intTypePromotion=1
ADSENSE

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

70
lượt xem
3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đặc trưng cấp hai của hàm véc tơ lồi"

  1. T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 Đ C TRƯNG C P HAI C A HÀM VÉC TƠ L I Phan Nh t Tĩnh, Trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Hu Tóm t t. Trong bài báo này, chúng tôi gi i thi u m t khái ni m m i v các ánh x C -xác đ nh và ch ng minh r ng m t hàm véctơ hai l n kh vi liên t c là l i theo nón C n u và ch n u vi phân c p hai c a nó là C -xác đ nh. K t qu này m r ng k t qu đã bi t v đ c trưng c p hai c a các hàm l i trong gi i tích c đi n. 1. Gi i thi u và m t s ki n th c chu n b G n đây, l p hàm véc tơ l i đã thu hút đư c s quan tâm c a nhi u nhà toán h c vì c u trúc đ c bi t cũng như nh ng ng d ng c a chúng trong t i ưu véc tơ (xem [1-7]). M t trong nh ng v n đ ngư i ta quan tâm khi kh o sát l p hàm này là các đ c trưng c a chúng. Trong các công trình [6,7], các đ c trưng c a tính l i c a hàm véc tơ đư c bi u hi n qua các tính ch t đơn đi u c a đ o hàm theo hư ng và vi phân c a chúng đã đư c nghiên c u khá k lư ng. Tuy nhiên các k t qu liên quan đ n m i quan h c a hàm véc tơ l i v i các tính ch t đ c thù c a vi phân c p hai c a chúng còn h t s c sơ sài. M c đích c a bài báo này nh m thi t l p m i quan h đó mà khi đưa v trư ng h p vô hư ng, thu l i đư c các k t qu c đi n v ch đ này trong gi i tích l i. Ta nh c l i r ng m t t p không r ng C ⊂ Rm đư c g i là nón n u tc ∈ C, ∀c ∈ C, t ≥ 0. M t nón C ⊂ Rm xác đ nh trên Rm m t th t đ nh nghĩa b i y ⇔ y − x ∈ C. x M t hàm véc tơ f t m t t p con l i không r ng D ⊂ Rn vào Rm đư c g i là l i (tương ng v i C ) n u v i m i x, y ∈ D, x = y, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y ) λf (x) + (1 − λ)f (y ). Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n, ta kí hi u b i L(X, Y ) là không gian các ánh x tuy n tính liên t c t X vào Y . Chu n trên không gian L(X, Y ) xác đ nh b i A ∈ L(X, Y ), A := sup{ A(x) |x ∈ X, x ≤ 1}. 127
  2. Đ nh nghĩa 1.1. M t toán t F : D ⊂ Rn → L(Rn , Rm ) đư c g i là đơn đi u (tương ng v i C ) n u (F (x) − F (y ))(x − y ) ∈ C, ∀x, y ∈ D. Cho D ⊆ Rn là m t t p m không r ng, x ∈ D và f : D → Rm là m t hàm véc tơ kh vi t i x. Ta kí hi u vi phân c a f t i x là Df (x). Gi s f kh vi t i m i x ∈ D, khi đó ta có th kh o sát tính kh vi c a ánh x Df : D → L(Rn , Rm ). N u Df kh vi t i x ∈ D thì ta nói f kh vi c p hai t i x và kí hi u vi phân c a Df t i x là D2 f (x). Khi Df kh vi t i m i x ∈ D thì ta đư c ánh x vi phân c p hai D2 f : D → L(Rn , L(Rn , Rm )). Ta nói f hai l n kh vi liên t c n u f kh vi c p hai t i m i x ∈ D và ánh x D2 f là liên t c. Trong đ nh lý sau, nón th t C đư c gi thi t là l i, đóng. Đ nh lý 1.2.([6, Theorem 3.5]) Gi s D ⊂ Rn là m t t p l i m không r ng và f : D → Rm là m t hàm kh vi trên D. Lúc đó, f là l i khi và ch khi Df là m t toán t đơn đi u trên D. 2. Đ c trưng c p hai c a hàm véc tơ l i Trong m c này, không gian Rm đư c gi s là đư c s p th t b i m t nón C l i, đóng. Cho A ∈ L(Rn , L(Rn , Rm )). V i m i x, y ∈ Rn , kí hi u A(x, y ) := [A(x)](y ). Đ nh nghĩa 2.1.Ta nói ánh x A ∈ L(Rn , L(Rn , Rm )) là C −xác đ nh n u A(x, x) ∈ C, ∀x ∈ Rn . Cho D ⊆ Rn là m t t p không r ng. M t ánh x F : D → L(Rn , L(Rn , Rm )) g i là C − xác đ nh n u F (x) là C −xác đ nh v i m i x ∈ D. Ta th y ngay r ng khi m=1 và C = R+ thì A là C −xác đ nh khi và ch khi ma tr n bi u di n A là n a xác đ nh dương. Đ nh lý 2.2. Cho D ⊆ Rn là m t t p l i m không r ng và F : D → L(Rn , Rm ) là m t ánh x kh vi liên t c trên D. Khi đó, F đơn đi u n u và ch n u DF là C −xác đ nh. Ch ng minh. ⇒ : Gi s ngư c l i DF không C −xác đ nh trên D. Khi đó có x0 ∈ D, y0 ∈ Rn sao cho DF (x0 )(y0 , y0 ) ∈ C. / (1) Đ t φ(t) = DF (x0 + ty0 )(y0 , y0 ). Do DF liên t c trong m t lân c n c a x0 nên φ cũng liên t c trong m t lân c n c a 0, thêm vào đó C đóng và (1), suy ra t n t i > 0 sao cho φ(t) ∈ C, ∀t ∈ [0, ]. / (2) 128
