intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Chia sẻ: Tran Mai Sang Sang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

1.917
lượt xem
386
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

  1. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) u1 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN lim Sn  lim 1 q CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5. Dãy số dần tới vô cực: 1. Định nghĩa: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới  un    khi n dần tới vơ cực hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có  n    nếu un lớn hơn một số dương bất thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: hạng nào đó trở đi. Kí lim(un)=  hay un   khi n   . hiệu: b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi n  n  lim u  0 hay u n  0 khi n  +. n   nếu lim  un    .Ký hiệu: lim(un)=  hay un   khi n   . b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn c) Định lý: là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực   t hì o Nếu : lim  un   0 un  0 ,n  ( n   ), nếu lim  un  a   0. Kí hiệu: * n 1 lim  un   a hay u n  a khi n  +. lim  n un  Chú ý: lim  un   lim  un  . 1 n o Nếu : lim  un    thì lim 0 2. Một vài giới hạn đặc biệt. un 1 1  0 , lim k  0 , n  * a) lim B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.  P  n n n  1. Giới hạn của dãy số (un) với un  b) lim q  0 với q  1 . n Q n c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. với P,Q là các đa thức: 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số vn  un  wn n  * và và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : lim  vn   lim  wn   a  lim  un   a . a0 lim  un   . b0 b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và lim  un  vn   lim  un   lim  vn   a  b mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=  . lim  un .vn   lim un .lim vn  a.b f n 2. Giới hạn của dãy số dạng: un  ,f gn un lim  un  a   lim  , vn  0 n  ;b  0 *  và g là các biển thức chứa căn. vn lim  vn  b o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. lim un  lim  un   a ,  un  0 ,a  0  4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q  1. BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  2. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 2 5 3 3 n 3 2 n =lim 1 2 2 Bài tập 3 n  2n  3n3  1  DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Tính lim    n n  3 2 Giải Tính các giới hạn sau : Ta có : 2n  1  2n n3 1  n  3 3 3  3  3 Tính lim  2n  3n3  1  n n n n   lim lim  Ta có :  n n  3 n n2  3 2 3 n  3 3  1 n 2   n n 2n  1  lim  n 2 lim 2 1 3 3 n n 2 3n  1  lim n n  3 Tính lim 1 1 2n  1 n Giải 4n  n  1 2 Ta có: Tính lim 3  2n 2  1 n3   Giải 3n  1  lim  n 3  lim Ta có 2n  1  1 2 n 2    1 1 n2  4   2   n 4n  n  1 2  lim  n n 2 3n2  2n  5 lim 3  2n 2 3  Tính lim 2 2 n  2  2 7n  n  8 n  Giải Ta có 3n2  2n  5 25 3  2 3n 2  1  n 3n2  2n  5 n n 3 2 n lim 2  lim lim Tính lim 18 7n  n  8 2 7n  n  8 7  2 7 1  2n 2 nn 2 n Giải Ta có : 3n 3  2n  5 Tính lim 1 n 3 n 1  2n 3 3n  1  n 2 n  lim Giải lim 1  2n 2 1  2n 2 Ta có 1 1 1 2 5 n 3 (3   3) 3   n2  3n 3  2n  5 2 n n Ta có : lim =lim n n n  lim  0 1  2n 3 1 n 3 ( 3  2) 1 2 n n2 4n 2  1  n Tính lim 1  2n BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  3. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) giải 1 2n 2 Ta có : 2n n 0 n  lim  0 lim 2 n  n 1  1 1 1 1 n 4 2 n n 2 1   2  4n 2  1  n n  n n lim =lim =lim 1  2n 1  2n  2  3n   n  1 3 2 1 4  2 1 Tính lim 1  4n 5 1 n  Giải 1 2 2 3 2 n 5 2   1  3 1  2  3n   n  1  lim  n   n   27 n 3 2    lim n 2  1  4n 1  4n 1  5 Tính lim 4 n5  5  4  3n  2 n  Giải n 2  1  4n n 2  2n  2 Tính lim n2  1  4n n 2  n  1 2 lim  lim  3n  2 3n  2 Giải n Ta có : 1  2 2 1 2  4 n 2 1   2  1 4 5 n n  2n  2 2  lim  n n 1 lim    lim 2 3 3 2  n  1 2 1 2 2 3 2n  1   n  n 2n  n  4 2 n 2  3n  7 Tính lim Tính lim(n- ) 2n 4  n 2  1 n 1 Giải giải Ta có : Ta có :  1 4  n 2  3n  7  (n 2  n)  (n 2  3n  7) n2  2   2  lim  n   2n  n  4 2  lim  n n 2 n 1  n 1  2  lim 2n  n  1 4 2 11 2 n 2 2  4 2 7 2  2n  7 nn n  2  lim  lim n 1 1 1 n5  n 2  1 n Tính lim 5 n  2n 3  1 Giải 2n n Tính lim Ta có : n2  n  1  1 1 Giải n5  1  3  5  n  n 1 5 2  n n  1  lim lim 5 n  2n  1  2 1 3 n5  1  2  5   n n BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  4. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 5.2n  3n 5.2n  3n  2  3n  n lim n1 n1  lim n Tính lim     n 2 3 2.2  3.3n    4      2 n  3  5    1 Giải n  3     1 Ta có :  lim  2   2  3n   2  3  n n n 3 n 3n  2    3  lim     n   lim       0  3     4      4          n cos n  3n  4n  1 Tính lim  3    n2  Tính lim n 4  2 1 n Giải Giải Ta có : Ta có  n cos n   cos n   1  lim  3    lim  3  3 n n n 3 4   1     n  n 2  4  4  3n  4n  1    1  lim Vì lim n 4  2 1  1 1  n n n cos n cos n 1 1 cos n 4n 1          mà lim  0 nên lim 0  2 4    n n n n n  n 2 cos5n  5.2n  cos5n Tính lim  5   Tính lim n3 2n   Giải Giải Ta có : Ta có :  cos5n   n 2 cos5n   cos5n  2n  5  n  lim  5    lim  5  5 5.2  cos5n n  lim  2 5  n 3   n lim n n 2 2 Vì 7.2n  4n Tính lim n cos5n cos5n 1 1 cos5n   mà lim  0 nên lim 0 2.3  4n n n n n n Giải Ta có : Tính lim( n 2  1  n 2  n ) 7  4n  n  1 Giải 7.2  4 n n 2  1  lim lim n Ta có : lim( n 2  1  n 2  n ) 2.3  4  3  n n 4n  2    1 ( n 2  1  n 2  n )( n 2  1  n 2  n )  4    =lim n2 1  n2  n 5.2  3 n n Tính lim 2n1  3n1 Giải Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  5. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 2n  3 2n  3 (n 2  1)  (n 2  n)  lim  lim =lim 2   n 1  n  n n 2  2n  3  n 23 2 n  1   2  1 n 1   nn =lim 2   n 1  n  n 2 3 2 1 1 2 n  lim 1 1  n  =lim 11 23 12 1 1  2 1 1 2  1 nn n n     n2  n  n2  1 Tính lim n2  1  n2  2 Tính lim n Giải Giải Ta có : Ta có :     n2  n  n2  1 lim n2  1  n2  2 lim n       n2  n  n2  1 n2  n  n2  1 n2  1  n2  2 n2  1  n2  2 n  lim  lim n2  n  n2  1 n2  1  n2  2  1 