Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1. [ĐVH]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau và chia hết cho 3?
Lời giải:
Gọi số cần lập là
12345
a a a a a
Đề số lập được chia hết cho 3 thì tổng
1 2 3 4 5
a a a a a
+ + + +
phải chia hết cho 3. Ta có 2 bộ số thỏa mãn
{
}
1
0;1;2;4;5A
=⇒
có
=
số
th
ỏ
a mãn
{
}
2
1; 2;3;4;5A
=⇒
có
5! 120
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
V
ậ
y có
96 120 216
+ =
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Ví dụ 2. [ĐVH]:
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
0, 1, 2, 3, 4, 5 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên g
ồ
m 4 ch
ữ
s
ố
đ
ôi
m
ộ
t khác nhau và s
ố
đ
ó chia h
ế
t cho 5?
Lời giải:
G
ọ
i s
ố
c
ầ
n l
ậ
p là
1 2 3 4
a a a a
TH1: 4
0
a
=
Ch
ọ
n
1 2 3
a a a
có 3
5
60
A
=
cách chọn
⇒
Có
60
số thỏa mãn
TH2:
4
5
a
=
Chọn
1
a
có
4
cách chọ
n
Ch
ọ
n
2 3
a a
có
2
4
12
A
=
cách ch
ọ
n
⇒
Có
12.4 48
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
V
ậ
y có
60 48 108
+ =
s
ố
th
ỏ
a mãn
Ví dụ 3. [ĐVH]:
Cho các ch
ữ
s
ố
0, 1, 2, 3, 4, 5. T
ừ
các ch
ữ
s
ố
đ
ã cho ta có th
ể
l
ậ
p
đượ
c:
a)
Bao nhiêu s
ố
ch
ẵ
n có b
ố
n ch
ữ
s
ố
và b
ố
n ch
ữ
s
ố
đ
ó khác nhau t
ừ
ng
đ
ôi m
ộ
t?
b)
Bao nhiêu s
ố
chia h
ế
t cho 5, có ba ch
ữ
s
ố
và ba ch
ữ
s
ố
đ
ó khác nhau t
ừ
ng
đ
ôi m
ộ
t?
c)
Bao nhiêu s
ố
chia h
ế
t cho 9, có ba ch
ữ
s
ố
và ba ch
ữ
s
ố
đ
ó khác nhau t
ừ
ng
đ
ôi m
ộ
t?
Lời giải:
a)
G
ọ
i s
ố
c
ầ
n l
ậ
p là
1 2 3 4
a a a a
TH1:
4
0
a
=
Ch
ọ
n
1 2 3
a a a
có
3
5
60
A
=
⇒
Có 60 s
ố
th
ỏ
a mãn
TH2:
{
}
4
2; 4
a∈
Ch
ọ
n
4
a
có 2 cách
Ch
ọ
n
1
a
có 4 cách
Ch
ọ
n
2 3
a a
có
2
4
12
A
=
⇒
Có
2.4.12 96
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
V
ậ
y có
60 96 156
+ =
s
ố
th
ỏ
a mãn
b)
G
ọ
i s
ố
c
ầ
n l
ậ
p là
1 2 3
a a a
TH1:
3
0
a
=
Ch
ọ
n
1 2
a a
có
2
5
20
A
=
cách
⇒
Có 20 s
ố
th
ỏ
a mãn
CÁC BÀI TOÁN ĐẾM VÀ LẬP SỐ – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
[ĐVH]
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
TH2:
3
5
a
=
Chọn
1
a
có 4 cách
Chọn
2
a
có 4 cách
⇒
Có
4.4 16
=
số
th
ỏ
a mãn
V
ậ
y có
20 16 36
+ =
s
ố
th
ỏ
a mãn
c)
G
ọ
i s
ố
c
ầ
n l
ậ
p là
1 2 3
a a a
Đề
l
ậ
p
đượ
c s
ố
chia h
ế
t cho 9 thì t
ổ
ng
1 2 3
a a a
+ +
ph
ả
i chia h
ế
t cho 9. Ta có 3 b
ộ
s
ố
th
ỏ
a mãn
{
}
1
0; 4;5A
=⇒
Có
2.2 4
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
{
}
2
1;3;5A
=⇒
Có
3! 6
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
{
}
3
2;3;4A
=⇒
Có
3! 6
=
s
ố
th
ỏ
a mãn
V
ậ
y có
4 6 6 16
+ + =
s
ố
th
ỏ
a mãn
Ví dụ 4. [ĐVH]:
a)
Có th
ể
tìm
đượ
c bao nhiêu s
ố
g
ồ
m 3 ch
ữ
s
ố
khác nhau
đ
ôi m
ộ
t?
