intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Vật lí thống kê - ĐH Phạm Văn Đồng

Chia sẻ: Cuahapbia | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST
Báo xấu
47
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vật lí thống kê gồm có 6 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Đối tượng và phương pháp của vật lí thống kê – các cơ sở của lý thuyết xác suất; Luận đề cơ bản của vật lí thống kê; Hàm phân bố Gibbs; Áp dụng phân bố Gibbs vào các hệ thực; Các thống kê lượng tử; Áp dụng các thống kê lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vật lí thống kê - ĐH Phạm Văn Đồng

  1. ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG --------- BÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊ NGUYỄN THỊ KIỀU THU 1. Quảng Ngãi, 06/2018
  2. Bài giảng Vật lí thống kê MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ – CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT .................................................................................... 4 1. Đối tượng và phương pháp của vật lý thống kê.......................................................... 4 1.2. Các biến cố ngẫu nhiên và các đại lượng ngẫu nhiên ............................................. 5 1.3. Khái niệm xác suất ..................................................................................................... 8 1.4. Các tính chất của xác suất. Công thức cộng và nhân xác suất ................................... 9 1.5. Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên ............................................................ 12 1.6. Các ví dụ về các định luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên ........................... 15 1.7. Hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên ......................................................... 19 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ........................................................................................................ 22 CHƯƠNG 2. LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ ......................................... 24 2.1. Quy luật tính động lực và quy luật tính thống kê ..................................................... 24 2.2. Phương pháp cơ bản của vật lý thống kê .................................................................. 26 2.3. Việc biễu diễn hệ trong không gian pha ................................................................... 28 2.4. Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt. Xác suất trạng thái ............................................ 31 2.5. Định lí Liouville về sự bảo toàn thể tích pha. Cân bằng thống kê ........................... 32 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ........................................................................................................ 38 CHƯƠNG III. HÀM PHÂN BỐ GIBBS ............................................................................ 39 3.1. Phân bố vi chính tắc Gibbs ....................................................................................... 39 3.2. Phân bố chính tắc Gibbs ........................................................................................... 40 3.3. Ý nghĩa vật lí của các thông số của phân bố chính tắc, thiết lập phương trình cơ bản của nhiệt động lực học ..................................................................................................... 46 3.4. Entrôpi và mối liên hệ của nó với xác suất trạng thái .............................................. 51 3.5. Phân bố Maxwell – Boltzmann ................................................................................ 53 3.6. Phân bố chính tắc lớn Gibbs ..................................................................................... 