n 1   n  n 2  1   n 2  2   n 1  n 1  lim  lim  3n    lim  lim  2 n  n  n 1 2 2 1 1 n 1  1 2 n2  1  n2  2 n2  1  n2  2  n n   3n 3  lim   2   2 1 n 1 2  1 2  Tính lim n  2n  3  n 2 n n  Giải   lim n2  2n  3  n n 2  n  1  4n 2  2 Tính lim n3    n2  2n  3  n n 2  2n  3  n Giải  lim Ta có n 2  2n  3  n n 2  n  1  4n 2  2 n2  2n  3  n 2 lim  lim n3    n2  2n  3  n n 2  n  1  4n 2  2 n 2  n  1  4n 2  2  lim   n  3  n 2  n  1  4n 2  2 n 2  n  1   4n 2  2   lim   n  3  n 2  n  1  4n 2  2 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  6. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Chứng minh các dãy số có số hạng tổng quát 3n 2  n  1  lim   sau đây có giới hạn 0 :  n  3  n 2  n  1  4n 2  2 sin n  1 1 un  n 2  3   2  n n 1  n n  lim  3 Giải 3  2 2 11 n 1    1   2  4  2  Ta có :  n  nn n sin n sin n 1 sin n    n n 1 n n 1   n n n2  1  n2  2 Tính lim n 1 sin n mà lim  0 nên lim 0 Giải n n 1 n Ta có :  1 2    n2  1  n2  2 un   n n2 n  1  n  2  lim 2 2 lim n Giải n2  1  n2  2    lim Ta có : n n2  1   n2  2  3n  1   1 mà lim  1  0 nên lim  1  0 2 n n 2  lim n2  1  n2  2 n2  1  n2  2 n2 n2 n n 3n 3  lim   2 1 2 un  1 n 1 2  1 2  n! n n  Giải Ta có   Tính lim n2  3 n 3 11 1 1  mà lim  0 nên lim  0 n! n n n! Giải   lim n2  3 n 3 1  cos n 2   un    n  2  n  3  n  2   3 n  2. 3 n  3 n 2  2 3 3 2n  1    lim  n  2 2 Giải  3 n  2. 3 n  3 n2 3    n 3 3 Ta có : n2 3 3 1  cos n2  2 1  cos n2 2 1  lim   vì  nên  n  2 2n  1 2 2n  1  2 n  3 n  2. 3 n  3 n2  2n n 3 1  cos n2 1 n2n mà lim  0 nên lim 0  lim 2n  1 n  n  2 2  3 n  2. 3 n  3 n2 3 5n un  n 2 3 1  lim 0  n  2 2 Giải  n  2. n  n 2 3 3 3 3 Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  7. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) n  cos5n n 1 n 5n  5  1 5n      n  n  1 n n n 3n  1 3n n 3  n  cos5n 1  0 nên lim 0 n  5 mà lim 5n n n n  0 nên lim n 0 mà lim   n 3 1 3   un  2 n2  1  n n  sin 2n un  Giải n2  n Ta có : Giải    n  sin 2n n 1 n2  1  n n2  1  n 1   2   n  n  1 n n2  1  n  n n 2 2 n2  1  n n  sin 2n 2  n2  1  n2  1 mà lim  0 nên lim 2 0 2 2 n n    n n2  1  n n2  1  n n2  n  1 sin n 2  cos n n 21    un 23 n 1 2n n   1 Giải Mà lim  0 nên lim2 n2  1  n  0 n Ta có :  1 sin n 2  cos n 1 n 1  1 3 2 un  n  1  n  3  3   23 n 1 n n 2n Giải 1  1 sin n2  cos n  0 Ta có : n  1 3    mà lim    0 nên lim n 1  n n 1  n 23 n 1 n n 1  n  n 1  n  1 n 1 1 n 1 n un   1  1 2 1 1     2n1 3n1 n 1  n n  n 2 n 2 n  Giải 1    1 2 Ta có : Mà lim    0 nên lim n  1  n  0  1 n n 1 1 1 1 1 1  n1  n1  n1  n1  n1  n Tìm giới hạn của dãy số  un  với 2n1 3 2 3 2 2 2 1 1 1  1 1 n un    ...  n 1 . mà lim    0 nên lim n1  n1  0 n3  1 n3  2 n3  n 2 2 3 Giải Ta có số hạng tổng quát là : n  cos5n un  1 1 n  k  1,2,..., n  uk    n n n n3  k n3  1 n3  1 Giải Nên Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  8. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )  n 1 3 0  uk   u2  u1  n3 n 4  2  3 1 3  0 nên lim uk  0 u3  4 u2   4  u1 mà lim   n Cho dãy số  un  xác định bởi ............................   