  3. Đ t Φ(t) = F (x0 + ty0 )(y0 ). Khi đó Φ(t) kh vi trong m t lân c n c a [0, ] nên áp d ng đ nh lý giá tr trung bình, ta tìm đư c τ ∈ (0, ) sao cho Φ( ) − Φ(0) = DΦ(τ )( ). (3) Xét các ánh x sau ψ : t → x0 + ty0 , ϕ : A ∈ L(Rn , Rm ) → A(y0 ). Khi đó Φ = ϕ ◦ F ◦ ψ. Dùng công th c dây chuy n, ta xác đ nh đư c DΦ(τ )( ) = DF (x0 + τ y0 )(y0 , y0 ) = φ(τ ). (4) T (2), (3) và (4) suy ra (F (x0 + y0 ) − F (x0 ))(x0 + y0 − x0 ) = (F (x0 + y0 ) − F (x0 ))(y0 ) = (Φ( ) − Φ(0)) = DΦ(τ )( ) = 2 φ(τ ) ∈ C. / Suy ra F không đơn đi u trên D, mâu thu n v i gi thi t. ⇐ : L y tùy ý x, y ∈ D. Xét hàm véc tơ m t bi n Φ(t) = F (x + t(y − x))(y − x). Hàm này kh vi trên m t kh ang m ch a [0, 1] nên tương t như ch ng minh ph n trên, áp d ng đ nh lí giá tr trung bình ta tìm đư c τ ∈ (0, 1) sao cho (F (y ) − F (x))(y − x) = Φ(1) − Φ(0) = DΦ(τ )(1) = DF (x + τ (y − x))(y − x, y − x) ∈ C. V y, F đơn đi u trên D. Đ nh lý đư c ch ng minh Đ nh lý 2.3. Cho D ⊆ Rn là m t t p l i m không r ng và f : D → Rm là m t hàm véc tơ hai l n kh vi liên t c trên D. Lúc đó, f là l i khi và ch khi D2 f là C − xác đ nh . Ch ng minh. Ta có f là l i trên D ⇔ Df đơn đi u trên D (Đ nh lí 1.2) ⇔ D2 f C −xác đ nh trên D (Đ nh lí 2.2). Đ nh lý đư c ch ng minh H qu 2.4. Cho D ⊆ Rn là m t t p l i m không r ng và f : D → R là m t hàm hai l n kh vi liên t c. Lúc đó f là l i khi và ch khi Hessian Hf (x) t i m i x ∈ D là n a xác đ nh dương. Ch ng minh. Suy t Đ nh lí 2.3 và nh n xét ngay sau Đ nh nghĩa 2.1. 129
  4. TÀI LI U THAM KH O [ 1] Đ.T. Luc, Generalized convexity and some applications to vector opti- mization, Viet. J. Math., 26, (2), (1998), 95-110. [ 2] Đ.T. Luc, N.X. Tan & P.N. Tinh, Convex vector functions and their subdifferential, Acta Math. Viet., 28 (1), (1998), 107-127. [ 3] P.N. Tinh, On a representation of convex vector functions and the maximal cyclical monotonicity of their subdifferential, Acta Math. Viet., 24, (2), (1999), 183-191. [ 4] P.N. Tinh, N.X. Tan & Đ.T. Luc, Subdifferential characterization of quasiconvex and convex vector functions, Viet. J. Math., 26, (1), (1998), 53-69. [ 5] P.N. Tinh & N.X. Tan, On conjugate maps and directional derivatives of convex vector functions, Acta Math. Viet., (2000), 214-244. [ 6] P.N. Tinh , On characterization of convex vector functions and opti- mization, Proceedings of the sixth Vietnam-Korea joint workshop, Mathemat- ical Optimization Theory and Applications, Publishing House for Science and Technology, (2008), 311-326. [ 7] C. Cusano, M. Fini, D. Torre, Characterizations of convex vector func- tions and optimization, Journal of Inequalities in Pure and Applied mathemat- ics, Vol. 5, Iss. 4, Article 101, (2004), 154-163. SECOND ORDER CHARACTERIZATION OF CONVEX VECTOR FUNCTIONS Phan Nhat Tinh, College of Sciences, Hue University Sumarry: In this paper, we introduce a new concept of C -definite maps and prove that a twice continuously differentiable vector function is convex with respect to a cone C if and only if its second differential is C -definite. This result generalized the well known result on second order characterization of convex functions in classic analysis. 130
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2