intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Hình học phẳng và các bài toán (Tập 1): Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:150

185
lượt xem
52
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Tài liệu Các bài toán về hình học phẳng (Tập 1) trình bày cá chương: Phép đối xứng qua trục, phép quay, phép vị tự và phép vị tư quay, tam giác, đa giác, tập hợp các điểm có tính chất cho trước, dựng hình. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Hình học phẳng và các bài toán (Tập 1): Phần 2

  1. Chương 8 PHÉP ĐỐI X Ứ N G QUA T R Ự C CÁC K I Ế N THỨC C ơ BẢN 1. Phép đối xứng qua đường thẳng Ì (kí hiệu là Si) là một phép biến hình trên! mặt phang biển điểm X thành một điểm X' sao cho đường thẳng Ì là đường trung! trúc của đoan thẳng X X ' . Phép biên hình đó CÒIÍ được gọi là phép đối xứng qua trục, và đường thẳng 1] đuợc gọi là đối xứng. 2. Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng trục Ì, thì Ì được gọi là trục đối xúng của hình đó. 3. Tích của hai phép đối xứng trục là một phép tịnh tiên nếu các tTiịc đối xứng song song nhau; còn nêu chúng không song song thì tích đó là một phép quay (xem bài 8.14). Các phép đối xứng có thể coi là các viên gạch, tả đó có thè xây dựng tất cả các phép biển đổi trên mặt phẳng: có thế chứng minh được rằng mọi phép biến đổi đều là tích không quá 3 phép đối xúng trục. Do đó tích của phép đối xứng trục cho ta một phương pháp giải toán mạnh hơn rất nhiêu so với tích các phép đ ố i xứng tâm. Ngoài ra phép quay thường cũng đuợc phân tích một cách tiện lợi ra làm tích của hai phép đỗi xứng trục mà một trong các trục có thể coi là một đường thẳng bất kì đi qua tâm quay. CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU 1. Chứng minh rằng đường tròn qua phép đối xứng trục biển thành đường tròn. 2. Hai đường tròn có tâm chung là điểm o. Đường tròn thứ ba cắt chúng tại các điểm A, B, c, D. Chứng minh rằng nếu đường thẳng AB đi qua điểm o, thì đường thẳng CD cũng đi qua điểm o. 140
  2. 3. Một tứ giác có trục đối xứng. Chứng minh rằng tứ giác đó hoặc là một hình thang cân, hoặc đối xứng qua một đường chéo của mình. 4. Trục đối xứng của một đa giác cắt các cạnh của nó tại các điểm A và B. Chứng minh rằng điển A hoặc là.đinh của đa giác, hoặc là trung điểm của mật cạnh vuông góc với trục "đối xứng. 5. Chứng minh rằng nêu một hình có hai trục đối xứng vuông góc với nhau, thì nó có tâm đối xứng. §1. Dừng phép đối xứng trục để giải toán 8.1. Trên đường phân giác ngoài của góc c của AABC lẫy một điểm M * c. Chứng minh rằng M A + MB > CA + CB. 8.2. Điểm M nằm trên đường kính AB của đường tròn. Dây cung CD đi qua M 2 2 và cắt AB dưới góc 45°. Chứng minh rằng tổng C M + D M không phụ thuộc vào cách chọn điểm M . 8.3. Hai d;*v"nig tròn bằng nhau Si và S2 cùng tiếp xúc trong với đường tròn s tại A i và A2. Điếm c bệt kì trên đường tròn s đuợc nối bằng đoạn thẳng với các điểm A i và A2. Các đoạn thẳng đó cắt các đường tròn Si và S2 tại điểm Bi và B2. Chứng minh rằng; A i A2 // B1B2. 8.4. a) Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác lòi bệt kì không lớn hơn nửa tổng của các tích các cạnh đối nhau : S A B T> ^ - ( A B . CD + BC. AD) 2 b) Chứng minh rằng đẳng thức trong a) đạt được chi khi tứ giác là nội tiếp dược và có hai đường chéo vuông góc với nhau. 8.5. Chứng minh rằng trong Iĩ^ọi tam giác ABC đường cao ha không lớn hơn Vp (p — ây, trong đó p là nửa chu vi. §2. Phép đối xúng trục với các bài toán dựng hình 8.6. Dựng tứ giác ABCD có đường chéo AC là đường phân giác của góc A khi biẽt độ dài các cạnh của nó. 8.7. Dựng tứ giác ngoại tiếp ABCD khi biết độ dài hai cạnh kẽ nhau AB và AD, và các góc thuộc các đinh B và D. 141
