Các bài toán về đồng cấu vành

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

567
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về đồng cấu vành', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về đồng cấu vành

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 11 Các Bài Toán V Đ ng C u Vành Cho các vành X,Y . Ánh x f : X → Y là đ ng c u vành n u ∀x1 , x2 ∈ X thì : f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) và f (x1 x2 ) = f (x1 ) · f (x2 ) Nói m t cách v n t t : Ánh x f gi a hai vành là đ ng c u vành (hay đơn gi n hơn : đ ng c u !) n u f b o toàn hai phép toán có trong vành. Đ ng c u vành f đư c g i là đơn c u n u ánh x f đ ng th i là đơn ánh. Đ ng c u vành f đư c g i là toàn c u n u ánh x f đ ng th i là toàn ánh. Và đ ng c u vành f đư c g i là đ ng c u n u ánh x f đ ng th i là song ánh. Hi n nhiên f là đ ng c u ⇔ f đ ng th i là đơn c u và toàn c u. Ta nh c l i sau đây m t vài k t qu đáng đ ý v đ ng c u vành, thư ng đư c s d ng trong các bài toán liên quan đ n đ ng c u vành. • H t nhân c a m i đ ng c u vành f đư c đ nh nghĩa là : ker f = f −1 (0) luôn là m t Iđêan. K t qu này cho phép chúng ta, khi ch ng minh b ph n khác r ng A là Iđêan c a vành X, có th xác đ nh m t đ ng c u f : X → Y , v i Y là vành nào đó, mà ker f = A. • Đ ng c u vành f : X → Y là đơn c u ⇔ ker f = 0. K t qu này cho phép chúng ta, thay cho vi c ki m tra f đơn ánh, thì ch c n tính h t nhân ker f . 1
• N u f : X → Y là toàn c u vành thì t n t i và duy nh t đ ng c u f : X/Kerf → Y sao cho f = f · p trong đó p là phép chi u p : X → X/ ker f . K t qu này cho phép ta khi ch ng minh v s t n t i m t đ ng c u t m t vành thương X/A t i vành Y nào đó ta ch c n thi t l p m t toàn c u f : X → Y mà ker f = A. • N u f : X → Y là đ ng c u thì f −1 : Y → X là đ ng c u. K t qu này cho th y r ng quan h đ ng c u c a các vành là quan h đ i x ng và khi k t h p v i các tính ch t ph n x , b c c u v n có thì quan h đ ng c u là quan h tương đương. Các bài toán v đ ng c u vành, trư c h t là các bài toán ki m tra tính đ ng c u, đơn c u hay đ ng c u c a m t ánh x nào đó gi a các vành. Ví d 1 Cho vành X và End(X) là vành các t đ ng c u c a nhóm (X, +). V i m i ph n t a ∈ X, xác đ nh ánh x ha : X → X mà ha (x) = ax, ∀x ∈ X Ch ng minh r ng : 1. ∀a ∈ X thì ha ∈ End(X) và ánh x ϕ : X → End(X) mà ϕ(a) = ha , ∀a ∈ X là đ ng c u vành. 2. Ch ng minh ϕ là đơn c u n u vành X có đơn v . Gi i 1. Do tính ch t phân ph i c a phép nhân v i phép c ng trong vành X nên ∀a ∈ X : ha (x + y) = a(x + y) = ax + ay = ha (x) + ha (y), ∀x, y ∈ X t c ha : X → X là t đ ng c u nhóm, hay ha ∈ End(X). Đ ki m tra ánh x ϕ : X → End(X) mà ∀a ∈ X : ϕ(a) = ha là đ ng c u vành, ta c n ki m tra v i m i a, b ∈ X thì : ha+b = ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) = ha + hb (1) ha·b = ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) = ha · hb (2) Vì các v c a các đ ng th c (1), (2) đ u là các ánh x t X vào X, đ ki m tra chúng b ng nhau, ta ch c n ki m tra chúng b ng nhau t i m i đi m c a mi n xác đ nh X. Th t v y, ∀x ∈ X : ha+b (x) = (a + b)x = ax + bx = ha (x) + hb (x) = (ha + hb )(x), và hab (x) = (ab)x = a(bx) = a · hb (x) = ha · hb (x) = (ha · hb )(x) V y ta có đpcm ; t c ϕ là đ ng c u vành. 2
