intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bộ đề thi thử đại học - cao đẳng năm 2011 của trường đại học sư phạm Hà Nội môn toán

Chia sẻ: Nguyen Duc Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
334
lượt xem 124
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học chuyên môn toán học. Bộ sưu tập 31 đề thi thử môn toán mới nhất năm 2011, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bộ đề thi thử đại học - cao đẳng năm 2011 của trường đại học sư phạm Hà Nội môn toán

  1. http://tuhoctoan.net THI TH I H C – CAO NG 2011 I H C SƯ PH M HÀ N I MÔN: TOÁN- KH I A KHOA TOÁN-TIN ------------- Th i gian làm bài: 180 phút ( không k th i gian giao ) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 i m). Câu I ( 2 i m) Cho hàm s y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (1) m là tham s . 1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s (1) v i m=2. th c a hàm s (1) có ti p tuy n t o v i ư ng th ng d: x + y + 7 = 0 góc α , 2. Tìm tham s m 1 bi t cos α = . 26 Câu II (2 i m)  2x  log 2  −4 ≤ 5 . 1. Gi i b t phương trình: 1 4− x 2 3 sin 2 x.(2 cos x + 1) + 2 = cos 3 x + cos 2 x − 3 cos x. 2. Gi i phương trình: Câu III (1 i m) 4 x +1 ∫ (1 + Tính tích phân: I = dx . 2 ) 1 + 2x 0 Câu IV(1 i m) nh A, AB = a 2 . G i I là trung i m c a BC, hình Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân chi u vuông góc H c a S lên m t áy (ABC) th a mãn: IA = −2 IH , góc gi a SC và m t áy (ABC) b ng 60 0 . Hãy tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t trung i m K c a SB t i (SAH). Câu V(1 i m) Cho x, y, z là ba s th c dương thay i và th a mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ xyz . Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: x y z . P= +2 +2 2 x + yz y + zx z + xy PH N T CH N (3 i m): Thí sinh ch ch n làm m t trong hai ph n ( ph n A ho c ph n B ). A. Theo chương trình chu n: Câu VI.a (2 i m) nh B có phương trình x + y + 1 = 0 , 1. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC bi t A(3;0), ư ng cao t trung tuy n t nh C có phương trình: 2x-y-2=0. Vi t phương trình ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. 2. Trong không gian v i h tr c t a Oxyz, cho các i m A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy vi t phương 3. trình m t ph ng (P) qua hai i m A và B, ng th i kho ng cách t C t i m t ph ng (P) b ng Câu VII.a (1 i m) 2 ( ) 10 Cho khai tri n: (1 + 2 x ) x 2 + x + 1 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a14 x 14 . Hãy tìm giá tr c a a6 . B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 i m) 11 1. Trong m t ph ng t a Oxy, cho tam giác ABC bi t A(1;-1), B(2;1), di n tích b ng và tr ng tâm G 2 thu c ư ng th ng d: 3 x + y − 4 = 0 . Tìm t a nh C. x − 2 y −1 z −1 2.Trong không gian v i h tr c Oxyz, cho m t ph ng (P) x + y − z + 1 = 0 , ư ng th ng d: = = 1 −1 −3 G i I là giao i m c a d và (P). Vi t phương trình c a ư ng th ng ∆ n m trong (P), vuông góc v i d và cách I m t kho ng b ng 3 2 . 3  z +i  = 1. Câu VII.b (1 i m) Gi i phương trình:  i− z -----------------------------------------------------
