136
Ch¬ng 10
BIẾN ĐỔI FOURIER
10.1. GIỚI THIỆU
Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh trong phân tích hệ thống tuyến tính. Nó cho
phép chúng ta xác định số lượng các tác dụng của các hệ thống số hoá, các điểm lấy
mẫu, các bộ khuếch đại điện tử, các bộ lọc tích chập, nhiễu và các điểm hiển thị. Những
người kết hợp kiến thức nguyên lý của các tính chất biến đổi Fourier với kiến thức thực
tiễn của sự thể hiện vật lý được chuẩn bị kỹ càng để tiếp cận hầu hết các bài toán xử lý
ảnh. Bình thường, những người phát triển sự kết hợp các kỹ năng là các sinh viên khoa
điện tử và vật lý quang học, và họ thực hiện công việc này trong các khoá học. Tuy
nhiên, đối với bất kỳ người nào thực sự có ý định sử dụng xử lý ảnh số trong công việc
của họ, thì thời gian bỏ ra để thành thạo với biến đổi Fourier là đáng để đầu tư.
Về ý nghĩa nào đó, biến đổi Fourier giống như một ngôn ngữ thứ hai để miêu tả các
chức năng. Những người sử dụng thành thạo hai ngôn ngữ thường xuyên nhận thấy một
ngôn ngữ tốt hơn ngôn ngữ kia để diễn tả một ý kiến nào đó. Tương tự, các nhà phân
tích xử lý ảnh có thể di chuyển lui tới giữa miền không gian và miền tần số trong khi
tiến hành trọn vẹn một vấn đề.
Đầu tiên khi học một ngôn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngôn ngữ bẩm sinh của
anh ta hay cô ta và nhẩm dịch trước khi nói. Tuy nhiên, sau khi đã trở nên trôi chảy, họ
có thể nghĩ đến một ngôn ngữ khác. Tương tự, một khi đã quen thuộc với biến đổi
Fourier, nhà phân tích đều có thể thao tác trong miền không gian hay miền tần số và khả
năng rất hữu ích.
Trong phần đầu tiên của chương này, chúng ta sẽ trình bày các tính chất của biến đổi
Fourier sử dụng các hàm một chiều cho các ký hiệu đơn giản. Sau đó, chúng ta tổng quát
hoá các kết quả cho trường hợp hai chiều. Quy ước trong phần hai của quyển sách này là
xem xét các hàm một chiều như các ví dụ đơn giản và sau đó khai triển cho các hàm
không gian hai biến như các ví dụ xử lý ảnh.
Trong nghiên cứu về phân tích hệ thống tuyến tính của chúng ta, chúng ta sẽ giới hạn
thảo luận của chúng ta chỉ còn một phần của lĩnh vực được phát triển nhất này. Ví dụ,
chúng ta chỉ sử dụng biến đổi Fourier mà không sử dụng biến đổi Laplace hay biến đổi
Z, bởi vì chúng không cần thiết cho mục đích của chúng ta. Sự hạn chế này cho phép
chúng ta phát triển các kỹ thuật mà chúng ta cần để phân tích các hệ thống xử lý ảnh số
với một lượng phép toán phức tạp tối thiểu.
Một nguyên nhân khiến chúng ta không cần đến biến đổi Laplace, và các kỹ thuật
khác từ lĩnh vực phân tích hệ thống tuyến tính, là chúng ta làm việc với dữ liệu được thu
nhận. Điều này làm nhẹ bớt cho chúng ta gánh nặng của việc thao tác bằng khả năng vật
lý (tính nhân quả) và quan hệ mật htiết của nó đối với phân tích.
Tính nhân quả. Các hệ thống tuyến tính thực hiện bằng phần cứng điện tử được đề
cập đến như là nguyên nhân (causal) bởi vì tín hiệu vào gây ra sự xuất hiện tín hiệu ra.
Nói chung, điều này có nghĩa là nếu đầu vào là 0 tại tất cả các thời điểm âm thì đầu ra
cũng phải như thế với t<0. Mặc dù đây là quan sát bằng trực giác, hãy xem xét ràng buộc
của nó trên đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính: nếu đầu vào là một xung tại t = 0,
137
thì đáp ứng xung phải bằng 0 với mọi t<0. Vì vậy, đối với các hệ thống có thể thực hiện
được, đáp ứng xung luôn nằm về một phía. Điều này có nghĩa rằng nó có thể không chẵn
hoặc lẻ, ngoại trừ một vài trường hợp không đáng kể. Điều kiện trên gây rắc rối đáng kể
cho sự phân tích hệ thống tuyến tính của các hệ thống vật lý có thể thực hiện.
Chúng ta cũng không thể ràng buộc khi thao tác với dữ liệu ghi nhận được. Thực hiện
phép nhân chập số có thể thao tác dễ dàng với các hàm chẵn và lẻ, cũng như tại điểm 0
đối với thời điểm âm. Hơn thế nữa, đối với xử lý ảnh trong miền không gian, gốc toạ độ
là tuỳ ý và các giá trị x và y âm không có ý nghĩa đặc biệt. Trong các chương sau, độc
giả sẽ cảm ơn những vấn đề toán học phiền toái mà chúng ta thực hiện với dữ liệu ghi
nhận và không phải gánh chịu điều kiện nhân quả khi phân tích.