2. Đ ch ng minh ϕ là đơn c u ta tính ker ϕ : ker ϕ = {a ∈ X : ha ≡ 0} = {a ∈ X : ha (x) = 0, ∀x ∈ X} = {a ∈ X : ax = 0, ∀x ∈ X} ⊂ {a ∈ X : a · 1 = 0} = {0} V y ker ϕ = 0, t c ϕ đơn c u khi X có đơn v 1 Ví d ti p sau đây ch ra m t cách ki m tra Iđêan mà không dùng t i đ nh nghĩa hay các tiêu chu n v Iđêan, đ ng th i cũng ch ra cách xác l p đ ng c u t m t vành thương nh s d ng đ nh lý v toàn c u. Ví d 2 Cho R[x] là vành đa th c h s th c và A là t p t t c các đa th c nh n x = 1 làm nghi m. Ch ng minh A R[x] và vành thương R[x]/A là trư ng. Nh n xét : Đ c gi có th x lý ví d này b ng cách ki m tra tr c ti p A R[x], và đ ng th i A là Iđêan t i đ i đ có đư c k t qu R[x]/A là trư ng. Cũng có th s d ng đ nh lý Bê du nói r ng m i đa th c f (x) ∈ R[x] luôn đư c bi u di n dư i d ng f (x) = q(x)(x+1)+f (1), t đó đ th y r ng m i l p ghép f (x) + A ∈ R[x]/A có m t bi u di n duy nh t dư i d ng f (1) + A v i f (1) = r ∈ R; nh đó xác l p đ ng c u tr c ti p t R[x]/A → R. Tuy nhiên đây, ta mu n x lý ti t ki m hơn như sau: Gi i Xây d ng ánh x ϕ : R[x] → R, v i R là trư ng s th c, mà ∀f (x) ∈ R[x] thì ϕ(f ) = f (1). Hi n nhiên ϕ là ánh x . Đ ng th i ∀f (x), g(x) ∈ R[x] : ϕ(f + g) = (f + g)(1) = f (1) + g(1) = ϕ(f ) + ϕ(g) ϕ(f (x), g(x)) = f (1) · g(1) = ϕ(f ).ϕ(g) t c ϕ là đ ng c u vành. D th y ϕ là toàn ánh, vì ∀r ∈ R thì ch n f (x) = x+r −1, ta có ϕ(f ) = f (1) = 1+r −1 = r V y ϕ là toàn c u và cho ta : ker ϕ = {h(x) : ϕ(h) = h(1) = 0} = A R[x] và R[x]/A ∼ R, t c R[x]/A là trư ng. = Nh n xét: Trong ví d trên thay cho vi c ch ng minh tr c ti p R[x]/A là trư ng, ta đã xây d ng đ ng c u R[x]/A ∼ R. Như v y đây ta ch p nh n đi u : n u hai vành đ ng c u v i nhau thì = c u trúc đ i s trên hai vành y là như nhau. Th t ra, đi u đó còn đư c nhân r ng hơn như sau : N u đ ng th i trên c hai t p X và Y đ u có trang b hai phép toán c ng và nhân, và n u có t n t i m t song ánh ϕ : X → Y , b o toàn hai phép toán c ng và nhân (t c ∀x1 , x2 ∈ X thì ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ); ϕ(x1 x2 ) = ϕ(x1 ) · ϕ(x2 )) thì t X là vành, v i c u trúc nào, ta suy ra Y cũng là vành v i c u trúc đó và ngư c l i. Nói riêng X là trư ng ⇔ Y cũng là trư ng. Ví d 3 Ch ng minh r ng t p h p A các ma tr n có d ng a b A= : a, b ∈ R . −b a là trư ng v i hai phép c ng và nhân ma tr n. 3
Nh n xét: Đ ý r ng m i ma tr n thu c A đư c xác đ nh b i m t c p s (a, b) dòng trên và "quan sát" các phép c ng và nhân ma tr n khi đ v t l i các dòng trên, ta nh n th y quy lu t c a nó th c ch t là quy lu t c ng và nhân các s ph c (đ c gi hãy t vi t ra đ xác nh n đi u đó !). Do v y đ x lý bài toán ta c n thi t l p m t song ánh, b o toàn phép toán t A lên trư ng s ph c (C; +, ·) Gi i Xây d ng ánh x ϕ:A→C a b → a + ib −b a B n đ c có th ki m tra tr c ti p r ng ϕ b o toàn