Bài giảng Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên: Phần 1 - TS. Tô Văn Ban

Chia sẻ: Lê Bảo Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

0
167
lượt xem
58
download

Bài giảng Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên: Phần 1 - TS. Tô Văn Ban

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên gồm 2 phần, ở phần 1 nói về lý thuyết xác suất thống kê. Phần này gồm 2 chương, trong đó chương 1 cung cấp cho người đọc các kiến thức bổ sung về xác suất. Chương 2 trình bày các khái niệm, nội dung và công thức của xác suất ngẫu nhiên. Kiến thức trong phần này được trình bày cô đọng, rõ ràng và dễ hiểu, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt và áp dụng trong việc tính toán những bài toán về xác suất thống kê.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên: Phần 1 - TS. Tô Văn Ban

  1. Ts t« v¨n ban Bµi gi¶ng X¸c suÊt thèng kª Vµ Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn (Dành cho các lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS) PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07 (Ch−a hoµn thiÖn) Hµ néi - 2005 - 2006 - 2007 http://www.ebook.edu.vn
  2. M ỤC L ỤC PhÇn –Ch−¬ng Néi dung trang Môc lôc 2 Lêi nãi ®Çu 5 C¸c ký hiÖu hay sö dông 7 PhÇn I X¸c suÊt Thèng kª 9 Ch−¬ng I KiÕn thøc bæ sung vÒ x¸c suÊt 9 §1.1. C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng 9 §1.1. BiÕn nhÉu nhiªn chuÈn 8 §1.2. VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 11 §1.3. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c 17 C©u hái vµ bµi tËp Ch−¬ng I 20 Ch−¬ng II Ch−¬ng III §3.5.Sù héi tô cña d·y c¸c BNN 23 3.5.1. C¸c d¹ng héi tô 23 3.5.2. C¸c ®Þnh lý giíi h¹n 25 Ch−¬ng IV Lý thuyÕt −íc l−îng PhÇn II Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 32 Ch−¬ng V Nh÷ng kh¸i niÖm tæng qu¸t 32 §5.1. Më ®Çu 32 5.1.1. C¸c ®Þnh nghÜa 32 5.1.2. Ph©n lo¹i s¬ bé 33 5.1.3. VÝ dô vÒ QTNN 34 5.1.4. Hä c¸c ph©n bè h÷u h¹n chiÒu 35 §5.2. Mét sè líp c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 36 5.2.1. Qu¸ tr×nh cÊp II 36 5.2.2. Qu¸ tr×nh sè gia ®éc lËp 38 5.2.3. Qu¸ tr×nh dõng (QT dõng theo nghÜa hÑp, dõng 39 theo nghÜa réng, dõng ®ång thêi) 5.2.4. Qu¸ tr×nh Gauss 45 §5.3.TÝnh chÊt ergodic vµ trung b×nh thêi gian 46 2 http://www.ebook.edu.vn
  3. 5.3.1. Giíi thiÖu 46 5.3.2. Ergodic kú väng 47 5.3.3. Ergodic ph−¬ng sai, tù hiÖp ph−¬ngsai, PS chÐo 50 5.3.4. C¸c lo¹i ergodic kh¸c 54 5.3.5. §o hµm t−¬ng quan 55 §5.4.Liªn tôc, ®¹o hµm, tÝch ph©n 57 5.4.1. Liªn tôc (theo x¸c suÊt, theo trung b×nh) 57 5.4.2. §¹o hµm (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh) 59 5.4.3. TÝch ph©n (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh) 61 §5.5.Hai QTNN quan träng 65 5.5.1. QT Poisson (®Þnh nghÜa, x¸c suÊt ®ång thêi n 65 chiÒu, hµm tù t−¬ng quan, d·y thêi ®iÓm ®Õn, x¸c ®Þnh c−êng ®é dßng ®Õn, c¸c biÕn thÓ, nhiÔu b¾n, sinh c¸c quü ®¹o) 75 5.5.2. QT Wiener (®. nghÜa, c¸c tÝnh chÊt, sinh quü ®¹o) 74 5.5.3. Giíi thiÖu vÒ c¸c QTNN kh¸c 77 §5.6. Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn phøc 77 C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp ch−¬ng V 79 Ch−¬ng VI Xö lý c¸c QTNN 86 §6.1.MËt ®é phæ c«ng suÊt 86 6.1.1. VÊn ®Ò nghiªn cøu QTNN trong miÒn tÇn sè 86 6.1.2. MËt ®é phæ c«ng suÊt 89 6.1.3. MËt ®é phæ c«ng suÊt chÐo 93 6.1.4. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho QT thùc kh«ng dõng 95 6.1.5. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho d·y ngÉu nhiªn 97 6.1.6. Mét sè m« h×nh nhiÔu (nhiÔu tr¾ng, nhiÔu nhiÖt, 99 nhiÔu tr¾ng th«ng d¶i, nhiÔu mµu, nhiÔu b¾n) 6.1.7. Phæ c«ng suÊt cña QTNN phøc 103 (VÝ dô: Phæ v¹ch, hiÖu øng Doppler) §6.2.C¨n b¶n vÒ hÖ tuyÕn tÝnh 107 6.2.1. HÖ tuyÕn tÝnh tæng qu¸t 107 6.2.2. HÖ tuyÕn tÝnh bÊt biÕn theo thêi gian 109 6.2.3. HÖ nh©n qu¶ vµ hÖ æn ®Þnh 112 3 http://www.ebook.edu.vn
  4. 6.2.4. Tr−êng hîp hÖ rêi r¹c 113 §6.3. HÖ tuyÕn tÝnh víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn 115 6.3.1. VÊn ®Ò ®Çu ra 115 6.3.2. C¸c ®Æc tr−ng x¸c suÊt cña QT ®Çu ra 117 6.3.3. §¸p øng hÖ LTI rêi r¹c víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn 120 6.3.4. C¸c vÝ dô (HÖ lý tưëng, Läc bËc nhÊt, Trung b×nh 122 trưît, Phæ cña QT ®¹o hµm) §6.4. Qu¸ tr×nh tù håi quy – trung b×nh ®éng 124 6.4.1. Qu¸ tr×nh tù håi quy AR 124 4.4.2. Qu¸ tr×nh trung b×nh ®éng MA 128 6.4.3. Qu¸ tr×nh ARMA 130 §6.5. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i vµ ®iÒu chÕ 133 6.5.1. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i 133 6.5.2. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu biªn AM 138 6.5.3. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu tÇn FM 142 §6.6. Läc phèi hîp 147 6.6.1. Tr−êng hîp tæng qu¸t 147 6.6.2. Läc phèi hîp cho nhiÔu mµu 148 6.6.3. Läc phèi hîp cho nhiÔu tr¾ng 149 §6.7. ¦íc l−îng tuyÕn tÝnh tèi −u 151 6.7.1. §Æt bµi to¸n 151 6.7.2. Bµi to¸n lµ tr¬n – Läc Wiener bÊt kh¶ thi 153 6.7.3. Läc Wiener kh¶ thi 155 C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp Ch−¬ng VI 159 Chư¬ng VII Qu¸ tr×nh Markov ⎧ • XÝch Markov (dù tr÷) ⎨ ⎩ • Qu¸ tr×nh Markov víi thêi gian liªn tôc PhÇn III Phô lôc A - Các bảng thống kê Phô lôc B - PhÐp biÕn ®æi Fourier 171 B¶ng B-1 TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Fourier 171 B¶ng B-2. CÆp phÐp biÕn ®æi Fourier 172 Tµi liÖu tham kh¶o 173 4 http://www.ebook.edu.vn
  5. Ch−¬ng 1. kiÕn thøc bæ Sung vÒ x¸c suÊt §1.1.C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng 1.1.1.BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c Tªn KÝ hiÖu X¸c suÊt P {X = k} K× väng Ph−¬ng sai NhÞ thøc B(n,p) Ck p k (1 − p) n −k ; k = 0,1,..., n n np np(1-p) λ k e −λ Poisson P( λ ) ; k = 0,1,... λ λ k! 1− p 1− p k H×nh häc G(p) p(1-p) ; k=0,1,2,... p p2 Siªu h×nh Ck Cn −kNp Np N − H(N,n,p) ; k = 0,1,..., n ........ ......... häc Cn N C¸c luËt ph©n bè rêi r¹c kh¸c: ®Òu rêi r¹c, nhÞ thøc ©m,... 1.1.2BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc Tªn KÝ hiÖu MËt ®é K× väng Ph−¬ng sai 1 a+b (b − a) 2 §Òu U([a;b]) ; a≤x≤b b−a 2 12 Mò E( λ ) λ e − xλ ; λ ,x>0 1/ λ 1/ λ 2 C (α, β) Kh«ng tån Cauchy β /[π(β2 + (x − α ) 2 )] Kh«ng tån t¹i t¹i 1 ⎧ (x − m) 2 ⎫ ⎪ ⎪ ChuÈn N(m, σ 2 ) exp ⎨− 2 ⎬ (σ > 0) m σ2 2πσ 2 ⎪ ⎩ 2σ ⎪ ⎭ λ r r Gamma Γ(r, λ) (λx) r −1 e −λx ; λ, r, x > 0 Γ(r) λ λ2 Khi b×nh n x n −1 − ph−¬ng χ 2 (n) x 2 e 2 /(2 2 Γ(n / 2); x > 0, n = 1, 2,... n 2n Γ((n + 1) / 2)) x2 n Student T(n) (1 + ) −(n +1) / 2 0 nπΓ(n / 2) n n−2 Fisher- n −2 n+m F(n,m) − .......... .......... Snecdecor Bx 2 (m + nx) 2 ; m, n, x > 0 1 − W( α, λ ) λ−1 −αx λ α λ Γ(1 + 1/ λ ) Weibul αλx e ; α, λ , x > 0 .......... LN(m, σ2 ) 1 ⎧ (ln x − m) 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ σ2 ⎫ ⎪ L«ga chuÈn x −1 exp ⎨− ⎬ ; σ, x > 0 exp ⎨m + ⎬ …… 2πσ 2 ⎪ ⎩ 2σ 2 ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎭ 2 2 πb 4−π Rayleigh (x − a)e− (x −a) / b , x ≥ a a+ b b 4 4 http://www.ebook.edu.vn
  6. ∞ L−u ý: Γ(u) = ∫o t u −1e− t dt víi u>0 – hµm Gamma. TÝnh chÊt: Γ(u + 1) = uΓ(u) ; Γ(n) = (n − 1)! ; Γ(1/ 2) = π . C¸c luËt ph©n bè liªn tôc kh¸c: Bª ta, tam gi¸c,... BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn rÊt quan träng ta dµnh ra 1 phÇn riªng. §.1.2. BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn 1 ⎧ (x − m) 2 ⎫ ⎪ ⎪ 1.2.1.TÝnh chÊt hµm mËt ®é . f(x) = exp ⎨ − ⎬ (σ > 0) 2πσ 2 ⎪ ⎩ 2σ 2 ⎪ ⎭ +Hµm mËt ®é x¸c ®Þnh trªn ¡ ; +f(x) > 0: §å thÞ n»m trªn trôc hoµnh; +Trôc Ox lµ tiÖm cËn ngang; 1 +Gi¸ trÞ cùc ®¹i , ®¹t ®−îc t¹i x = m; 2 2πσ +§å thÞ ®èi xøng qua ®−êng th¼ng x=m, cã d¹ng h×nh chu«ng (H×nh 1.1). 1 2πσ2 O m x H×nh 1.1. §å thÞ hµm mËt ®é cña ph©n bè chuÈn. ⎧E[X] = m; ⎪ 1.2.2.C¸c tham sè ®Æc tr−ng ⎨ (1.1) ⎪ ⎩ D[X] = σ2 . Nh− vËy nhËn thÊy r»ng, chØ cÇn biÕt k× väng vµ ph−¬ng sai lµ cã thÓ biÕt mËt ®é f(x) vµ do ®ã hoµn toµn biÕt vÒ ph©n bè chuÈn. Cßn cã thÓ tÝnh ®−îc E[(X − EX)3 ] +§é chÖch Skew(X) = = 0; σ3 E[(X − EX) 4 ] +§é nhän Kurt(X) = - 3 = 0. (1.2) σ4 1.2. 3.Bnn chuÈn ho¸ (chuÈn t¾c). X ®−îc gäi lµ biÕn nn chuÈn t¾c nÕu X ∼ N(0,1).Hµm mËt ®é cña nã cho bëi http://www.ebook.edu.vn 8
  7. x2 1 − ϕ(x) = e . 2 (1.3) 2π §Æc ®iÓm : -Gi¸ trÞ cña ϕ(x) ®−îc lËp b¶ng víi x∈ {0;4]; -§å thÞ ®èi xøng qua trôc tung; -Hµm ph©n bè t−¬ng øng x t2 1 − F(x) = ∫e 2 dt (1,4) 2π −∞ còng ®−îc lËp b¶ng. Tuy nhiªn, ®Ó tiÕt kiÖm b¶ng, thay cho F(x), ng−êi ta lËp b¶ng gi¸ trÞ cña hµm Laplace: 2 x −t 1 Φ (x) = ∫e 2 dt, x∈ [0; 3]. (1.5) 2π 0 1 Víi x > 3, coi Φ (x) ≈ . 2 H×nh 1.2. §å thÞ hµm mËt ®é chuÈn ho¸ (a) vµ ®å thÞ hµm Laplace (b). Khi cÇn tÝnh F(x) qua Φ (x) hay ng−îc l¹i, dïng c«ng thøc : 1 F(x) = + Φ (x). (1,6) 2 C«ng thøc sau rÊt cã Ých ®Ó tÝnh x¸c suÊt X n»m trªn ®o¹n nµo ®ã: P {X ∈ [ a;b ]} = Φ (b) − Φ (a). (1,7) 1.2.4.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh bnn chuÈn. +Cho X ∼ N(m, σ2 ) ⇒ ∀a, b ∈ ¡ , Y= a X+b cã ph©n bè chuÈn. Tõ ®ã dÔ thÊy aX+b ∼ N(am+b, a 2 σ2 ). X−m +HÖ qu¶. X∼ N(m, σ2 ) ⇒ U = ∼ N(0,1). (1.8) σ http://www.ebook.edu.vn 9
  8. HÖ qu¶ nµy cho ta ph−¬ng ph¸p thuËn lîi ®Ó tÝnh P {X ∈[a;b]} : ⎧a − m X − m b − m ⎫ b−m a−m P {X ∈ [ a;b ]} =P ⎨ ≤ ≤ ⎬ = Φ( ) − Φ( ). (1.9) ⎩ σ σ σ ⎭ σ σ 1.2.5.Ph©n vÞ .Ph©n vÞ chuÈn møc α , kÝ hiÖu U α , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh bëi 2 +∞ − t 1 P {U > U α } = α , víi U ∼ N(0,1) ⇔ ∫ e 2 dt = α . (1.10) 2π U α H×nh 1.3. Ph©n vÞ chuÈn møc α . TÝnh chÊt: U1−α = − U α . (1.11) ⎧ U 0,10 = 1,280; ⎪ U 0,025 = 1,960; ⎨ Mét sè gi¸ trÞ ®Æc biÖt: ⎪ U 0,05 = 1,645; ⎩ U 0,01 = 2,326. (1.12) L−u ý: NhiÒu tµi liÖu kh«ng lËp b¶ng cña U α mµ lËp b¶ng cña pα hoÆc u α víi { } P U < pα = α ; { P U < uα = α . } 1.2. 6. Sai sè trung gian, d¹ng mËt ®é chuÈn dïng trong ph¸o binh. ( ) Cho X ∼ N m , σ2 , Uα lµ ph©n vÞ chuÈn møc α, ®Æt L = σ U 0,25 = 0,6745 σ ; ρ = U 0,25 / 2 = 0,4769 . (1.13) Chóng ta cã thÓ viÕt l¹i hµm mËt ®é cña X d−íi d¹ng ρ 2 (x − m)2 / L2 f (x) = e −ρ . (1.14) πL Râ rµng lµ , nÕu m = 0 th× P {− L < X < L } = 0,5 . (1.15) http://www.ebook.edu.vn 10
