Bài tập môn Toán cao cấp 3 - Hệ Đại học chính quy

Chia sẻ: Photocopy Xứ Lạng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Bài tập môn Toán cao cấp 3 - Hệ Đại học chính quy. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu giúp các bạn trong quá trình học tập và ôn thi Đại học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập môn Toán cao cấp 3 - Hệ Đại học chính quy

BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly 1.  y 2  xy 2  dx   x 2  yx 2  dy  0 11. y   4 x  y  1 2 x 1 2. y  12. y  1 1  x   2 1 x 2 x y 3. 2 y y  y 2 dx  1  x 2  dy  0 13. y  x 2  y  2 x 14. y  x 2  2 xy  1  y 2 dy x2  2 x  1 4.  1 dx  x  1  x 2  1 15. y  x  y 1 1 5. y  1  16. y  4 x  2 y  1 y2 17. y   y 2  2 xy  x 2 6. 1  y 2   e 2 x dx  e y dy   1  y  dy  0 18.  y 2  1 x 2 y 2  y  x 4  y 4   0  xy  y  x  1 dx  2 2 2 7. 19. y  y 2    x y  2 xy  x  2 y  2 x  2  dy  0 2 2 x2 m 8. y cos 2 y  sin y  0 20. y  1   x  y n p 9. y  cos y  sin y  1  x  y   x  y cos x  sin x  1 10. y  e x  y  1 1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất 21. xdy  ydx  x 2  y 2 dx dx dy 31. 2 2  2 y 2 x  2 xy  2 y y  4 xy 22. xy  y  xe x 32.  2 x  y  1 dx   4 x  2 y  3  dy  0  y 23. xy  y cos  ln  33. x  x  2 y  dx   x 2  y 2  dy  0 x  dx dy y y  34.  24. y   sin , với y 1  yx yx x x 2 25. xy  y 1  ln y  ln x  , y 1  e 35.  x  y  1   y  x  2  y  0 x y 36.  2 x  4 y  6  dx   x  y  3 dy  0 26. xy  y   x  y  ln x 37.  y  2  dx   2 x  y  4  dy  0  y y 38. y 2  x 2 y  xyy 27.  x  y cos  dx  x cos dy  0  x x 39. x 2 y2  3xyy  2 y 2  0 28. xyy  x  2 y 2  0 2 2 2 2 2 2 40.  xy  y   yy2 29. (3 x  y ) y  ( y  x ) xy   0 30.  x 2  2 xy  y 2  dx  ( y 2  2 xy  x 2 )dy  0 Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 1
1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính 41. xy  y  x 2 arctan x 51. xy  y  x 2 sin x 42. (1  x 2 ) y  2 xy  (1  x 2 )2 52. y cos 2 x  y  tan x thỏa mãn điều 43. y  2 xy  xe x 2 kiện y(0)=0. 44. x 1  x 2  y   x 2  1 y  2 x  0 53. y 1  x 2  y  arcsin x thỏa mãn 45. y sin x  y  1  cos x điều kiện y(0) =0. 54.  sin 2 y  x cot y  y  1 46. y  xy  x3 47.  x 2  y  dx  xdy  0 55.  2e y  x  y  1 2 3 56. 1  2xy  y  y ( y  1) 48. y  y  , y 1  1 x x2 1 57. y  0 49. 2 xy  y  1 2x  y2 1 x 58. ye y  y  y 3  2 xe y  50. 2 x 1  x  y   3x  4  y  2 x 1  x  0 1.4 Giải các phương trình Becnuli 59. xy   y  y 2 ln x 69. y  tan y  x 60. 3 y 2 y  ay 3  x  1 cos y 61.  x 2  y 2  2 x  2 y  dx  2( y  1)dy  0 70. x  e y  y  2 62. x 2 y  y  x  y  71.  x 2  1 y sin y  2 x cos y  2 x  2 x3  63. y  xy dx  xdy  72. ydx  2 xdy  2y x dy thỏa mãn y x cos y 2 64. y   điều kiện y  0    . x y 2 2 73. 2 x 2 y  y 2  2 xy  y  (coi x = x(y)) 65. y  y  y x cos 2 x 74.  xy  x 2 y 3  y  1 66. xy  2 x 2 y  4 y 2  75. yx 3 sin y  xy ' 2 y 67. xyy  y  x ( là tham số) 68. y  1  e x 2 y 1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần   76. 2 x 1  x 2  y dx  x 2  ydy  0 . 1 x y y   sin  2 cos  1  dx  y y x x  77.  x 4 ln x  2 xy 3  dx  3 x 2 y 2dy  0 . 82. 1 y x x 1  78. y 2 dx   2 xy  3  dy  0   cos  2 sin  2  dy  0 x x y y y  79. e x  2  2 x  y 2  dx  2e x ydy  0 83. y cos x  y sin x  1 dx   sin x  y cos2 x  dy  0 80.  y cos 2 x  sin x  dy  y cos x  y sin x  1 dx x x 81.  2 x  3x 2 y  dx   3 y 2  x3  dy    x 84.  x  e y  dx  e y 1   dy  0 thỏa mãn   y     điều kiện y(0) = 2. Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 2