c hai phép toán c ng và nhân, tương ng trên A và C. Hi n nhiên ϕ là song ánh vì v i m i s ph c a + ib ∈ C, t n t i và duy nh t m t a b ma tr n K = ∈ A mà ϕ(K) = a + ib. −b a V y t C là trư ng suy ra A là trư ng. M t d ng bài toán v đ ng c u vành cũng thư ng đư c xét t i là các bài xác đ nh s các đ ng c u t m t vành t i m t vành cho trư c, hay s các t đ ng c u c a chính m t vành. Ví d 4 Tìm t t c các t đ ng c u c a trư ng các s h u t . Nh n xét : Vi c tìm các t đ ng c u c a m t vành hay m t trư ng ph thu c vào tính ch t c u trúc c a vành hay trư ng đó. Đ i v i trư ng Q, d th y r ng nó có m t h sinh đơn gi n ch là ph n t 1 ∈ Q. Vì v y đ xác đ nh m t t đ ng c u f : Q → Q, ph i b t đ u v i s xác đ nh f (1) Gi i N u f : Q → Q là đ ng c u thì f (1) = f (1 · 1) = f (1).f (1) Suy ra : f (1) = 0 (1) f (1)(1 − f (1)) = 0 ⇔ f (1) = 1 (2) Đ ý r ng n u f là đ ng c u t Q → Q thì ta có th tính đư c f ( m ) qua f (1) v i m i n m n ∈Q Th t v y : Vì 1 1 1 f (1) f (1) = f (n · ) = n · f ( ) ⇒ f ( ) = n n n n f (1) Do đó : f ( m ) = f (m · n ) = m · f ( n ) = m · n 1 1 n = m n .f (1). Quay tr l i v i công th c (1), (2). 1. Khi f (1) = 0 thì theo (3) : f ( m ) = 0, n ∀ m ∈ Q tương ng v i k t qu này ta có đ ng n c u không θ. 2. Khi f (1) = 1 thì theo (3) : f ( m ) = n m n , ∀ m ∈ Q tương ng v i k t qu này ta có đ ng n c u đ ng nh t. V y có ch duy nh t hai t đ ng c u c a trư ng Q là đ ng c u θ và đ ng c u đ ng nh t. 4
a b Ví d 5 : Cho M = : a, b ∈ R là vành v i hai phép c ng và nhân ma tr n (xem b a bài t p 5 §9). V i m i c p s r, s ∈ R, xác đ nh ánh x ϕs : M → R mà v i m i ma tr n r a b A= thì ϕs (A) = ra + sb. Tìm t t c các c p (r, s) sao cho ϕs là đ ng c u vành. r r b a Gi i D th y r ng v i b t kì c p r, s nào thì ϕs cũng b o toàn phép toán c ng. V y ϕs s là đ ng r r c u vành ⇔ ϕs b o toàn phép toán nhân, t c khi và ch khi v i m i c p ma tr n r a b c d A= ,B = b a d c thì : ϕr (A · B) = ϕr (A) · ϕs (B) s s r ⇔ r(ac + bd) + s(ad + bc) = (ra + sb)(rc + sd) ⇔ r(ac) + r(bd) + s(ad) + s(bc) = r2 (ac) + s2 (bd) + rs(ad) + rs(bc), ∀a, c, d. b,   r = r2 r = s = 0 ⇔ r = s2 ⇔ r = s = 1 s = rs r = 1 và s = −1  V y có t t c là 3 đ ng c u : ϕ0 : 0 M → R mà ϕ0 (A) = 0, 0 ∀A ∈ M a b ϕ1 : 1 M → R mà ϕ1 (A) = a + b, 1 ∀A = ∈M b a ϕ−1 : 1 M → R mà ϕ−1 (A) = a − b, 1 ∀A ∈ M Nh n xét: Th t ra 3 đ ng c u nói trên chính là t p t t c các đ ng c u có th có t M → R. Đ c gi hãy th tìm cách ch ng minh kh ng đ nh này th xem ? Và n u ví d trên yêu c u tìm t t c các đ ng c u vành t M → R thì b n s gi i như th nào ? Bài T p 1. Cho ϕ : X → Y là m t toàn c u vành. Ch ng minh r ng : (a) N u I X thì ϕ(I) Y ; và n u I là Iđêan nguyên t hay t i đ i (trong trư ng h p X, Y giao hoán có đơn v ) thì ϕ(I) cũng nguyên t hay t i đ i. (b) T n t i m t song ánh t t p các Iđêan c a Y t i t p các Iđêan ch a ker ϕ c a vành X. 2. Cho các t p các ma tr n c p hai sau: √ a b a√ b 3 A= : a, b ∈ Q ; B = : a, b ∈ Q 3b a b 3 a Ch ng minh r ng c A, B đ u là trư ng đ i v i hai phép toán c ng và nhân ma tr n. Kh ng đ nh A ∼ B đúng hay sai ? = 5