b)
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
ch
ẵ
n có 5 ch
ữ
s
ố
đ
ôi m
ộ
t khác nhau?
Lời giải:
a)
G
ọ
i s
ố
c
ầ
n l
ậ
p là
1 2 3
a a a
Ch
ọ
n
1
a
có 9 cách ch
ọ
n
Ch
ọ
n
2 3
a a
có 2
9
72
A
=
cách chọn
Vậy có
9.72 648
=
số thỏa mãn
b) Gọi số cần lập là
12345
a a a a a
TH1:
5
0
a
=
Chọn
1 2 3 4
a a a a
có
4
7
840
A= cách chọn
⇒
Có 840 số thỏa mãn
TH2:
5
5
a
=
Chọn
1
a
có 6 cách chọn
Chọn
234
a a a
có
3
6
120
A= cách chọn
⇒
Có
120.6 720
=
số thỏa mãn
Vậy có
840 720 1560
+ =
số thỏa mãn
Ví dụ 5. [ĐVH]: Từ chín chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, người ta lập ra các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác
nhau mà chữ số hàng trăm là 4.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên như thế?
b) Trong những số đó có bao nhiêu số chia hết cho 25?
Lời giải:
a) Cố định chữ số hàng trăm là 4
⇒
Có
8.7.6.5.4.3.2.1 40320
=
cách chọn
b) Quy tắc để 1 số chia hết cho 25 là hai số cuối cùng của nó là 25, và 75
⇒
Có
6.5.4.3.4 1440
=
(do cố định chữ số hàng tram là 4)
Ví dụ 5. [ĐVH]: Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên
thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
Lời giải:
a) Số có 6 chữ số khác nhau có dạng
(
)
0
abcdef a
≠
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Vì số lẻ được tạo thành, do đó f có 3 cách chọn; a có 4 cách (trừ 0 và f); b có 4 cách (trừ a và f), c có 3
cách, d có 2 cách, e có 1 cách
Vậy có
3.4.4.3.2.1 288
=
cách
b) Vì số
t
ạ
o thành là s
ố
ch
ẵ
n nên
{
}
0, 2, 4
f∈
+) Khi
f
= 0 thì a,b,c,d,e là 1 hoán v
ị
c
ủ
a (1,2,3,4,5). Do
đ
ó 5! s
ố
th
ỏ
a mãn.
+) Khi
f
= 2; 4 thì f có 2 cách
2.4.4.3.2.1 192
⇒=
cách
120 192 312
⇒+ =
cách ch
ọ
n
Ví dụ 7. [ĐVH]:
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
0, 1, 2, 3, 4, 5 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
g
ồ
m 3 ch
ữ
s
ố
đ
ôi m
ộ
t khác
nhau không chia h
ế
t cho 9.
Lời giải:
T
ừ
6 ch
ữ
s
ố
trên, ta l
ậ
p
đượ
c
5.5.4 100
=
s
ố
có 3 ch
ữ
s
ố
khác nhau
T
ừ
6 ch
ữ
s
ố
trên, ta th
ấ
y 3 b
ộ
s
ố
sau là có t
ổ
ng chia h
ế
t cho 9:
{
}
{
}
{
}
0, 4,5 ; 2, 3, 4 ; 1,3, 5
⇒
Có :
2.2 2.3 2.3 16
+ + =
s
ố
chia h
ế
t cho 9
V
ậ
y có 84 s
ố
có 3 ch
ữ
s
ố
khác nhau không chia h
ế
t cho 9
đượ
c l
ậ
p t
ừ
6 ch
ữ
s
ố
đ
ã cho.