56 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ........................................................................................................ 60 CHƯƠNG 4. ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS VÀO CÁC HỆ THỰC ................................. 61 4.1. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái .................................... 61 4.2. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng................................... 62 4.3. Áp dụng phân bố chính tắc vào các khí thực ............................................................ 65 4.4. Định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do ......................................... 71 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ........................................................................................................ 74 CHƯƠNG 5. CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ.................................................................... 75 1
  3. Bài giảng Vật lí thống kê 5.1. Các hệ lượng tử và các tính chất của chúng ......................................................... 75 5.2. Cách mô tả các hệ lượng tử .................................................................................. 77 5.3. Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử ................................................. 79 5.4. Áp dụng phương pháp Gibbs vào các hệ lượng tử ............................................... 80 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ........................................................................................................ 86 CHƯƠNG 6. ÁP DỤNG CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ ................................................. 87 6.1. Dao động lượng tử và rôtato lượng tử ...................................................................... 87 6.2. Áp dụng thống kê Bose – Enstein để nghiên cứu hệ lượng tử ................................. 90 6.3. Áp dụng thống kê Fecmi – Dirrac để nghiên cứu hệ lượng tử ................................. 93 BÀI TẬP CHƯƠNG 6 ........................................................................................................ 95 PHỤ LỤC ............................................................................................................................ 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 98 2
  4. Bài giảng Vật lí thống kê LỜI NÓI ĐẦU Bài giảng Vật lí thống kê này được biên soạn dành cho sinh viên sư phạm Vật lí, nội dung bài giảng dựa theo giáo trình Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê của Vũ Thanh Khiết. Bài giảng gồm có 6 chương: Chương 1: trình bày sơ lược về đối tượng và phương pháp của Vật lí thống kê Chương 2: trình bày nội dung vật lí của những khái niệm và luận đề cơ bản của Vật lí thống kê, những trạng thái vi mô, vĩ mô, không gian pha… Chương 3: giới thiệu các hàm phân bố dừng, thiết lập phương trình cơ bản của nhiệt động lực học, qua đó nêu lên mối quan hệ chặt chẽ giữa các khái niệm cơ bản của nhiệt động lực học như nhiệt độ, năng lượng tự do, entropi…với hàm phân bố thống kê, thấy rõ được ý nghĩa vật lí sâu sắc của các khái niệm đó. Chương 4: giới thiệu các áp dụng phân bố chính tắc vào việc nghiên cứu các tính chất của hệ thực: khảo sát phương trình trạng thái của khí lí tưởng và khí thực, chứng minh định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do và áp dụng định lí… Chương 5: nêu lên cơ sở của thống kê lượng tử, tìm ra các công thức của thống kê lượng tử: thống kê Bose – Einstein và Fecmi – Dirrac, nêu lên các điều kiện áp dụng thống kê Maxwell – Boltzmann. Chương 6: trình bày áp dụng của thống kê lượng tử để nghiên cứu các hệ thực như hiện tượng ngưng tụ của khí Bose và sự suy biến của khí Fecmi Mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn bài giảng không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, bạn đồng nghiệp và các em sinh viên. Xin chân thành cảm ơn. NGUYỄN THỊ KIỀU THU 3