3. Tìm t t c các đ ng c u c a các vành sau : (a) T Z6 t i Z12 . (b) T Z15 t i Z9 . 4. Tìm t t c các t đ ng c u c a : (a) Vành các s nguyên Z (b) Vành Z20 các s nguyên môđun 20. (c) Trư ng các s th c R (d) Trư ng các s ph c C Bài 12 Các Bài Toán Ki m Tra Các Ph n T Kh Ngh ch, Ph n T B t Kh Qui Trong Vành Giao Hoán Có Đơn V . Các vành giao hoán có đơn v , đ c bi t là các mi n nguyên, đư c xem như là s t ng quát hóa c a vành Z các s nguyên, nên hoàn toàn có th trang b các y u t c a lí thuy t chia h t c a vành s nguyên và nghiên c u v chúng. Khái ni m chia h t trong vành giao hoán có đơn v đ c bi t trong mi n nguyên, đư c xác đ nh m t cách tương t như trong vành s nguyên. C th là, cho X là vành giao hoán, có đơn v 1 và a, b ∈ X. Ta nói a chia h t cho b hay a là b i c a b n u t n t i ph n t c ∈ X sao cho a = b · c. Khi đó ta cũng nói b chia h t a hay b là ư c c a a. Các kí hi u v "chia h t" hay "chia h t cho " đư c dùng như trong mi n nguyên Z; các tính ch t cơ b n c a m i quan h ư c, b i này trong Z v n đư c b o toàn trong vành giao hoán có đơn v b t kì, và chúng s đư c dùng v sau, m i khi c n đ n mà không c n ph i nh c l i. Ph n t kh ngh ch trong vành giao hoán có đơn v X là ph n t u ∈ X sao cho u là ư c c a đơn v 1. Nói cách khác u kh ngh ch ⇔ ∃v ∈ Xmà u · v = 1 Trong đ i s cơ s ta đã bi t r ng : t p U t t c các ph n t kh ngh ch c a m t mi n nguyên X l p thành m t nhóm đ i v i phép nhân. K t qu này hoàn toàn có th m r ng cho vành giao hoán có đơn v b t kì ; t c là n u X là vành giao hoán, có đơn v thì t p U các ph n t kh ngh ch c a X cũng l p thành m t nhóm đ i v i phép nhân. Vi c ch ng minh k t qu này là s "sao chép" nguyên xi phép ch ng minh v k t qu tương t trong mi n nguyên đư c trình bày trong giáo trình đ i s cơ s ; xin đư c dành cho b n đ c ki m ch ng. Ví d sau đây cho ta m t tiêu chu n ki m tra tính kh ngh ch c a ph n t u trong vành giao hoán có đơn v X, trong m i quan h v i các ph n t lũy linh 6
Ví d 1 Trong vành giao hoán có đơn v X, ph n t x ∈ X đư c g i là lũy linh n u t n t i s t nhiên n > 0 sao cho xn = 0. Ch ng minh r ng : 1. N u x lũy linh thì 1 + x kh ngh ch. 2. Ph n t u ∈ X là kh ngh ch ⇔ v i m i ph n t lũy linh x thì u + x là kh ngh ch. Phân tích ban đ u : Đ ch ng minh 1+x kh ngh ch ta c n ch ra nó là ư c c a đơn v 1. Do tính lũy linh c a x mà t n t i n > 0 đ xn = 0, t đó (−x)n = 0 và 1 = 1−(−x)n là b i c a 1+x = 1− (−x) Gi i : 1. Do x lũy linh nên t n t i n > 0 đ xn = 0, do đó (−x)n = 0. Vì 1 = 1 − (−x)n = (1 + x)(1 + (−x) + · · · + (−x)n−1 ) nên hi n nhiên (1 + x)\1, t c (1 + x) kh ngh ch. 2. N u m i x lũy linh mà u + x kh ngh ch thì nói riêng v i x = 0 (là m t ph n t lũy linh), u = u + 0 là kh ngh ch. Bây gi n u u kh ngh ch và x lũy linh, ta c n ch ra u + x kh ngh ch. Ta s áp d ng 1, b ng cách phân tích u + x = u(1 + u−1 x), v i chú ý r ng x lũy linh thì u−1 x cũng lũy linh. V y theo 1) (1 + u−1 x) là kh ngh ch và u + x là tích hai ph n t kh ngh ch là u và (1 + u−1 x) cũng là ph n t kh ngh