Bồi dưỡng năng lực tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học giải phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông

VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 425 (Kì 1 - 3/2018), tr 36-43<br /> <br /> BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY THUẬN NGHỊCH CHO HỌC SINH<br /> TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH<br /> Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG<br /> Thái Thị Hồng Lam - Nguyễn Thị Mỹ Hằng<br /> Trường Đại học Vinh<br /> Ngày nhận bài: 12/12/2017; ngày sửa chữa: 22/01/2018; ngày duyệt đăng: 29/01/2018.<br /> Abstract: The reversible thinking is the way of thinking in two opposite directions, which then<br /> support each other to help people perceive and solve problems in a flexible and effective way. In<br /> this paper, authors mention some manifestations of students' reversible thinking ability in solving<br /> exercises on equations and inequations and also propose some measures to foster this ability in<br /> particular and to improve the quality of teaching mathematics at high school in general.<br /> Keywords: Reversible thinking, equations, inequations.<br /> cũng cho rằng dòng ý nghĩ thuận và nghịch là đặc điểm<br /> vốn có của bản thân hoạt động tư duy.<br /> Tác giả G. Polya đã đề cập đến phép rút gọn thuận<br /> nghịch trong giải toán. Ông quan niệm: “Việc chuyển bài<br /> toán ban đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là phép rút gọn<br /> thuận nghịch hoặc hai chiều, hoặc là tương đương nếu<br /> như bài toán phụ và bài toán ban đầu là tương đương<br /> nhau” [3; tr 66].<br /> Tác giả Nguyễn Bá Kim đã quan tâm đến khả năng<br /> đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình<br /> đã biết làm điểm xuất phát cho quá trình mới, còn điểm<br /> xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá<br /> trình mới. Ông xem đó là một thể hiện của tính linh hoạt<br /> của tư duy [4]. Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương<br /> Thụy, Hoàng Chúng đều cho rằng, trong dạy học, cần<br /> chú ý rèn luyện cho HS kĩ năng biến đổi xuôi chiều và<br /> ngược chiều một cách song song với nhau nhằm giúp cho<br /> việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời<br /> với việc hình thành liên tưởng thuận.<br /> Như vậy, nhìn chung đã có nhiều tác giả trong và<br /> ngoài nước quan tâm nghiên cứu mối quan hệ có tính<br /> thuận nghịch trong tư duy theo những quan niệm, đối<br /> tượng cụ thể khác nhau. Tuy nhiên, chưa có tác giả hay<br /> nhóm tác giả nào nghiên cứu có hệ thống, đầy đủ về một<br /> loại hình tư duy mang tên là TDTN. Trong bài viết này,<br /> chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu về những biểu hiện<br /> của loại hình TDTN của HS trong giải toán về phương<br /> trình và hệ phương trình ở cấp trung học phổ thông.<br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Năng lực tư duy thuận nghịch<br /> Từ những nghiên cứu về các quan niệm đã trình bày<br /> ở trên, trong nghiên cứu này, tác giả quan niệm, TDTN<br /> là cách suy nghĩ theo hai chiều ngược nhau nhưng hỗ trợ<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Trong các công trình nghiên cứu về tư duy, cụm từ<br /> “tư duy thuận nghịch” (TDTN) còn ít người biết đến vì<br /> chưa có một định nghĩa nào bàn về TDTN một cách<br /> tường minh với đầy đủ nội hàm và ngoại diên của nó.<br /> Tuy nhiên, trong một số công trình nghiên cứu đã đề cập<br /> đến một số khía cạnh liên quan tới TDTN.<br /> Theo J. Piaget, tính thuận nghịch thể hiện khi “các<br /> thao tác và hành động có thể được triển khai về hai hướng<br /> và hiểu được một trong hai hướng đó gợi ra sự hiểu biết<br /> hướng kia” [1; tr 275].<br /> Tác giả V. A. Cruchetxki đã quan tâm đến tính thuận<br /> nghịch của quá trình tư duy trong lập luận toán học [2; tr<br /> 107], được hiểu là việc làm thay đổi phương hướng của<br /> quá trình tư duy theo nghĩa chuyển từ tư duy thuận<br /> (hướng tư duy từ A đến B) sang tư duy đảo (hướng từ B<br /> đến A). Ông xem khả năng này là một thành phần của<br /> năng lực toán học của học sinh (HS) và đã tiến hành thực<br /> nghiệm trên đối tượng HS lớp 6, 7, 8 và chủ yếu tập trung<br /> vào việc xem xét, đánh giá sự suy nghĩ của HS trong vấn<br /> đề nhận thức và giải quyết vấn đề liên quan đến hai chiều<br /> của một công thức và các bài toán thuận nghịch. Ông đã<br /> rút ra kết luận rằng nét nổi bật của HS có năng khiếu là<br /> khả năng chuyển một cách nhanh chóng và dễ dàng từ<br /> quá trình tư duy thuận sang quá trình tư duy đảo, là tính<br /> thuận nghịch dễ dàng của quá trình lập luận.<br /> Trong công trình nghiên cứu về tư duy của HS của<br /> M. N. Sacđacôp có đề cập đến tính thuận nghịch trong<br /> các mối liên hệ và quan hệ. Ông cho rằng, tính thuận<br /> nghịch là một trong những đặc điểm về chất của các mối<br /> liên hệ và quan hệ giữa các hiện tượng của hiện thực. Nó<br /> biểu hiện trong ảnh hưởng lẫn nhau có tính chất động<br /> giữa các thành phần của một hiện tượng hoàn chỉnh. Ông<br /> <br /> 36<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 425 (Kì 1 - 3/2018), tr 36-43<br /> <br /> lẫn nhau giúp con người nhận thức và giải quyết vấn đề<br /> sâu sắc hơn, toàn diện hơn, đầy đủ hơn [5]. TDTN là một<br /> loại hình cụ thể của hoạt động tư duy và luôn gắn với<br /> những tình huống có chứa đựng những xu thế, phương<br /> diện cần xem xét theo hai chiều ngược nhau với một<br /> nghĩa nào đó.<br /> Từ đó, có thể quan niệm năng lực tư duy thuận<br /> nghịch (NLTDTN) là đặc điểm tâm lí phản ánh mức độ<br /> hoàn thành khác nhau của các cá nhân khi cùng thực hiện<br /> những hoạt động TDTN. Từ đó, trong dạy học môn Toán<br /> ở trường phổ thông, NLTDTN của HS được đặc trưng<br /> bởi các thành tố sau [5]: - Thành tố 1: Khả năng xác lập<br /> và sử dụng mối liên hệ hai chiều giữa các đối tượng trong<br /> một quan hệ có tính chất đối xứng (A có quan hệ R với<br /> B và B có quan hệ R với A); - Thành tố 2: Khả năng đặt<br /> và khảo sát vấn đề ngược khi xem xét một vấn đề cho<br /> trước; - Thành tố 3: Khả năng thực hiện các thao tác hay<br /> các hoạt động tạo thành cặp có xu hướng ngược nhau;<br /> - Thành tố 4: Khả năng nhìn nhận lại quá trình nhận thức<br /> và giải quyết vấn đề; - Thành tố 5: Khả năng xem xét mỗi<br /> tri thức theo các vai trò khác nhau: tri thức vừa là kết quả<br /> của hoạt động, vừa là phương tiện để tiến hành những<br /> hoạt động khác; - Thành tố 6: Khả năng khảo sát phương<br /> hướng tiếp cận vấn đề, định hướng và thực hiện cách giải<br /> quyết vấn đề, đặc biệt là những cách tiếp cận và giải<br /> quyết vấn đề có tính khác biệt, độc đáo, mang lại hiệu<br /> quả cao hay kết quả bất ngờ (khác với cách tiếp cận<br /> thường được số đông sử dụng).<br /> NLTDTN chỉ biểu hiện khi con người thực hiện hoạt<br /> động TDTN, nó có thể bồi dưỡng thông qua việc tập<br /> luyện các hoạt động TDTN. Sự phát triển của năng lực<br /> này phụ thuộc vào những định hướng, lựa chọn các hoạt<br /> động phù hợp và cách thức tổ chức của giáo viên (GV)<br /> để HS thực hiện những hoạt động đó.<br /> 2.2. Một số biểu hiện của năng lực tư duy thuận nghịch<br /> của học sinh trong giải phương trình, bất phương trình<br /> 2.2.1. Khả năng hiểu và vận dụng đúng bài toán cần và đủ<br /> Trong môn Toán, HS thường xuyên sử dụng các phép<br /> toán logic, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và<br /> đủ của một mệnh đề. Việc HS hiểu rõ đâu là điều kiện<br /> cần, điều kiện đủ cũng như việc nhận diện được bài toán<br /> có dạng cần và đủ, khai thác mối quan hệ tương hỗ giữa<br /> chúng sẽ dẫn tới sự chính xác, thuận lợi trong giải toán.<br /> HS có khả năng hiểu và vận dụng đúng bài toán cần<br /> và đủ có các biểu hiện sau: - Hiểu, vận dụng đúng điều<br /> kiện cần và đủ trong việc biến đổi tương đương phương<br /> trình, bất phương trình; - Hiểu, vận dụng đúng điều kiện<br /> cần và đủ trong việc giải phương trình, bất phương trình<br /> bằng phương pháp đặt ẩn phụ; - Phân biệt và vận dụng<br /> đúng bài toán có dạng điều kiện cần và đủ.<br /> <br /> Ví dụ 1. Giải bất phương trình:<br /> x2  5x  14  2 x  1<br /> Phân tích: Giải bài này là ta chia hai trường hợp.<br /> 2 x  1  0<br /> Trường hợp 1: <br /> <br /> 2<br /> <br />  x  5 x  14  0<br /> <br /> 2 x  1  0<br /> Trường hợp 2: <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br />  x  5 x  14  (2 x  1)<br /> <br /> Kết quả: Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của<br /> hai tập nghiệm của hai hệ phương trình trên.<br /> Đây là một cách giải đúng và được hầu hết các GV<br /> áp dụng giảng dạy cho HS như là một quy tắc giải bất<br /> phương trình dạng này. Tuy nhiên, không phải HS nào<br /> cũng nhớ và nhớ được lâu vì các em không hiểu nguyên<br /> do từ đâu lại có được quy tắc giải như vậy?<br /> Một thói quen của HS khi đứng trước bài toán giải<br /> phương trình, bất phương trình có chứa căn thức bậc hai<br /> là đặt điều kiện để bình phương hai vế nhằm khử dấu căn,<br /> đưa về phương trình, bất phương trình quen thuộc.<br /> Nhưng khi các em có được thói quen “TDTN” thì sẽ đặt<br /> được câu hỏi ngược lại là Tại sao 2x - 1 phải dương? Nếu<br /> 2x - 1 âm thì sao? Khi đó việc phân chia hai trường hợp<br /> để giải như trên mới thấy được sự có lí của nó. Với cách<br /> suy luận đảo ngược vấn đề như vậy HS sẽ hiểu thấu đáo<br /> và linh hoạt trong giải toán chứ không phải học theo kiểu<br /> thuộc lòng tất cả các dạng toán giải phương trình, bất<br /> phương trình.<br /> 2.2.2. Giải được bài toán bằng việc đặt ra và xem xét bài<br /> toán ngược hoặc bài toán có yêu cầu tổng quát hơn hay<br /> đặc biệt hơn<br /> Có thể hiểu nếu bài toán có kết luận B được gọi là bài<br /> toán thuận, thì bài toán có kết luận B (phủ định của B)<br /> được gọi là bài toán ngược.<br /> Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số a để bất phương<br /> trình sau có nghiệm:<br /> <br />  a  1 x2   2a  1 x  3  0 1<br /> Phân tích: Khi giải trực tiếp bài toán này, HS thường<br /> gặp những khó khăn, sai lầm do phải xét nhiều trường<br /> hợp rắc rối. Ở đây, thay vì giải trực tiếp bài toán (1), HS<br /> tìm cách giải bài toán ngược của nó, chẳng hạn: Tìm a để<br /> bất phương trình  a  1 x2   2a  1 x  3  0 vô<br /> nghiệm, hay tìm a để bất phương trình<br /> <br />  a  1 x   2a  1 x  3  0<br /> 2<br /> <br /> nghiệm đúng với mọi x<br /> thuộc tập số thực R. Từ kết quả của bài toán này sẽ tìm<br /> được kết quả của bài toán (1).<br /> <br /> 37<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 425 (Kì 1 - 3/2018), tr 36-43<br /> <br /> 2.2.3. Biết linh hoạt thay đổi vai trò giữa ẩn số với tham<br /> số và ngược lại<br /> Đôi khi, với ẩn đã cho việc giải phương trình, bất<br /> phương trình gặp khó khăn thì có thể hoán vị vai trò ẩn<br /> và tham số cho nhau rồi giải phương trình, bất phương<br /> trình với “ẩn mới” là tham số.<br /> Ví dụ 3. Chứng minh rằng với m  1 thì<br /> <br /> toán một phương trình một ẩn thành hệ các phương trình<br /> nhiều ẩn nhưng dễ giải hơn.<br /> Chọn u  3 2  x ,<br /> <br /> v  x  1. Khi đó ta chuyển<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> u  v  1<br /> được về hệ: <br /> .<br /> u  v  1<br /> <br /> HS có thể giải hệ trên bằng phương pháp thế quen<br /> thuộc.<br /> 2.2.5. Chuyển đổi được ngôn ngữ của bài toán để tạo ra<br /> một bài toán khác tương đương nhưng giải quyết đơn<br /> giản hơn<br /> Dưới đây chúng tôi chỉ ra một số biểu hiện: - Biết<br /> khai thác mối quan hệ hai chiều giữa số nghiệm của<br /> phương trình f ( x)  g ( x) với số giao điểm của hai đồ<br /> thị hàm số y  f ( x) và y  g ( x); - Biết chuyển bài toán<br /> đại số sang bài toán hình học hoặc bài toán lượng giác<br /> tương đương và ngược lại.<br /> Ví dụ 5. Biện luận theo m số nghiệm của phương<br /> trình: x2  2 x  m  0 (1)<br /> <br /> x  2(3m  1) x  m  3  0 với x  1 .<br /> 2<br /> <br /> Phân tích: Theo cách thường làm HS sẽ tính biệt thức<br /> ∆ và xét dấu của ∆ theo m, từ đó tìm nghiệm và tiếp tục<br /> xét điều kiện các nghiệm thoả mãn x  1 để có kết luận<br /> của bài toán. Cách làm này phức tạp vì phải xét nhiều<br /> trường hợp, dễ xét thiếu trường hợp và tính toán sai.<br /> Nếu HS có suy nghĩ linh hoạt, quan sát thấy bậc của<br /> bất phương trình theo ẩn x là bậc hai, nhưng theo ẩn m là<br /> bậc một (vì bất phương trình đã cho có thể biến đổi về<br /> dạng f (m)  ( 6 x  1) m  x 2  2 x  3  0 .<br /> Đặc biệt, f (m) là hàm bậc nhất có hệ số của m là<br /> 6 x  1 với x  1 . Từ đó, f (m) là hàm nghịch biến,<br /> suy ra<br /> f (m)  f (1) với m  1 . Tức là<br /> <br /> Phân tích: Việc biện luận số nghiệm của phương<br /> trình (1) đưa về việc biện luận số giao điểm của hai<br /> đường y  m và y   x2  2 x .<br /> <br /> x2  2(3m  1) x  m  3  ( x  2)2  0 đúng với mọi<br /> x 1.<br /> 2.2.4. Biết cách chuyển đổi phương trình một ẩn nhưng<br /> phức tạp thành phương trình, hệ phương trình hai hoặc<br /> nhiều ẩn đơn giản hơn và ngược lại<br /> Trong dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình,<br /> trước hết HS được làm quen với các dạng phương trình,<br /> bất phương trình một ẩn và các dạng khác có thể đưa về<br /> một ẩn. Tiếp đến là các dạng hệ phương trình cơ bản khi<br /> giải cũng đưa về một ẩn bằng phương pháp thế, hoặc đã<br /> có thuật toán. Chính vì vậy, khi đứng trước yêu cầu giải<br /> một phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, đa<br /> số HS sẽ tìm cách đưa bài toán nhiều ẩn về bài toán chứa<br /> ít ẩn hơn, bài toán có bậc cao về bài toán có bậc thấp hơn,<br /> bài toán phụ thuộc vào nhiều đại lượng thay đổi chuyển<br /> về bài toán phụ thuộc vào ít đại lượng biến thiên hơn, ...<br /> Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, với cách nghĩ như<br /> vậy có thể trở thành rào cản, thậm chí không thể giải<br /> được. Lúc này việc suy nghĩ theo chiều ngược lại có thể<br /> đem lại hiệu quả bất ngờ, giúp chúng ta tìm được phương<br /> pháp giải bài toán.<br /> <br /> y<br /> <br /> 1<br /> <br /> S<br /> <br /> y=m<br /> B<br /> -1<br /> <br /> O<br /> <br /> x<br /> <br /> A<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> (C)<br /> <br /> Hình 1<br /> y<br /> <br /> A<br /> <br /> H<br /> <br /> M<br /> 2x<br /> <br /> Ví dụ 4. Giải phương trình: 3 2  x  1  x  1.<br /> Phân tích: Phương trình đã cho tuy chỉ có một ẩn,<br /> nhưng khó giải bằng cách lũy thừa để mất dấu căn thức.<br /> Do vậy, ta cần phát hiện các ẩn phụ nhằm chuyển bài<br /> <br /> 0<br /> <br /> 3<br /> <br /> A'<br /> <br /> Hình 2<br /> <br /> 38<br /> <br /> B<br /> <br /> 5<br /> <br /> 7<br /> <br /> x<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 425 (Kì 1 - 3/2018), tr 36-43<br /> <br /> Ví dụ 6. Giải phương trình:<br /> <br /> mặt trong phương trình. Trong phương trình có các hệ số<br /> “cụ thể” là 2 5, 5, 5 và chính các hệ số này đã tạo nên<br /> khó khăn cho cách giải bài toán. Việc phát hiện được mối<br /> <br /> 4 x2  12 x  13  4 x2  28x  53  4 2<br /> Phân tích: Với bài này, nếu GV để cho HS tự giải<br /> theo những cách biến đổi đại số thông thường như là đặt<br /> ẩn phụ hay biến đổi tương đương thì các em sẽ rơi vào<br /> “thế bí”, không tìm ra manh mối để giải quyết vấn đề.<br /> Nếu để ý các tam thức bậc hai dưới căn đều dương với<br /> mọi x, hơn nữa ta có thể biến đổi:<br /> <br /> quan hệ 5 <br /> <br /> 2<br /> <br /> 4 x 2  28 x  53   2x  7    0  2  .<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Khi đó, vế trái của phương trình được biến đổi về<br /> dạng: (2 x  3)2  (0  2)2  (2 x  7)2  (0  2)2<br /> Các biến đổi đó có được là nhờ sự liên tưởng đến<br /> công thức độ dài của một đoạn thẳng.<br /> Gọi M  2 x; 0  chạy trên Ox; A  3; 2  B  7; 2  là<br /> các điểm cố định, ta được:<br /> (2 x  3)  (0  2) <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> (2 x  7)  (0  2)  MA  MB.<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> trường hợp riêng của bài toán tổng quát: “Giải phương<br /> trình: x4  2mx2  x  m2  m  0 (m là tham số)”, đã<br /> dẫn HS đến suy nghĩ tìm phương pháp giải bài toán tổng<br /> quát, khi đó giải bài toán đã cho chỉ là đặc biệt hóa cách<br /> làm của bài toán tổng quát mà thôi. Như vậy, HS đã giải<br /> được bài toán trên bằng việc thực hiện hoạt động khái<br /> quát hoá và đặc biệt hoá.<br /> 2.2.7. Biết nhìn nhận lại quá trình nhận thức và giải<br /> quyết vấn đề<br /> Thực ra khi giải quyết bất cứ một vấn đề gì, giải một<br /> bài toán nói chung hay một bài toán về phương trình, bất<br /> phương trình nói riêng, việc nhìn nhận lại quá trình nhận<br /> thức và giải quyết vấn đề là một điều hết sức cần thiết.<br /> Đó là xem xét các bước đã làm, lí do ta thực hiện các<br /> bước đó đã chuẩn xác chưa, còn thiếu sót điều gì nữa<br /> không?, ... mặc dù trước đó ta đã có niềm tin về các kết<br /> quả thu nhận được cũng như các phương pháp đã sử<br /> dụng. Việc nhìn nhận lại quá trình nhận thức và giải<br /> quyết vấn đề giúp HS hiểu đúng bản chất vấn đề, tránh<br /> nhiều sai sót, ngộ nhận trong giải toán.<br /> Ví dụ 8. Giải phương trình:<br /> <br /> 4 x 2  12 x  13   2x  3   0  2  ;<br /> 2<br /> <br />  5  và từ đó xem bài toán đã cho là một<br /> <br /> 2<br /> <br /> Mặt khác MA  MB  MA'  MB  A' B  4 2 ,<br /> với A'  3;  2  là điểm đối xứng của A qua trục Ox. Đẳng<br /> <br /> 5<br /> thức xảy ra khi M  H  5;0  , suy ra 2x  5  x  .<br /> 2<br /> 5<br /> Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  .<br /> 2<br /> Như vậy, với cách suy nghĩ hai chiều như trên, không<br /> chỉ giúp HS giải được bài toán, mà còn tạo cho các em<br /> một cách nhìn linh hoạt về các phạm vi khác nhau của<br /> bài toán khi xem xét bài toán - Là bài toán đại số nhưng<br /> lại liên tưởng đến, chẳng hạn phạm vi hình học, và ngược<br /> lại. Vì vậy, ngày nay trong việc giảng dạy, không được<br /> tách rời số học và hình học, cần làm cho HS nhận rõ sự<br /> tương quan hỗ trợ lẫn nhau giữa số học, đại số và hình<br /> học, vận dụng linh hoạt phương pháp toán học vào việc<br /> nghiên cứu các vấn đề (dùng số nghiên cứu hình, dùng<br /> hình biểu thị số...<br /> 2.2.6. Biết vận dụng những hoạt động trí tuệ, những thao<br /> tác tư duy ngược nhau như nhận dạng và thể hiện, phân<br /> tích và tổng hợp, đặc biệt hóa và khái quát hóa<br /> Ví dụ 7. Giải phương trình:<br /> <br /> ( x2  10 x  26)3 x  ( x2  10 x  26)<br /> <br /> x 3<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Phân tích: Có HS giải như sau:<br /> Điều kiện: x  3  0  x  3.<br /> 2<br /> Vì x  10 x  26  0 x nên phương trình (1)<br /> <br /> tương đương với phương trình: 3  x  x  3 (2)<br /> Bình phương hai vế của phương trình (2) ta được<br /> 2<br /> phương trình: (3  x)  x  3 (3)<br /> 2<br /> Biến đổi (3)  9  6 x  x  x  3 (4)<br /> <br /> x  3<br /> <br />  x2  7 x  12  0 (5)  <br /> x  4<br /> <br /> Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x  3, x  4.<br /> Kết quả đúng của bài toán này là x  3, x  5. Vậy<br /> nguyên nhân sai lầm của HS là ở đâu? Tại sao thiếu<br /> nghiệm, thừa nghiệm?<br /> Nếu HS có khả năng nhìn nhận lại, đánh giá quá trình<br /> giải bài toán, thì các em phải vận dụng các kiến thức về<br /> hàm mũ, phương pháp khử căn thức đã biết để kiểm tra<br /> <br /> x4  2 5 x2  x  5  5  0.<br /> Phân tích: Để tìm được cách giải bài toán, HS cần<br /> phải nghiên cứu kỹ đặc điểm của các yếu tố và mối liên<br /> hệ của chúng trong bài toán, cụ thể ở đây là các hệ số có<br /> <br /> 39<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 425 (Kì 1 - 3/2018), tr 36-43<br /> <br /> các phép biến đổi, từ đó lập được mối liên hệ giữa các<br /> phương trình trong quá trình biến đổi như sau:<br /> (1)  (2)  (3)  (4)  (5).<br /> <br /> Ví dụ 10. Hãy khoanh vào đáp án đúng trong các đáp<br /> án dưới đây. Bất đẳng thức:<br /> <br /> Vì vậy, quá trình biến đổi từ phương trình (1) sang<br /> phương trình (5) có khả năng vừa thừa nghiệm lại vừa<br /> thiếu nghiệm. Từ đó, HS biết cần thử các nghiệm của (5)<br /> vào (1) để loại bỏ những giá trị không nghiệm đúng (1)<br /> nếu có. Thử lại các giá trị x  3, x  4 của phương trình<br /> (5) vào phương trình (1) ta thấy x  3 là nghiệm của<br /> (1), còn x  4 không nghiệm đúng phương trình (1).<br /> Mặt khác, HS phải xét trường hợp riêng<br /> x2  10 x  26  1 trước khi biến đổi từ (1) sang (2). Do<br /> đó, phải thử các giá trị của x làm cho x2  10 x  26  1<br /> hay x  5. Thử lại giá trị này thỏa mãn phương trình (1).<br /> Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x  3 và x  5.<br /> <br /> mọi x thuộc R khi và chỉ khi:<br /> A. m  2 B. m  2 C. m  2 D. m  2<br /> Phân tích: Nếu làm theo phương pháp tự luận thì cần<br /> xét các trường hợp m  2 và m  2 sau đó tiến hành<br /> giải với ẩn số m. Do đó, thời gian đi đến đáp số là khá<br /> lâu, chưa nói đến những em HS có kĩ năng biến đổi, tổng<br /> hợp nghiệm không tốt.<br /> HS có thể làm ngược như sau: Đầu tiên thay m  2<br /> vào kiểm tra, nếu thỏa mãn yêu cầu bài toán thì loại bỏ<br /> được phương án C, D; nếu không đúng thì loại bỏ<br /> phương án A, B. Thay m  0 kiểm tra thì sẽ kết luận<br /> được một trong hai phương án còn lại.<br /> 2.3. Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực tư<br /> duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học giải<br /> phương trình, bất phương trình<br /> 2.3.1. Rèn luyện cho học sinh có ý thức và khả năng đặt<br /> bài toán trong mối liên hệ với các bài toán khác “gần”<br /> với nó (“gần” theo nghĩa bài toán tổng quát, bài toán<br /> đặc biệt, bài toán ngược)<br /> G. Polya cho rằng “Thành công trong việc giải bài<br /> toán phụ thuộc vào việc chọn con đường đi đúng, phụ<br /> thuộc vào việc ta tấn công pháo đài có đúng mặt yếu của<br /> nó hay không. Để thấy được con đường nào đúng hơn,<br /> phía nào dễ qua hơn, ta phải xét bài toán theo nhiều quan<br /> điểm khác nhau” [6; tr 70].<br /> - GV cần tạo cho HS thói quen xem xét bài toán trong<br /> mối liên hệ với bài toán ngược: + Khai thác triệt để các<br /> bài toán cụ thể, các dạng toán khi giải có thể hoặc cần<br /> dựa vào mối liên hệ với bài toán ngược; + Đứng trước<br /> mỗi bài toán trên, GV yêu cầu HS giải bằng cách liên hệ<br /> với bài toán ngược; + Sau khi HS giải xong một bài toán<br /> có khai thác mối liên hệ với bài toán ngược, GV nhấn<br /> mạnh hiệu quả của bài toán ngược đối với việc giải bài<br /> toán đã cho.<br /> Ví dụ 11. Tìm m để phương trình:<br /> <br /> (m  2) x2  2(m  2) x  (m  8)  0 có nghiệm<br /> <br /> 2.2.8. Biết thực hiện cách giải quyết vấn đề theo cách có<br /> tính khác biệt, độc đáo khác với cách số đông thường làm<br /> Người có TDTN thì không chịu suy nghĩ theo một<br /> chiều, theo thói quen thường làm, theo suy nghĩ của số<br /> đông, mà họ còn linh hoạt suy nghĩ theo cả chiều ngược<br /> lại, xem xét vấn đề từ góc độ ngược lại, hoặc đảo lộn<br /> hoặc đối lập. Chính sự suy nghĩ theo hai chiều ngược<br /> nhau nhiều khi đưa lại cách giải quyết vấn đề một cách<br /> nhanh chóng, dễ dàng, độc đáo.<br /> Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để<br /> phương trình  m  1 x2  2mx  m  1  0 có nghiệm.<br /> Phân tích: Theo lối nghĩ thông thường, HS phân chia<br /> hai trường hợp m  1 và m  1 và giải trong mỗi trường<br /> hợp đó. Tuy nhiên, nếu HS có năng lực TDTN thì sẽ nhận<br /> thấy phương trình luôn nhận x  1 làm nghiệm với bất<br /> kỳ giá trị nào của tham số m. Do đó, phương trình đã cho<br /> có nghiệm với mọi m.<br /> 2.2.9. Biết đưa ra hướng giải quyết linh hoạt trong làm<br /> bài thi trắc nghiệm<br /> Đứng trước một câu hỏi trắc nghiệm ta có thể thực<br /> hiện lời giải cho bài toán bằng tự luận để dẫn đến đáp số<br /> trùng với một trong các phương án cho trước. Tuy nhiên,<br /> điều đó có thể làm mất nhiều thời gian. Do đó, đòi hỏi<br /> HS phải có cách làm linh hoạt hơn, hoặc là chọn lựa<br /> phương án phù hợp bằng phương pháp loại trừ dần các<br /> phương án sai, hoặc là kiểm tra trực tiếp sự đúng đắn của<br /> mỗi phương án. Như thế, HS đã khắc phục được vấn đề<br /> thời gian cũng như độ khó của bài toán theo một hướng<br /> linh hoạt mà không rập khuôn máy móc, đúng với đặc<br /> trưng của bài thi trắc nghiệm. Đây có thể được xem như<br /> là một biểu hiện của TDTN.<br /> <br /> x2  (m  1) x  2m  1  0 có nghiệm không âm.<br /> Phân tích: Nếu làm trực tiếp thì HS phải xét ba<br /> trường hợp: - Trường hợp 1: phương trình có hai nghiệm<br /> không âm; - Trường hợp 2: phương trình có một nghiệm<br /> dương, một nghiệm âm; - Trường hợp 3: phương trình có<br /> một nghiệm bằng 0, một nghiệm âm.<br /> Thực tiễn dạy học cho thấy có nhiều HS chỉ xét<br /> trường hợp 1 và trường hợp 2, bỏ sót trường hợp 3. Nếu<br /> HS có thói quen xem xét cách giải quyết theo chiều<br /> <br /> 40<br /> <br />