  5. Bài giảng Vật lí thống kê CHƯƠNG 1. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ – CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1. Đối tượng và phương pháp của vật lý thống kê Cũng như Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê nghiên cứu những hệ bao gồm một số lớn các hạt như nguyên tử, phân tử, ion và các hạt khác mà người ta gọi là hệ nhiều hạt hay hệ vi mô, nhưng bằng phương pháp khác. Nhiệt động lực học nghiên cứu các qui luật tính của chuyển động nhiệt trong các hệ cân bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng, sau đó khái quát hóa các qui luật tính đó cho các hệ không cân bằng. Cơ sở của Nhiệt động lực học là các nguyên lí. Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa của các kinh nghiệm lâu đời của nhân loại và được xác nhận bằng thực nghiệm. Với công cụ giải tích toán học, Nhiệt động lực học rút ra những hệ thức liên hệ giữa những đại lượng đặc trưng cho các tính chất khác nhau của vật chất. Còn Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ. Tóm lại, Vật lý thống kê có hai nhiệm vụ cơ bản: + Tìm các đặc tính vĩ mô của hệ dựa trên các tính chất đã biết của các hạt tạo thành hệ; + Và ngược lại tìm các đặc tính của các hạt cấu thành hệ dựa vào các tính chất vĩ mô của hệ. Hầu hết các vật thể vật lý đều gồm một số lớn các hạt, điều này đặt ra những điều kiện đặc biệt cho phương pháp nghiên cứu các vật thể vật lý. Chúng ta sẽ không theo dõi chuyển động của từng hạt riêng lẻ, mà ta sẽ nghiên cứu các hạt theo qui luật thống kê. Như vậy, lý thuyết phân tử về vật chất chỉ có thể là lý thuyết thống kê. Các qui luật thống kê cho phép ta xác định được trị trung bình của các đại lượng và xác suất của các trị số khả dĩ tùy ý. Do đó, phương pháp của Vật lý thống kê là phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất. 4
  6. Bài giảng Vật lí thống kê Như vậy, Vật lý thống kê là ngành vật lý nghiên cứu các hệ nhiều hạt dùng phương pháp thống kê, hay nói khác đi, Vật lý thống kê hiện đại là lý thuyết thống kê về các hệ nhiều hạt. Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ với Nhiệt động lực học. Khi hệ vĩ mô nằm trong trạng thái cân bằng thì các định luật mà ta thu được trong Vật lý thống kê đối với các đại lượng trung bình là trùng với các định luật của nhiệt động lực học. Vì vậy người ta gọi Vật lý thống kê về các hệ cân bằng là Nhiệt động lực học thống kê. 1.2. Các biến cố ngẫu nhiên và các đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1. Các hiện tượng ngẫu nhiên Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra, xảy ra một cách bất ngờ và chúng ta không biết trước được kết quả của chúng. Ví dụ: + Sự phân rã của hạt nhân nguyên tử; + Sự bức xạ của photon từ nguyên tử; + Sự bùng nổ trên Mặt trời, vụ nổ của sao, sự va chạm của các phân tử… Mỗi hiện tượng ngẫu nhiên đều được gây ra bởi một hay nhiều nguyên nhân nào đó. Tuy nhiên chúng ta không thể luôn luôn theo dõi được những nguyên nhân đã đưa đến hiện tượng đó. Vì vậy đối với chúng ta những hiện tượng đó là ngẫu nhiên, mặc dù sự thực là chúng do những nguyên nhân nào đó gây ra. 1.1.2. Các biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên là khái niệm rộng hơn hiện tượng ngẫu nhiên hiểu theo cách thông thường. Theo nghĩa thông thường, biến cố ngẫu nhiên là sự biểu hiện của dấu hiệu này hay dấu hiệu khác, bao gồm tính chất (hoặc đặc tính) này hay tính chất khác của một quá trình, hay của một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó. Ví dụ: Hiện tượng ngẫu nhiên về sự va chạm của các phân tử là một biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên là việc một phân tử nào đó có một vận tốc xác định hoặc 5