ch. Nh n xét 1 : Trong ch ng minh trên ta đã s d ng h ng đ ng th c 1 − xn = (1 − x)(1 + x + · · · + xn−1 ) cho vành giao hoán có đơn v X. Th t ra do tính ch t các phép toán trong X, mà m i "h ng đ ng th c" khác có trong vành các s nguyên Z đ u có th đư c s d ng cho X, k c khai tri n nh th c Niu tơn ! Nh n xét 2 : T vi c x lý ví d trên, ta có th rút ra vài phương pháp ki m tra m t ph n t u ∈ X là kh ngh ch. Đó là ch ra u là ư c c a đơn v như trong l i gi i 1/ (ho c là ch ra u là ư c c a m t ph n t kh ngh ch v nào đó). Cũng có th ch ra u là tích c a các ph n t kh ngh ch như trong l i gi i 2/. Tr l i câu 2 c a ví d trên b n đ c có th t ki m tra chi ti t r ng u + x là ư c c a m t ph n t kh ngh ch nào đó theo m t trong các cách sau : Cách 1 : Vì u kh ngh ch nên t n t i u−1 , và (u + x)(u−1 + x) = uu−1 + ux + x(u−1 + x) = 1 + v v i v = ux + x(u−1 x) là lũy linh. Cách 2 : Vì xn = 0 nên : (u + x)(u + (−x) + · · · + (−x)n−1 ) = un − (−x)n = un v i un là lũy th a ph n t kh ngh ch u. V các ph n t b t kh qui (tương t s nguyên t trong vành s nguyên Z) đ tránh s ph c t p v m t kĩ thu t, ta gi i h n s xem xét ch trong mi n nguyên. Cho mi n nguyên X, p ∈ X là ph n t khác 0 không kh ngh ch đư c g i là ph n t b t kh qui n u các ư c c a p ch là các ph n t kh ngh ch hay các ph n t sai khác p m t nhân 7
t kh ngh ch. Nói cách khác n u q|p thì ho c q|1 ho c q = u · p v i u|1. Ph n t q sai khác p m t nhân t kh ngh ch đư c g i là ph n t liên k t v i p và vi t q ∼ p. Các bài toán v ph n t b t kh qui trư c h t là các bài toán ki m tra tính b t kh qui c a ph n t cho trư c nào đó. a b Ví d 2 Cho mi n nguyên A = : a, b ∈ Z v i hai phép toán c ng và nhân ma −b a tr n. 1. Tìm t t c các ph n t kh ngh ch c a A. 2. Ki m tra tính b t kh qui c a các ph n t sau trong A : 1 1 1 −1 0 2 A1 = ; A2 = và B = −1 1 1 1 −2 0 Gi i 1 0 1. Đơn v c a A là ma tr n E = có detE = 1. 0 1 a b N u A = là ph n t kh ngh ch thì t t n t i ma tr n B ∈ A sao cho −b a A · B = E ⇒ detA · detB = detE ⇒ detA = a2 + b2 là ư c c a 1. Đi u này x y ra khi và ch khi ho c a2 = 1 và b2 = 0 ho c a2 = 0 và b2 = 1. V y có t t c 4 ph n t kh ngh ch trong A là : 1 0 −1 0 0 1 0 −1 ; ; và . 0 1 0 −1 −1 0 1 0 a b Nh n xét : T vi c ch ng minh trên ta đi t i k t lu n : Ma tr n A = là kh −b a ngh ch ⇔ detA = 1. Và do v y A không kh ngh ch ⇔ detA > 1. Đi u này có ích cho l i gi i câu 2) sau đây. 2. Do nh n xét trên đây n u m t ma tr n C ∈ A không kh ngh ch thì detC > 1 và vì detC 1 1 1 −1 là s nguyên nên detC ≥ 2. Chú ý r ng các ma tr n A1 = và A2 = −1 1 1 1 đ u có detA1 = 2 = detA2 nên hi n nhiên A1 , A2 không kh ngh ch; và không th phân tích đư c thành tích c a hai ph n t không kh ngh ch vì như v y thì đ nh th c c a chúng ph i không bé hơn 4 (m i ph n t không kh ngh ch có đ nh th c không bé hơn 2 !). V y c A1 và A2 đ u b t kh qui. Còn ma tr n B đư c phân tích thành : 0 2 −1 1 1 −1 B= = = −2 0 −1 −1 1 1 trong đó c hai nhân t đ u không kh ngh ch. V y B không b t kh qui. Nh n xét : Trong ví d trên đ ch ng minh m t ph n t trong mi n nguyên là b t kh 8