Ví dụ 8. [ĐVH]:
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n mà m
ỗ
i
s
ố
g
ồ
m 7 ch
ữ
s
ố
khác nhau?
Lời giải:
+) Khi ch
ữ
s
ố
hàng
đơ
n v
ị
là 0 thì s
ẽ
có
8.7.6.5.4.3 20160
=
s
ố
+) Khi các ch
ữ
s
ố
hàng
đơ
n v
ị
là 2,4,6,8 thì s
ẽ
có
4.7.7.6.5.4.3 70560
=
s
ố
⇒
Có t
ấ
t c
ả
20160 70560 90720
+ =
Ví dụ 9. [ĐVH]:
Xét dãy s
ố
g
ồ
m 7 ch
ữ
s
ố
khác nhau (m
ỗ
i ch
ữ
s
ố
đượ
c ch
ọ
n t
ừ
0, 1, ..., 8, 9) th
ỏ
a mãn
ch
ữ
s
ố
đầ
u tiên b
ằ
ng 7, ch
ữ
s
ố
cu
ố
i không chia h
ế
t cho 5. H
ỏ
i có bao nhiêu cách ch
ọ
n?
Lời giải:
G
ọ
i s
ố
thoã mãn yêu c
ầ
u bài toán là
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
(
{
}
0;1;....8;9 ; 1;7
i
a i∈ =
)
Ch
ọ
n 1
7
a
=
có 1 cách ch
ọ
n.
Sau khi ch
ọ
n
1
a
ta ch
ọ
n 7 7
0; 5
a a
≠ ≠
ta có:
7
cách ch
ọ
n.
Sau khi ch
ọ
n
1 7
;
a a
ta ch
ọ
n 5 s
ố
còn l
ạ
i và s
ắ
p x
ế
p có :
5
8
A
V
ậ
y theo quy t
ắ
c nhân có t
ổ
ng c
ộ
ng 5
8
7 47040
A= số thoã mãn.
Ví dụ 10. [ĐVH]: Có 100 tấm bia hình vuông được đánh số từ 1 đến 100. Ta lấy ngẫu nhiên một tấm bìa.
Tính xác suất để lấy được:
a) Một tấm bìa không chứa chữ số 5.
b) Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5.
Lời giải:
a) Có tổng cộng 20 tâm bìa chứa chữ số 5 bao gồm:
5;15; 25;35; 45;50;51;52..59; 65; 75;85;95
.
Do đó có tổng cộng 80 tấm bìa không chứa chữ số 5.
Ta có:
80
0,8
100
p= = là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
b)
Xét t
ấ
m bìa không có s
ố
chia h
ế
t cho 2 ho
ặ
c 5 ho
ặ
c c
ả
2 và 5.
T
ừ
1
đế
n 9 có 4 s
ố
bao g
ồ
m các s
ố
: 1 ;3 ;7 ;9 không chia h
ế
t cho 2 và 5 ho
ặ
c c
ả
2 và 5.
T
ừ
10
đế
n 99 có :
9.4 36
=
s
ố
không chia h
ế
t cho 2 ho
ặ
c 5 ho
ặ
c c
ả
2 và 5.
Do v
ậ
y có t
ổ
ng c
ộ
ng
4 36 40
+ =
t
ấ
m bìa không có s
ố
chia h
ế
t cho 2 ho
ặ
c 5 ho
ặ
c c
ả
2 và 5
V
ậ
y có 60 t
ấ
m bìa có s
ố
chia h
ế
t cho 2 ho
ặ
c 5 ho
ặ
c c
ả
2 và 5. V
ậ
y 60
0,6
100
p= = .
Ví dụ 11. [ĐVH]:
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
1, 3, 4, 5, 6 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên g
ồ
m 3 ch
ữ
s
ố
khác
nhau và s
ố
t
ự
nhiên
đ
ó chia h
ế
t cho 3.