  7. Bài giảng Vật lí thống kê là có phương chuyển động xác định; là số phân tử trong một đơn vị thể tích và năng lượng của chúng… Khi nói đến biến cố ngẫu nhiên chúng ta không nên cho rằng chúng không do nguyên nhân nào gây ra cả và không phụ thuộc vào cái gì cả. Biến cố ngẫu nhiên được xuất hiện là kết quả tác dụng của một số lớn nguyên nhân tồn tại trong thực tế. Tính chất ngẫu nhiên của biến cố đó là một phạm trù khách quan, không phụ thuộc vào sự hiểu biết hay không hiểu biết của chúng ta về nguyên nhân gây ra chúng. Ta có thể phân loại biến cố ngẫu nhiên thành hai loại là biến cố xảy ra một lần và biến cố lặp lại. Biến cố xảy ra một lần (biến cố riêng lẻ) là những biến cố, hoặc là, về nguyên tắc chúng chỉ xảy ra một lần, hoặc là, những biến cố mà đối với ta hình như chúng chỉ xảy ra một lần do ta khảo sát chúng trong phạm vi không gian nhỏ hoặc thời gian nhỏ. Thí dụ: * Sau một khoảng thời gian ngắn (thời gian khảo sát), nguyên tử chỉ có thể phát ra một photon. * Việc hạt sơ cấp đi qua buồng Uyn – sơn (Wilson) có thể là hiện tượng duy nhất do thể tích buồng nhỏ và thời gian phát sáng là ngắn. Đối với biến cố riêng lẻ thì ta khó đoán trước vị trí và thời gian nó xảy ra. Biến cố lặp lại là những biến cố xảy ra nhiều lần hoặc xảy ra với những đối tượng tương tự khi ta quan sát chúng trong phạm vi không gian lớn và trong thời gian dài. Ví dụ: * Sự cháy sáng của các sao mới trong thiên hà, sự phân rã của hạt nhân nguyên tử urani, sự phát quang của chất khí… * Cùng một phân tử khí trong một khoảng thời gian dài có thể va chạm nhiều lần với thành bình…Những biến cố như vậy gọi là biến cố đồng loạt hay biến cố đồng nhất. Thí nghiệm chứng tỏ rằng biến cố đồng nhất được đặc trưng bởi những qui tắc và qui luật riêng của chúng. Những qui luật tính chỉ biểu hiện đối với một số lớn các biến cố đồng nhất thì được gọi là qui luật thống kê. Việc nghiên cứu các qui luật này chính là đối tượng nghiên cứu của lý thuyết xác suất và bất kì lý thuyết thống 6
  8. Bài giảng Vật lí thống kê kê nào. Đối với biến cố đồng loạt, đồng nhất và lặp lại, người ta có thể đưa vào khái niệm xác suất xuất hiện của chúng. 1.1.3. Các đại lượng ngẫu nhiên Việc một thông số nào đó có một giá trị xác định, có thể coi là một biến cố ngẫu nhiên. Những đại lượng, mà trị số của chúng phụ thuộc vào trường hợp ngẫu nhiên được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên. Thí dụ: Xét đại lượng vận tốc của phân tử trong chất khí * Biến cố ngẫu nhiên thể hiện ở chỗ: một phân tử nhất định có vận tốc đã cho. Thực vậy, giá trị vận tốc của phân tử trong chất khí phụ thuộc vào sự va chạm của phân tử này với phân tử khác hoặc với thành bình. * Đối với mỗi phân tử, các va chạm đó là ngẫu nhiên. Và trong các va chạm ngẫu nhiên đó, vận tốc cũng sẽ biến đổi một cách ngẫu nhiên, cho nên vận tốc là một đại lượng ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận những giá trị gián đoạn hay liên tục. Một số đại lượng ngẫu nhiên có thể có những giá trị liên tục cũng như gián đoạn. Thí dụ: + Mômen động lượng chỉ nhận những giá trị gián đoạn; + Vận tốc của phân tử khí có thể nhận vô số những giá trị từ không đến vô cực (liên tục). + Năng lượng electron trong nguyên tử chỉ có thể có các trị số gián đoạn, còn năng lượng của electron đó trong trạng thái tự do thì có thể có trị số bất kì, có nghĩa là nó biến đổi liên tục. Nếu x là một đại lượng ngẫu nhiên thì hàm bất kì  (x) cũng sẽ là một đại lượng ngẫu nhiên. Thí dụ: Nếu vận tốc v của phân tử là đại lượng ngẫu nhiên thì động năng Wđ 1 cũng là một đại lượng ngẫu nhiên vì động năng là hàm của vận tốc: Wđ  mv 2 2 Lý thuyết xác suất, về căn bản nghiên cứu không phải là chính các biến cố ngẫu nhiên, mà lại nghiên cứu chính các đại lượng ngẫu nhiên tương ứng với chúng. 7