  3. 8.8. Dựng AABC theo cạnh c , đường cao he và hiệu các góc A và B. 8.9. Cho góc nhọn MON và các điếm A và B nằm trong góc đó. Hãy tim trê] cạnh OM điểm X sao cho A X Y Z , trong đó Y và z là các giao điểm của các đườn thẳng X A và XB với ON, là cân : X Y = xz. 8.10. Cho đường thẳng M N và hai điếm A và B nằm cùng một phía so với nói Dựng trên đường thẳng MN điểm X sao cho A X M = 2 BXN §3. Dựng hình. Các cạnh của tam giác đối xứng qua các đường phân giác 8.11. Dựng AABC nếu cho các điểm A, B và đường thẳng chứa đường phân giác của góc c . 8.12. Cho ba đường thẳng l i , Ỉ2, te đông quy tại một điếm, và một điểm A trên đường thẳng h. Dựng ÀABC sao cho các đường phân giác của'tam giác nằm trên các đường thẳng l i , h, b. 8.13. Dựng tam giác theo các trung điểm cho trước của hai cạnh và đường thẳng chứa phân giác kẻ tới một trong các cạnh đó. §4. Tích của các phép đối xứng 8.14. a) Cho hai đường thẳng l i và 12 song song. Chứng minh rằng S| . Si! = 2 , trong đó T^" là phép tịnh tiễn l i thành 12 và a -L l i b) Cho hai đường thẳng l i và I2 cửt nhau tại điểm o. Chứng minh rằng 2 a S i . Su = R ", trong đó R là phép quay biên l i thành 12. 2 8.15. Trên mặt phẳng chcv* đường thẳng a, b, c. Giả sử T = Sa.Sb.Sc. Chứng minh rằng T.T là một phép tịnh tiên (hoặc là phép đông nhất). 8.16. Giả sử b = Sn(l2). Chứng minh rằng S13 = Su . S12. Su §5. Tính chất của phép đối xứng và của trục đ ố i xứng. 8.17. Điểm A nằm cách tâm hình tròn bán kính lem một khoảng 50cm. Cho phép lẫy đối xứng qua mọi đường thẳng cửt hình tròn. Chứng minh rằng: a) sau 25 lần lấy đối xứng qua các đuờng thẳng ta có thể đua được điểm A vào trong hình tròn; b) không thể làm được điều đó sau 24 lần lẫy đối xứng. 8.18. Giả sử a là vectơ vuông góc với đường thẳng 1. Chứng minh rằng -» -» -» -» 2 X a ~* -* Si (x) = X - _/ . a với mọi vecto X. ĩ * UI
  4. 8.19. Trên đường tròn tám o cho các điểm Ai,..., An chia đường tròn ra thành n cung tròn bằng nhau, và một điểm X. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với X qua các đường thẳng OẠI,... OAn tạo thành một đa giác đêu. 8.20. Chứng minh rằng nêu một hình phang có đúng 2 trục đôi xứng, thì các trục đó vuông góc với nhau. 8.21. Chứng minh rằng nếu một đa giác có một số (lớn hơn 2) trục đối xứng,- thì tất cả các trục đó đông quy l ạ i một điểm. 8.22. Chứng minh rằng nêu một đa giác phảng có một số chẵn trục đối xứng, thì nó có tâm đối xứng. §6. Các bài toán sử dụng tính chất của tích các phép đối xứng. 8.23. Hãy nội tiếp trong một đường tròn cho trước một n-giác có các cạnh song song với n đuờng thẳng cho trước. 8.24. Qua tâm o cửa đường tròn kẻ n đi ù n g 'hảng. Hãy ngoại tiếp quanh đường tròn một n-giác có các đinh nằm trên các dướn': thẳng đó. 8.25. Đường tròn nội liếp tiếp xúc với tác cạnh Be, CA, AB cắa AABC tại các điểm Ta, Tb, Te. Giả sử Ka, Kb, Ke là ảnh cắa các điếm đó qua các phép đỗi xứng qua các đường phân giác cắa các góc A, B, c tuông ứng. a) Chứng minh rằng KaKb //AB. b) Gọi trung điểm các cạnh cắa tam giác là Ma, Mb, Me. Chứng minh rằng nêu A A B C cân, thì các đường thẳng MaKa, MbKb và McKc đông quy tại một điểm. 8.26. Hai đường thẳng cắt nhau theo góc y. Một con cào cào nhảy từ đường thẳng này sang đường thẳng kia, mỗi lần nhảy dài Ì mét, và con cào cào không nhảy ngược lại chỗ cũ nêu như nó còn có thổ nhảy đến chỗ mới. Chứng minh rằng quá Y trình nhảy sẽ lập đi lập lại theo chu kì khi và chi khi ^ là số hữu t i . §7. Các bài toán cực trị 8.27. Cho đường thẳng Ì và hai điểm A, B nằm cùng phía so với nó. Hãj|tìm trên đường thẳng Ì một điểm X sao cho độ dài đường gấp khúc A X B là nhò nhất. 8.28. Trong một tam giác nhọn cho trước hãy nội tiếp một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 8.29. Hãy tìm một đường cong có độ dài nhỏ nhất chia một tam giác đều ra làm hai phần có diện tích bằng nhau. 143
