v(cid:210) t(cid:221)nh (cid:230)n fi(cid:222)nh m(cid:242) b(cid:215)nh ph›‹ng trung b(cid:215)nh cæa mØt l(cid:237)p h(cid:214) vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n cª b›(cid:237)c nh¶y Markov
Nguy(cid:212)n Ti(cid:213)n Th(cid:181)nh (a)
Tªm t(cid:190)t. Trong b(cid:181)i b‚o n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i fi›a ra mØt fii(cid:210)u ki(cid:214)n fiæ cho t(cid:221)nh (cid:230)n fi(cid:222)nh
m(cid:242) b(cid:215)nh ph›‹ng trung b(cid:215)nh cæa mØt l(cid:237)p h(cid:214) vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n.
I. Mº fi˙u
X—t h(cid:214) vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n
D(r(t)) = [A(r(t))x(t) + F (x(t), r(t), u) + H(r(t))u]dt
(1) + G(x(t), r(t), u)dw(t),
º fi'y, {r(t)}t≥0 l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh Markov nh¸n gi‚ tr(cid:222) trong kh«ng gian tr„ng th‚i h(cid:247)u h„n S = {1, 2, ..., N }, v(cid:237)i ma tr¸n x‚c su˚t chuy(cid:211)n Γ = (γij)N ×N x‚c fi(cid:222)nh bºi
( P(r(t + ∆) = j|r(t) = i) = n(cid:213)u i 6= j n(cid:213)u i = j γij∆ + o(∆) 1 + γii∆ + o(∆)
v(cid:237)i ∆ > 0 v(cid:181) γij ≥ 0 l(cid:181) x‚c su˚t chuy(cid:211)n tı tr„ng th‚i i sang tr„ng th‚i j fi›(cid:238)c x‚c fi(cid:222)nh
i6=j
X γii = − γij.
t)T l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh Brown l- chi(cid:210)u.
t , ..., wl
w(t) = (w1
Gi¶ s(cid:246) (Ω, F, P) l(cid:181) kh«ng gian x‚c su˚t. K(cid:221) hi(cid:214)u |.| chu¨n Euclid. N(cid:213)u A l(cid:181) ma tr¸n
ho˘c v—c t‹, k(cid:221) hi(cid:214)u AT l(cid:181) ma tr¸n chuy(cid:211)n v(cid:181) x‚c fi(cid:222)nh kAk = sup{|Ax| : |x| = 1}.
§Łi v(cid:237)i h(cid:214) (1.1) ta gi¶ thi(cid:213)t A(i), D(i) v(cid:181) H(i) l(cid:181) c‚c ma tr¸n thuØc Rq×q, Rq×q v(cid:181) Rq×p j=1 kj(i) =
ch(cid:221)nh t(cid:190)c Brunovsky ngh(cid:220)a l(cid:181) t(cid:229)n t„i c‚c sŁ nguy“n d›‹ng k1(i), ..., kp(i) v(cid:237)i Pp q sao cho:
(1) A(i) l(cid:181) ma tr¸n khŁi d„ng
1 Nh¸n b(cid:181)i ng(cid:181)y 05/4/2007. S(cid:246)a ch(cid:247)a xong 01/3/2008.
· · · . . . A(i) = , 0 ... 0 Ak1(i) 0 ... 0 0 . . . . . . · · · 0 Akp(i)
v(cid:237)i Akj (i), 1 6 j 6 p l(cid:181) ma tr¸n Rkj ×kJ x‚c fi(cid:222)nh bºi
1 0 0 1 · · · · · · 0 0 0 0 ; Akj (i) = 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 0 0 0 0 · · · 0 0
(2) H(i) l(cid:181) ma tr¸n khŁi d„ng
0 0 0
0 0 0 · · · ... H(i) = ,
bk1(i) 0 · · · 0 0 bk2(i) 0 · · · 0 0 0 · · · 0 · · · bkp−1(i) 0 0 bkp(i)
º fi'y bkj (i), 1 6 j 6 p l(cid:181) v—c t‹ cØt thuØc Rkj x‚c fi(cid:222)nh bºi
bkj (i) = 0 ... 0 1
(3) D(i) l(cid:181) ma tr¸n x‚c fi(cid:222)nh t›‹ng tø A(i)
(4) F = (F1, ..., Fq) : Rq × S × Rp −→ Rq v(cid:181) G = (G1, ..., Gq) : Rq × S × Rp −→ Rq×l sao
cho
F (0, i, 0) = G(0, i, 0) = 0
v(cid:181) t(cid:229)n t„i λ > 0 sao cho tho¶ m•n ∀j, 1 6 j 6 q, x ∈ Rq v(cid:181) u ∈ Rp,
|Fj(x, i)| + |Gj(x, i)| 6 λ|πj(x)|
v(cid:237)i πj l(cid:181) ph—p chi(cid:213)u ch(cid:221)nh t(cid:190)c tı Rq v(cid:181)o Rj;
(5) u l(cid:181) bi(cid:213)n fii(cid:210)u khi(cid:211)n ng›(cid:238)c tuy(cid:213)n t(cid:221)nh. X—t α ∈ R, α > 1, v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ S v(cid:181) x‚c
fi(cid:222)nh ma tr¸n ch—o
α−1 i
· · · . . . φ(i) = ·
0 ... 0 0 . . . . . . · · · 0 0 ... 0 α−q i
Do gi¶ thi(cid:213)t cæa c˘p ma tr¸n (A(i), H(i)) khi fiª t(cid:229)n t„i ma tr¸n K(i) ∈ Rp×q(R) sao cho M (i) = A(i) + H(i)K(i) l(cid:181) ma tr¸n (cid:230)n fi(cid:222)nh. Tłc l(cid:181) t(cid:229)n t„i duy nh˚t ma tr¸n fiŁi xłng, x‚c fi(cid:222)nh d›‹ng P (i) tho¶ m•n ph›‹ng tr(cid:215)nh sau
(2) M T (i)P (i)D(i) + DT (i)P (i)M (i) = −I.
§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1. Nghi(cid:214)m t˙m th›Œng x ≡ 0 cæa h(cid:214) (1) g(cid:228)i l(cid:181) (cid:230)n fi(cid:222)nh m(cid:242) b(cid:215)nh ph›‹ng trung b(cid:215)nh n(cid:213)u t(cid:229)n t„i α, t(cid:229)n t„i β d›‹ng sao cho
Ekx(t, t0, x0)k2 6 αkx0k2e−β(t−t0), v(cid:237)i m(cid:228)i t ≥ t0.
B(cid:230) fi(cid:210) 1.1 ([3]). V(cid:237)i c‚c gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) F v(cid:181) G nh› tr“n, v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Rq v(cid:181) u ∈ Rp ta cª
qλ|φ(i)x|
qλ|φ(i)x|. |φ(i)F (x, i, u)| 6 √ |φ(i)G(x, i, u)| 6 √
B(cid:230) fi(cid:210) 1.2 ([3]). Ta cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t sau
(i) αiφ−1(i)A(i)φ(i) = A(i); αiφ−1(i)D(i)φ(i) = D(i),
(ii) v(cid:237)i m(cid:228)i ma tr¸n K(i) ∈ Rp×q, khi fiª t(cid:229)n t„i ma tr¸n K(i) sao cho
H(i)K(i) = αiφ−1(i)H(i)K(i)φ(i)
v(cid:181) K(i) x‚c fi(cid:222)nh bºi
K(i) = αiH T (i)φ−1(i)H(i)K(i)φ(i),
(iii) V(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Rq
i
|x| 6 |φ(i)x| 6 α−1 |x|. α−q i
Gi¶ s(cid:246) V ∈ C2,1(Rn × R+ × S; R+), ta x‚c fi(cid:222)nh mØt to‚n t(cid:246) LV tı Rn × R+ × S v(cid:181)o
R bºi
N X
LV (x, t, i) = Vt(x, t, i) + Vx(x, t, i)f (x, t, i)
j=1
+ trace[gT (x, t, i)Vxx(x, t, i)g(x, t, i)] + γijV (x, t, i), 1 2
º fi'y
f (x, t, i) = F (x(t), r(t), u) g(x, t, i) = G(x(t), r(t), u)dw(t)
, ..., ) Vt = , Vx = ( ∂V ∂t ∂V ∂x1 ∂V ∂xn
Vxx = ( )n×n.
∂2V ∂xi∂xj §(cid:222)nh l(cid:253) 1.1 ([4]). N(cid:213)u t(cid:229)n t„i h(cid:181)m V (x, i) ∈ C2,1(Rn × R+ × S; R+) v(cid:181) c‚c h»ng sŁ d›‹ng c1, c2 v(cid:181) c3 sao cho c1|x|2 6 V (x, i) 6 c2|x|2
v(cid:181) LV (x, i) < −c3|x|2
th(cid:215) nghi(cid:214)m t˙m th›Œng cæa h(cid:214) (1) (cid:230)n fi(cid:222)nh m(cid:242) b(cid:215)nh ph›‹ng trung b(cid:215)nh.
