Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn."

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 4. Lê Văn Hiển, Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ của bài toán xác định nguồn."

sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n x¸c ®Þnh nguån Lª V¨n HiÓn (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i chøng minh sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n x¸c ®Þnh nguån d¹ng  ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω × (0, T ),  u| = 0,  ∂ Ω×(0,T ]  u|t=0 = ϕ. bëi gi¸ trÞ cña u t¹i t = T. 1. më ®Çu Bµi to¸n x¸c ®Þnh nguån lµ mét bµi to¸n cã nhiÒu ý nghÜa lý thuyÕt còng nh ý nghÜa thùc tiÔn, nªn ngoµi nh÷ng nghiªn cøu ®Þnh tÝnh, ngêi ta cßn quan t©m ®Õn c¸c nghiªn cøu ®Þnh lîng, tøc lµ ph¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i chóng, còng nh so s¸nh lêi gi¶i xÊp xØ víi lêi gi¶i thùc tÕ. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i tr×nh bµy ph¬ng ph¸p Galerkin ®Ó rêi r¹c vµ chøng minh sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n x¸c ®Þnh nguån  ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω × (0, T ),  (1.1) u| = 0,  ∂ Ω×(0,T ]  u|t=0 = ϕ. Víi ®iÒu kiÖn bæ sung u(x, T ; f, ϕ) = ψT (x), x ∈ Ω (1.2) (ë ®©y u(x, T ; f, ϕ) lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) øng víi c¸c d÷ kiÖn f , ϕ, t¹i thêi ®iÓm T), trong ®ã n n Lu = (aij (x, t)ux + ai (x, t)u)x + bi(x, t)ux + a(x, t)u. j i i i,j =1 i=1 XÐt bµi to¸n x¸c ®Þnh f khi gi¸ trÞ cña u ®îc cho bæ sung t¹i T: tøc lµ, t×m u vµ f , khi u tháa m·n hÖ (1.1) vµ ®iÒu kiÖn (1.2). Nãi chung bµi to¸n nµy cã thÓ kh«ng tån t¹i duy nhÊt nghiÖm, vµ nÕu nghiÖm tån t¹i duy nhÊt th× nã cã thÓ kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ψT (x), tøc nã lµ mét bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Chóng t«i nghiªn cøu bµi to¸n nµy b»ng ph¬ng ph¸p biÕn ph©n nh sau: T×m f ∈ L2 (QT ) sao cho 1 2 J (f ) = u(., T ; f, ϕ) − ψT (x) (1.3) L2 (Ω) 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. NhËn bµi ngµy 11/11/2009. Söa ch÷a xong 22/2/2010. 1
§Ó gi¶i bµi to¸n nµy, hoÆc lµ dïng ph¬ng ph¸p gradient liªn hîp (xem [1]), hoÆc ta ¸p dông ph¬ng ph¸p chØnh Tikhonov cho phiÕm hµm 2 J (f ) + α f (1.4) L2 (QT ) víi α > 0 chän thÝch hîp (phô thuéc vµo sai sè cña ψT ). §Ó gi¶i sè bµi to¸n (1.3),(1.1) hoÆc (1.4),(1.1) ta ph¶i rêi r¹c hãa, sau ®ã dïng c¸c ph¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i chóng. Mét c©u hái ®Æt ra lµ nghiÖm cña bµi to¸n rêi r¹c cã héi tô ®Õn nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n ngîc hay kh«ng? C©u hái nµy cha ®îc tr¶ lêi trong c¸c nghiªn cøu tríc ®©y, mÆc dï ®· cã nhiÒu c«ng tr×nh ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n ngîc (1.1)-(1.2) ([1]). Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i sÏ nghiªn cøu bµi to¸n trªn vµ chØ ra sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ b»ng ph¬ng ph¸p Galerkin tíi nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n ngîc. ë ®©y chóng t«i chØ xÐt trêng hîp f (x, t) = f (x) ∈ L2 (Ω). 2. Mét sè kiÕn thøc bæ trî 2.1. C¸c gi¶ thiÕt cho bµi to¸n (1.1)-(1.2). Trong bµi b¸o nµy chóng ta gi¶ thiÕt Ω lµ miÒn giíi néi trong Rn , n ≥ 2; T > 0 cho tríc. QT = Ω × (0, T ). Ký hiÖu L2 (Ω) lµ kh«ng gian tÊt c¶ c¸c hµm b×nh ph¬ng kh¶ tÝch trªn Ω, víi tÝch v« huíng (u, v)L (Ω) = u(x)v(x)dx vµ chuÈn u L (Ω) = (u, u)L (Ω) ; ∀u, v ∈ L2 (Ω). H 1,0 (QT ) = 2 2 2 Ω L2 ((0, T ); H 1 (Ω)) lµ kh«ng gian tÊt c¶ c¸c hµm u(x, t) trong L2 (QT ) cã c¸c ®¹o hµm yÕu ∂u/∂xi , i = 1, ..., n kh¶ tÝch trªn QT víi tÝch v« híng vµ chuÈn ®îc ®Þnh nghÜa = (u, u)H 1,0 (QT ) ; ∀u, v ∈ H 1,0 (QT ). (u, v )H 1,0 (QT ) = (uv + ux vx )dxdt; u H 1,0 (QT ) QT lµ kh«ng gian con cña H 1,0 (QT ) gåm c¸c hµm tr¬n v« H0 ,0 (QT ) = L2 ((0, T ); H0 (QT )) 1 1 h¹n vµ b»ng kh«ng ë gÇn biªn ∂QT cña QT . Kh«ng gian L∞ (QT ) lµ kh«ng gian c¸c hµm ®o ®îc, bÞ chÆn hÇu kh¾p n¬i trªn QT . C¸c hÖ sè aij (x, t), i, j = 1, 2, ...n; ai (x, t), bi (x, t), i = 1, 2, ..., n; a(x, t) cña hÖ ph¬ng tr×nh (1.1) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: aij , ai , bi ∈ L∞ (QT ); aij = aji , víi mäi i, j = 1, 2, ..., n. Tån t¹i c¸c h»ng sè d¬ng ν, µ tho¶ m·n: n (aij (x, t)ξi ξj ≤ µξ 2 . νξ 2 ≤ i,j =1
n n a2 , b2 , |a| ≤ µ. i i i=1 i=1 Do tÝnh ®Æt kh«ng chØnh nªn kh«ng ph¶i lóc nµo bµi to¸n (1.1) còng tån t¹i nghiÖm theo nghÜa cæ ®iÓn. Do ®ã ®Ó h¹n chÕ ®iÒu nµy ngêi ta ®a ra kh¸i niÖm nghiÖm yÕu nh sau: 2.2. §Þnh nghÜa ([2]). NghiÖm yÕu u(x, t) cña bµi to¸n (1.1) trong H01,0 (QT ) lµ phÇn tö u ∈ H01,0(QT ) tháa m·n ®ång nhÊt thøc n n n (−uηt + aij uxj ηxi + ai uηxi + bi uxi η + auη )dxdt = ϕη (x, 0)dx + f ηdxdt, QT Ω QT i,j =1 i=1 i=1 ∀η ∈ H 1,0 (QT ). Víi kh¸i niÖm nghiÖm yÕu nh trªn ta cã kÕt qu¶ sau: 2.3. §Þnh lý ([2]). NÕu ϕ ∈ L2 (Ω), f ∈ L2 (QT ), th× bµi to¸n (1.1) cã duy nhÊt nghiÖm yÕu u(x, t) trong C ([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ H 1,0 (QT ). Ngoµi ra ta cã bÊt ®¼ng thøc u ≤ C( ϕ +f L2 (QT ) ), H 1,0 (QT ) L2 (Ω) ë ®©y C lµ h»ng sè x¸c ®Þnh bëi c¸c hÖ sè cña ph¬ng tr×nh trong (1.1), Ω vµ T. 2.4. XÊp xØ b»ng ph¬ng ph¸p Galerkin. Gi¶ sö ψk (x) lµ hÖ c¬ së trong H01 (Ω). §Ó ®¬n gi¶n ta gi¶ thiÕt nã trùc chuÈn trong L2 (Ω). Ta sÏ t×m nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) díi d¹ng N uN (x, t) = uN (t)ψk (x), (2.1) k k=1 tõ hÖ n n n (uN , ψl ) + aij uNj + ai uN , ψlxi ) + (bi uNi + auN , ψl ) = (f N , ψl ); l = 1, 2, ..., N. ( (2.2) t x x i=1 j =1 i=1 uN (0) = (ϕ, ψl ); l = 1, 2, ..., N, (2.3) l ë ®©y (.,.) lµ tÝch v« híng trong L2 (Ω). §Ó ý r»ng ph¬ng tr×nh (2.2) xÊp xØ vÕ ph¶i f bëi N fN = (f, ψk )ψk , (2.4) k=1 nªn do tÝnh trùc giao cña ψk , vÕ ph¶i cña (2.2) cã d¹ng (f N , ψl ) = (f, ψl ) (2.5)
Theo [2] (trang 119) nghiÖm uN cña hÖ (2.2)-(2.3) bÞ chÆn: uN L (Q ) ≤ C, víi h»ng sè 2 T C kh«ng phô thuéc N . Suy ra tån t¹i d·y con {uN } cña {uN } sao cho uN héi tô yÕu k k trong L2 (QT ) cïng víi c¸c ®¹o hµm yÕu uN , tíi phÇn tö u ∈ H01,0 (QT ), khi k → ∞. PhÇn k x tö u ∈ H01,0 (QT ) lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.1)-(1.2) (Xem [2], trang 119). Ta thÊy r»ng hÖ (2.2)-(2.3) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng, vµ khi ai = bi = 0; i = 1, 2, ...n, nã lµ mét hÖ ®èi xøng nªn rÊt dÔ gi¶i b»ng sè. Trong trêng hîp rêi r¹c nµy phiÕm hµm (1.3) cã d¹ng N 1 N uN (T )ψk − ψT δ 2 J (f ) = , (2.6) k 2 k=1 (ψT lµ mét ®¹i lîng gÇn ®óng cña ψT ). Gi¶ sö r»ng b»ng mét ph¬ng ph¸p gÇn ®óng δ nµo ®ã ta t×m ®îc f∗N sao cho ∗ N ∗ JN ≤ J (f∗ ) ≤ JN + εN (2.7) (víi εN > 0 vµ εN → 0 khi N → ∞). ë ®©y J (f N ) ∗ JN = inf f N ∈HN lµ kh«ng gian sinh bëi (ψ1 , ψ2 , ..., ψN ). HN Gi¶ thiÕt (2.7) lµ hîp lý, v× ta cã thÓ xÊp xØ bµi to¸n (2.6) b»ng ph¬ng ph¸p gradient liªn hîp víi mét c¸ch dõng thÝch hîp ®Ó cã ®îc sai sè nh trong (2.7) (xem [3]). 3. KÕt qu¶ chÝnh N 3.1. Bæ ®Ò. Cho f ∈ L2 (Ω) vµ f N = trong L2(Ω) khi N → ∞. f k ψk → f k=1 Khi ®ã khi N → ∞. |J (f ) − J (f N )| → 0, Chøng minh. Ta cã J (f ) − J (f N ) δ 2 − u(., T ; f N , ϕ) − ψT δ 2 = u(., T ; f, ϕ) − ψT L2 (Ω) L2 (Ω) u(., T ; f, ϕ) − u(., T ; f N , ϕ) + u(., T ; f N , ϕ) − ψT δ 2 − u(., T ; f N , ϕ) − ψT δ 2 = L2 (Ω) L2 (Ω) u(., T ; f, ϕ) − u(., T ; f N , ϕ) 2 + 2(u(., T ; f, ϕ) − u(., T ; f N , ϕ), u(., T ; f N , ϕ) − ψT ) δ = L2 (Ω) u(., T ; f − f N , 0) 2 + 2(u(., T ; f − f N , 0), u(., T ; f N , ϕ) − ψT ) δ = L2 (Ω) Do f N → f trong L2 (Ω), nªn theo ®Þnh lý (2.3) ta cã u(., T ; f − f N , 0) 2 (Ω) → 0, ngoµi ra 2 L do u(., T ; f N , ϕ) − ψT ≤ u(., T ; f N , ϕ) + ψT giíi néi , nªn ta cã vÕ ph¶i cña biÓu thøc δ δ trªn tiÕn tíi 0. Tõ ®ã suy ra |J (f ) − J (f N )| → 0 khi N → ∞.