  5. CÁC BÀI T O Á N T Ự G I Ả I 8.30. Một hình bị chặn có thể có một tâm đối xứng và có đúng một trục đối xứngị được hay không ?. 8.31. Cho một tứ giác không lõi chu vi p. Chứng minh rằng luôn tìm được một tứ giác lôi có chu vi nhự vậy, nhưng có diện tích lớn hơn. 8.32. Dựng điểm p nằm trong A A B C sao cho K A = E B = H C , trong đó K, E , H là chân các đường Vuông góc họ từ điểm p xuống các cọnh A B , Be, C A tương ứng. 8.33. Trên mặt phang cho một hình bị chặn
  6. Hình 80 Hình 81 8.4. a) G i ả sử D ' là đ i ế m đ ỏ i xứniỉ với đ i ể m D qua đường trung trực của đoạn - thằng AC (h.xÌ). Khi Jó S.ABCD = SABCD' = SBAD + SBCD' 2 l i < AB . A D ' + B C . C D ' = - ( A B . CD + B C . A D ) . 2 2 2 h) Theo trên thãv rằng đẳng thức dại dược khi và chi khi D'AB = D'CB = 90°. Giả sử đẳng thức đó duực thỏa mãn. K h i đó tứ giác A B C D ' nội liôp dược, do dó tứ giác A B C D cũng nội l i ế p dược. Đoạn thẳng B D ' là đuờng kính của J w m u tròn ngoại ticp, do đỏ B D D = 90°. Bởi vì A C // D D ' nên A C Ì BĐ Neưực l ạ i nếu A B C D là một tứ giác nội l i ế p và có các dường cheo vuông góc vời nhau. G ổ i D ' là diêm đ ố i xứng với D qua đường t r u n g v ự c cùa đường c h é o A C . Khi dó D D B = 90°, tức là D ' B là dường kính cùa dSaOng t r ò n ngoại tiẽp.-Do đ ó D'AB = D ' C B = 90°. , 8.5. K ỏ qua đ i ế m A đ ư ờ n ẹ thẳng ỉ song song v ớ i cạnh BC. Ti gổi ảnh của các diổm B và c qua p h é p dối x ứ n g trục Ì là B' và c tuông úng (n.82). K h i đó: b + c 8 = CAL+ A B + C A + A B ' > >CB' = 2 2 { ^CB + B'B úc là b + c > L. 2 2 2 ^a + (2 ha) • T ừ đ ó suy ra : Ì ỏ 2 2 h i < - Ị(b + c ) - a ] = p (p - a). Hình 82 145
  7. 8.6. G i ả sử tứ g i á c A B C D đã dựng được. K h ô n ? mất tính tống quát giả sử A D > A B . Kí hiệu B' là điểm đối xúng với điểm B qua (luông chéo A C . Đ i ể m B' nằm trên cạnh A D và BT> = A D — A B . Trong A B ' C D ta đã biẽt độ dài của tất cả các cạnh B'D = A D - A B , B ' C = Be. Sau khi dựng À B ' C D , trên đường kéo dài của cạnh B ' D về phía điểm B ' ta dựng điểm A. Các bước dựng tiếp theo là hiến nhiên. 8.7. G i ả sử tứ g i á c A B C D "đã dựng được. K h ô n g mất tính tổng quát giả sử A D > AB. G ị i o là tâm đường tròn nội tiễp, điểm D' đối xứng với điểm D qua dường thẳng AO; A' là giao điểm của các đường thẳng A O và D C , c là giao điếm của các đường thẳng B e và A ' D ' (h.83). Trong ABC'D' ta biẽt được cạnh B D ' và góc kè với nó D ' B C = 180° - B , B D ' C = D. Sau khi dựng được A B C D ' , do A D ' = A D , ta có thể dựng được điểm A. Sau đó dựng điếm o là giao diêm các đường phân giấc của các góc A B C và B D ' C Biết được vị trí điếm o, ta c ó thể dựng được điểm D và đường tròn nội tiếp. Điểm c là giao điểm của đường thẳng B C với đường tiếp tuyên của đường tròn, kẻ từ điểm D. Hình 83 Hình 84 8.8. G i ả sử A A B C đã dựng được. G ị i c là điểm đối xứng với c qua đường trung trực của các cạnh A B , B' là điểm đối xứng với B qua đường thẳng c ơ . Không mãi 146
  8. tính tổng quát giả sử AC
  9. Cách thứ hai : G i à s ù d ư ừ r m ư ờ n b á n k í n h A B ' v ớ i l â m l ạ i d i ê n B ' cắt dường t h ẳ n t í M N l a i d i ê m A" K h i d ó đ u ù n u t h ẳ n g B X là d ư ù n u p h â n d á c của n ó c A B A " . Cách (itnìự : G i à sứ o là t r ù m ; đ i ế m của ( l o ạ n t h ẳ n t i A A \ d i e m X là lỉiao d i ê m c ù a c á c d ư ò n i ỉ t h ằ n ! ! B " 0 và M N (h. ( X ) , t r o n ẹ d ó T - l à p h é p t ị n h t i ê n b i ê n l i t h à n h I2, và ã*Ì li. b) X é t h ộ l ụ a d ô g ó c o và ( r ụ c h o à n h h ư ớ n g thoi) đ ư ờ n e t h ả n g l i . G i ỏ sứ IIOC quay t ứ duừnịĩ t h ẳ n g 11 d e n I2 t r o n g h ộ t ọ a ( l ộ d ỏ b ã n í ỉ a, c ò n g ó c quay t ừ t r ụ c h o à n h tới c á c ù a ox, O X i . 0X2 tương ứnc b ằ n g