3   85.  y 2  1 2 dx  y 2  3xy 1  y 2 dy  0 2 y 2 cos 2 x  ln y  dx  92.  2 x  x 86.    2  dx   x 2  1 cos y 0   2  2 y sin 2 x   dy  0 2sin 2 y y y  sin y  93.  x  y   xdy  ydx    a  x  x 4 dx 2 2 (thừa 87.  y  e x sin y  dx   x  e x cos y  dy  0 số tích phân) 88.  x  sin y  dx   x cos y  sin y  dy  0 94.  x cos y  y sin y  dy   x sin y  y cos y  dx  0  x3  .(thừa số tích phân) 89. 3 x 2 (1  ln y )dx   2 y   dy  y 95. Tìm hằng số a để  2 y  2  2 x sin 2 y   dx  1  y sin 2 x  dx  ay cos xdy là vi phân 2 2 90.  x x toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải   2 x cos 2 y  ln x  dy  0 2 phương trình vi phân  x   x2  1 cos y dy 1  y sin 2 x  dx  ay cos xdy  0 với a 2 2 91.   2  dx  tìm được.  sin y  2sin 2 y 1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, 96. xy '3  1  y . 2 1 y' 98. y  x  e , coi x là hàm, y là biến. 97. y  e y . y2 . 99. y  y 1  y cos y  . 1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero 100. y  2 xy  sin y . 104. 2 y2  y  xy    1 . 2 3 101. y  2 yx  y y 105. y  2 xy ' y '3 y 1 102. x  2 y  y 103. xy  y  ln y . Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao 106. y2  x 2  1 112. yy  y2 . 107. y2  4  y  1 thoả mãn các điều 113. y  y  1 1 y 1 kiện ban đầu: x x2 a) y  0 , y  2 khi x  0 . 2 yy  114. yy  2 y 2 y2  y2  b) y  0, y  1 khi x  0 . x 115. y  ye y 108. 1  x 2  y  y2  1  0 116. y 1  y   y2  y 109. y 1  y2   ay . 117. yy  y2  1 110. y 1  y2   3 yy2  0 118. 2 xy y  y2  1 yy 119.  x  1 y  x  y  y 2 111. yy  y2  dạng thuần 1  x2 2 120. y cos y   y sin y  y nhất, 121. y y  y Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 3
122. xy  y  x 2 124. xy  y  x 123. y2  yy  yy 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 125. x 2 y  2 y  x 3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x2 2 cot gx 126. Giải phương trình y  y   y  biết một nghiệm riêng của phương x x sin x trình vi phân thuần nhất tương ứng y1  x 1 127. Giải phương trình vi phân: x 2  x  1 y  2 y biết một nghiệm y1  1  x   128. Giải phương trình vi phân x 2  1 y  2 y  0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 129. Giải phương trình vi phân  2 x  1 y   2 x  1 y  2 y  x 2  x biết nó có hai x2  4x 1 x2  1 nghiệm riêng y1  y2  2 2 x 2 130. Xác định hằng số  sao cho y  e là nghiệm riêng của phương trình vi phân y  4 xy   4 x 2  2  y  0 . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. 131. Giải phương trình xy  2 y  xy  cot x biết một nghiệm riêng của phương sin x trình vi phân thuần nhất tương ứng y1  x 132. Giải phương trình x 2 y  xy ' y  4 x 3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 133. Giải phương trình xy  y '  x 2 x 1 134. Giải phương trình y  y ' y  x  1 , biết một nghiệm riêng của 1 x 1 x phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  e x 135. Giải phương trình x 2  ln x  1 y  xy ' y  0 , biết một nghiệm riêng có dạng y  x , là hằng số. 136. Tìm nghiệm riêng của phương trình  2 x  x 2  y   x 2  2  y ' 2 1  x  y  0 thỏa mãn y 1  0, y ' 1  1 , biết một nghiệm riêng của nó là y  e x 137. Giải phương trình  2 x  x 2  y  2  x  1 y ' 2 y  2 , biết nó có hai nghiệm riêng là y1  1, y2  x 2x 1 138. Giải phương trình y  y'  2 2 , biết một nghiệm riêng của phương x 1 x 1 trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  1 139. Giải phương trình  2 x  1 y   4 x  2  y ' 8 y  0 , biết một nghiệm riêng có dạng y  e ax ,    Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 4