qui ngoài vi c ki m tra tính khác 0, không kh ngh ch, ta dùng cách ph n ch ng đ ch ng t nó không th phân tích đư c thành tích hai ph n t không kh ngh ch; t c nó không th có ư c th t s (là ư c không kh ngh ch và không liên k t). M t cách khác đ ki m tra tính b t kh qui c a m t ph n t cho trư c, là s d ng đ nh nghĩa, l y ư c b t kì c a nó, ta tìm cách ch ng minh, ho c ư c đó kh ngh ch, ho c ư c đó liên k t v i nó t c đó là ư c t m thư ng. Ví d 3 Cho mi n nguyên X và p ∈ X là ph n t khác 0, không kh ngh ch. Ch ng minh r ng n u Iđêan sinh b i ph n t p (là p · X) là Iđêan nguyên t thì p là b t kh qui Gi i L y ư c b t kì q c a p, Khi đó t n t i s ∈ X, s = 0 sao cho p = s · q. Hi n nhiên s · q ∈ p · X là Iđêan nguyên t nên ho c s ∈ pX ho c q ∈ pX N u s ∈ pX, t t n t i t ∈ X mà s = pt. K t h p p = s · q, ta có s = t · q · s, và sau khi gi n ư c ph n t s = 0 ( trong mi n nguyên có lu t gi n ư c này !) đ ng th c này cho ta t · q = 1. Suy ra q|1, t c q là ư c t m thư ng. N u q ∈ pX, t t n t i u ∈ X mà q = u · p. L p lu n tương t như trên ta đi đ n u|1, do đó q ∼ p, t c q là ư c t m thư ng. V y trong b t kì trư ng h p nào thì q cũng là ư c t m thư ng. V y p b t kh qui. Bài T p 1. Cho X là vành giao hoán, có đơn v 1, g i N (X) là t p t t c các ph n t lũy linh c a X. Ch ng minh: (a) N (X) là Iđêan c a X. (b) N u N (X) là Iđêan t i đ i thì N (X) là Iđêan t i đ i duy nh t, đ ng th i nhóm U các ph n t kh ngh ch là U = X|N (X). 2. Cho X là vành giao hoán có đơn v 1 và u ∈ X. Ch ng minh r ng n u t n t i ph n t lũy linh x = 0 sao cho u + x là kh ngh ch thì u kh ngh ch. 3. Cho K[X] là đa th c trên trư ng K. Ch ng r ng n u đa th c f (x) không có nghi m trong K mà degf = 2 ho c degf = 3, thì f (x) là b t kh qui trong K[x]. 4. Cho các trư ng K, F mà K ⊂ F và đa th c f (x) ∈ K[x]. Ch ng minh r ng n u f (x) b t kh qui trong F [x] thì f (x) b t kh qui trong K[x]. N u f (x) b t kh qui trong K[x] thì có th kh ng đ nh r ng f (x) cũng b t kh qui trong F [x] ?. 5. Xét tính b t kh qui c a các đa th c sau trong vành Z[x] : (a) f (x) = 2x2 − 3x + 1. (b) g(x) = x2 + x − 1. 6. Cho A là mi n nguyên và p ∈ A ⊂ A[x]. Ch ng minh r ng p b t kh qui trong A ⇔ p b t kh qui trong A[x] 9
Bài 13 Các Bài Toán V Vành Chính M t mi n nguyên b t kì X, dù đư c xem là s m r ng tr c ti p vành các s nguyên Z, còn khá xa m i có đư c các tính ch t cơ b n c a lí thuy t chia h t trong vành Z. Nghiên c u ngu n g c c a các tính ch t cơ b n này, có th th y h u h t chúng đ u đư c suy ra t m t tính ch t khá đ c bi t c a vành Z. Đó là Iđêan b t kì c a vành Z là Iđêan chính. Đi u này d n ta t i khái ni m vành chính đư c đ nh nghĩa như sau : Đ nh nghĩa 1 Vành chính là m t mi n nguyên X, trong đó Iđêan b t kì đ u là Iđêan chính. Trong đ i s cơ s ta đã bi t r ng : vành Z, vành các đa th c K[x] trên m t trư ng K đ u là các vành chính. Đ ki m tra m t vành cho trư c X là vành chính, theo đ nh nghĩa ta c n ki m tra X là mi n nguyên và ph i ch ra r ng m i Iđêan c a X là Iđêan chính. Ví d 1 Ch ng minh r ng trư ng K b t kì là vành chính Gi i Trư c tiên ta ch ra r ng trong K ch có duy nh t hai Iđêan t m thư ng là {0} và K. Th t v y, n u I = 0 là m t Iđêan c a K thì ∃a = 0, a ∈ I, và khi đó ∀x ∈ K thì x = a(a−1 x) ∈ I. v y I = K. Bây gi n u I = 0 thì I = 0 · K Còn n u I = K thì I = 1 · K V y m i Iđêan c a K đ u là Iđêan chính, t c trư ng K là vành chính. Nh n xét : Trong ví d trên vì trư ng K ch có 2 iđêan duy nh t nên ta đã l n lư t ki m tra riêng t ng Iđêan là Iđêan chính. Trư ng h p chung nh t, ta thư ng l y m t Iđêan b t kì I = 0 và tìm cách ch ng minh I là Iđêan chính (khi I = 0 thì hi n nhiên I là Iđêan chính !). Đ làm đi u này, ta đ ý r ng n u I là Iđêan chính thì I ph i đư c sinh b i m t ph n t nào đó a ∈ I ∗ , mà a là ư c c a m i ph n t trong I, t c a là ph n t nh nh t trong I theo quan h th t chia h t. Căn c vào c u trúc c th c a vành đang xét, tính ch t nói trên c a a giúp ta xác đ nh đư c a và ta ch còn ph i tìm cách ch ng minh là I = a . Ch ng h n, n u 0 = I Z thì t đi u a là nh nh t theo quan h chia h t trong I suy ra a cũng là nh nh t v giá tr tuy t đ i trong I ∗ , do v y ta xác đ nh a = min{k > 0 : k ∈ I}. Hay n u I = 0 là Iđêan trong vành đa th c K[x], thì t đi u a là nh nh t theo quan h chia h t trong I suy ra a có b c nh nh t trong I ∗ và d n đ n vi c xác đ nh a là đa th c có b c nh nh t trong các đa th c c a I ∗ . Vành chính như đã bi t, còn gi đư c khá nhi u các tính ch t quan tr ng c a lí thuy t chia h t trong Z như : • Trong vành chính A, ư c chung l n nh t hai ph n t b t kì là t n t i. • Trong vành chính A, hai ph n t a, b là nguyên t cùng nhau ⇔ ∃s, t ∈ A mà sa + tb = 1 . . • Trong vành chính A n u ab. và (a, c) = 1 thì b. .c .c . • Trong vành chính A ph n t p = 0 không kh ngh ch là b t kh qui ⇔ n u ab. thì ho c .p . . ho c b. . a.p .p 10
• Trong vành chính A m i ph n t a = 0 không kh ngh ch đ u phân tích đư c thành tích các nhân t b t kh qui và s phân tích là duy nh t n u không tính đ n th t các nhân t hay s sai khác các nhân t kh ngh ch. ... Các tính ch t này là công c giúp ta gi i quy t các bài toán v tính ch t và m i quan h gi a các ph n t trong vành chính. . . . Ví d 2 Trong vành chính A cho a. a. và (b, c) = 1. Ch ng minh r ng a. .b, .c .bc Gi i . Vì a. nên t n t i k ∈ A mà .b a = kb (3) . Vì a. nên t n t i l ∈ A mà .c a = lc (4) Vì (b, c) = 1 nên t n t i s, t ∈ A : sb + tc = 1 (5) Nhân hai v c a (5) v i a ta đư c : sba + tca = a. thay a h ng t đ u đ ng th c này theo (4), thay a h ng t th hai theo (3) ta đư c : a = sb(lc) + tc(kb) = (sl + tk)bc . V y: a. .bc. Các tính ch t trên c a vành chính cũng giúp cho chúng ta trong vi c x lí các bài toán ph đ nh m t vành cho trư c là vành chính. Ví d 3 Ch ng minh r ng vành các đa th c h s nguyên Z[x] không là vành chính. Gi i Xét hai đa th c x và 2 nguyên t cùng nhau trong Z[x]. N u Z[x] là vành chính thì t t n t i các đa th c h(x), g(x) ∈ Z[x] sao cho : xh(x) + 2 · g(x) = 1 Tuy nhiên h th c này không th có trong Z[x] b i s h ng t do c a đa th c v trái luôn là s ch n, trong khi đó s h ng t do c a đa th c v ph i là s l ! V y Z[x] không là vành chính. Nh n xét : Đ ch ra Z[x] không là vành chính, ta đã đưa ra m t tính ch t có trong vành chính nhưng trong Z[x] l i không có. Đây là m t trong nh ng phương pháp thư ng dùng đ ph đ nh m t vành không là vành chính. Ngoài phương pháp này ta có th s d ng m t trong các phương pháp truy n th ng : ph n ch ng, ch ng h n ví d trên ta có th x lí b ng ph n ch ng như sau : Gi s Z[x] là vành chính khi đó Iđêan I sinh b i hai đa th c x và 3 nguyên t cùng nhau là Iđêan sinh b i ư c chung l n nh t c a chúng (x, 3) = 1, t c I = Z[x], trong khi đó I = x, 3 ch là t p các đa th c có h ng t t do là b i c a 3, hoàn toàn là Iđêan con th c s c a Z[x]. Mâu thu n này ch ra gi s ban đ u là sai, t c Z[x] không là vành chính. 11
√ √ Ví d 4 Cho Z( −5) = {a + b −5 : a, b ∈ Z}. Ch ng minh r ng : √ √ √ 1. Z( −5) là mi n nguyên và các ph n t 2, 3, 1 + −5 và 1 − −5 là các ph n t b t kh √ qui trong Z( −5). √ 2. Z( −5) không là vành chính. Gi i √ 1. Vi c ki m tra Z( −5) là mi n nguyên xin phép dành l i cho đ c gi . đây ta ch ki m √ √ tra 2, 3, 1 + −5 và 1 − −5 là các ph n t b t kh qui. Ta có nh n xét r ng c 4 ph n t trên đ u có mô đun bé hơn 4, l n hơn 1, và vì v y đ ch ng minh c 4 ph√ t b t n kh qui, ta ch ng minh m t đi u t ng quát hơn sau đây : n u ph n t z ∈ Z( −5) mà 1 < |z| < 4 thì z b t kh qui. √ √ √ Trư c h t ta th y r ng trong Z( −5) các ph n t kh ngh ch ch là 1+0 −5, −1+0 −5. √ V y z = a + b −5 không kh ngh ch ⇔ ho c b = 0 ho c b = 0 và |a| ≥ 2. √ Khi b = 0 thì |z| ≥ −5 và khi b = 0 và |a| ≥ 2 thì |z| ≥ 2. V y z không kh ngh ch thì |z| ≥ 2. Do đó m t ph n t không b t kh qui vì luôn phân tích đư c thành tích hai ph n t không kh ngh ch z1 · z2 v i |z1 |, |z2 | không bé hơn 2, t c ph i có mô đun không bé hơn 2 · 2 = 4. V y n u z có 1 < |z| < 4 thì z b t kh qui, và c b n ph n t nói trên là b t kh qui. √ √ 2. Trong Z( −5) xét ph n t 6 ∈ Z( −5) ta th y √ √ 6 = 2 · 3và6 = (1 + −5)(1 − −5) √ V y trong Z( −5) t n t i ph n t có t i hai cách phân tích thành các nhân t b t kh qui khác nhau, vi ph m vào tính duy nh t c a s phân tích thành nhân t b t kh qui trong vành chính. √ V y Z( −5) không th là vành chính. Bài t p √ √ 1. Ch ng minh r ng vành Z( −2) = {a + b −2 : a, b ∈ Z} là vành chính. 2. Gi s p = 0 là ph n t c a vành chính A. Ch ng minh r ng p b t kh qui ⇔ Iđêan pA là Iđêan nguyên t . Ch ng minh r ng p là b t kh qui khi và ch khi vành thương A/pA là trư ng. √ 3. Vành Z( 2)[x] có là vành chính không ? √ √ √ 4. Cho Z( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Z}. Khi đó Z( −3) là mi n nguyên. Ch ng minh r ng: √ √ √ (a) Các ph n t 2, 1 + −3, 1 − −3 là các ph n t b t kh qui c a Z( −3). 12
√ (b) Z( −3) không là vành chính. 5. Vành con ch a đơn v c a m t vành chính có là vành chính không ? nh toàn c u c a m t vành chính có là vành chính không ? 6. Trong vành chính A cho a, b ∈ A mà (a, b) = 1. Ch ng minh r ng v i m i s m, n nguyên dương, ta cũng có (am , bn ) = 1. 13