  9. Nh− vËy nÕu quan s¸t BNN chuÈn quy t©m nhiÒu lÇn th× cã kho¶ng 50% sè lÇn BNN ®ã r¬i vµo kho¶ng (-L;L). ChÝnh v× thÕ, L ®−îc gäi lµ sai sè trung gian, nã tØ lÖ víi ®é lÖch chuÈn. D¹ng mËt ®é (1.14) cña ph©n bè chuÈn hay ®−îc dïng trong ph¸o binh. 1.2.7.Quy t¾c 2σ, 3 σ . Cho X ∼ N(m, σ2 ), theo c«ng thøc (1.9) ta cã ⎧ ε X−m ε⎫ ε P { X − m < ε} = P ⎨− < < ⎬ =2 Φ ( ) . (1.16) ⎩ σ σ σ⎭ σ Thay ε = 1σ,2σ,3σ ta ®−îc P { X − m < 1σ} = 2Φ (1) = 0,68268 ; P { X − m < 2σ} = 2Φ (1) = 0,95450 ; P { X − m < 3σ} = 2Φ (1) = 0,9973. (1.17) C¸c x¸c suÊt 0,9545; 0,9973 lµ c¸c x¸c suÊt rÊt lín. Theo nguyªn lÝ x¸c suÊt lín ta cã quy t¾c 2 σ,(3σ) sau ®©y: Quy t¾c.NÕu BNN cã ph©n bè chuÈn th× hÇu nh− ch¾c ch¾n (®é tin cËy trªn 95%(trªn 99%)), BNN chØ sai lÖch víi gi¸ trÞ trung b×nh cu¶ nã mét l−îng kh«ng qu¸ 2 σ(3σ) ). 1.2.8.TÝnh phæ cËp cña ph©n bè chuÈn. Thùc tÕ chóng ta rÊt hay gÆp ph©n bè chuÈn. Së dÜ nh− vËy v× x¶y ra §Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m sau ®©y (xem môc 3.5.2d): NÕu bnn X lµ kÕt qu¶ cña rÊt nhiÒu nguyªn nh©n, mçi nguyªn nh©n chØ cã vai trß kh«ng ®¸ng kÓ ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng th× X cã ph©n bè rÊt gÇn ph©n bè chuÈn. §1.3.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn. 1.3.1.VÐc t¬ k× väng, ma trËn t−¬ng quan, ma trËn hÖ sè t−¬ng quan a)Tr−êng hîp 2 biÕn. XÐt 2 BNN X, Y b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. M« men t−¬ng quan (gèc) cña X vµ Y, kÝ hiÖu R XY , x¸c ®Þnh theo c«ng thøc R XY = E[XY]. HiÖp ph−¬ng sai cña X vµ Y, kÝ hiÖu Cov(X,Y) x¸c ®Þnh bëi Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)] . Hai BNN X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan nÕu Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)] = 0 . §iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi E[XY] = E[X] E[Y] . Tr¸i l¹i, nÕu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan. http://www.ebook.edu.vn 11
  10. NÕu X vµ Y ®éc lËp th× chóng kh«ng t−¬ng quan. Ng−îc l¹i kh«ng ®óng: Tån t¹i nh÷ng BNN X vµ Y kh«ng t−¬ng quan, song chóng kh«ng ®éc lËp. §èi víi 2 BNN chuÈn X, Yth× X vµ Y ®éc lËp ⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan. b) Tr−êng hîp t«ng qu¸t. ⎛ X1 ⎞ ⎜ ⎟ Cho X = ⎜ ... ⎟ = (X1 ,...,X n )T lµ VTNN víi c¸c thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN ⎜X ⎟ ⎝ n⎠ b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. §Æt ⎛ E[X1] ⎞ ⎛ m1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ m = E[X] = ⎜ ... ⎟ = ⎜ ... ⎟ - vÐc t¬ k× väng; ⎜ E[X ] ⎟ ⎜ m ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠ Ma trËn t−¬ng quan cña X cho bëi ( R = (R ij ) = E[X i X j ] . ) Râ rµng R ii = E[Xi2 ] . Ma trËn hiÖp ph−¬ng sai cña X cho bëi Σ = (Σij ) = Cov(X) = E[(X-m) (X − m)T ] . (1.18) L−u ý: σi2 = D[Xi ] = E[(Xi − mi ) 2 ] = Σii - ph−¬ng sai cña Xi . Σij = E[Xi − mi )(X j − m j )] = Cov(Xi ,X j ) - hiÖp ph−¬ng sai cña Xi ,X j . Cov(Xi ,X j ) E[(Xi − mi )(X j − m j )] ρij = = - hÖ sè t−¬ng quan cña Xi ,X j . D[Xi ]D[X j ] D[Xi ]D[X j ] R = (ρij ) -ma trËn c¸c hÖ sè t−¬ng quan. c)TÝnh chÊt 1) ρij ≤ 1, ∀i, j. (1.19) 2) NÕu c¸c thµnh phÇn X 1 ,...,X n ®éc lËp th× Xi ,X j kh«ng t−¬ng quan vµ R= (R ij ) –ma trËn chÐo, (ρij ) -ma trËn ®¬n vÞ . Ng−îc l¹i kh«ng ®óng. 3) Σ vµ R ®èi xøng , x¸c ®Þnh kh«ng ©m. 1.3.2. VTNN chuÈn, c¸c tÝnh chÊt quan träng. VTNN X= (X1 ,...,X n )T ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn ( X gäi lµ cã ph©n bè n chuÈn trong ¡ ) nÕu tæ hîp tuyÕn tÝnh bÊt k× c¸c thµnh phÇn cña nã cã ph©n bè chuÈn. http://www.ebook.edu.vn 12