  9. Bài giảng Vật lí thống kê Để nghiên cứu các đại lượng ngẫu nhiên cần phải biết các giá trị khả dĩ của nó và biết xác suất của mỗi giá trị đó, có nghĩa là cần phải nghiên cứu các định luật phân bố, hoăc đơn giản hơn là nghiên cứu sự phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên. 1.3. Khái niệm xác suất 1.3.1. Xác suất của biến cố 1.3.1.1. Định nghĩa toán học Xác suất của biến cố là giới hạn của tỉ số của số lần ni của biến cố đó xảy ra trong tổng cộng N lần thử (biến cố thuận lợi) chia cho số biến cố tổng cộng. ni Wi  lim . (1.1) N  N 1.3.1.2. Định nghĩa trong vật lí Trong vật lí, các đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên theo thời gian nên xác suất của một trạng thái nào đó của hệ có thể xác định được theo công thức: t Wi  lim ; (1.2) T  T trong đó t là thời gian lưu lại của hệ trong trạng thái đã cho, T là thời gian quan sát tổng cộng. 1.3.2. Hàm phân bố 1.3.2.1. Định nghĩa Đối với các đại lượng ngẫu nhiên có trị số khác nhau (trị số biến đổi một cách gián đoạn) thì biến cố ngẫu nhiên là những trường hợp trong đó các đại lượng ngẫu nhiên có một trong các trị số đó, và xác suất biến cố trong trường hợp này là xác suất xác định. Đối với các đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục thì xác suất riêng biệt trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trị số xác định nào đó là bằng không. Vì vây, sẽ chỉ có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có trị số phân bố trong một khoảng nào đó từ x đến x  dx Gọi xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng x là W (x) , khi xét trong khoảng vô cùng nhỏ dx là dW(x) 8
  10. Bài giảng Vật lí thống kê Xác suất dW(x) sao cho đại lượng ngẫu nhiên có thể có trị số nằm trong khoảng từ x đến x  dx sẽ: - phụ thuộc vào chính số x đó, nghĩa là nó là một hàm f(x); - tỉ lệ với chiều rộng khoảng dx.  dW(x) = f(x)dx; (1.3) f(x) được gọi là hàm phân bố xác suất, nó cho biết xác suất trên cùng một khoảng dx được phân bố phụ thuộc vào chính đại lượng x như thế nào. Ứng với một đơn vị chiều rộng của khoảng biến thiên thì dW(x) = f(x)dx, vì vậy f(x) còn gọi là mật độ xác suất. dW(x) hay f(x)  . (1.4) dx 1.3.2.2. Đồ thị biễu diễn hàm phân bố Theo công thức (1.3), xác suất f(x) dW(x) được xác định bằng diện tích của phân kẻ gạch có đáy là dx. Trị số của đại lượng ngẫu nhiên x tương ứng với cực đại của hàm gọi là trị dW(x) số có xác suất lớn nhất hay trị số cái x nhiên nhất. dx Hình 1.1.Đồ thị của một hàm phân bố bất kỳ 1.4. Các tính chất của xác suất. Công thức cộng và nhân xác suất 1.4.1. Các tính chất của xác suất Theo định nghĩa (1.1), ta suy ra 0  W  1 vì 0  n i  N Vậy xác suất là một đại lượng không thứ nguyên, là một số không âm cũng không thể lớn hơn 1, nó được biểu thị bằng một phân số, bằng không, hoặc bằng 1. Nếu W = 1  bất cứ phép thử nào cũng là phép thử thuận lợi với biến cố đã cho biến cố chắc chắn. Thí dụ khi ta gieo con xúc xắc thì việc gieo trúng một trong các số 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 là một biến cố chắc chắn. Nếu W = 0  biến cố đó gọi là biến cố không thể có. 9
  11. Bài giảng Vật lí thống kê 1.4.2. Định lí cộng xác suất 1.4.2.1. Định lí Giả sử có hai biến cố A và B không thể xảy ra đồng thời (hai biến cố xung khắc). Xác suất để biến cố A hoặc biến cố B xảy ra (biến cố phức tạp) là: nA  nB W(A hoăo B)  lim ; N N trong đó, N là tổng cộng các phép thử còn nA, nB là số lần xảy ra các biến cố A và B tương ứng. nA n Theo định nghĩa xác suất (1.1): W (A)  lim ; W (B)  lim B N  N N   N Nên W(A hoặc B) = W(A) + W(B) (1.5) Mở rộng: W(A hoặc B hoặc C,…hoặc K) = W (A) + W(B) + …+W(K). Trong trường hợp hàm phân bố liên tục (đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục) thì: dW(x1 hoặc x2) = dW(x1) + dW(x2) = f(x1)dx1 + f(x2)dx2; trong đó, dW(x1) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ x 1 đến x1+dx1, còn dW(x2) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ x2 đến dx2. Lúc đó, theo định lí cộng xác suất thì xác suất của biến cố sao cho một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có một trong các trị số nằm trong khoảng từ x1 đến x2 là: x2 W (x1 đến x2)   ΔW(x i )   dW(x) (1.6) i x1 1.4.2.2. Hệ quả a. Khái niệm về hệ đủ các biến cố Nếu các biến cố A, B, C, …tạo thành một hệ đủ thì W(A) + W(B) +…+… = 1 (1.7) 10