2x 2 140. Tìm nghiệm riêng của phương trình y   2 y ' 2 y thỏa mãn x 1 x 1 y  3  22, y ' 1005   2000 , biết một nghiệm riêng của nó là y1  x 141. Giải phương trình x 2 y  2 xy ' 2 y  x3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x 142. Giải phương trình 1  x 2  y  2 xy ' 2 y  x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x 2x 2 1 143. Giải phương trình y  2 y ' 2 y , biết một nghiệm riêng của 1 x 1 x 1  x2 phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x e2x 2 144. Giải phương trình y  y ' y  , biết một nghiệm riêng của phương trình x x ex vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x 145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân  3x  1 xy  2 y  6 xy  4  12 x 2 biết rằng nó có hai nghiệm riêng 2 2 y1  2 x, y2   x  1 2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 146. y  13 y  12 y  0 . 2 160.  2 x  1 y  4  2 x  1 y  8 y  8 x  4 147. y  2 y  9 y  18 y  0 . 148. y 4  y  0 . 1 1  4 161. y  y  2 y  2sin  ln x  . 149. y  2 y  3 y  2 y  y  0 . x x 2 150. y 7   3 y  6  3 y 5  y  4  0 . 162. 1  x  y  1  x  y  y  4cos ln 1  x  151. y  2 y  4 y  e  x cos x 152. y  3 y  2 y  3e 2 x  2 x 2 . 163. x 2 y  4 xy   x 2  2  y  e x . 153. y  y  2sin x  4cos x . 164. y  y  e x  sin x  cos x  154. y  n 2 y  sin 3 nx . 165. y   2e x  1 y  e2 x y  e3x 155. y  y  sin x sin 2 x . 2 166. y  y  x  e x 2 x 156. y  2 y  4 x e có nghiệm riêng 167. y  2 y  2 y  x  e x  1 2 y*  e x . 168. y cos x  y sin x  y cos3 x  0 157. Với những giá trị nào của p và 169. 2 y  5 y  29 x sin x q thì tất cả các nghiệm của 1 phương trình. 170. y  y  sin x y  py  q giới nội  x  0 171. y  4 y   2  4 x  e2 x  p  0, q  0  . ex 158. p, q  ? thì tất cả các nghiệm của 172. y  2 y  y   cos x x phương trình y  py  q  0 là 173. xy  2 y  xy  e x   những hàm tuần hoàn của x 174. y  y tan x  y cos 2 x  0  p  0, q  0  . 175. y  2 y  5 y  x sin 3x 159. x 2 y  xy  2 y  x ln x . 176. xy   2(1  x) y  ( x  2) y  e  x Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 5
177. y  2 y  3 y  xe 4 x  x 2 185. y  4 y  8 y  e2 x  sin 2 x y 178. x 2 y  2 xy  0 x2 e x 186. y  2 y  y  sin x  ex x 179. y  2 y  y  1  x 187. y  y  xe x  2e x 180. x 2 y  xy  y  x 188. y  y  2 y  cos x  3sin x 181. y  y  xe  x 189. y  2 y  2 cos 2 x 182. y  4 y  5 y  e2 x  cos x 190. y  y  sin x  cos 2 x 183. x 2 y  4 xy  6 y  0 184. y  4 y  4 y  1  e2 x ln x Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. Giải các hệ phương trình vi phân  dx  dx  dt  y  5cos t  dt  x  y  z 191.    dy  2 x  y  dy 197.   x yz  dt  dt  dz  dt  2 x  y  dx   dt  5 x  3 y  0  dx 192.   dt  x  z  dy  3 x  y  0   dt  dy 198.   yz  dx  dt  dt  2 x  y  dz 193.   dt  x  y  dy  4 y  x   dt  dx  dt  2 x  y  z  dx   dt  3 x  y  dy 1 3 1 194.  199.   x y z  dy  4 y  x  dt 2 2 2  dt  dz 1 1 5  dt  2 x  2 y  2 z  dx   dt  x  2 y  z   dy 195.   yxz  dt  dz  dt  x  z   dx  dt  2 x  y  z   dy 196.   x  2y  z  dt  dz  dt  x  y  2 z  Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 6