10.1.1. Biến đổi Fourier liên tục
Biến đổi Fourier của hàm truyền đạt với một biến f(t) được định nghĩa như biểu thức
(1)
dtetfsFtf stj
2
)()()( (1)
trong đó j2 = -1. Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân tuyến tính. Điểm trung
trong đó là, thực hiện các hàm số phức của n biến số thực trong một hàm phức khác của
n biến thực khác. Biến đổi Fourier ngược của F(s) được định nghĩa như biểu thức (2).
dsesFsF stj
21 )()( (2)
Sự khác biệt giữa biến đổi Fourier trực tiếp và biến đổi Fourier ngược đó là dấu của
hệ số.
Định lý biến đổi tích phân Fourier như sau:
dsedtetftf stjstj
22
)()(
(3)
Điều này có nghĩa là biến đổi Fourier có tính tương hỗ qua lại lẫn nhau:
)()()()( 1tfsFsFtf (4)
Các hàm f(t) và F(s) được gọi là cặp biến đổi Fourier. Với hàm f(t) bất kỳ thì biến
đổi Fourier F(s) là duy nhất và ngược lại.
Có cách viết khác trong các biểu thức (1), (2), (3) phụ thuộc vào vị trí của hệ số 2
trong biểu thức. Trong đó quy ước sử dụng phù hợp với hệ thống. Trong quy ước, biến
tần số được tính trong toàn bộ các chu kỳ (không phải là radian) trên một đơn vị thời
gian t.
10.1.1.1. Ví dụ: biến đổi Fourier của hàm Gauss
Sau đây là một ví dụ minh hoạ, chúng ta đưa ra biến đổi Fourier của hàm Gauss:
2
)( t
etf
(5)
Từ biểu thức 1 ta có thể viết như sau
dteesF stjt
2
2
)(
Hay
138
dtesF stjt )2( 2
)(
(6)
Chúng ta nhân phía về phải bởi
1
22
ss ee
Ta được
dteesF jsts 22 )(
)(
(7)
Chúng ta bây giờ thực hiện biến đổi các biến (tính vi phân)
dtdujstu
(8)
Và biểu thức (7) trở thành
dueesF us 22
)(
(9)
Tích phân trong biểu thức 9: được tính và rút gọn sẽ cho
2
)( s
esF
(10)
Hàm trong biểu thức (5) và trong biểu thức (10) là một cặp biến đổi Fourier. Và biến
đổi Fourier của Gauss ta cũng gọi là biến đổi Gauss. Tính chất này làm cho hàm truyền
đạt Gauss khá hữu dụng trong phân tích sau này:
10.1.2. Các tồn tại trong biến đổi Fourier
do biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân. chúng ta phải biết địa chỉ các câu hỏi
còn tồn tại trong tích phân biểu thức (1) và (2)
10.1.2.1. Các hàm tức thời
một vài hàm có giá trị 0 khi giá trị đối số âm hay dương đủ lớn trong phép tích phân của
biểu thức (1) và (2). đối với mục đích của chúng ta Nếu tích phân của giá trị của một
hàm tồn tại. Ví dụ nếu:
dttf )( (11)
Và hàm này là liên tục hoặc không liên tục trong một miền giới hạn, sau đó biến đổi
Fourier của hàm tồn tại cho tất cả các giá trị của s. Chúng ta có thể gọi các hàm này là
các hàm tức thời. Do nó không có nghĩa trong khoảng thời gian lớn:
Đây là các hàm chúng ta sẽ cần phải thực hiện. Các tín hiệu số hay ảnh cần phải lược
bỏ để giới hạn khung và độ bền của nó. Việc này đòi hỏi phải có biến đổi. Tuy nhiên
trong một số trường hợp khác ta có thể không cần dùng các biến đổi
10.1.2.2. Hàm hằng và tuần hoàn
biến đổi Fourier không tồn tại cho tất cả các giá trị của s nều f(t)= cosin(2
t) hay Nếu
f(t) = 1. Tuy nhiên xung (t), được giới thiệu trong chương 9 cho phép chúng ta có thể
điều khiển các trường hợp thuận lợi.