  12. Bài giảng Vật lí thống kê Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hệ đủ các biến cố có thể có bất kì trị số nào trong toàn bộ khoảng biến thiên của đại lượng từ -  đến +  . Và xác suất tìm một đại lượng ngẫu nhiên trong toàn bộ các giá trị khả dĩ của nó là một biến cố chắc chắn. Vì vậy:    dW(x)   f(x)dx 1   (1.8) Biểu thức (1.8) được gọi là điều kiện chuẩn hóa của hàm phân bố. b. Nếu hai biến cố xung khắc A và B tạo thành hệ đủ các biến cố thì biến cố A là đối lập (xung đối) với biến cố B. Xác suất của bất kì biến cố nào cũng có thể xác định theo xác suất của biến cố đối lập theo công thức: W(A)  1  W(B) (1.9) 1.4.3. Định lí nhân xác suất Trong trường hợp một biến cố phức tạp nào đó chỉ xảy ra với điều kiện là có biến cố khác xảy ra thì xác suất của biến cố phức tạp đó gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện xảy ra biến cố A với điều kiện có B xảy ra được xác định theo công thức: W (A với điều kiện có B) = W(A).W(B) Tương tự như vậy, xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đồng thời xảy ra hai biến cố độc lập A và B cũng được xác định là tích của các xác suất W(A) và W(B) của các biến cố độc lập: W (A và B) = W(A).W(B) Mở rộng cho trường hợp có nhiều biến cố độc lập W (A và B, và C…, và K) = W(A).W(B). W(C)…W(K) (1.10) Trong trường hợp các đại lượng liên tục x và y là độc lập thì xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đại lượng ngẫu nhiên x có trị số trong khoảng x đến x + dx và đồng thời đại lượng ngẫu nhiên y có trị số trong khoảng y + dy sẽ được xác định bằng tích các xác suất: dW(x, y) = dW(x).dW(y) = f(x)dxf(y)dy = f(x)f(y)dxdy (1.11) 11
  13. Bài giảng Vật lí thống kê Tích hai hàm f(x)f(y) có thể xem như hàm phân bố của hai đại lượng ngẫu nhiên. 1.5. Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên 1.5.1. Trị trung bình 1.5.1.1. Định nghĩa Xét đại lượng ngẫu nhiên x có: - Trị số x1 xuất hiện n1 lần trong N lần thử, nghĩa là x có trị số x1 với xác suất W1; - Trị số x2 xuất hiện n2 lần trong N lần thử, nghĩa là x có trị số x2 với xác suất W2;… - Trị số xk xuất hiện nk lần trong N lần thử, nghĩa là x có trị số xk với xác suất Wk. Khi đó tổng các trị số của đại lượng ngẫu nhiên trong N lần thử là: x1n1 + x2n2 +…+ xknk Trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên x được xác định: x 1n 1  x 2 n 2  ...x k n k x (1.12) N Khi N tăng lên thì trị trung bình của đại lượng x sẽ dần tiến tới giới hạn xác định a và khi N càng lớn thì càng gần a: n1 n n a  lim x  x 1 lim  x 2 lim 2  ....  x k lim k N  N  N N  N N  N k  x 1 W1  x 2 W2  ...  x k Wk   x i Wi (1.13) i 1 Đẳng thức này biểu thị số lớn hay định lí Chêbưxep nói rằng: trị trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên sẽ dần tới một số không đổi khi số phép đo (thử) là rất lớn. Trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên x biến thiên liên tục thì:  x  xf(x)dx  (1.14) 1.5.1.2. Tính chất 12
