05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và
x0 (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)x(f)x(f
lim
0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký
hiệu f’(x0), y’(x0)
Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0)
thì
x
y
lim'y
0x
Ký hiệu dy/dx, df/dx
05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 2
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- Đạo hàm bên phải:
- Đạo hàm bên trái:
x
y
lim'y
0x
x
y
lim'y
0x
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái
tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
2
'
v
u'vv'u
v
u
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo
hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x
và y’(x) = y’(u).u’(x).
05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 4
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm
số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):
)]y(f['f
1
)x('f
1
)y()'f(
1
1
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0 (c: hằng số)
(x)’ = x-1 ( R, x > 0)
(ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1)
(ex)’ = ex
0) x1,a 0,(a
alnx
1
)'x(log
a
0) x(
x
1
)'x(ln
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
Z)k ,k/2(x
xcos
1
)'tgx(
2
Z)k ,k(x
xsin
1
)'gx(cot
2
)1x(
x1
1
)'x(arcsin
2
)1x(
x1
1
)'x(arccos
2
2
x1
1
)'arctgx(
2
x1
1
)'gxcotarc(