Xét biến đổi ngược của một cặp xung:
139
dsefsfsfsfstf stj
2
0000
1)()()()()(
Bằng cách phân tích tính chất xung, ta có
)2cos(2
)()()(
0
22
00
00 tfee
dsefsdsefstf
tfjtfj
stjstj
Trong đó chúng ta đã sử dụng biến đổi ơle, chia cho 2 chúng ta có thể viết
)()(
2
1
)2cos( 000 fsfstf
(12)
Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hàm cosin của tần số fo là một cặp xung với s =
f0 trong miền tần số. Với biến đổi Fourier cho một hàm sin ta có
)()(
2
)2sin( 000 fsfs
j
tf
(13)
Nếu chúng ta cho f0 = 0 chúng ta có thể chỉ ra
)(1 s
(14)
Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hằng số là một xung khởi đầu:
Chúng ta bây giờ đã có thể sử dụng biểu thức cho biến đổi Fourier của hằng số và các
hàm tuần hoàn. Chúng ta đã có những hiểu biết tốt về nguyên lý biến đổi Fourier cho các
hàm tuần hoàn có miền tần số f chúng ta có thể tổng kết với trường hợp là nf, trong đó n
phải là số nguyên. Xem thêm biểu thức (40) bạn sẽ thấy biến đổi Fourier của hàm tuần
hoàn tương đương với một chuỗi các xung được đặt tại các điểm cách đều nhau trong
miền tần số.
10.1.2.3. Các hàm ngẫu nhiên
Chúng ta thu gọn các hàm không tuần hoàn có tích phân không xác định và trong một
lớp gọi là các hàm ngẫu nhiên. Trong các chương sau, chúng ta sẽ sử dụng các chế độ
đầu ra của một quá trình ngẫu nhiên.
Trong đa số các trường hợp, chúng ta đòi hỏi chỉ có hàm tự tương quan của hàm ngẫu
nhiên. Hàm này được cho bởi
T
T
T
fdtftf
T
R
)()(
2
1
lim)( (15)
Và nó có trong các hàm mà chúng ta quan tâm. các hàm tự tương quan là thực và
chẵn, và biến đổi Fourier của nó là phép mũ của phổ f(t), như chỉ ra sau đây.
Nếu nó trở lên cần thiết biến đổi một hàm ngẫu nhiên, chúng ta có thể định nghĩa lại
biến đổi Fourier của biểu thức 1.
T
T
stj
Tdsetf
T
sF
2
)(
2
1
lim)( (16)
Và tương tự cho biến đổi ngược. Chúng ta sau đó có thể làm việc với một lớp của các
hàm để định nghĩa lại các biến đổi Fourier đã tồn tại. Tuy nhiên trong quyển sách này
chúng ta vẫn làm việc với các định nghĩa được thiết lập trong biểu thức 1 và 2, do chúng
140
gần như đường bao tín hiệu trong giới hạn độ bền. Các nhà phát triển thực hiện với các
quy ước 1 và 2 có thể thực hiện lại với các quy ước đề nghị trong biểu thức 16.
Chúng ta kết luận cuộc thảo luận này với quan điểm, trong mục đích của chúng ta,
rằng biến đổi Fourier không phải là vấn đề chủ yếu.
10.1.3. Khai triển chuỗi Fourier
Giả sử ta có hàm g(t) là hàm tức thời theo thời gian có giá trị không bên ngoài khoảng
[-T/2, T/2]. Ta cũng có thể coi như là một chu kỳ của hàm tuần hoàn. Chúng ta cũng có
thể có một hàm liên tục bằng cách dời dạc hoá s trong biểu thức 1 và tính tích phân chỉ
trong miền thời gian trên
2/
2/
)(2
)()( T
T
stnj
ndsetgsnGG
(17)
Trong đó T là chu kỳ và
s = 1/T. Việc khai triển này thể hiện g(t) bằng các hệ số (có
giá trị phức) vô hạn, mặc dù vậy nhưng trong chủ yếu các hàm mà chúng ta quan tâm chỉ
hữu hạn với các hệ số khác không.
Hàm truyền đạt ngược trở thành
0
)(2
0
)(2 1
)()(
n
t
T
n
j
n
n
stnj eG
T
sesnGtg
(18)
Xây dựng lại một hàm g(t) có thời gian trong miền khác không bằng cách thêm vào
các đường hình sin của các tần số khác nhau độ rộng của các đường hình sin này là các
hệ số Gn.
Khai triển chuỗi Fourier của hàm f(t) là
11
0)2sin()2cos(
2
)(
n
n
n
nt
T
n
bt
T
n
a
a
tf
(19a)
Trong đó
1/
2/
2/
2/ )2sin()(
2
)2cos()(
2T
T
n
T
T
ndxx
T
n
xf
T
dxx
T
n
xf
T
a
b vµ (19b)
Nó đưa ra một hàm tuần hoàn với chu kỳ T bằng hai hình sin vô hạn với hệ số thực.
10.1.4. Biến đổi Fourier rời rạc
Nếu chúng ta rời rạc hoá cả thời gian và tần số biến đổi Fourier trong biểu thức (19a)
sẽ trở thành
2/
2/
)(2
2/
2/
)(2
)()(
N
Ni
i
N
n
j
i
N
Ni
tisnj
neg
N
T
setigsnGG
(20a)
Trong đó T = N
t. Biến đổi ngược sẽ có dạng

n
i
N
n
j
n
N
n
tisnj
ieG
T
sesnGtigg )(2
2/ )(2 1
)()(
(20b)
Trở lại với các hàm mà chúng ta quan tâm, g(i
t), hệ số {Gn} khác không khi các giá
trị n tương đối nhỏ.