  14. Bài giảng Vật lí thống kê ̅ = A = const; a. Trị trung bình của một đại lượng không đổi là chính nó: A b. Trị trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên là môt đại lượng không đổi: x̅ = const; c. Trị trung bình của tổng các đại lượng ngẫu nhiên bằng tổng trị trung bình của các đại lượng đó: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ x + y + z = x̅ + y̅ + z̅; (1.15) d. Trị trung bình của tích các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các trị trung bình của các đại lượng đó: ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ . . t̅; xyz. . t = x̅y̅z. (1.16) e. Trị toàn phương trung bình của đại lượng ngẫu nhiên - Đối với các đại lượng có trị số gián đoạn: k x 2   x i2 Wi . (1.17) i 1 - Đối với các đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục:  x2   x f(x)dx . 2 (1.18)  Trị toàn phương trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên luôn luôn dương. f. Trị trung bình của một hàm tùy ý F(x) của đại lượng ngẫu nhiên x Gọi F(x) là hàm của đại lượng ngẫu nhiên x Trong trường hợp phân bố gián đoạn: k F   F(x i )Wi . (1.19) i 1 Trong trường hợp phân bố liên tục:   F  F(x)dW(x)    F(x)f(x)d(x) .  (1.20) 1.5.2. Độ lệch so với trị trung bình – Phương sai – Độ thăng giáng Độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình cho biết sự phân bố của đại lượng ngẫu nhiên ở gần trị trung bình của nó trong trường hợp trị trung bình và trị toàn phương trung bình chưa đủ để đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên. Độ lệch so với trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên: 13
  15. Bài giảng Vật lí thống kê Δx1  (x1  x), Δx 2  (x 2  x),..., Δx k  (x k  x) . Trị trung bình của độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình của nó: x  0 Thật vậy: Δx  (x1  x)W1  ( x 2  x)W2  ...  (x k  x)Wk  x1W1  x 2 W2  ...  x k Wk  x(W1  W2  ...  Wk )  x  x.1  0 . hoặc Δx   (x  x)f(x)dx   xf(x)dx  x  f(x)dx  x  x.1  0 . Vì trị trung bình của độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình bằng không nên để đặc trưng cho sự phân bố của đại lượng ngẫu nhiên ở gần trị trung bình của nó, người ta thường sử dụng độ lệch quân phương hay trị trung bình của bình phương độ lệch, gọi là phương sai. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo công thức: k (x) 2   (x i - x ) 2 Wi ; i 1 và (x) 2   (x - x ) 2 f(x)dx 2 Ta có: x 2  ( x  x )2  x 2  x Độ thăng giáng là độ lệch quân phương của đại lượng ngẫu nhiên k  (x  (x  x) f(x)dx 2 Δx 2  i  x ) 2 Wi và Δx 2  i 1 Độ thăng giáng tương đối: x 2  (1.21) x Như vậy nếu biết được định luật phân bố của đại lượng ngẫu nhiên, ta có thể xác định được tất cả các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên: trị trung bình, trị toàn phương trung bình, trị trung bình của hàm tùy ý của đại lượng ngẫu nhiên, phương sai, độ thăng giáng. 14
  16. Bài giảng Vật lí thống kê Vì vậy, một trong những nhiệm vụ cơ bản của Vật lí thống kê là tìm các định luật cũng như hàm phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên và của các thông số trong các hệ vật lí khác nhau. 1.6. Các ví dụ về các định luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên 1.6.1. Phân bố đều của đại lượng gián đoạn Nếu xác suất của các trị số bất kì của đại lượng ngẫu nhiên là như nhau thì chúng ta sẽ có định luật phân bố đều. Lúc này, xác suất của một trị số bất kì là: 1 W ; (1.22) N với N là số các trị số khả hữu của đại lượng ngẫu nhiên. 1.6.2. Phân bố Poatxông (Poisson) Đại lượng ngẫu nhiên x nhận các trị số gián đoạn là các số nguyên từ không đến vô cực, cũng có thể tuân theo định luật phân bố Poatxông được viết dưới dạng: a x a W(x)  e ; x! (1.23) trong đó a là hằng số và có giá trị bằng trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đó: xa Ví dụ: số phân tử trong một thể khí đã cho, lượng hạt bay hơi sau một khoảng thời gian… thỏa mãn định luật phân bố Poatxông. 1.6.3. Phân bố đều của đại lượng liên tục Hàm phân bố được biểu diễn trên hình 1.2 và có dạng giải tích như sau: const  c; a  x  b f(x)   0; x  a, x  b f(x) 0 a b x Hình 1.2 15