  11. Nãi c¸ch kh¸c, ∀ u1,...,un, BNN Y= u1X1 + ... + u n X n cã ph©n bè chuÈn. HÖ qu¶. Tõng thµnh phÇn cña VTNN chuÈn lµ BNN chuÈn. L−u ý: §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng: Tõng thµnh phÇn cña VTNN X = (X1,...,X n )T lµ chuÈn ⇏ X = (X1,...,X n )T chuÈn. B©y giê gäi m = E[X] lµ vÐc t¬ k× väng vµ Σ = Cov(X) lµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai cña X (dÔ thÊy tån t¹i ), ph©n bè chuÈn ®−îc kÝ hiÖu bëi N(m, Σ ). VTNN chuÈn X cã vÐc t¬ k× väng m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai Σ ®−îc kÝ hiÖu bëi X ∼ N(m, Σ ). + NÕu ®Þnh thøc cña Σ b»ng 0 th× VTNN chuÈn X ®−îc gäi lµ suy biÕn. §Æt k = Rang(Σ) (h¹nh cña Σ ), tån t¹i kh«ng gian con k chiÒu cña ¡ n ®Ó chiÕu cña X trªn kh«ng gian nµy lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn. MÖnh ®Ò- ®Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ VTNN chuÈn víi ma trËn t−¬ng quan Σ . NÕu det( Σ ) ≠ 0 th× X ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn vµ mËt ®é cña nã cho bëi 1 ⎧ 1 ⎫ f(x)= n/2 1/ 2 exp ⎨ − (x − m)T Σ −1(x − m) ⎬ , x ∈ ¡ n . (1.20) (2π) (det Σ) ⎩ 2 ⎭ Nh− vËy, vÐc t¬ gi¸ trÞ trung b×nh m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai Σ hoµn toµn x¸c ®Þnh ph©n bè chuÈn; c¸c th«ng tin vÒ m« men cÊp cao h¬n lµ kh«ng cÇn thiÕt. ⎛ σ1 ⎞ ⎜ ⎟ §Æt G =⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ σn ⎠ ⎛1/ σ1 ⎞ ⎜ ⎟ DÔ thÊy G −1 = ⎜ . ⎟ , víi σi = D[Xi ] ⎜ ⎟ 1/ σn ⎠ ⎝ L¹i ®Æt R = G −1ΣG −1 ; DÔ thÊy Σ = GRG ; Σ −1 = G −1R −1G −1 ; ⎛ D11 ....D1n ⎞ 1 ⎜ ⎟ R −1 = ⎜ .............. ⎟ det(R) ⎜ ⎟ ⎝ D n1....D nn ⎠ trong ®ã Dij lµ phÇn phô ®¹i sè cña R ij trong ma trËn R. Thay vµo (1.20) ta ®−îc http://www.ebook.edu.vn 13
  12. 1 ⎧ 1 n ⎪ x i − mi x j − m j ⎫ ⎪ f(x) = exp ⎨− ∑ Dij ⎬. (1.21) σ1...σn (2π) n / 2 (det R)1/ 2 ⎪ 2 i, j=1 ⎩ σi σj ⎭ ⎪ MÖnh ®Ò . Cho X = (X1 ,...,X n )T : N(m, Σ) . Khi ®ã X1 ,...,X n lµ c¸c BNN ®éc lËp khi vµ chØ khi X1 ,...,X n kh«ng t−¬ng quan ⎛ σ1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ( ⇔ Σ lµ ma trËn chÐo: Σ=⎜ . ⎟ ) ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ σ2 ⎟ n⎠ 1.3.3.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh VTNN chuÈn. MÖnh ®Ò. Cho X ∼ N(m, Σ ), A- ma trËn cÊp k × n tuú ý cßn b ∈ ¡ k bÊt k×. ⎧E[Y] = Am + b; ⎪ Khi ®ã VTNN Y=AX+b cã ph©n bè chuÈn trªn ¡ k víi ⎨ T ⎪Cov(Y) = AΣA . ⎩ HÖ qu¶. Gi¶ sö X∼N(m, Σ ) lµ VTNN chuÈn trong ¡ n . Khi ®ã tån t¹i ma trËn trùc giao A sao cho U = A(X-m) : N(0, D) trong ®ã D lµ ma trËn chÐo, c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña nã kh«ng ©m. NÕu X kh«ng suy biÕn (det Σ ≠ 0 ) th× c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña D d−¬ng. Chøng minh. Ta chøng minh cho tr−êng hîp det Σ ≠ 0 . Khi ®ã, Σ ®èi xøng, x¸c ®Þnh d−¬ng, vËy tån t¹i ma trËn trùc giao F cã c¸c vÐc t¬ cét ei lµ c¸c vÐc t¬ riªng cña Σ víi c¸c gi¸ trÞ riªng λi t−¬ng øng sao cho ⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ D = F−1ΣF−T = ⎜ . ⎟ (1.22) ⎜ ⎟ λn ⎠ ⎝ lµ ma trËn chÐo. V× Σ x¸c ®Þnh d−¬ng nªn c¸c gi¸ trÞ riªng λi > 0 . §Æt A = F−1 th× E[U] = 0 ; Cov(U) = E [FT (X − m)(X − m)T F] = FTΣF = D . (1.23) Khi ®ã U lµ VTNN chuÈn, quy t©m, c¸c thµnh phÇn ®éc lËp. Bëi v× mçi phÐp biÕn ®æi trùc giao chÝnh lµ mét phÐp quay trong ¡ n nªn ta cã thÓ ph¸t biÓu hÖ qu¶ trªn b»ng lêi nh− sau: §èi víi mçi VTNN chuÈn, ta cã thÓ dïng mét phÐp quay thÝch hîp ®Ó biÕn nã thµnh VTNN chuÈn víi c¸c thµnh phÇn ®éc lËp. http://www.ebook.edu.vn 14