  2. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ÁP ÁN –THANG I M THI TH I H C, CAO NG NĂM 2011 MÔN:TOÁN, Kh i A PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH. Câu ý N i dung im I(2 ) 1(1 ) Kh o sát hàm s khi m = 2 Khi m = 2, hàm s tr thành: y = x3 − 3x 2 + 4 a) TX : R b) SBT 0,25 •Gi i h n: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ •Chi u bi n thiên: Có y’ = 3x2 − 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2 x 0 2 +∞ −∞ y’ + 0 0 + − 0,25 4 +∞ y 0 −∞ Hàm s B trên các kho ng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), ngh ch bi n trên (0 ; 2). 0,25 •Hàm s t c c i t i x = 0, yC = y(0) = 4; y Hàm s t c c ti u t i x = 2, yCT = y(2) = 0. 4 c) th : Qua (-1 ;0) Tâm i x ng:I(1 ; 2) I 0,25 2 -1 1 0 2 x 2(1 ) Tìm m ... G i k là h s góc c a ti p tuy n ⇒ ti p tuy n có véctơ pháp n1 = (k ;−1) 0,5 d: có véctơ pháp n2 = (1;1) 3   k1 = 2 n1 .n2 k −1 1 ⇔ 12k 2 − 26k + 12 = 0 ⇔  Ta có cos α = ⇔ = k = 2 26 2 2 k +1 n1 n2 2 3  Yêu c u c a bài toán th a mãn ⇔ ít nh t m t trong hai phương trình: y / = k1 (1) và y / = k 2 (2) có nghi m x 3 2 0,25 có nghi m 3x + 2(1 − 2m) x + 2 − m = ∆/ 1 ≥ 0 2 ⇔ ⇔ / 2 ∆ 2 ≥ 0 có nghi m 3x 2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m =    3 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  3. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1  m ≤ − 4 ; m ≥ 2 8m − 2m − 1 ≥ 0 2 1 1 ⇔ m ≤ − ho c m ≥ ⇔ ⇔ 2 0,25 m ≤ − 3 ; m ≥ 1 4 2 4m − m − 3 ≥ 0    4 II(2 ) 1(1 ) Gi i b t phương trình ... 2x  2 2x  − 3 ≤ log 1 4 − x ≤ −2(1) log 1 4 − x − 4 ≥ 0  ⇔ 0,25 Bpt ⇔  2 2  2x 2x log 2 ≤9 2 ≤ log 1 4 − x ≤ 3(2)  1 4− x 2  2  3x − 8  4− x ≥ 0 2x 8 16  . Gi i (1): (1) ⇔ 4 ≤ ≤8⇔  0,25 ⇔ ≤x≤  5 x − 16 ≤ 0 4−x 3 5  4− x  17 x − 4  4−x ≥ 0 1 2x 1 4 4  . Gi i (2): (2) ⇔ ≤ ≤ ⇔ 0,25 ⇔ ≤x≤ 9x − 4 ≤ 0 8 4− x 4 17 9  4−x   4 4   8 16  V y b t phương trình có t p nghi m  ;  ∪  ;  . 0,25 17 9   3 5  2(1 ) Gi i PT lư ng giác Pt ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = (cos 3 x − cos x) + (cos 2 x − 1) − (2 cos x + 1) 0,5 ⇔ 3 sin 2 x(2 cos x + 1) = −4 sin 2 x cos x − 2 sin 2 x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1) = 0 π • 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 ⇔ sin(2 x − ) = −1 0,25 6 π + kπ ⇔x=− 6 2π   x = 3 + k 2π • 2 cos x + 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )  x = − 2π + k 2π 0,25   3 2π 2π π V y phương trình có nghi m: x = + k 2π ; x = − + k 2π và x = − + kπ 3 3 6 III(1 ) 1(1 ) Tính tích phân. 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  4. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 x +1 I= ∫ dx . 2 ( ) 0 1 + 1 + 2x 0,25 t 2 − 2t dx • t t = 1 + 1 + 2 x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt và x = 2 1 + 2x ic n x 0 4 t 2 4 •Ta có I = 4 43 4 2 2 1 (t − 2t + 2)(t − 1) 1 t − 3t + 4t − 2 1 4 2 ∫ dt = ∫ dt = ∫  t − 3 + − 2 dt 0,5 2 2 22 22 2 2 t t t t 1 t2 2  − 3t + 4 ln t +  = 2 t 2  1 = 2 ln 2 − 0,25 4 (1 ) Tính th tích và kho ng cách IV S •Ta có IA = −2 IH ⇒ H thu c tia i c a tia IA và IA = 2IH 0,25 IA a BC = AB 2 = 2a ; AI= a ; IH= = 2 2 K 3a AH = AI + IH = A B 2 I H C a5 •Ta có HC 2 = AC 2 + AH 2 − 2 AC. AH cos 45 0 ⇒ HC = 2 0,25 ∧ ∧ Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC; ( ABC )) = SCH = 60 0 a 15 SH = HC tan 60 0 = 2 a 15 a 3 15 1 11 S ∆ABC .SH = . (a 2 ) 2 • VS . ABC = 0,25 = 3 32 2 6 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  5. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BI ⊥ AH   ⇒ BI ⊥ ( SAH ) • BI ⊥ SH  0,25 d ( K ; ( SAH )) SK 1 1 1 a = ⇒ d ( K ; ( SAH )) = d ( B; ( SAH ) = BI = Ta có = d ( B; ( SAH )) SB 2 2 2 2 V (1 ) Tim giá tr l n nh t c a P x y z . P= +2 +2 2 x + xy y + zx z + xy x y z 0,25 Vì x; y; z > 0 , Áp d ng B T Côsi ta có: P ≤ = + + 2 x yz 2 y zx 2 z 2 xy 2 2 1 2 2 2   = + + 4  yz xy  zx   1  1 1 1 1 1 1  1  yz + zx + xy  1  x 2 + y 2 + z 2  ≤    + + + + + =  ≤ 4 y z z x x y 2  2      xyz xyz   1  xyz  1 ≤ = 2  xyz  2 0,5   0,25 1 D u b ng x y ra ⇔ x = y = z = 3 . V y MaxP = 2 PH N T CH N: Câu ý N i dung im VIa(2 ) 1(1 ) Vi t phương trình ư ng tròn… 0,25 KH: d1 : x + y + 1 = 0; d 2 : 2 x − y − 2 = 0 d1 có véctơ pháp tuy n n1 = (1;1) và d 2 có véctơ pháp tuy n n2 = (1;1) • AC qua i m A( 3;0) và có véctơ ch phương n1 = (1;1) ⇒ phương trình AC: x − y − 3 = 0 . x − y − 3 = 0 C = AC ∩ d 2 ⇒ T a C là nghi m h :  ⇒ C (−1;−4) . 