Sù héi tô cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n ngîc (1.1)-(1.2) ®îc cho bëi ®Þnh lý sau: 3.2. §Þnh lý. Gi¶ sö f∗N tháa m·n (2.7), (u∗ , f∗ ) lµ nghiÖm cña bµi to¸n ngîc (1.1)- (1.2). Khi ®ã f∗N héi tô ®Õn f∗ trong L2 (Ω) vµ u(., t; f∗N , ϕ) héi tô ®Õn u∗ trong L2 (QT ). Chøng minh. Víi mäi ε > 0 tån t¹i f ε ∈ H 1(Ω) sao cho ε J ∗ ≤ J (f ε ) ≤ J ∗ + 2 . (víi J ∗ ). H¬n n÷a, theo bæ ®Ò (3.1) tån t¹i sè tù nhiªn N ∗ sao cho khi = inf J (f ) f ∈L2 (Ω) ta cã N ≥ N∗ ε |J (f ε ) − J (f εN )| < 2 . BÊt ®¼ng thøc nµy kÐo theo ε ε − 2 < J (f ε ) − J (f εN ) < 2 hay ε J (f εN ) < J (f ε ) + 2 . V× vËy ε JN ≤ J (f εN ) < J (f ε ) + ∗ ≤ J ∗ + ε. 2 §iÒu nµy kÐo theo lim sup JN ≤ J ∗ . ∗ N →∞ MÆt kh¸c, v× J ∗ ≤ JN , ∗ nªn lim inf JN ≥ J ∗ . ∗ N →∞ Nh vËy Nlim tån t¹i, vµ ∗ JN →∞ lim JN = J ∗ . ∗ (3.1) N →∞ Do vËy ta cã 0 ≤ J (f∗ ) − J ∗ ≤ |J (f∗ ) − JN | + |JN − J ∗ |. N N ∗ ∗ V× |JN − J ∗| tiÕn ®Õn 0 do ®iÒu kiÖn (3.1), vµ |J (f∗N ) − JN | tiÕn ®Õn 0 do (2.7), nªn tõ bÊt ∗ ∗ ®¼ng thøc trªn ta suy ra J (f∗ ) → J ∗ khi N → ∞, N hay f∗N ∈ HN lµ d·y cùc tiÓu cña phiÕm hµm J (f ). MÆt kh¸c v× J (f ) lµ nöa liªn tôc díi yÕu nªn f∗N héi tô yÕu ®Õn f∗ , nhng do H01 (Ω) nhóng compact trong L2 (Ω), nªn f∗N héi tô m¹nh ®Õn f∗ trong L2(Ω). Tõ ®©y ta suy ra u(x, t; f∗N , ϕ) héi tô m¹nh ®Õn u(x, t; f∗N , ϕ) trong L2 (QT ).
tµi liÖu tham kh¶o [1] Johansson and Lesnic, A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source, IMA journal of Applied Mathematics, 72(6), 2007, 748 - 760. [2] O. A. Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg New York,1984. [3] Nemirovskii, A. S. The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems, Numer. Funct. Anal. Optim, 11, 1986, 111-118. summary on convergence of approximate solutions to an inverse problem of determining the source In this paper, we proved the convergence of approximate solutions to an inverse problem of determining the source  ut − Lu = f (x, t); (x, t) ∈ Ω × (0, T ),  u| = 0,  ∂ Ω×(0,T ]  u|t=0 = ϕ. by the value of u in t = T. (a) Cao häc 15, chuyªn ngµnh Gi¶i tÝch, trêng §¹i Häc Vinh.