  13. y O x H×nh 1.4.§−êng ®ång møc cña mËt ®é chuÇn 2 chiÒu. 1.3.4. Mét sè BNN liªn quan ®Õn VTNN chuÈn. MÖnh ®Ò. X1 ,...,X n ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1) th× Y = X1 + ... + X n : χ 2 (n) . 2 2 (1.24) MÖnh ®Ò. U : N(0,1) , V : χ 2 (n) , U, V ®éc lËp th× U T= : T(n) . (1.25) V/n MÖnh ®Ò (Fisher). NÕu X = (X1 ,...,X n )T lµ VTNN n chiÒu sao cho c¸c thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN ®éc lËp, cïng ph©n bè chuÈn N(m, σ2 ) th× : 1 n 1 n ( ) a) X = ∑ Xi vµ S2 = ∑ Xi − X 2 lµ hai BNN ®éc lËp; n i =1 n i =1 ⎧ σ2 ⎪X : N(m, ); ⎪ n b) ⎨ 2 (1.26) 2 n ⎛X −X⎞ ⎪ nS 2 ⎪ σ2 = ∑⎜ i ⎟ : χ (n − 1). ⎩ i =1⎝ σ ⎠ HÖ qu¶. X1 ,...,X n ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(m, σ2 ) th× X−m T= n : T(n-1). (1.27) 1 n ∑ (Xi − X)2 n − 1 i =1 1.3.5.Mét sè ph©n vÞ kh¸c. 2 a) χα (n) . Ph©n vÞ møc α cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng” víi n bËc tù do, kÝ 2 hiÖu lµ χα (n) , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc: http://www.ebook.edu.vn 15
  14. { 2 } P X > χα (n) = α , 0 < α t α (n)} = α , 0 < α < 1 trong ®ã T : T(n) . TÝnh chÊt: * t1−α (n) = − t α (n) ; * t α (n) ≈ U α víi n > 30. 2 Ng−êi ta lËp b¶ng gi¸ trÞ cña χα (n) vµ t α (n) víi nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau cña α vµ n. 2 t α (n) χα (n) H×nh 1.5. Ph©n vÞ cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng”(a) vµ cña ph©n bè Student (b). 1.3.5.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 2 chiÒu. Cho Z = (X,Y) lµ VTNN chuÈn 2 chiÒu (kh«ng suy biÕn) víi vÐc t¬ k× väng ⎛1 ρ ⎞ ( ) T m = m1, m 2 vµ ma trËn hÖ sè t−¬ng quan R = ⎜ . Theo c«ng thøc (1.21), ⎝ ρ 1⎟⎠ mËt ®é ®ång thêi cña Z cho bëi f(x,y) = ⎧ ⎡⎛ x − m ⎞ 2 2 ⎫ 1 ⎪ 1 ⎢⎜ x − m1 x − m 2 ⎛ x − m 2 ⎞ ⎤ ⎪ ⎟ ⎥ ⎬ .(1.28) exp ⎨− 1 ⎟ − 2ρ +⎜ 2πσ1σ2 1− ρ 2 ⎪ 2(1 − ρ2 ) ⎢⎝ σ1 ⎠ σ1 σ2 ⎝ σ2 ⎠ ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦⎭ DÔ dµng tÝnh ®−îc 2 E[X1] = m; D[X] = σ1 ; E[X2 ]= m; D[X] = σ2 ; ρXY = ρ. 2 (1.29) §Æc biÖt, nÕu X vµ Y ®éc lËp ⇔ ρ = 0 (⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan), mËt ®é ®ång thêi cho bëi http://www.ebook.edu.vn 16
  15. ⎧ ⎡⎛ ⎞ 2 ⎛ 2 ⎫ 1 ⎪ 1⎢ x y − m2 ⎞ ⎤ ⎪ f(x,y) = exp ⎨ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥⎬ . (1.30) 2πσ1σ2 ⎪ ⎣2 ⎢⎝ σ1 ⎠ ⎝ σ2 ⎠ ⎥ ⎪ ⎩ ⎦⎭ §èi víi m« men bËc cao chóng ta cã kÕt qu¶ quan träng sau ®©y: NÕu (X, Y) lµ VTNN chuÈn quy t©m th× E[X 2 Y 2 ] = E[X 2 ]E[Y 2 ] + 2E 2 [XY] . (1.31) B©y giê chän X = Y : N(0, σ2 ) th× E[X 4 ] = 3σ4 vµ chóng ta nhËn ®−îc c«ng thøc tÝnh ®é nhän (1.2). 