n 1 n 1 1  3 1 3 u1  3  un  un1    u1     4 4 4 4   4 un u  u  n 2 Mà  n1  n 2 CMR n 1 1 3 lim    0 1 a) 0  un  1 4 4 4  lim un  0 u 3 b) n1  un 4 Cho dãy số  un  xác định bởi Từ đó suy ra lim un  0 u1  10  Giải  Câu a) SD phương pháp quy nạp un1  un  11 Với n = 1 ta có 0  u1   (đúng) CMR a) un  1 , n 1 44 Giả sử (1) đúng với n  k  1 u 1 1 b) un1  1  n Nghĩa là 0  uk  (đúng) 2 4 c) Tìm lim un Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng Giải với n= k +1. Câu a) SD phương pháp quy nạp Thật vậy, ta có : Với n =1 ta có : u1  10  1(đúng) 2 uk 1 1  1 1 uk 1  uk      uk    2 Giả sử (1) đúng với . n  k  k  1 Nghĩa là 2 16 16  4  16 uk  1 1 31 Vì 0  uk  nên 0  uk 1   Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) đúng 4 16 4 với n= k+1, hay uk 1  1 Vậy (1) luôn đúng với mọi n. Thật vậy ta có : uk 1  uk màuk  1 nên uk 1  1 Câu b) Ta có : Vậy (1) luôn đúng với mọi n. un un1 un  2 2 1113   un     (ĐPCM). Câu b) theo bài ra ta có: un un 2424 3 Vậy un1  un 4 Từ đó suy ra BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  9. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) un1  un 2 2 un1  un  6  un1  18  un  12    3 3 un  1 un  1 2  un1  1  un  1   vn1  un  12 un  1 3 Mặt khác un  vn  18 u  1 un  1 n  2 2 Vậy vn1   vn  18  12  vn un  1 2 3 3 Câu c) Vậy  vn  là CSN lùi vô hạn với công bội Đặt vn  un  1  v1  10  1  9 và vn1  un1  1 2 q . Theo câu b ta có : 3 Câu b) 1 vn1  vn 2 2 Vì vn1  vn . Nên Vậy 3   1 2 v2  v1 v2  v1   2 3   2   2 1 2 1 2 v3  2 v2   2  v1 v3  3 v2   3  v1     ............................ .............................   n 1 n 1 n 1 n 1   1 1 2 2 1 2 vn  vn1    v1  9   vn  vn1    v1  13   2 2 3 3   2 3 Mà Mà n 1 n 1 1 2 lim9    0 nên lim vn  0  lim  un  1  0 lim13   0 nên lim vn  0 2 3  lim un  1  lim un  18 Cho dãy số xác định bởi Cho dãy số  un  xác định bởi u1  2  u1  5  u 1  n  1 un1  n     2 2 un1  3 un  6  Tính lim un . Gọi  vn  là dãy số xác định bởi vn  un  18 Giải Ta nhận xét a) CMR  vn  là cấp số nhân lùi vô hạn. 3 5 9 17 u1  2, u2  , u3  , u4  , u5  b) Tìm lim un . 2 4 8 16 Giải n 1 2 1 Dự đoán un  n1 1 Câu a) theo bài ra ta có: 2 Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  10. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Kiểm tra với n=1, ta có u1  2 đúng với bài n đúng với mọi n  1 Suy ra un  n 1 cho - Giả sử (1) đúng với n  k  k  1 . Nghĩa là n n Vậy lim un  lim  lim 1 n 1  1 2k 1  1 n 1   uk  k 1  n 2 - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) 11 Tính tổng S  2  2  1    ... 2 1 k 22 đúng với n = k+1.hay uk 1  k Giải 2 - Thật vậy ta có: 11 Dãy số vô hạn 2  2  1    ... là k 1 2 1 22  1 2.2k 1  1 2k  1 uk  1 2k 1 một CSN lùi vô hạn với công bội uk 1    k k 1 2 2 2.2 2 2 1 q  1  1 2n1 1  n1  2 2 2n1  1  2  1 Vậy lim un  lim n1  lim u 2 22 2n1 Do đó S  1   2 1 q 1 1 Cho dãy số  un  xác định bởi 2 1 2  1 u1  2 n 1 1 1 1  1  Tính tổng S  1,  , ,  ,...,    ,...  2 4 8  2 1  n  1 un1  Giải 2  un   n 1 1 1 1  1 Dãy số vô hạn 1,  , ,  ,...,    ,... Tính lim un 2 4 8  2 Giải 1 1 2 3 4 Là 1 CSN lùi vô hạn với q   Nhận xét u1  , u2  , u3  , u4  ... 2 2 3 4 5 u 1 2 Nên S  1   n 1 Dự đoán un  1 q 1 1 3 n 1 2 Ta chứng minh dự đoán bằng quy nạp 1 - Với n=1, ta có : u1  (đúng) Tìm dạng tổng quát của CSN lùi vô hạn 2  un  . Biết tổng của nó bằng 32 và u2  8 - Giả sử (1) đúng với n  k  k  1 . Giải k Nghĩa là uk  u Theo bài ra ta có : S  1  32 1 k 1 1 q - Theo giả thuyết quy nạp ta cần CM (1) 8 k 1 Mặt khác u2  u1q  8  u1  thế vào (1) đúng với n = k+1. Hay uk 1  q k2 - Thật vậy theo bài ra ta có: k 1 1 1 uk 1    2  uk 2  k k 2 k 1 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  11. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) ta có Ta có 8 11 lim n2  n  1  lim x 1   2   1 q nn  32  4q 2  4q  1  0  q   u1  16 1 q 2 n 1 1 vậy số hạng tổng quát là un  16   Tính lim 2n3  n2  1 2 Giải Ta có : 11 lim 2n3  n 2  1  lim n n 2     n n3   Tính lim n2  n n  1 Giải Ta có :  1 1   lim n2  n n  1  lim  n 2  1      n n2   3n  n3 Tính lim DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC 2n  15 Giải Tính lim(2n3+3n-1) Ta có : giải 3  n3  2  1 3n  n 3 1 3 n    3 3 Ta có lim(2n +3n-1)=lim n (2+ 2  3 )=+   lim lim n n 2n  15  2 15  n3  2  3  n n Tính lim(-2n2+n n -n+4) Vì Giải  3  Ta có : lim(-2n2+n n -n+4) lim  n 2  1  1   1 14 =limn2(-2+   )   .  n n2 n lim  2  15   0 và 2  15  0   n 2 n3    n 2 n3 Tính lim 3 5n  n3 n 2  n  11 Giải Tính lim 3n 2  n  1 Ta có : Giải 5  lim 3 5n  n3  lim n  3 2  1    Ta có : n  Tính lim n2  n  1 Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  12. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Giải  1 11  n 2 1   2  n  n  11 Ta có : 2  n n     lim lim n3  n 2  2 2 2 3 1  3n 2  n  1 lim  n    lim n2  2  3  1  n 1 n 1  n n   1 2   1 11  n3  1   3  lim  1  n  n 2   1  lim  n n     3 1 1 vì  n  2  3 lim 3  1  1  0 và 3  1  1  0 n n   n 2 n3 n 2 n3 Vì   1 2 Tính lim( n  1  n  n ) 2 2 lim 1  n  n3   1  0 Giải    Ta có :lim( n  1  n  n ) 2 2 lim  1  1   0 và 1  1  0   n 2 n3  1 1   n 2 n3 =limn( 1  2  1  )   n n n3  2n  1 Tính lim 2 2n  n  3  1 Tính lim  2n   Giải  n n3  2n  1 21 1 2  3 Giải n  2n  1 3 3  lim 2 n n n   lim 2  lim 113 2n  n  3 2n  n  3 Ta có :  n n 2 n3 n3  1  11 lim  2n    lim2n 1     Vì  n  n 2n   2 1 lim 1  n 2  n3   1  0   3n3  5n  1  Tính lim lim  1  1  3   0 và 1  3  1  0 n2  4   n n 2 n3  Giải   n n3 n 2 Ta có :  2 Tính lim  n 2   1 1  n3  3  5 2  3  n 1  3n  5n  1 3  lim  n n   Giải lim n 4 3 1 4 2 n   3 n3  n 2  2  2 lim  n 2   lim n n   n 1 n 1  Vì  1 2  1 1 n3  1   3  lim  3  5 n 2  n3   3  0  lim  n n     3 1 1  n  2  3 lim  1  4   0 và 1  4  0 n n   n n3    n n3 Vì  2 Tính lim  n 2   n 1  BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  13. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )     1 2 lim n 2  1  2n 2  1 lim 1   3   1  0    n n     n 2  1  2n 2  1 n 2  1  2n 2  1 1 1 lim 11   0 và 2  3  0  lim   n 2 n3    n 2  1  2n 2  1 n n  2n  1 1  3n  n 2  1   2n 2  1 n2  2 Tính lim  lim  lim n  7n2  5 33 n 2  1  2n 2  1 n 2  1  2n 2  1 Giải Ta có :  2 n 2 1  2   1  1  2 3  n  2n  1 1  3n   lim  n  n     lim      1 2 1 lim 1 n  2 4 2 4 n  7n2  5 2 33 17 5  4 6 3 n n n n 3 nnn Vì vì    2   1  1  lim   1  2   1  0 lim  2  n  n  3   6  0    n        11 21 11 21 lim 3 17 5 17 5 lim n2  n4  n2  n4  0 và n2  n4  n2  n4  0  4  6  0 và 3  4  6  0    n3 n n nnn 1 5 n  2.3 n Tính lim Tính lim n n 1  n 4 1 Giải Giải 3 Ta có : 5 n (1  2.( ) n ) 5 n  2.3 n n 1  n 5 Ta có :lim n =lim 1  lim 4 1    lim 4n 1 5 n (( )  n ) n 1  n n 1  n n 1  n 5 5 3 1  2.( ) n   n 1  n 1  lim  lim n  1   1   5   =lim n 1 n 4 1 n   ( )n  n 5 5 Tính lim  2n  4n1  1 3 4 1 (vìlim(1+2.( ) n )  1 >0,lim(( ) n  n )  0 5 5 5 Giải 4n 1 và ( )  n  0 ) Ta có : 5 5  n 4n  lim  2  4  1  lim  2   1   n 1 n n 2  1  2n 2  1 Tính lim   4  1 1  Giải n n n 1  lim 4          Ta có :  2  4  4     Vì BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  14. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) lim 4n   Tính lim un  1 1 1   1  1  1   Với un  1    ...  n n 1 lim  2   4   4     4  0 2 3 n        Giải Ta có : 5 2 n 1 là số nhỏ nhất trong n số Tính lim Vì 1  2.2 n n Giải Nên Ta có : 1 1 1 1 1 un     ...   n. n n 2 5 1  n  n n n n n 5n  2  5 Mà lim n    lim un    lim   lim 1  2.2 1  n n 2 5n  n  2.   5 5  2n  3n   Tính lim n  2n Vì Giải  2 lim 1  n   1  0  n    5 3n  2. n  1 2n  3  n 3    2   lim n n 2 lim lim   2. 1 1 n2  n 2      0 và n  2.   0 n n   5n 5  3n  n     5 5   3 3     lim n  0  3n  n  2n1  3.5n  3 Vì lim  2. n  1  1 Tính lim  3  3.2n  7.4n  n 2  Giải n n n 2 lim  n      0 và n     0  3 3  Ta có : 3 3    2  n 1 5n  2.   3  3. n   5 5 2n1  3.5n  3  lim     lim 3.2  7.4  2 4  n n n n 5n  3.   7.    5 5    Vì    2 n 1 lim  2.   3  3. n   3   5 5      2 4  n n n n 2 4 lim  3. 5   7. 5    0 và 3. 5   7. 5   0         BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  15. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) x 1 3 1 2   lim x 3 x  2 3 2 5 x3 Tính lim x 1 x 3 Giải x3 0 Ta có : lim x 1 x 3 x2 Tính lim 2x  1  x 3 Giải x  2 2.3  2 8   lim 2 x  1 2.3  1 7  x 3 x2  2 x  3 Tính lim x2 x 3 Giải Ta có : x 2  2 x  3 32  2.3  3  0 lim x2 3 2 x3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ x2 Tính các giới hạn sau : Tính lim  x  4 2 x 4   Giải x2  5  1 Tính lim x2 Ta có : Giải lim  x  2   6  0  x 4 Ta có :    lim  x  4   0 và  x  4   0  x  4   2  2 2 x2  5  1   5 1  2 2 lim  x 4 x2 x2     Nên lim  x  4 2 x 4 x2  5  6 Tính lim x 2 Giải x2   x  5  6  2  5  6  3 Tính lim 2 2 lim  x  2 2 x 2 x2 Giải x 1 Ta có : Tính lim x 3 x  2 Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  16. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) lim  x  2   4  0 x 1  x 2 Tính lim 2 x  x  1  lim  x  2   0 và  x  2   0  x  2  2 2 Giải  x 2 Ta có : x2   Nên lim 11  x  2  2 x 2 x 1 x x2  0  lim lim x5 x  x 2  1 1 x  1 2 Tính lim  x  3 2 x 3 x Giải 1 1  lim  x  5   2  0  1 Tính lim 2  2  x3  x 1  x 0 x  lim  x  3  0 va  x  3  0  x  3 2 2 Giải  x3 Ta có : x5   1  1  x2  1  Nên lim 1 1   x  3 2  1  lim 2  2 x 3  lim 2  2  x  1  x 0 x  x  1  x 0 x x 1 3 1  x2 1 Tính lim  x  2  lim 2 2  lim 2  1 2 x 2 x 0 x x  1 x 0 x  1 Giải  x2  1 1  2 x  2 x3  Ta có :  lim  x3  1   2   1  7  0 3 Tính lim  x2 x5  1 x   x2  x  2   0 và  x  2   0  x  2  Giải 2 2 lim  Ta có :  x2  1 1  2 x  2 x3  x3  1   Nên lim  x  2 lim 2 x 2 x5  1 x  Tính lim   x3  x 2  2 x  1  1  1  2 x 5 1  2  3  2  2  x  lim  x  x  2 Giải x  1 x  Ta có : x5 1  5  lim   x3  x 2  2 x  1  x x   x2  1 1  2 x  x4  3 1 2 1  lim   x  1   2  3    Tính lim x6  1 x xx x x  Giải Ta có :  x2  1 1  2 x  x 4  Tính lim  x 2  x  1 lim x x6  1 x  Giải  1  1  2 Ta có : x 6 1  2  4  3  1  lim  x  x  2  1 1 lim  x 2  x  1  lim x 2 1   2    x  1 x   x x x  x x 6 1  6   x BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  17. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) Ta có : x2  1   Tính lim lim x  x 2  x  1 x  x  1 x  Giải    x  x2  x  1 x  x2  x  1 Ta có :  lim 1 1 x  x2  x  1 x  x 1 2 1 2 x 1 2 x 2   x 2  x  1 x  lim x 1  lim lim x 1 x  x  1  1 1 x  x   lim  lim 1 x 1   x  x2  x  1 x  x   x 11 x x  x 1  2 xx  1 2 x2  1 x 1   Tính lim  x x2 1 x   lim  x   1 1 2 Giải x 1  1   2  Ta có : x x  1 1 x 2 2  2 2 2 x2  1   x  lim x  2  lim Tính lim x 2  x  x 2  2 lim x2  2  x 1  2 x  x  x x 1   Giải  x x     x2  x  x2  2 Tính lim x  x 2  x  1 lim x  x    Giải x2  x  x2  2 x2  x  x2  2 Ta có :  lim   x2  1  x2  2  1 1 x  lim x  x  x  1  lim  x  x 1   2  2 x2  x   x2  2 x2 x  x  x x   lim  lim x2  1  x2  2  1 1 x  x  1 2 x 1 2  x 1 2 lim x 1  1   2    x x x  x x   2 x 1      x 1  lim  Tính lim x  x 2  3x  1 x    x 2 1 2 x 1 2  1 2  Giải x x   Ta có :    3 1   lim x  x 2  3x  1  lim  x  x 1   2  x2  x  x2  2 Tính lim x  x  x x  x Giải  3 1 lim x 1  1   2    Ta có : x  x x    Tính lim x  x 2  x  1 x Giải BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  18. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )    1 1 lim x 2  x  x 2  2 x3  2   3  2x  x  1 x  3 2  x x  lim    lim 6 x  3 x  2 x  1 x  6  2 1 x x  x 2 x x  x 2 4 2 2 2 2 x 3  2  6   lim  x x x2  1  x2  2 x  11 x2  x   x2  2 2  3 x2 xx  lim  lim 0 lim x  3  2 1 x 1  x  2 x  x  2 2 1 2 x 3  2  6  x 1 2  x 1 2  x x x x  2 x 1   2x  1  x 1  lim  Tính lim x 3x  x 2  2 3  2 x  x  2 1 x 1 2  1 2  Giải x x  Ta có :  1 x x 2   1 1 2x  1  x 2  lim  x lim x Tính lim 3x  x  2 x 3 2  1 2 3 x  1 x 0 x x3   3  1  x x x Giải 2x  3 Ta có : Tính lim x 1 1 2 x2  3 x  1 x 1 x  lim x  lim  1 Giải lim 1 x 0 1  x x 0 x  1 x 0 1 Ta có : x x  3 x 2   2x  3  lim  x 2   2 2x  3 lim 2 x 2  3 x x 2  3 Tính lim x  2 x  1  3 x x Giải Ta có : x4  x2  1  3 x 2   Tính lim  x3  1  x  1 2x  3  x 2 x   lim  lim x  1  3 x x   1  3 Giải x   3 x  Ta có : 2x  x  1 3 2  1 1 x 4 1  2  4  Tính lim 6 x  3 x  2 x 4  1 x  x 1 4 2  x x  1  lim lim  x  1  x  1 x x4 1  13 1  1  Giải 3 x     Ta có :  x  x  BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  19. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC ) 3x  1 Giải Tính lim Ta có : x2  1  2x x   x  1  x  3 x2  2x  3 Giải  lim lim 2 x 1 2 x  x  1  1  1 x 1 2  x  1  x   x3    2 3x  1  x  lim lim x3 x 2  1  2 x x x 1  1  2 x x  4   x  1  lim x 1  1 3 x2 2 x   Ta có  2  1 x3   x  x2 2  x  lim 3 Tính lim x2  1 x    x 1 1 x  1 2  2 Giải x   Ta có : 14  x  x  1  x  2  x2  x  2 Tính lim  lim lim x  x 1 x  x 1  x  1  x  1 2 x 1 2 x 1 Giải x2 3   x  1  14   lim x   1 x 1 x  1 2 14  x x   lim lim x  x 2  1 x x  x 1  1 x  1  x   1 3 2 x Tính lim x 0 x  14  Giải x   1 1  x   1  lim x  x 2  3x  3  3 x  0 x  1  lim 3   x   1 2 lim x 1  1  2  x 0 x0 x x x  GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH   VÀ x3  8 0  Tính lim 2 x 2 x  11x  18 0 Giải GIỚI HẠN MỘT BÊN Ta có :  x  2  x2  2x  4 x3  8 x3  lim lim 2  x  2  x  9 Tính lim 2 x 2 x  11x  18 x 2 x 3 x  2 x  3 Giải x 2  2 x  4 12   x  2   lim Ta có : x9 x 2 11 x3 x3  lim lim 2 x 3  x  1  x  3  x 3 x  2 x  3  x  3  27 3 Tính lim 1 1    x  3  lim x 0 x x 3 x  1 4 Giải Ta có : x2  2 x  3 Tính lim 2 x 1 2 x  x  1 BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
  20. BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ( CÓ SD TÀI LIỆU TỪ CÁC NGUỒN KHÁC )  x  3  27  lim x3  9 x 2  27 x  27  27 3    lim x2  5  3 x2  5  3 x 0 x 0 x2  5  3 x x  lim x  x 2  9 x  27    lim x2  x  2 x2  5  3 x 2 x 2  27  x  0   lim x 0 x  x  2  x  2 x2  5  9  lim  lim     2 x3  5 x 2  2 x  3  x  2  x 2  5  3 x2  x  2  x 2  5  3 x 2 Tính lim 3 x 3 4 x  13 x 2  4 x  3 x2 2    x  2   lim Ta có : x2  5  3 x 2 2 x3  5 x 2  2 x  3 3 lim 3 x 3 4 x  13 x 2  4 x  3  x  3  2 x 2  x  1 2 x 2  x  1 11 x 1  lim  lim    x3 4 x2  x  1 17 Tính lim x  3  2  x 3 x  3 4 x 2  x  1 x 1 x  3 Giải Ta có :    1 3 x 1 x  3  2  x 1 Tính lim  3  lim x 1 1  x 1 x      lim x  3  2 x1 x  3  2 x  3  2 x 1 Giải       Ta có : x 1 x  3  2 x 1 x  3  2 1   lim  lim 1 3    3 x 1   lim     x 1 x 1 x 1 x 1 lim  1  x3  x1  1  x 1  x  1  x  x 2   x1 1  x    x3 2  2  x  1  1  x  x2  3   lim x2  x  2 x 1  lim    lim x1     x1 1  x  1  x  x2  x 1  1  x 1  x  x 2  2 x  Tính lim  x  1  x  2   lim x  2  1 x  1 x7 3 x 2    lim    x1 1  x  x2 Giải x 1  x  1 1  x  x 2 Ta có : x5 2  x  x7 3 Tính lim 2 x x 5  lim x 5    lim x  7  3 x 2 x 7 3 x7 3 x 2 Giải 2  x   lim Ta có : x7 3    2   x 5 x 5  lim x  7  3  6 x5 5  x  5  lim x2 x 2 x 2 lim x5 x  5 x 5 x5 x32 Tính lim x 5 3 2 x 1 x 1 Tính lim x2 x 2 Ta có : Ta có : BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG - 0975 034 943
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2