  10. f 8.15. T a b i ế u d i i " n T o T đ u ô i d ạ n g t í c h c ù a ba p h é p b i ế n h ì n h TÓT = ( S a o S o S c ) o ( S o S b o S c ) = (Sa o Sh) o (Seo Sa) o (SbO Se).Trong d ó h ;1 Sa © Sh là phép quay theo góc 2 ( b , a ) , Se o Sa là p h é p quay theo góc 2 (a,ộ, SboSc là p h é p quay theo góc 2 (c,b). Tổniỉ các í ỏ c quay bằng 2 ((b,a) + (a,c) + (c,b)). Số đo góc giữa các đường thane dược xác định chính xác đ e n 180", do đó hai lăn góc giữa c á c (lườm: thane dược xác định c h í n h xác đen 360°, tức là như róc bình thường. Dođó2|(b.a) + (a,g + (c,h)ị = 2 (b,b) = o". Tích cùa các p h é p quay theo các góc có l ổ n g harm 0° là một p h é p tịnh tiên (xem bài y.25). 8.16. Nêu các diêm X và Y (lõi xứnu với nhau qua (lưừne thẳng lĩ thì các điếm S||(X t và S | ] ( Y ) đói xứng vái nhau qua đường thẳng 12, lức là S|J ( X ) = S\2 o Si! ( Y ) . Do đó Si I 0S13 = S|->oSii và S13 = Si Ị 0S120S1]. 8.17. G ả i tâm của hình tròn đã cho là s và đường ì ròn tâm o hán kính R là D R . í Ta chứnii minh rằnt! tập hợp ảnh của các ưiổm D u qua các p h é p dõi xứng qua các đường thane đi qua D i là hình tròn D R + 2 . Thật vậy các ánh cùa đ i ể m o qưa các p h é p c đ ỏ i xứng J ã nêu tạo thành hình tròn D2, và các hình (ròn bán kính R với tâm là đ i ế m của D 2 phủ đây hình tròn D R + 2 - D O J ó sau n làn lấy đ ỏ i xứng từ các đ i ể m của Di ta có thổ nhận được mải đ i ể m của D2n +1 và chi nhận dược các đ i ế m dó. Còn Hình $7 lại căn lưu ý rằng đ i ể m A có thổ đua đưực vào trong Du sau n lần lấy đ ố i xứng khi và chì khi sau n lân lây đ ổ i xứng (theo t h ứ tự nuược l ạ i ) ta cỏ thề dưa một diêm nào đó của D R t ớ i (liêm A. 8.18. Giả sử y = S|(X). Khi dó y - x = Ằả và (x + y) La^h.87). Do dó X. a 0 = (X + y ) a = (2 X + Ả a ) a = 2 X. a + Ả a", tức l à Ả = - 2 ' -K . T ừ đỏ Ằ = - 2 3. X. a -» y = X + /í a = X - 149
  11. 8.19. G ọ i các phép đối xứng qua các đường thẳng O A I , .:.OAn là S i , . . . s . Giả n sử Xk = Sk(X) với k = Ì , n . Ta càn phải chứng minh rằng qua một phép quay nào đó quanh điểm o hệ thống các điếm X i , Xn sẽ biến thành chính nó. Rõ ràng Sk + Ì o Sk (Xk) = Sk + Ì o Sic o Sk (X) = Xk + 1. Do đó tích Sk+ o S K là m ộ t An phép quay quanh điểm o một góc bằng (xem bài 8.14b). n n Nhận xét: Với n chẵn ta nhận được một ~ - giác đêu. 2 8.20. Giả sử các đường thẳng l i và te là các trục đỗi xứng cạa một hình phẳng
  12. A i = S| (An), tức là điểm A i bát biên qua đường tích Sin o Sin- Ị o ...o Si o S|Ị. V ớ i n 2 n lể trên đường tròn có đúng 2 điểm bất biên, còn với n chẵn thì hoặc không có i ỉ ế m bát biến, hoặc tất cả mọi điếm đêu bất biến. 8.24. Giả sử đa giác A i . . . An thỏa mãn đầu bài đã dựng được. Xét đa giác B i . . . Bn tễo bởi các tiẽp điếm của đa giác ngoễi tiễp với đường tròn. Rõ ràng các cễnh của đa giác Bi ... Bn vuông góc với các đường thẳng đã cho, tức là chúng có những hướng đã biết. Sử dụng lời giải bài toán trên, ta dựng được đa giác B i ... B . Kẻ n các tiếp tuyên với đường tròn tễi các điểm Bi ... Bn ta nhận được đa giác A i ...An- 8.25. a) Giả sử o là tâm dường tròn nội tiẽp của A A B C . KÍ hiệu đường thẳng OA là a, đường thẳng OB là b. Khi đó Sa o Sb(Tc) = Sa(Ta) = Ka và SbO Sa (Tc) = = Sb(Tb) = Kb, do đó các điểm Ka và Kb nhận được từ điểm Te ễua các phép quav tâm o với các góc quay có tổng bằng 360°, tức là KbOTc = KaOTc. Từ đó suy ra KaKb // AB. b) Từ a) suy ra các tam giác KaKbKc và MaMbMc có các cễnh tương ứng song song, cho nên các tam giác này vị tự với nhau và các đường thẳng KaMa, KbMb, KcMc đồng quv tễi một điểm. 8.26. Đỗi với mỗi vectơ biếu thị bước nhảy của con cào càồ có đúng hai vị trí của con cào cào để ứng với chúng bước nhảy được xác định bởi vectơ đó. Do đó quá trình nhảy của con cào cào sẽ lập đi lập lễi theo chu kì khi nào và chi khi chi có một số hữu hễn các vectơ khác nhau biểu thị bước nhảy. Giải sử aỊ*là vectơ biểu thị bước nhảy của con cào cào từ đường thẳng h sang đường thẳng l i , a?, &2. 