1.3.6. MËt ®é chuÈn 2 chiÒu dïng trong ph¸o binh - ElÝp t¶n m¸t. §Ó nghiªn cøu møc ®é t¶n m¸t cña ®¹n r¬i trªn mÆt ph¼ng n»m ngang, ng−êi ta lËp hÖ trôc Oxy víi gèc O trïng víi môc tiªu (®iÓm ng¾m b¾n), trôc Ox lµ h−íng b¾n. T−¬ng tù nh− (1.13) ®Æt ⎧L D = σ1U 0,25 = 0,6745σ1; ⎪ ⎨ (1.32) ⎪L H = σ1U 0,25 = 0,6745σ2 . ⎩ §Þnh luËt t¶n m¸t kh¼ng ®Þnh r»ng, to¹ ®é ®iÓm ®¹n r¬i (X, Y) tu©n theo luËt chuÈn víi hµm mËt ®é (1.30), m1 = m2 = 0. Cã thÓ viÕt l¹i mËt ®é nµy d−íi d¹ng ρ2 ⎧ 2 ⎛ x2 ⎪ y2 ⎞ ⎫⎪ f (x, y) = exp ⎨−ρ ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎬ (1.33) πL D L H ⎜L ⎟ LH ⎠ ⎭ ⎪ ⎩ ⎝ D ⎪ trong ®ã LD - sai sè trung gian vÒ tÇm, LH - sai sè trung gian vÒ h−íng . §èi víi hÇu hÕt c¸c ph¸o th«ng dông, LD lín gÊp 10 ÷15 lÇn LH. Elip t¶n m¸t (E) lµ elÝp cã c¸c b¸n trôc 4LD, 4LH (cã tµi liÖu ghi lµ LD, LH). X¸c suÊt ®Ó ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) n»m ngoµi elip t¶n m¸t rÊt nhá, cã thÓ bá qua: ⎧⎛ X ⎞2 ⎛ Y ⎞ 2 2⎫ ⎪ ⎪ P {( X, Y ) ∉ ( E )} = P ⎨⎜ ⎟ +⎜ ( ) ⎟ ≥ 4U 0,25 ⎬ ≈ 0,025 . (1.34) ⎪⎝ σX ⎠ ⎝ σY ⎠ ⎩ ⎪ ⎭ Ng−êi ta chia (E) thµnh c¸c vïng víi tØ lÖ % xÊp xØ ®¹n r¬i vµo (H×nh 1.5); nhê ®ã cã thÓ tÝnh dÔ dµng x¸c suÊt ®¹n r¬i vµo miÒn G cho tr−íc nµo ®ã. y LH 2 7 16 25 25 16 7 2 LD x http://www.ebook.edu.vn 17
  16. H×nh 1.6 . Elip t¶n m¸t víi thang chia ®é. ⇓1.4. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c. +Chóng ta biÕt r»ng, nÕu X lµ BNN liªn tôc víi hµm ph©n bè F(x) vµ hµm mËt ®é f(x) th×: dF(x) * f (x) = , x∈¡ ; (1.35) dx ∞ * f (x) ≥ 0; ∫ f (x)dx = 1 ; (1.36) −∞ b * P {a ≤ X < b} = ∫ f (x)dx . (1.37) a +§Ó më réng kh¸i niÖm hµm mËt ®é cho BNN rêi r¹c tr−íc hÕt ta ®−a ra hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ, ®ã lµ hµm: ⎧1 khi x ≥ 0; u(x) = ⎨ (1.38) ⎩0 khi x < 0. +Hµm delta. Hµm delta (cßn goÞ lµ hµm delta-Dirac) t¹i ®iÓm x 0 , kÝ hiÖu δ(x − x 0 ) , lµ hµm suy réng, b»ng kh«ng víi x ≠ x 0 vµ b»ng v« h¹n t¹i x = x 0 : ⎧0 khi x ≠ x 0 ; δ ( x − x0 ) = ⎨ (1.39) ⎩+∞ khi x = x 0 , vµ tho¶ m·n quan hÖ : Víi a < b, b ⎧1 khi a ≤ x 0 < b; ∫ δ(x − x 0 )dx = ⎨0 khi x 0 < a hay x o ≥ b. (1.40) a ⎩ y y y (a) (b) (c) 1 1 1 O x O x O x0 x H×nh 1.7. Hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ(a), hµm delta (b) vµ hµm delta t¹i x 0 (c). Mét ®Þnh nghÜa kh¸c cho hµm delta lµ http://www.ebook.edu.vn 18
  17. 1 ∞ − jωx δ(x) = ∫e dω . (1.41) 2π −∞ Hµm delta ®−îc thÓ hiÖn b»ng vÐc t¬ ®¬n vÞ //Oy (H×nh 1.7.). Nã cã thÓ coi lµ ®¹o hµm cña hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ: du(x) u(h) − u(k) δ(x) = = lim (1.42) dx k
  18. Câu hỏi Chương I 1.1 Nêu một số hiểu biết về biến ngẫu nhiên rời rạc. 1.2 Nêu một số hiểu biết về BNN liên tục, 4 luật phân bố liên tục. 1.3 BNN chuẩn: định nghĩa, tính chất hàm mật độ, các tham số đặc trưng, BNN chuẩn tắc, biến đổi tuyến tính, phân vị U α . 1.4 BNN chuẩn: định nghĩa, sai số trung gian, dạng mật độ BNN chuẩn dùng cho pháo binh, qui tắc 2 σ ,3 σ . 1.5 Véc tơ kỳ vọng, ma trận tương quan, ma trận hiệp phương sai của véc tơ ngẫu nhiên n chiều; vài tính chất. 1.6 Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn: định nghĩa, tính chất. 1.7 Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn. 1.8 Một số biến ngẫu nhiên liên quan đến VTNN chuẩn. 2 1.9 Phân vị χα (n); t α (n) , véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 2 chiều. 1.10 Mật độ chuẩn 2 chiều dùng trong pháo binh, elip tản mát. 1.11 Khái niệm mật độ với BNN rời rạc. Bµi tËp ch−¬ng I. 1.1. Chøng tá r»ng nÕu a) X : B(n, p) th× E[X] = np; D[X] =np(1-p). b) X : P(λ ) th× E[X] = λ; D[X] = λ ; c) X : G(P) th× E[X] =(1-p)/p . a+b (b − a) 2 1.2. Chøng tá r»ng nÕu X : U [ a; b] th× E[X] = ; D[X] = . 