II. k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh
§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1. V(cid:237)i u = K(i)x th(cid:215) nghi(cid:214)m t˙m th›Œng cæa h(cid:214) (1) (cid:230)n fi(cid:222)nh m(cid:242) b(cid:215)nh ph›‹ng trung b(cid:215)nh n(cid:213)u t(cid:229)n t„i αi, i ∈ S sao cho fii(cid:210)u ki(cid:214)n sau fi›(cid:238)c tho¶ m•n
j=1 γijDT (j)φ(j)D(j) p(2λαikDk i φ2(i) + PN √ p(2λαikDk
! √ −α2 < 0. q + qλ2)kP kφ(i) q + qλ2)kP kφ(i) −I
B(cid:230) fi(cid:210) 2.2 ([2]). Cho M, N, R l(cid:181) c‚c ma tr¸n h»ng v(cid:237)i chi(cid:210)u ph(cid:239) h(cid:238)p sao cho R = RT v(cid:181) M = M T . Khi fiª M + N R−1N T < 0 khi v(cid:181) ch(cid:216) khi
(cid:19) < 0 (cid:18) M N N T −R
º fi'y R = RT l(cid:181) ma tr¸n fiŁi xłng x‚c fi(cid:222)nh d›‹ng.
Chłng minh fi(cid:222)nh l(cid:253) 2.1. NhŒ b(cid:230) fi(cid:210) 1.2, v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ S t(cid:229)n t„i ma tr¸n K(i) ∈ Rp×q(R) sao cho
(3) A(i) + H(i)K(i) = αiφ−1(i)M (i)φ(i).
Ta l˚y h(cid:181)m Lyapunov nh› sau
V (x, i) = (D(i)x)T φ(i)P (i)φ(i)(D(i)x).
Khi ޻
N X
LV (x, i) = trace[GT (x, i, u)φ(i)P (i)φ(i)G(x, i, u)]+
j=1
2xT DT (i)φ(i)P (i)φ(i)F (x, i, u) + xT γijDT (j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x
+ xT [(A(i) + H(i)K(i))T φ(i)P (i)φ(i)D(i)
+ DT (i)φ(i)P (i)φ(i)(A(i) + H(i)K(i))]x.
§˘t kP k = max{kP (i)k, i ∈ S}, kDk = max{kD(i)k, i ∈ S}, theo c‚c fi…ng thłc (2), (3)
ta cª
N X
LV (x, i) = 2αixT φ(i)DT (i)P (i)φ(i)F (x, i, u)+
j=1
+ xT γijDT (j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x
i xT φ(i)[(M (i)T P (i)D(i) + DT (i)P (i)M (i)]φ(i)x
+ α2
N X
+ trace[GT (x, i, u)φ(i)P (i)φ(i)G(x, i, u)]
i xT φ(i)φ(i)x + xT
j=1
6 −α2 γijDT (j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x
+ kP k(cid:2)2αikDk|φ(i)x||φ(i)F (x, i, u)| + |φ(i)G(x, i, u)|2(cid:3)
Theo b(cid:230) fi(cid:210) 1.1 ta cª :
|φ(i)F (x, i, u)| 6 √ qλ|φ(i)x| |φ(i)G(x, i, u)|2 6 qλ2|φ(i)x|2.
i +(2αikDk
j=1 γijDT (j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x.
√ qλ+qλ2)kP k(cid:3)|φ(i)x|2+xT PN
suy ra LV (x, i) 6 (cid:2)−α2 Tı b(cid:230) fi(cid:210) 2.2 v(cid:181) k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t ta suy ra t(cid:229)n t„i c > 0 sao cho
LV (x, i) 6 −c|x|2.
Tı fiª, s(cid:246) d(cid:244)ng fi(cid:222)nh l(cid:221) 1.1 ta cª nghi(cid:214)m t˙m th›Œng cæa h(cid:214) (1) (cid:230)n fi(cid:222)nh m(cid:242) b(cid:215)nh ph›‹ng trung b(cid:215)nh.
T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o
[1] A. El Bouhtouri and K. El Hardi, Robust stabilization of jump linear systems with multi-
plicative noise, IMA Journal math control and information 20, 1-19, 2003.
[2] Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, R. and Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in
system and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994.
[3] Florchinger, P., A. Iggidr, G. Sallet, Stabilization of a class of nonlinear stochastic
systems, Stoch. Proc. Appl., 50, 235-243, 1994.