4 — là các vectơ biểu thị các buớc nhảy tiẽp theo. Khi đó a a = 2 Si (à]*), a j - 2 Si! (a^ , = S| (33)... Bởi vì tích Si! o S12 là phép quay một 2 góc ly (hay góc In - ly), nên các vecto aj,a^,Zq ... nhận được từ vecto aỊ*qua phép quay góc 2 y , 4 y , 6ỵ ... (hay góc 2 (n, - Y), 4 (TI - ý), 6 (71 — ỳ)...). Do đó y bộ aj*, 83, af... chi gôm số hữu hễn các vectơ khác phau khi và chi khi ^ là một số hữu t i . Bộ af, 84, a£... cũng được xét tương tự. 8.27. Giả sứ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng Ì và X là một điếm bất kì trên đuờng thắn? 1. Khi đó A X + XB = A ' X + XB ă: A'B và đẳng thức đễt đuợc chi nêu điếm X nằm trên đoễn thẳng A'B. Do đó diêm cần tìm là giao điểm của đường thẳng Ì và đoễn thẳng A'B. 151
  13. 8.28. G i ả sử trên các cạnh AJ3, BC, C A của A A B C lẫy các đ i ể m p, Q, R t ư ơ n g ứng. Lây đ ồ i xứng của A A B C qua cạnh B e ta được A A i B C . T i ế p theo ta xét các p h é p dõi xứng qua các cạnh C A I , A1B1, B1C1, C1A2. A2B2 (H.88). Tích của các p h é p d ố i xứng d ỏ là tích cùa các p h é p quay quanh các đ i ể m c , B i và A2 theo các góc ĩ c , 2 B và 2 A tương ứng. Bởi vì tổng các góc quay đ ó bằng 3 6 0 ° n ê n tích của các p h é p quay đ ó là một p h é p l ị n h t i ễ n . Hình 88 Đ ộ dài đưởng gấp khúc chi ra h ì n h vẽ bằng 2 làn chu v i À P Q R , Ao đó chu v i A P Q R k h ô n g n h ỏ hơn một nửa đ ộ dài đoạb PP2. Cũng rõ r à n g đ ộ dài đoạn PP2 k h ô n g phụ thuộc vào vị trí đ i ể m p t r ê n cạnh A B , bởi vì A2B2 nhận được từ A B qua một p h é p tịnh t i ê n . N ế u A P R = B P Q , PQB = R Ọ C và A R P = C R Q (tức p, Q, R là c h â n các đưởng cao của A A B C ) , thì đưởng gấp k h ú c t r ở t h à n h đoạn PP2 và chu v i A P Q R n h ố nhát. 8.29. Đè giải bài toán này la phải sử dụng két quả mà ta sẽ chứng m i n h ở p h â n sau : trong sỗ tát cả các đưởng cong k h é p kín g i ớ i hạn một h ì n h có d i ệ n tích s, đưởng tròn có đ ộ dài nhỏ n h á i ; và khi đó đ ộ dài của nó bằng 2 VõTs. X é t đưởng cong chia diện tích của tam giác đ ê u đ i ệ n tích s ra làm đ ô i . Có t h ế xảy ra hai irưnrniỉ hợp : hoặc dưởng cong tách m ộ i trong các đ i n h của tam giác (chắm; hạn đ i n h A ) k h ỏ i cạnh đ ố i d i ệ n , hoặc đưởng cong là k h é p kín. Trong trưởng hợp t h ứ hai, d ô dài tủa nó k h ô n g nhỏ hơn 2 VJT s. 152
  14. Xét trường hợp thứ nhất. Các ánh của đường cong qua các phép đỗi xứng liên tiếp qua các đường than2 A C , A B i , AC2, AB2 và A C i (h.89) tạo thành một đường Mtig khép kín giới hạn một hình có diện tích 3S. Do đó dường cong cân tìm là Hình 89
  15. Chương 9 PHÉP QUAY CÁC K I Ế N T H Ứ C C ơ BẢN 1. P h é p quay tâm o (hay quanh tâm O) theo các góc (Ọ là một p h é p b i ế n hình t r ê n mặt phang, b i ể n đ i ể m X t h à n h đ i ể m X ' thỏa mãn các điêu k i ệ n sau : a) O X ' = ox -* -» b) Góc quay tù vectơ ox t ớ i vectơ O X ' bằng ự). 2. Trong chuông này sẽ sử dụng các kí hiệu các p h é p b i ế n hình và các tích của c h ú n g như sau: T ^ - p h é p tịnh t i ế n theo vectơ a 50 - p h é p đ ố i xứng qua đ i ể m o 51 - p h é p đ ố i xứng qua đường thẳng Ì R.£ - p h é p quay tâm o theo các góc ự). FoG - tích các p h é p biên h ì n h G và F, h i ể u theo nghĩa (Fo G ) ( X ) = F ( G ( X ) ) . 3. Các bài toán được giấi n h ờ p h é p quay có thế chia ra làm hai loại l ớ n : những bài toán không sử dụng các tính chất của tích các p h é p quay, và những bài toán sử dụng các t í n h chất đ ó . Đ ể giấi những bài toán có sử dụng các tính chất của tích các p h é p quay, càn phấi nắm vững k ế t quấ bài 9.25 Rg o = R, r c trong đó y = a + ệ và /V a /V 3 BÁC = - , ABC = - 2 2 154
  16. CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU 1. Chứng minh qua một phép quay đường tròn biến thành đường tròn. 2. Chứng minh rằng n-giác lồi là đều khi và chi khi nó biến thành chính nó qua 360° các phép quay một góc quanh một điểm nào đó. n 3. Chứng minh rằng AABC là đêu khi và chi khi qua phép quay 60° (hoặc theo chiều kìm đồng hồ, hoặc ngược lại) quanh đính A đinh B biển thành đinh c . 4. Chứng minh rằng cáẹ trung diểmcác cạnh của một tam giác đêu tạo thành một đa giác đều. 5. Qua tâm của hình vuông ta kỏ hai đường thẳng vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các giao điểm của chúng với các cạnh của hình vuông tạo thành một hình vuông. § 1 . Phép quay 90° 9.1. Trên các cạnh Be và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M và K tuông ứng, sao cho BAM = M A K Chứng minh rằng BM + KD = AK. 9.2. Cho 4 điểm trên một đường thẳng. Hãy dảng hình vuông mà phần kéo dài các cạnh của nó cắt đường đó tại các điểm đã cho. 9.3. Hai hình vuông BCDA và BKMN có chung đinh B. Chứng minh rằng trung tuyên BE của AABK và đường cao BF của ÁCBN nằm trên cùng một đường thẳng. (Các đinh của cả 2 hình vuông được liệt kê theo chiêu kim đông hồ). 9.4. Bên trong hình vuông A1A2A3A4 lấy một điểm p. Từ đinh A i hạ đường — vuông góc xuống A 2 P , từ A 2 - xuống A 3 P , từ A 3 xuống A4P, từAiP. Chứng minh rằng tất cả 4 đường vuông góc (hay kéo dài của chúng) đông quy tại một điểm. 9.5. Cho A A B C . Trên các cạnh A B và CD dảng về phía ngoài các hình vuông ABMN và BCPQ. Chứng minh rằng các tâm của các hình vuông này và trung điểm của các đoạn thẳng MQ và AC tạo thành một hình vuông. 9.6. Quang một hình vuông ngoại tiễp một hình bình hành. Chứng minh rằng các đường vuông góc hạ từ các điểm của hình bình hành xuống các cạnh của hình vuông, tạo thành một hình vuông. 155
  17. § 2 . P h é p quay 6 0 ° 9.7. Trôn đoạn thẳng A E vê một phía so với nỏ dựng các tam líiác đêu A B C và CDE. M và p l ư i r n g ứ n g l à trung đ i ể m các đoạn thắng A D và BE. C h ứ n e m i n h rằnií A C P M đêu. 9.8. Dựng tam t»iác (lêu A B C biết rằng các đ i n h của nó nằm trôn 3 duừnn thắnu song sons l i , 12 và lĩ cho Iruúc. 9.9. \ c t lát cả các khá nănií cùa tam lĩiác đêu P K M cỏ đinh p cho trước, dinh K nằm trong một hình vuông cho trước. T i m tập hợp các đinh M . 9.10. Quanh tam tiiác đêu A B C ngoại t i ế p một đườnti tròn. T r ê n tune A B lỉy một điếm M . C h ú m ; minh rằng M C = M A + M B . 9.11. Cho tam giác đêu A B C . T i m lập hạp các đ i ế m M nằm trong tam lỊiác sao 2 2 2 cho M A = M B + M C 9.12. A B C D E F là một lục giác đêu, K là trung đ i ề m cùa đường chéo B D , M là truniỉ diêm của cạnh EF. Chứng minh rằng A A M K đêu. 9.13. Bên trong một tam giác nhọn hãy tìm một diổm có lốnii khoảng cách từ đ ó t ớ i t á c đ i n h của tam giác nhỏ n h á t . 9.14. Bên trong tam giác nhọn A B C với độ dài các cạnh a, b, c lỉy một điếm o sao cho từ đ ó n h ì n lỉt cả các cạnh dưới cùng một góc 120°. Già sử A O = u, B O = v , CO = w. PQR là một tam giác đêu, bôn trong nỏ có một đ i ổ m E thỏa mãn điêu k i ệ n PE = a, Q E = b, RE = c. Chứng minh rằng độ dài cạnh của A P Q R bằniỉ U+V+W. 9.15. T r ê n m ạ i phang vẽ các lam giác đêu A B C , C D E , E H K (các đ i n h dược l i ệ t kê theo chiêu ngược với kim đ ô n g hò) sao cho A D = DK. Chứng minh rằniỉ A B H D cũng đ ề u . 9.L6. T r ê n các cạnh cua A A B C bỉt kì ve phía ngoài dựng cái: tam giác đêu A B C i . A B i C và A i B C . Chứng minh rằng : a) A A i = B B i = CCi b) Các đường thẳng A A i , B B i , co đ ò n g quy t ạ i đ i ể m o c) D ố i vói lam giác nhọn A B C , điếm o nằm trone tam giát và O A I = OB + oe. 9.17. T r ê n các cạnh của tam giác nhọn A B C vẽ phía ngoài dựng các tam giác đêu A i B C , A B i C , A B C i . Hãy khôi phục tam giác A B C khi bict các dinh A i , B i , C i của các tam giác đó. 156