  17. Bài giảng Vật lí thống kê Từ điều kiện chuẩn hóa của hàm phân bố: b b  f(x)dx  c dx  c(b  a)  1. a a 1 suy ra c  . (b  a) Vậy hàm phân bố đều đã chuẩn hóa được viết như sau:  1  ;a  x  b f(x)   b - a . (1.24) 0; x  a, x  b Xác suất tìm trị số của đại lượng ngẫu nhiên x trong khoảng từ x đến x + dx: dx dW(x)  . (chỉ phụ thuộc vào chiều rộng dx) b-a 1.6.4. Phân bố có dạng hàm mũ Ví dụ: Phân rã phóng xạ: khối lượng, số phân tử, độ phóng xạ… Sự thay đổi của số phân tử theo độ cao… Phân bố có dạng biểu diễn trên hình 1.3 và có biểu thức giải tích như sau: f(x)  conste αx ; 0  x   . (1.26) f(x ) 0 x Hình 1.3   Theo điều kiện chuẩn hóa:  f(x)dx  const e -x dx 1 ; 0 0  1 với  e -x dx  . Suy ra: const  α 0  16
  18. Bài giảng Vật lí thống kê αe -x ; 0  x   Vậy f(x)   (1.27) 0; -  x  0 Xác suất tìm đại lượng ngẫu nhiên x trong dx: dW(x)  αe -x dx (1.28) 1.6.5. Phân bố Gauss Ta thường gặp hàm phân bố Gauss trong phân bố của hình chiếu vận tốc của chất khí, trong lí thuyết thăng giáng, trong chuyển động Baonơ… Hàm phân bố Gauss có dạng: f(x)  const.e -x dx; 2 (1.29) với    x   Dạng đồ thị của hàm phân bố được biểu diễn trên hình 1.4 f(x) 0 x Hình 1.4    f(x)dx  const  e -x 2 Theo điều kiện chuẩn hóa: dx 1 ; - -   với  e-x dx  2 . -   Suy ra: const  .   -x 2 và f(x)  .e dx; với    x   . (1.30)  1.6.6. Hàm Denta 17
  19. Bài giảng Vật lí thống kê Hàm Denta được kí hiệu là δ(x  x 0 ) là một hàm suy rộng do Dirăc nêu ra. Nó được xác định bởi các điều kiện sau: 0; x  x0  δ(x  x 0 )   . (1.31) 1; x  x0    δ(x  x - 0 )dx  1 (1.32)  và  F(x)δ(x  x - 0 )dx  F(x 0 ) (1.33) Dạng hình học của hàm δ(x  x 0 ) không xác định, nó có thể biểu diễn bởi một đường cong bất kì có chiều rộng vô cùng nhỏ và chiều cao vô cùng lớn sao cho diện tích của nó bằng đơn vị (hình 1.5). f(x) δ(x-x0 ) 0 x x0 Hình 1.5 Hàm δ(x  x 0 ) cho phép biểu diễn mật độ xác suất trong trường hợp đại lượng x có một trị số là x0. Thật vậy, mật độ xác suất để x có trị số bằng x0 được xác định: dW(x) f(x)  . dx - Đối với khoảng dx không chứa x0 thì dW(x) = 0, do đó f(x) = 0. - Đối với khoảng dx vô cùng nhỏ bất kì có chứa điểm x0 thì xác suất sẽ bằng đơn vị và do đó hàm f(x) sẽ có trị số vô cùng lớn. Như vậy, mật độ xác suất tức là hàm phân bố đối với một đại lượng có trị số xác định x0 là hàm Denta: f(x)  δ(x  x 0 ) . 18
  20. Bài giảng Vật lí thống kê Các hàm phân bố trên đều rất hay gặp trong vật lí thống kê. Chúng đều có thứ nguyên nghịch đảo với thứ nguyên của đại lượng ngẫu nhiên. 1.7. Hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên Trong nhiều trường hợp, ta thường gặp những biến cố bao gồm nhiều đại lượng ngẫu nhiên hoặc khảo sát những đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều (là đại lượng ngẫu nhiên mà thành phần của chúng được phân bố trong không gian nhiều chiều). Để thuận tiện, ta gọi các đại lượng ngẫu nhiên riêng lẻ trong biến cố chung hoặc thành phần của đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều là các đại lượng ngẫu nhiên thành phần, còn hàm phân bố được gọi là hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên hay là hàm phân bố cho một đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều. Xác xuất của một biến cố trong đó đại lượng ngẫu nhiên x có trị số trong khoảng x đến x + dx và đại lượng ngẫu nhiên y có trị số trong khoảng từ y đến y + dy là: dW(x, y)  dW(x).dW(y)  f(x).f(y).dx.dy . Ta thấy rằng tích f(x).f(y) có ý nghĩa là hàm phân bố đối với hai đại lượng ngẫu nhiên f(x,y), tức là mật độ xác suất hai chiều. dW(x, y) f(x, y)  f(x).f(y)  . (1.34) dx.dy Tương tự, đối với n đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì hàm phân bố nhiều chiều sẽ có dạng: dW(x, y,...t) f(x, y,...,t)  f(x).f(y)...f(t)  . (1.35) dx.dy...dt a. Gọi F là hàm của các đại lượng ngẫu nhiên nào đó F(x,y,…,t) thì: F    ... F(x, y,...t)f(x, y, ...t)dxdy...dt. (1.36) Từ hàm phân bố của ba đại lượng ngẫu nhiên ta có thể suy ra hàm phân bố của hai đại lương ngẫu nhiên hay hàm phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên: f(x, y)   f(x, y, z)dz f(x)   f(x, y)dy f(x)   f(x, y).dy    f(x, y, z)dz.dy. 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2