2 x − y − 2 = 0 xB + 3 y B • G i B( x B ; y B ) ⇒ M ( ; ) ( M là trung i m AB) 0,25 2 2 xB + yB + 1 = 0  ⇒ B (−1;0) Ta có B thu c d1 và M thu c d 2 nên ta có:  yB xB + 3 − 2 − 2 = 0  • G i phương trình ư ng tròn qua A, B, C có d ng: x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 . Thay t a ba i m A, B, C vào pt ư ng tròn ta có: 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  6. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,5 6a + c = −9  a = −1   ⇔ b = 2 ⇒ Pt ư ng tròn qua A, B, C là:  − 2 a + c = −1 − 2a − 8b + c = −17 c = −3   x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 3 = 0 . Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2 2(1 ) Vi t phương trình m t ph ng (P) •G i n = (a; b; c) ≠ O là véctơ pháp tuy n c a (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 0,25 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 2a + c = 3 ⇔ 2a 2 − 16ac + 14c 2 = 0 • d(C;(P)) = 3⇔ 2 2 2 a + ( a − 2c ) + c 0,5 a = c ⇔  a = 7c •TH1: a = c ta ch n a = c = 1 ⇒ Pt c a (P): x-y+z+2=0 0,25 TH2: a = 7c ta ch n a =7; c = 1 ⇒Pt c a (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 ) Tìm h s c a khai tri n 1 3 • Ta có x 2 + x + 1 = (2 x + 1) 2 + nên 4 4 0,25 (1 + 2 x )10 ( x 2 + x + 1) 2 = 1 (1 + 2 x)14 + 3 (1 + 2 x)12 + 9 (1 + 2 x)10 16 8 16 14 6 6 6 • Trong khai tri n (1 + 2 x ) h s c a x là: 2 C14 12 Trong khai tri n (1 + 2 x ) h s c a x 6 là: 2 6 C12 6 0,5 10 6 6 6 Trong khai tri n (1 + 2 x ) h s c a x là: 2 C 10 0,25 1 66 366 9 2 C14 + 2 C12 + 2 6 C10 = 41748. 6 • V y h s a6 = 16 8 16 VI.b(2 ) 1(1 ) Tìm t a c a i m C xy • G i t a c a i m C ( xC ; y C ) ⇒ G (1 + C ; C ) . Vì G thu c d 33 0,25  xC  y C ⇒ 31 + − 4 = 0 ⇒ y C = −3xC + 3 ⇒ C ( xC ;−3xC + 3) + 3 3  • ư ng th ng AB qua A và có véctơ ch phương AB = (1;2) 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  7. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⇒ ptAB : 2 x − y − 3 = 0 2 xC + 3xC − 3 − 3 11 1 11 11 • S ∆ABC = AB.d (C ; AB ) = ⇔ d (C ; AB) = ⇔ = 2 2 5 5 5  xC = −1 0,5 ⇔ 5 xC − 6 = 11 ⇔   xC = 17   5 • TH1: xC = −1 ⇒ C (−1;6) 0,25 17 17 36 ⇒ C ( ;− ) . TH2: xC = 5 5 5 2(1 ) Vi t phương trình c a ư ng th ng • (P) có véc tơ pháp tuy n n( P ) = (1;1;−1) và d có véc tơ ch phương .u = (1;−1;−3) I = d ∩ ( P ) ⇒ I (1;2;4) 0,25 [ ] • vì ∆ ⊂ ( P); ∆ ⊥ d ⇒ ∆ có véc tơ ch phương u ∆ = n( P ) ; u = (−4;2;−2) = 2(−2;1;−1) • G i H là hình chi u c a I trên ∆ ⇒ H ∈ mp(Q) qua I và vuông góc ∆ Phương trình (Q): − 2( x − 1) + ( y − 2) − ( z − 4) = 0 ⇔ −2 x + y − z + 4 = 0 G i d1 = ( P) ∩ (Q) ⇒ d1 có vécto ch phương x = 1  [ ] n( P ) ; n( Q ) = (0;3;3) = 3(0;1;1) và d1 qua I ⇒ ptd1 :  y = 2 + t z = 4 + t  Ta có H ∈ d1 ⇒ H (1;2 + t ;4 + t ) ⇒ IH = (0; t ; t ) 0,5 t = 3 • IH = 3 2 ⇔ 2t 2 = 3 2 ⇔  t = −3 x −1 y − 5 z − 7 • TH1: t = 3 ⇒ H (1;5;7) ⇒ pt∆ : = = −2 1 −1 0,25 x −1 y +1 z −1 TH2: t = −3 ⇒ H (1;−1;1) ⇒ pt∆ : = = −2 1 −1 VII.b 1 Gi i phương trình trên t p s ph c. K: z ≠ i z+i ta có phương trình: w 3 = 1 ⇔ ( w − 1)( w 2 + w + 1) = 0 • t w= i−z 0,5 6 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  8. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  w = 1  w = 1 −1+ i 3 ⇔ w = ⇔ 2  2 w + w + 1 = 0  w = − 1 − i 3   2 z+i • V i w =1⇒ =1⇔ z = 0 i−z −1+ i 3 z + i −1+ i 3 ⇒ •V i w= ⇔ (1 + i 3 ) z = − 3 − 3i ⇔ z = − 3 = 2 2 i−z 0,5 −1− i 3 z + i −1− i 3 ⇒ • V i w= ⇔ (1 − i 3 ) z = 3 − 3i ⇔ z = 3 = 2 2 i−z V y pt có ba nghi m z = 0; z = 3 và z = − 3 . ----------------------------------------------------- 7 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  9. http://tuhoctoan.net THI TH I H C – CAO NG 2011 I H C SƯ PH M HÀ N I MÔN: TOÁN- KH I A KHOA TOÁN-TIN ------------- Th i gian làm bài: 180 phút ( không k th i gian giao ) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A. PH N CHUNG CHO M I THÍ SINH Câu I (2 i m). th hàm s y = x4 – 4x2 + 3 1. Kh o sát và v 2. Tìm m phương trình x 4 − 4 x 2 + 3 = log 2 m có úng 4 nghi m. Câu II (2 i m). 3 x x x+ ( )( ) 1. Gi i b t phương trình: 5 −1 + 5 +1 − 2 ≤0 2 2. Gi i phương trình: x 2 − ( x + 2) x − 1 = x − 2 Câu III (2 i m) e x −1 + tan( x 2 − 1) − 1 1. Tính gi i h n sau: lim 3 x −1 x →1 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thoi , ∠BAD = α . Hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t áy, hai m t bên còn l i h p v i áy m t góc β . C nh SA = a. Tính di n tích xung quanh và th tích kh i chóp S.ABCD. Câu IV (1 i m). Cho tam giác ABC v i các c nh là a, b, c. Ch ng minh r ng: a 3 + b3 + c 3 + 3abc ≥ a (b 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c(a 2 + b 2 ) B. PH N T CH N: M i thí sinh ch ch n câu Va ho c Vb Câu Va (3 i m). Chương trình cơ b n 1. Trong m t ph ng t a Oxy cho ư ng th ng ∆ : x + 2 y − 3 = 0 và hai i m A(1; 0), B(3; - 4). Hãy tìm trên ư ng th ng ∆ m t i m M sao cho MA + 3MB nh nh t. x = 1− t x = t   2. Trong không gian Oxyz cho hai ư ng th ng: d1 :  y = 2t và d 2 :  y = 1 + 3t .  z = −2 + t z = 1− t   L p phương trình ư ng th ng i qua M(1; 0; 1) và c t c d1 và d2. 3. Tìm s ph c z th a mãn: z 2 + 2 z = 0 Câu Vb. (3 i m). Chương trình nâng cao cho hai ư ng tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 c t nhau t i 1. Trong m t ph ng t a A(2; 3). Vi t phương trình ư ng th ng i qua A và c t (C1), (C2) theo hai dây cung có dài b ng nhau. x = 1− t x = t   2. Trong không gian Oxyz cho hai ư ng th ng: d1 :  y = 2t và d 2 :  y = 1 + 3t .  z = −2 + t z = 1− t   L p phương trình m t c u có ư ng kính là o n vuông góc chung c a d1 và d2. 3. Trong các s ph c z th a mãn i u ki n z + 1 + 2i = 1 , tìm s ph c z có modun nh nh t. ------------------------------------------------------------
  10. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ÁP ÁN –THANG I M THI TH I H C, CAO NG NĂM 2011 MÔN:TOÁN, Kh i A Câu ý N i dung im 2 1 1 TX D = » Gi i h n : lim y = +∞ I x →±∞ S bi n thiên : y’ = 4x3 - 8x y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ± 2 025 B ng bi n thiên 025 x −2 0 2 −∞ +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ +∞ 3 -1 -1 025 ( )( ) Hàm s ng bi n trên các kho ng − 2; 0 , 2; +∞ và ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞; − 2 ) , ( 0; 2 ) Hàm s tc c i t i x = 0, yCD = 3. Hàm s t c c ti u t i x = ± 2 , yCT= -1 th 025 2 1 4 2 th hàm s y = x − 4 x + 3 S nghi m c a phương trình x 4 − 4 x 2 + 3 = log 2 m b ng s giao i m c a th hàm s y = x 4 − 4 x 2 + 3 và ư ng th ng y = log2m. V y phương trình có 4 nghi m khi và ch khi log2m = 0 ho c 1 < log 2 m < 3 hay m = 1 ho c 2
  11. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 II 1 1 x x  5 −1   5 + 1  Vi t l i b t phương trình dư i d ng  −2 2 ≤ 0 22 +      025 x x  5 +1  5 −1  1 tt=  , t > 0. khi ó  2 2 t =   025     B t phương trình có d ng 1 t + − 2 2 ≤ 0 ⇔ t 2 − 2 2t + 1 ≤ 0 025 t ⇔ 2 −1 ≤ t ≤ 2 + 1 x  5 +1 ⇔ 2 −1 ≤   2  ≤ 2 +1  025   ⇔ log ( 2 − 1) ≤ x ≤ log ( 2 + 1) 5 +1 5 +1 2 2 2 1 i u ki n : x ≥ 1 Phương trình tương ương v i x 2 − x( x − 1 − 1) − 2 x − 1 − 2( x − 1) = 0 (*) 2 2 t y = x − 1, y ≥ 0 . Khi ó (*) có d ng : x – x(y - 1) – 2y – 2y = 0 025 ⇔ ( x − 2 y )( x + y + 1) = 0 025 ⇔ x − 2 y = 0(do x + y + 1 ≠ 0) ⇒ x = 2 x −1 ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 05 ⇔x=2 III 2 1 1 e x −1 + tan( x 2 − 1) − 1 e x −1 − 1 + tan( x 2 − 1) 3 2 3 lim = lim .( x + x + 1) 025 x −1 3 x −1 x →1 x →1 e x −1 − 1 3 2 3 tan( x 2 − 1) 3 2 3 = lim .( x + x + 1) + lim .( x + x + 1)( x + 1) x2 − 1 05 x →1 x − 1 x →1 = lim( 3 x 2 + 3 x + 1) + lim( 3 x 2 + 3 x + 1)( x + 1) = 9 025 x →1 x →1 2 1 K ư ng cao SI c a tam giác SBC. Khi ó AI ⊥ BC ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  12. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( nh lí 3 ư ng vuông góc) do ó ∠SIA = β S 025 a cot β a AI = a.cot β , AB = AD = , SI = sin β sin α a 2 cot 2 β 025 S ABCD = AB. AD.sin α = sin α A 3 2 a cot β VS . ABCD = 3sin α 025 Sxq = SSAB + SSAD SSBC + SSCD B I C 025 a 2 cot β 1 = .(1 + ) sin α sin β IV 1 a 3 + b3 + c 3 + 3abc ≥ a (b 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c(a 2 + b 2 ) Ta có a 2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 3 ⇔ + + ≤ 2ab 2bc 2ca 2 025 3 ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ 025 2 M t khác cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B).1 − (cos A cos B − sin A sin B) 05 1 1 3 ≤ [(cos A + cos B)2 + 12 ]+ [sin 2 A+sin 2 B]-cos A cos sB = 2 2 2 3 Do ó cos A + cos B + cos C ≤ 2 Va 3 1 1 5 G i I là trung i m c a AB, J là trung i m c a IB. Khi ó I(1 ; -2), J( ; −3 ) 2 025 Ta có : MA + 3MB = ( MA + MB) + 2MB = 2MI + 2MB = 4MJ 025 Vì v y MA + 3MB nh nh t khi M là hình chi u vuông góc c a J trên ư ng th ng ∆ 025 ư ng th ng JM qua J và vuông góc v i ∆ có phương trình : 2x – y – 8 = 0. −2  x = 5 x + 2 y − 3 = 0 19 −2  025 Ta i m M là nghi m c a h  v y M( ; ) ⇔ 2 x − y − 8 = 0 19 55 y =   5 2 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  13. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 025 ư ng th ng d1 i qua A(1; 0; -2) và có vecto ch phương là u1 = (−1; 2;1) , ư ng th ng d2 i qua B(0; 1; 1) và có vecto ch phương là u2 = (1;3; −1) . 025 G i (α ), ( β ) là các m t ph ng i qua M và l n lư t ch a d1 và d2. ư ng th ng c n tìm chính là giao tuy n c a hai m t ph ng (α ) và ( β ) Ta có MA = (0;0; −3), MB = (−1;1;0) 1 n1 =  MA; u1  = (2;1; 0), n2 = −  MB; u2  = (1;1; 4) là các vecto pháp tuy n c a (α ) và ( β ) 3    025 ư ng giao tuy n c a (α ) và ( β ) có vectơ ch phương u =  n1; n2  = (4; −8;1) và i qua   025 I M(1;0;1) nên có phương trình x= 1 + 4t, y = 8t, z = 1 + t 3 1 025 2 2 2 G i z = x + y.i. Khi ó z = x – y + 2xy.i, z = x − yi z 2 + 2 z = 0 ⇔ x 2 − y 2 + 2 x + 2( x − 1) yi = 0 025 x − y + 2x = 0 2 2 ⇔ ( x = 1; y = ± 3), ( x = 0; y = 0), ( x = −2; y = 0) ⇔ 025 2( x − 1) y = 0 V y có 4 s ph c th a mãn z = 0, z = - 2 và z = 1 ± 3i 025 Vb 3 1 1 G i giao i m th hai c a ư ng th ng c n tìm v i (C1) và (C2) l n lư t là M và N G i M(x; y) ∈ (C1 ) ⇒ x 2 + y 2 = 13 (1) 025 Vì A là trung i m c a MN nên N(4 – x; 6 – y). Do N ∈ (C2 ) ⇒ (2 + x)2 + (6 − y ) 2 = 25 (2)  x 2 + y 2 = 13 025  T (1) và (2) ta có h  2 2 (2 + x) + (6 − y ) = 25  025 −17 6 −17 6 Gi i h ta ư c (x = 2 ; y = 3) ( lo i) và (x = ; y = ). V y M( ;) 5 5 5 5 025 ư ng th ng c n tìm i qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0 2 1 G i M (1- t ; 2t ; -2 + t) ∈ d1 , N(t’ ; 1+3t’ 1- t’) ∈ d 2 ư ng th ng d1 có vecto ch phương là u1 = (−1; 2;1) , ư ng th ng d2 có vecto ch phương là u2 = (1;3; −1) . MN = (t '+ t − 1;3t '− 2t + 1; −t '− t + 3) 025 MN là o n vuông góc chung c a d1 và d2 3  t ' = 5  MN .u1 = 0 2t '− 3t + 3 = 0   O  ⇔ ⇔ 11t '− 4t − 1 = 0 t = 7  MN .u2 = 0  5  025 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  14. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ −2 14 −3 3 14 2 Do ó M( ; ; ), N( ; ; ). 555 555 2 1 14 −1 MN và tâm I( ; ; ) có phương trình 025 M t c u ư ng kính MN có bán kính R = = 2 2 10 5 10 12 14 1 1 ) + ( y − ) 2 + ( z + )2 = (x − 10 5 10 2 025 3 1 G i z = x + yi, M(x ; y ) là i m bi u di n s ph c z. z + 1 + 2i = 1 ⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2)2 = 1 025 ư ng tròn (C) : ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 có tâm (-1;-2) ư ng th ng OI có phương trình y = 2x S ph c z th a mãn i u ki n và có môdun nh nh t khi và ch khi i m Bi u di n nó thu c (C) và g n g c t a O nh t, ó chính là m t trong hai giao i m c a ư ng th ng OI và (C) 025 Khi ó t a c a nó th a 1 1   x = −1 − x = −1 + 5  y = 2x   5 mãn h  , ⇔ 025 2 2 2 2 ( x + 1) + ( y + 2) = 1  y = −2 − y = −2 +  5 5   1 2 Chon z = −1 + + i ( −2 + ) 025 5 5 ============================== ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5 Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  15. MÔN: TOÁN- KHỐI A KHOA TOÁN-TIN Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) ------------- http://tuhoctoan.net --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm ) 2x -1 Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = (C). x -1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C). Câu II: (2,0 điểm) sin 3 x.sin 3x + cos3 x.cos 3x 1 =- 1. Giải phương trình pö pö æ æ 8 tan ç x - ÷ .tan ç x + ÷ è 6ø è 3ø 2. Giải phương trình 1 + 1 - x 2 é (1 + x ) - (1 - x ) ù = 2 + 1 - x 2 . 3 3 ê ú ë û 1 ( ) ò Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân I = x ln x 2 + x + 1 dx . 0 a3 Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a , AA ' = , góc BAD bằng 600 . Gọi 2 M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a . Câu V. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 , ta có: a 5 - 2a 3 + a b5 - 2b3 + b c5 - 2c 3 + c 2 3 + + £ . b2 + c2 c2 + a 2 a 2 + b2 3 B. PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) I. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng: d1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 và tia Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. x - 14 y z + 5 == 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d: . Viết phương -2 4 1 trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 16. n æ 1ö Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x trong khai triển: ç x + ÷ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 2 è 24 x ø 2n +1 n 6560 2 2 1 23 2 2C + Cn + Cn + ... + Cn = 0 . n +1 n +1 n 2 3 II. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2). Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA - MB đạt giá trị lớn nhất. ì1 ï 2 log 3 x - log 3 y = 0 2 , (m Î R) . Tìm m để hệ có nghiệm. Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình í ï x 3 + y 2 - my = 0 î .........Hết......... Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:............................................................; Số báo danh:...................
  16. ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM http://tuhoctoan.net ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn thi: TOÁN . Đáp án Điểm Câu Ý 1 I 1,0 TXĐ : D = R\ {1} . · · Sự biến thiên: -1 < 0, "x Î D . y’ = 0,25 ( x - 1) 2 Hàm số nghịch biến trên: ( -¥;1) và (1; +¥ ) Giới hạn: lim = lim = 2 ; tiệm cận ngang: y = 2 x ®+¥ x ®-¥ 0,25 lim = +¥, lim = -¥ ; tiệm cận đứng: x = 1 + - x ®1 x ®1 Bảng biến thiên: 0,25 · Đồ thị: 0,25 2 1,0 2m - 1 Gọi M(m; ) m -1 0,25 -1 2m - 1 2( x - m) + Tiếp tuyến của (C) tại M: y = ( m - 1) m -1 2m A(1; ), B(2m-1; 2) 0,25 m -1 2m 1 , IB = 2m - 2 = 2 m - 1 -2 = 2 IA = 0,25 m -1 m -1 1 S DIAB = IA.IB = 2 . 0,25 2 Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C). 1 II 1,0 p kp Điều kiện: x ¹ + 62 0,25 pö pö pö æp æ æ æ ö Ta có tan ç x - ÷ .tan ç x + ÷ = tan ç x - ÷ .cot ç - x ÷ = -1 è 6ø è 3ø è 6ø è6 ø 1 Phương trình tương đương với: sin 3 x.sin 3 x + cos3 x.cos 3 x = 8 1 - cos2 x cos2 x - cos4 x 1 + cos2 x cos2 x + cos4 x 1 Û + = . . 0,25 2 2 2 2 8 1 Û 2 ( cos2 x - cos2 x.cos4 x ) = 2 1 1 Û cos3 x = Û cos2 x = 0,25 8 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  17. p é http://tuhoctoan.net ê x = 6 + kp ( loai ) p , k Î Z . Vậy : x = - + kp Ûê 0,25 ê x = - p + kp 6 ê ë 6 2 1,0 Đk: -1 £ x £ 1 (1 + x ) (1 - x)3 ; u,v ³ 0 3 Đặt u = ,v= 0,25 ìu 2 + v 2 = 2 ï Hệ thành: í ï 1 + uv (u - v ) = 2 + uv 3 3 î 1 + uv = ( 2 + 2uv ) = ( u 2 + v 2 + 2uv ) = ( u + v ) 1 1 1 2 2 2 2 Ta có: 0,25 u + v = ( u - v ) ( u + v + vu ) = (u - v) ( 2 + uv ) 3 3 2 2 ìu 2 + v 2 = 2 ï 2 Þí 2 2 Þ u2 = 1+ 0,25 ïu - v = 2 2 î 2 Þx= 0,25 2 III 1,0 2x + 1 ì ìu = ln ( x 2 + x + 1) ïdu = x 2 + x + 1 dx ï ï Þí Đặt í ïdv = xdx 2 ïv = x î 0,25 ï î 2 ( ) 1 1 1 2 x3 + x 2 x2 I = ln x 2 + x + 1 - ò 2 dx 0 2 0 x + x +1 2 1 ln 3 - ( x 2 - x ) + ln( x 2 + x + 1)1 - ò 2 1 1 1 3 dx 1 4 0 x + x +1 0 2 2 4 0 0,25 3 3 = ln 3 - J 4 4 æ p pö 1 dx 1 3 J =ò . Đặt x + = tan t , t Î ç - ; ÷ è 2 2ø 2 1ö æ 3ö 2 2 2 æ 0 çx+ ÷ +ç ÷ è 2ø è 2 ø 0,25 23p p3 òp63 dx = 9 J= 3 p3 3 Vậy I = 0,25 ln 3 - 4 12 IV 1,0 Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’ Þ M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB a3 AB = AD = a, góc BAD = 600 Þ D ABD đều Þ OA = , AC = a 3 0,25 2 a3 SA = 2AA’ = a 3, CC ' = AA ' = 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  18. AO SA http://tuhoctoan.net Þ = Þ DSAO ~ DACC ' AC CC ' Þ DACC ' ~ DAIO (I là giao điểm của AC’ và SO) 0,25 Þ SO ^ AC ' (1) Mặt khác BD ^ ( ACC ' A ') Þ BD ^ AC ' (2) Từ (1) và (2) Þ đpcm a2 123 =a a 3= VSABD 3 2 4 0,25 2 1 æ a ö 3 a 3 a2 =ç÷ = VSA ' MN 3è 2 ø 4 2 32 7a 2 VAA ' BDMN = VSABD - VSA ' MN = 0,25 32 V 1,0 Do a, b, c > 0 và a + b + c = 1 nên a, b, c Î ( 0;1) 2 2 2 a 5 - 2a 3 + a a ( a - 1) 2 2 = = -a 3 + a Ta có: 0,25 b +c 1- a 2 2 2 ( )( )( ) 23 BĐT thành: - a 3 + a + -b3 + b + -c3 + c £ 3 Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x, x Î ( 0;1) 23 Ta có: Max f ( x ) = 0,25 ( 0;1) 9 0,25 23 Þ f ( a ) + f (b) + f (c) £ Þ đpcm 3 0,25 1 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 3 1 VI.a 1,0 æ9 3ö I ç ; ÷ , M ( 3;0 ) 0,25 è 2 3ø Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2 S ABCD = AB. AD = 12 Þ AD = 2 2 0,25 AD qua M và vuông góc với d1 Þ AD: x + y – 3 = 0 Lại có MA = MB = 2 ìx + y - 3 = 0 ìx = 2 ìx = 4 ï 0,25 Ûí Tọa độ A, D là nghiệm của hệ: í hoặc í ï ( x - 3) + y = 2 îy =1 î y = -1 2 2 î Chọn A(2 ; 1) Þ D ( 4; -1) Þ C ( 7; 2 ) và B ( 5; 4 ) 0,25 2 1,0 Gọi H là trung điểm đoạn AB Þ HA = 8 0,25 IH2 = 17 0,25 IA2 = 81 Þ R = 9 0,25 ( C ) : ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) = 81 2 2 2 0,25 VII.a 1,0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  19. h2 n +1 n 2 2 2 1 23 2 ttp://tuhoctoan.net n Cn = ò (1 + x ) dx Ta có: 2Cn + Cn + Cn + ... + 0 0,25 n +1 2 3 0 3n +1 - 1 6560 Û 3n +1 = 6561 Û n = 7 Û = 0,25 n +1 n +1 1 k 14 -3k 7 æ 1ö 7 ç x + 4 ÷ = å 2k C7 x 4 0,25 è 2 xø 0 14 - 3k =2Ûk =7 Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa: 4 0,25 21 Vậy hệ số cần tìm là: 4 1 VI.b 1,0 Gọi A(-4; 8) Þ BD: 7x – y + 8 = 0 Þ AC: x + 7y – 31 = 0 0,25 Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a – 5b = 0, 0,25 D hợp với AC một góc 450 Þ a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3 Þ AB: 3 x - 4 y + 32 = 0; AD : 4 x + 3 y + 1 = 0 19 Gọi I là tâm hình vuông Þ I( - ; ) Þ C ( 3; 4 ) 0,25 22 Þ BC : 4 x + 3 y - 24 = 0; CD : 3 x - 4 y + 7 = 0 KL: 0,25 2 1,0 Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P) 0,25 Þ B’(-1; -3; 4) MA - MB = MA - MB ' £ AB ' 0,25 Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng Þ M là giao điểm của (P) và AB’ ìx = 1+ t ï AB’: í y = -3 0,25 ï z = -2t î M(-2; -3; 6) 0,25 VII.b 1,0 Đk: x ¹ 0, y > 0 ì1 ìlog 3 x = log3 y ï 2 log 3 x - log 3 y = 0 2 ï Ûí 3 í ï x + y - ay = 0 2 ï x 3 + y 2 - my = 0 î 0,25 î ì y = x , (1) ìy = x ï ï Ûí 3 Ûí 2 ï y + y = a, ( 2 ) ï y + y - ay = 0 2 î î Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0 0,25 Ta có : f(y) = y 2 + y >0 , " y > 0 Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25 Vậy hệ có nghiệm khi a > 0 0,25 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
  20. http://tuhoctoan.net I H C SƯ PH M HÀ N I THI TH I H C, CAO NG 2011 KHOA TOÁN-TIN Môn thi : TOÁN - kh i A. THI TH Th i gian làm bài : 180 phút (không k th i gian giao ) I. PH N CHUNG DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m). x −3 1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s y = . x +1 2. Vi t phương trình ư ng th ng d i qua i m I ( −1;1) và c t th (C) t i hai i m M, N sao cho I là trung i m c a o n MN. Câu II (2,0 i m). ( ) 1. Gi i phương trình sin 2 x ( cos x + 3) − 2 3 cos3 x − 3 3 cos 2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 . 3 x3 − y 3 = 4 xy ( )  2. Gi i h phương trình  .  x2 y 2 = 9  Câu III (2,0 i m). 1. Cho x, y là các s th c tho mãn x 2 + xy + 4 y 2 = 3. Tìm giá tr nh nh t, l n nh t c a bi u th c: M = x 3 + 8 y 3 − 9 xy . a2 b2 c2 1 ( ) 2. Ch ng minh ab + bc + ca ≥ a + b + c v i m i s dương a; b; c . + + + a+b b+c c+a 2 Câu IV (1,0 i m). Cho lăng tr tam giác u ABC. A ' B ' C ' có c nh áy là a và kho ng cách t A a n m t ph ng (A’BC) b ng . Tính theo a th tích kh i lăng tr ABC. A ' B ' C ' . 2 II. PH N RIÊNG(3,0 i m): T t c thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo chương trình Chu n Câu Va (1,0 i m). Trong m t ph ng t a (Oxy). L p phương trình ư ng th ng qua M ( 2;1) và t o v i các tr c t a m t tam giác có di n tích b ng 4 . Câu VI.a (2,0 i m). 1. Gi i b t phương trình 1 + log 2 x + log 2 ( x + 2 ) > log 2 ( 6 − x ) . 2. Tìm m hàm s y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 2(m 2 + 7 m + 2) x − 2m(m + 2) có c c i và c c ti u. Vi t phương trình ư ng th ng i qua i m c c i và c c ti u khi ó. B. Theo chương trình Nâng cao  1 Câu Vb (1,0 i m). Trong m t ph ng t a (Oxy) , cho i m M  3;  . Vi t phương trình chính  2 ( ) t c c a elip i qua i m M và nh n F1 − 3;0 làm tiêu i m. Câu VI.b (2,0 i m).  y2 + x = x2 + y  1. Gi i h phương trình  . y +1 x 2 = 3  2. Tìm trên m t ph ng t a t p h p t t c các i m mà t ó có th k ư c hai ti p tuy n n x2 − 2 x + 2 th hàm s y = và hai ti p tuy n này vuông góc v i nhau. x −1 ----------------------------------H T---------------------------------
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2