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Lời giải:
Gọi số có 3 chữ số chia hết cho 3 là
{
}
(
)
; ; 1;3; 4;5;6
abc a b c∈ khi đó tổng các chữ số là
(
)
3
a b c
+ +
⋮
Các bộ 3 số thoã mãn điều kiện đó là:
{
}
{
}
{
}
{
}
1;3;5 ; 1;5;6 ; 3;4;5 ; 4;5;6
Khi đó có tổng cộng
4.3! 24
=
số
thoã mãn.
Ví dụ 12. [ĐVH]:
Cho t
ậ
p
{
}
1; 2;3; 4;5;6;7 .
A=
Có bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên g
ồ
m 4 ch
ữ
s
ố
khác nhau l
ậ
p t
ừ
A
sao cho s
ố
t
ự
nhiên
đ
ó chia h
ế
t cho 6, và có m
ặ
t ch
ữ
s
ố
1.
Lời giải:
G
ọ
i s
ố
có 4 ch
ữ
s
ố
c
ầ
n tìm là:
(
)
; ; ;
abcd a b c d A
∈vì s
ố
t
ự
nhiên
đ
ó chia h
ế
t cho 6 nên nó chia h
ế
t cho c
ả
2 và 3.
Ch
ọ
n
d
ta có: 3 cách ch
ọ
n
{
}
2; 4;6
d∈
.
Ch
ọ
n
2
d
=
thì t
ổ
ng
abc
+ +
ph
ả
i chia 3 d
ư
1: Khi
đ
ó b
ộ
(
)
; ;
abc
g
ồ
m
{
}
{
}
{
}
1;3;6 ; 1;4;5 ; 1;5;7
Ch
ọ
n
4
d
=
thì t
ổ
ng
abc
+ +
ph
ả
i chia 3 d
ư
2. Khi
đ
ó b
ộ
(
)
; ;
abc
g
ồ
m
{
}
{
}
{
}
1; 2;5 ; 1;3;7 ; 1; 4;6
Ch
ọ
n
6
d
=
thì t
ổ
ng
abc
+ +
ph
ả
i chia h
ế
t cho 3. Khi
đ
ó b
ộ
(
)
; ;
abc
g
ồ
m
{
}
{
}
{
}
1; 2;3 ; 1;3;5 ; 1; 4;7
V
ậ
y có t
ổ
ng c
ộ
ng:
3.3.3! 54
=
s
ố
thoã mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví dụ 13. [ĐVH]:
Cho 5 ch
ữ
s
ố
0; 1; 2; 3; 6. T
ừ
5 ch
ữ
s
ố
trên có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên có 3
ch
ữ
s
ố
khác nhau và s
ố
t
ự
nhiên
đ
ó không chia h
ế
t cho 6.
Lời giải:
Ký hi
ệ
u
{
}
0; 1; 2; 3; 6 .
T=
•
Đ
i tìm s
ố
các s
ố
t
ự
nhiên có 3 ch
ữ
s
ố
đ
ôi m
ộ
t khác nhau
đượ
c l
ậ
p t
ừ
t
ậ
p T.
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
abc
trong
đ
ó
0
a
≠
; a, b, c
T
∈
đ
ôi m
ộ
t khác nhau.
+) Ch
ọ
n
a
có 4 cách (tr
ừ
s
ố
0)
+) Ch
ọ
n
b
có 4 cách (tr
ừ
a
)
+) Ch
ọ
n
c
có 3 cách (tr
ừ
a, b
)
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
4.4.3 48
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
•
Đ
i tìm các s
ố
t
ự
nhiên có 3 ch
ữ
s
ố
đ
ôi m
ộ
t khác nhau
đượ
c l
ậ
p t
ừ
t
ậ
p
T
và chia h
ế
t cho 6.
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
xyz
trong
đ
ó
0
x
≠
;
x, y, z
T
∈
đ
ôi m
ộ
t khác nhau và
6.
xyz
⋮
Ta có 2 2
6
3
3
xyz xyz
xyz x y z
xyz
⇔ ⇔
+ +
⋮⋮
⋮
⋮
⋮
+) Bộ ba số 0; 1; 2 lập được 3 số thỏa mãn là 120; 102; 210.