2 12 1.3. Cho X : N(m, σ2 ) ; chøng tá r»ng E[X] =m. 1.4. Cho X : N(2, 9) . ViÕt ra hµm mËt ®é cña X vµ tÝnh c¸c s¸c suÊt a) P {0 < X ≤ 1} ; b)P {1 ≤ X ≤ 4} . 1.5. Cho X : N(0,1) . T×m mËt ®é cña Y = 2X – 3. TÝnh E[Y], D[Y]. 1.6. Cho X : N(0,1) .TÝnh P {X > 1, 645} ; P {X > 1,960} ; P { X > 1,960}. 1.7. ViÕt mËt ®é cña ph©n bè chuÈn, biÕt r»ng nã cã k× väng 0 vµ sai sè trung gian 2. TÝnh P {−2 ≤ X ≤ 2} ; P {0 ≤ X ≤ 2} . 1.8. §−êng kÝnh cña viªn bi cã ph©n bè chuÈn víi trung b×nh 20 vµ ®é lÖch chuÈn 0,5. Quy t¾c 2σ; 3σ kh¼ng ®Þnh cho ta ®iÒu g×? 1.9. Cho (X,Y) : N(0, ∑ ) . ⎛1 0⎞ a) Gi¶ sö ∑ = ⎜ ⎟ , kÕt luËn g× vÒ tÝnh ®éc lËp gi÷a X vµ Y? ⎝0 3⎠ ⎛4 1⎞ b)Gi¶ sö ∑=⎜ ⎟ , t×m hÖ sè t−¬ng quan gi÷a X vµ Y. ⎝1 9⎠ http://www.ebook.edu.vn 20
  19. 1.10. Ma trËn nµo sau ®©y lµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai? ⎛2 0⎞ ⎛2 1⎞ ⎛2 1⎞ ⎛ −1 1⎞ a) ⎜ ⎟; b) ⎜ ⎟; c) ⎜ ⎟; d) ⎜ ⎟. ⎝0 1⎠ ⎝1 1⎠ ⎝0 1⎠ ⎝1 1⎠ 1.11. Cho U=(X,Y,Z) : N(m, ∑ ) ,trong ®ã m = (0,1, 2)T ; ⎛1 0,5 0,5 ⎞ ⎜ ⎟ ∑ = ⎜ 0,5 1 0 ⎟. ⎜ 0,5 0 4⎟ ⎝ ⎠ T×m ph©n bè cña T = X – 2Y + 3Z . ⎛X⎞ ⎛1 0,5 ⎞ 1.12. Cho U = ⎜ ⎟ : N(0, ∑) , trong ®ã ∑ = ⎜ ⎟. ⎝Y⎠ ⎝ 0,5 1⎠ ⎛ aX + bY ⎞ T×m VTNN d¹ng V=⎜ ⎟ sao cho 2 thµnh phÇn cña V, tøc lµ ⎝ cX + dY ⎠ aX+bY vµ cX+dY lµ 2 BNN ®éc lËp. 1.13. Cho X1 ,..., X10 lµ nh÷ng BNN ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1).§Æt 2 2 2 2 X = X1 + ... + X5 ; Y = X1 + ... + X10 . T×m a, b ®Ó P {X > a} = 0, 05; P {Y < b} = 0, 05 . 1.14. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h−íng X vµ ®é lÖch tÇm Y kh«ng cã sai sè hÖ thèng (tøc lµ k× väng 0), ®éc lËp, vµ cïng ®é lÖch chuÈn 4 mÐt. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµo vßng trßn t©m O b¸n kÝnh 3 mÐt. 1.15. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h−íng X : N(0, 4) , ®é lÖch tÇm Y : N(0, 5) , X vµ Y ®éc lËp. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµo vßng trßn b¸n kÝnh 3 mÐt, t©m t¹i ®iÓm ng¾m b¾n.. 1.16. ø¬c l−îng x¸c suÊt ®¹n tróng vµo xe t¨ng, biÕt r»ng ta ng¾m b¾n vµo ®iÓm gi÷a cña phÇn d−íi cña xÝch vµ sau khi vÏ xe lªn hÖ trôc víi elÝp t¶n m¸t th× thu ®−îc h×nh vÏ sau ®©y. y LH 2 7 16 25 25 16 7 2 LD x H×nh 1.9 . Xe t¨ng trong hÖ thèng elip t¶n m¸t . http://www.ebook.edu.vn 21
  20. 1.17. Cho X : U[a; b] , tính P{ X − EX < 2σ} , P{ X − EX < 3σ} với σ = DX ; so sánh với công thức (1.17). 1.18. Giả sử X : E(λ ) . Chứng tỏ rằng X là BNN “không có trí nhớ” theo nghĩa P{X > s + t | X > t} = P{X > s}, ∀t,s ≥ 0 . 1.19. Cho X : E(λ), Y : E( γ ) , X và Y độc lập. Chứng minh rằng X + Y : E(λ + γ ) . Mở rộng kết quả sang trường hợp có nhiều biến ngẫu nhiên. 1.20. Biết rằng mật độ của BNN X có dạng ⎧kxe − x khi x ≥ 0 ⎪ f (x) = ⎨ ⎪0 ⎩ x < 0. a)Tìm hằng số k, Mod(X). b)Tính E[X], E[X 2 ], D[X]. c)Tìm mật độ của BNN X. 2 ĐS. k = 1; Mod(X) = 1; E[X] = 2; E[X 2 ] = 6 ; f ( x) = 2x 3e − x . X 1.21. VTNN (X, Y) có mật độ ⎧e− (x + y) khi x ≥ 0, y ≥ 0 ⎪ f (x, y) = ⎨ ⎪0 ⎩ trai lai a) Tìm mật độ biên f X (x), f Y (y) . Suy ra rằng X, Y là hai BNN độc lập. b) Tìm mật độ của Z = X + Y. c) Tìm mật độ của BNN X 2 . 1 ĐS. f X (x) = e − x , (x ≥ 0) ; f Z (x) = xe − x , (x ≥ 0) f (x) = e− x , (x ≥ 0) . X2 2 x http://www.ebook.edu.vn 22

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản