó, thể tích vật thể đƣợc tính bởi công thức b V   S (x )dx (3.2.23) a d) Thể tích của vật thể tròn xoay Vật thể tròn xoay là vật thể đƣợc tạo nên khi quay một miền phẳng quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa miền đó. Để tính thể tích vật thể tròn xoay, ta xem xét hai phƣơng pháp: cắt lớp và vỏ hình trụ. Việc chọn phƣơng pháp nào thích hợp với một vật thể đã cho dựa và phƣơng trình các đƣờng giới hạn miền đƣợc quay và trục quay. 69
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2