+) Bộ ba số 0; 3; 6 lập được 3 số thỏa mãn là 306; 360; 630.
+) Bộ ba số 1; 2; 3 lập được 2 số thỏa mãn là 312; 132.
+) Bộ ba số 1; 2; 6 lập được 4 số thỏa mãn là 126; 216; 162; 612.
Theo quy tắc cộng thì có
3 3 2 4 12
+ + + =
số thỏa mãn.
Tóm lại có
48 12 36
− =
số thỏa mãn bài toán.
Đ/s: 36 số.
Ví dụ 14. [ĐVH]: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10.
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Lời giải:
Số cần tìm có dạng
abcde
trong đó
0
a
≠
;
a, b, c, d, e
đ
ôi m
ộ
t khác nhau và
abcde
không chia h
ế
t cho 10.
+) Ch
ọ
n
e
có 9 cách (tr
ừ
s
ố
0)
+) Ch
ọ
n
a
có 8 cách (tr
ừ
s
ố
0 và
e
)
+) Ch
ọ
n
b
có 8 cách (tr
ừ
e, a
)
+) Ch
ọ
n
c
có 7 cách (tr
ừ
e, a, b
)
+) Ch
ọ
n
d
có 6 cách (tr
ừ
e, a, b, c
)
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
9.8.8.7.6 24192
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Đ/s:
24192 s
ố
.
Ví dụ 15. [ĐVH]:
Có t
ấ
t c
ả
bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên có 5 ch
ữ
s
ố
khác nhau, sao cho:
a)
Chia h
ế
t cho 5 và b
ắ
t
đầ
u b
ằ
ng 5.
b)
Chia h
ế
t cho 2 và b
ắ
t
đầ
u b
ằ
ng 4.
Lời giải:
a)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
5
abcd
trong
đ
ó
a, b, c, d
đ
ôi m
ộ
t khác nhau và
5 5.
abcd
⋮
+) Ch
ọ
n
d
có 1 cách (s
ố
0)
+) Ch
ọ
n
a
có 8 cách (tr
ừ
5 và
d
)
+) Ch
ọ
n
b
có 7 cách (tr
ừ
5,
d, a
)
+) Ch
ọ
n
c
có 6 cách (tr
ừ
5,
d, a, b
)
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
1.8.7.6 336
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Đ
/s: 336 s
ố
.
b)
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
4
abcd
trong
đ
ó
a, b, c, d
đ
ôi m
ộ
t khác nhau và
4 2.
abcd
⋮
+) Ch
ọ
n
d
ó 4 cách (s
ố
0; 2; 6; 8)
+) Ch
ọ
n
a
có 8 cách (tr
ừ
4 và
d
)
+) Ch
ọ
n
b
có 7 cách (tr
ừ
4,
d, a
)
+) Ch
ọ
n
c
có 6 cách (tr
ừ
4,
d, a, b
)
Theo quy t
ắ
c nhân thì có
4.8.7.6 1344
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Đ
/s: 1344 s
ố
.
Ví dụ 16. [ĐVH]:
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
1, 2, 3, 4, 5 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên có 5 ch
ữ
s
ố
khác nhau
và chia h
ế
t cho 8?
Lời giải:
S
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
abcde
trong
đ
ó
a, b, c, d, e đ
ôi m
ộ
t khác nhau và
8.
abcde
⋮
Nh
ậ
n xét:
8 8.
abcde cde⇔
⋮ ⋮
Ta tìm
đượ
c
{
}
152; 312; 352; 432; 512 .
cde∈
Nh
ư
v
ậ
y có 5 s
ố
cde
để
th
ỏ
a mãn bài toán.
V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
cde
nh
ư
trên ta tìm
đượ
c 2 s
ố
th
ỏ
a mãn bài toán. Do
đ
ó có
2.5 10
=
s
ố
th
ỏ
a mãn.
Đ/s:
10 s
ố
.