  18. 9.18. Lục íiiác A B C D E F n ộ i t i ế p (rong d ư ở n e t r ò n bán k í n h R, đ ô n g t h ờ i A B = CD = EF = R. Chứng minh raniỉ các trùm; đ i ể m của các cạnh BC, D E , F A l ạ o thành một tam giác đêu. § 3 . Phép quay theo góc bất kì 9.19. Phép quay tâm o biên dirc'rnij thẳng It t h à n h đuủniỊ thẳnc ì:, và biên (Hổm A i nằm trôn duửne thẳrm l i thành điếm A 2 . Chứng minh rằng giao điềm của các đười!!! Ihầnii J| và I 2 nằm (rèn đường tròn ngoại n é p A A 1 O A 2 . 9.2». Trên mặt phang vẽ hai chỏ r giống nhau Các đàu của các nét ngắn của các chỏ đỏ kí hiệu là A và A ' . Các nét đài dược chia ra làm n phân bằng nhau bởi các (liếm A i , ... An-1 v à A i ' A'n-1 (các điểm chia dược dành sỗ từ đàu của các nót dài). Các dường thẳniĩ A A | và A ' A i ' cắt nhau t ạ i đ i ể m X i . Chứnt! minh rằng các (liềm X i X n - 1 tạo t h à n h một đa giác l ồ i . 9.21. Hai diem A và B chuyến độne đêu với cùng một tốc độ theo hai đường thẳng cắt nhau tại điểm p. Hai đ i ế m không đòniỊ thời đi qua điểm p. C h ú m ; minh n í n " tron!! mọi thời diêm, dườnii tròn ngoại tiếp quanh A A B P luôn đi qua một điếm cỗ định, khác đ i ề m p. 9.22. a) A A i B i C i nhận dược từ A ABC qua p h é p quay góc a < 180" , quanh tàm đường tròn nuoại tiêp của nỏ. Chứng minh rằntỊ các giao diêm của các cạnh A B và A i B i . BC và B i O . C A và Ci A i (hoặc của các kéo dài cùa chúng) tạo thành một tam giác đòng dạnii vói A A B C . b) Tứ uiác A1B1C1D1 nhận dược từ tứ niác A B C D qua p h é p quay theo góc a < Ì XO". Chứng minh rằnc các eiao đ i ề m của các cạnh A B và A 1 B 1 , BC và B 1 C 1 , D A và D i A i tạo t h à n h một h ì n h bình h à n h . 9.23. Chứng minh rằng ba đường thẳng đ ố i xứng với mội đường thầniỉ bất kì đi qua trực tâm cùa tam ịỉiác qua các cạnh cùa lam giác dỏ dône quy tại mội đ i ể m . 9.24. M ộ t con su l ử chạy trên sân khâu xiếc có dạng hình tròn bán kính if) mét. Sư lú chạy tài cà la Mì km theo một đưởnti gấp khúc. Chứng minh rằng tống tát cả các góc quay của nó không nhỏ hem 2998 radian. § 4 . Tích các p h é p quay 90° 9.25. Chứng minh rằng tích của hai p h é p quay theo các góc có tổne không là b ộ i của 360°, là một p h é p quay. H ỏ i lâm của p h é p quay đ ó là điềm n à o và IỊÓC quay bằng bao nhiêu ? Hãy kháo >át cá trườnc hợp khi lồriii các góc qnay là bội của 360°. 157
  19. 9.26. Các tam giác vuông cân ABC và C D E với các đinh góc vuông B và D cho trước có đinh c chung (đòng thời các chiêu quay từ AB đến Be và từ C D đen D E như nhau). Chứng minh rằng vị trí trung điểm của đoạn A E không phụ thuộc vào cách chọn điển c. 9.27. Trên các cạnh của một tứ giác lõi bất kì về phía ngoài đựng các hình vuông. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nôi tâm của các hình vuông đối nhau có độ dài bằng nhau và vuông góc VỚI nhau. 9.28. Trên cáccạnhcủa mội hình bình hành vê phía r.coàidựng các hình vuông. Chứng minh ràng các tâm của chúng tạo thành một hình vuông. 9.29. Trên các cạnh của A A B C vè phía ngoài dựng các hình vuôni; vói tâm là P. Q, R. Trên các tạnh của APQR về phía trong dựng các hình vuông. Chứng minh rằnở các tâm của chúng là các trung điểm các cạnh của AABC. 9.30. Bên trong tứ giác lồi ABCD dựng các tam giác vuông cân A B O i , BCƠ2, CDO3, DAO4. Chứng minh rằng nêu Oi = O3, thì O2 = o. §5, Tích các phép quay 60° 9.31. Trên các cạnh của một tam giác bát kì dựng vè phía ngoài các tấm giác đêu. Chứng minh rằng các tâm của chúng tạo thành một tam giác đều. 9.32. Trên các cạnh của A A B C dựng các tam giác đêu A ' B C , B ' A C vẽ phía ngoài và C A B về phía trong. Gọi M là tâm của A C A B . Chứng minh rằng A'B'M là một tam giác cân với A'MB' = 120°. 9.33. Trên các cạnh của một lục giác có tâm đối xứng dựng vẽ phía ngoài các tam giác đêu. Chứng minh rằng các trung điểm của các đoạn thẳng nối các đinh của chúng tạo thành một lục giác đêu (các đinh không nằm trên các cạnh của lục giác ban đầu). §6. Tích các phép quay bất kì 9.34. Dựng n-giác, nêu biết n điểm là các đinh của các tam giác cân dựng trên các cạnh của n-giác đó và có các góc ở đinh ƠI, ...,a . n 9.35. Trên các cạnh của A A B C dựng vê phía ngoài các tam giác cân A'BC, AB'C, A B C . Các điểm A', B', c là các đinh của các tam giác cân đó, các góc tại các đinh đó tương ứng bằng a, /3, y với a + Ị3 + Y = Ui. Chứng minh rằng các góc của AA*B'C bằng 2 2 2 158
  20. ỹ.36. A K L và A M N là các tam giác cấn đồng dạng v ớ i nhau có chung dinh A và ỆÓC ở đinh ư. G i ả sử G N K và G ' L M là các tam giác cân đồng dạng với nhau v ớ i góc ở đinh bằng TI - a. Chứng minh rằng G = G ' (các tam giác được coi là định hướng). CÁC BÀI T O Á N T Ự G I Ả I 9.37. T r ê n mặt Dhẳng cho một đường tròn t â m o bán kính 1. Hai đ i n h kề nhau cựa một h ì n h v u ô n g nằm trên đường tròn đố. H ò i hai đ i n h còn l ạ i cựa n ó có t h ể nằm cách đ i ế m o một khoảng lớn bằng bao n h i ê u ?. 9.38. T r ê n các cạnh cựa tứ giác l ồ i A B C D dựng các tam giác đ ê u A B M , CDP vè phía ngoài, và B O N , A D K vê phía trong. Chứng minh rằng M N = A C . s 9.39. T r ê n các cạnh cựa l ữ giác l ồ i A B C D V Ịinía ngoài dựng các h ì n h vuông với các tâm là M , N , p , Q. Chứng minh rằng t a ng đ i ể m các đuờng c h é o cựa các tứ giác A B C D và M N P Q tạo t h à n h một h ì n h vuông. 9.40. B ê n trong tam giác đ ề u A B C lấy một đ i ế m o. Biẽt rằng A O B = 1 1 3 ° , B Ó C = 123°. T í n h các góc cựa tam giác có các cạnh bằng OA, O B , oe. 9.41. T r ê n mặt p h à n g kẻ n đường thẳng ( n > 2 ) , trong đó k h ô n g có hai đuờng thẳng nào song song và k h ô n g có ba đ ư ờ n g t h ẳ n g n à o đồng quy m ộ t đ i ể m . B i ễ t rằng, có t h ế quay m ặ t phẳng quanh một đ i ể m o n à o đ ó theo một góc a nào đ ó (a < 180°) sao cho đường thẳng được kẻ t r ù n g với một đường thẳng nào k h á c trong số đó. Hãy chi ra tất cả các giá trị cựa n, đ ể điêu đ ó có thế làm được. 9.42. Theo h ì n h t r ò n ta đặt lo bánh răng có các kích thước k h á c nhau. Bánh r ă n g i h ứ nhất ă n liên với b á n h răng t h ứ hai, b á n h răng t h ứ hai v ớ i bánh răng t h ứ ba và cứ n h ư t h ê cho (lẽn bánh t ă n g t h ứ m ư ờ i ă n liên với bánh răng t h ứ nhất ? H ỏ i hệ thống b á n h răng này có thể luôn luôn quay được hay không ? H ỏ i một hộ thống n h ư vậy gôm l i b á n h răng có thổ quay được hay k h ô n g ? 9.43. T r ê n một hoang đảo, m ộ i tên cướp b i ế n chôn kho báu theo cách sau : G i ả sử A và B là hai hòn đá, C i , C2, C.3 là ba cây dừa. Đ i ể m Pi tên cướp b i ể n dựng n h ư sau : T ừ A đi đ e n C i , sau đó quay sang b ê n trái 9 0 ° và đi t i ễ p một khoảng n h ư vây nữa (tức A C i ) , h ắ n đ á n h dấu ở đó là đ i ể m A i . Sau đ ó hắn đi từ B đ e n Cu quay sang b ê n p h ả i 9 0 ° và đi t h ê m một khoảng B C i nữa, đ á n h ẫ du đó là đ i ể m B i . Giao đ i ể m cựa các đường thẳng A B i và B A I hắn kí h i ệ u bằng P i . Bằng cách tương tự tên cướp dã dựng được đ i ể m P2, P3 và hắn chôn kho bàu vào tâm đường tròn đi qua các đ i ể m 159
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2