intTypePromotion=3

Các đề tích phân tuyển chọn từ tạp chí "toán học tuổi trẻ"

Chia sẻ: LPT Anh Khoa Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

0
474
lượt xem
160
download

Các đề tích phân tuyển chọn từ tạp chí "toán học tuổi trẻ"

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán tích phân luyện thi từ Toán học tuổi trẻ (có lời giải) gửi đến các bạn độc giả tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các đề tích phân tuyển chọn từ tạp chí "toán học tuổi trẻ"

  1. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 CÁC ĐỀ TÍCH PHÂN TUYỂN CHỌN TỪ TẠP CHÍ: “TOÁN HỌC TUỔI TRẺ” Đề 1: ( Sách 2010) Tính diện tích của hình phẳng, giới hạn bởi hai đường có phương trình: y 2 - 3 x + 2 = 0 và x 2 - 3 y + 2 = 0 . Gợi ý: 2 2 2 x +2 1 S = ò 3 x - 2dx - ò dx = (đ.v.d.t) 1 1 3 9 π 2 æ 1 + sin x ö x Đề 2: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò ç ÷ e dx 0 è 1 + cos x ø Gợi ý: πæ ö 2ç π π 1 x÷ æ x xö I = òçe x x + e .tan ÷dx = ç e .tan ÷ 2 = e 2 x 2÷ è 2ø 0ç cos 2 0 è 2 ø π 2 sin x Đề 3: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò dx ( sin x + ) 3 0 3 cos x Gợi ý: æ πö Ta có sin x + 3 cos x = 2sin ç x + ÷ è 3ø 1 æ πö 3 æ πö Phân tích: sin x = sin ç x + ÷ - cos ç x + ÷ nên ta có : 2 è 2ø 2 è 3ø π π æ πö 2 2 cos ç x + ÷ dx 1 dx 3 è 3ø 3 3 3 I= ò - ò = + = 16 0 2 æ π ö 16 0 æ πö 12 12 6 sin ç x + ÷ sin 3 ç x + ÷ è 3ø è 3ø 1 3 x - x3 Đề 4: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò dx 1 x4 3 1 1 æ 1 ö3 1 1 Gợi ý: I = ò ç 2 - 1÷ . 3 dx . Đặt t = 2 - 1 . Đáp số: I = 6 . 1è x ø x x 3 2 dx Đề 5: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò 3 0 x +8 Gợi ý: 2 dx 1 2 dx 1 2 ( 2 x - 2 ) dx 1 2 dx 1 π I =ò 3 = ò - ò 2 + ò 2 = ln 2 + 0 x +8 12 0 x + 2 24 0 x - 2 x + 4 4 0 x - 2 x + 4 12 12 3 Hoặc: Đặt x = 2 tan t Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  2. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 1 3 x +1 Đề 6: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò e dx 0 2 t -1 2 Gợi ý: Đặt t = 3 x + 1 ta có x = Þ dx = t dt . 3 3 x = 1: t=2 2 2 2e 2 . Khi đó I = ò tet dt = ... = ( Tích phân từng phần) x = 0: t =1 1 3 3 2 x x -1 Đề 7: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò dx 1 x-5 Gợi ý: Đặt t = x - 1 Þ x = t 2 + 1 Þ dx = 2tdt x = 2: t =1 1 2t 4 + 2t 2 32 . Khi đó: I = ò 2 = ... = - 10ln 3 x = 1: t=0 0 t - 4 3 Đề 8: (Sách 2010) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi ba đường: x - y 2 + 4 y - 3 = 0; x = 0; y = 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) một vòng xung quanh trục hoành. Gợi ý: Giao điểm của các đường tại O(0;0), A(3;0), B(0;1) . Từ x - y 2 + 4 y - 3 = 0 Þ y = 2 - x + 1 . 3 ( ) 5π 2 Do đó: V = π ò 2 - x + 1 dx = ... = (đ.v.t.t) 0 6 1 x3 Đề 9: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò dx (1 + x ) 3 2 0 Gợi ý: Đặt t = tan α Lúc đó: π π π 4 3 4 æ ö 4 I=ò tan α d α = ò ç ç tan α - tan α ÷ 2÷ d α = ò - cos α + cos3 α d cos α = (1 ) ( ) ( ) 2 2 0 ç 1 + tan α 0 1 + tan 2 α 1 + tan 2 α ÷ 0 16 è ø 0 dx Đề 10: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò -1 x2 + x + 1 Gợi ý: dx 2dt Đặt t = x + x 2 + x + 1 Þ = 2 x + x +1 2t + 1 x = 0: t =1 1 2dt . Khi đó: I = ò = ... = ln 3 x = -1: t=0 0 2t + 1 π 1+ cos x Đề 11: ( THTT 400) Tính tích phân: I = ò 2 ln (1 + sin x ) dx 0 1 + cos x Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  3. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 π π π π 1+ cos x 2 I = ò ln (1 + sin x ) 2 2 2 dx = ò cos x ln (1 + sin x ) dx + ò ln (1 + sin x ) dx - ò ln (1 + cos x ) dx (1) 0 1 + cos x 0 0 0 π §Æt x = - t Þ dx = - dt 2 π π π 2 2 2 Suy ra: I = ò sin t ln (1 + cos t ) dt + ò ln (1 + cos t ) dt - ò ln (1 + sin t ) dt 0 0 0 π π π 2 2 2 Hay I = ò sin x ln (1 + cos x ) dx + ò ln (1 + cos x ) dx - ò ln (1 + sin x )dx (2) 0 0 0 π π 2 2 Céng (1) víi (2): 2I = ò cos x ln (1 + sin x )dx + ò sin x ln (1 + cos x )dx 0    0  J K π 2 * Víi J = ò cos x ln (1 + sin x )dx = .. (tÝch ph©n tõng phÇn)..=2ln2 - 1 0 π 2 * Víi K = ò sin x ln (1 + cos x )dx = .. (tÝch ph©n tõng phÇn)..=2ln2 - 1 0 Suy ra: 2I = 2ln2 - 1+2ln2 - 1 Þ I = 2ln2 - 1 π Đề 12: ( THTT 401) Tính tích phân: I = ò x cos x + sin 5 x dx ( ) 0 Gợi ý: π π π ( ) Ta cã: I = ò x cos x + sin 5 x dx = ò x cos xdx + ò x sin 5 xdx 0 0 0 π π ( = ò x cos xdx + ò x 1 - 2cos 2 x + cos 4 x sin xdx ) 0   0    J K π * TÝnh J = ò x cos xdx = ..(tÝch ph©n tõng phÇn)..= - 2 0 π ( * TÝnh K = ò x 1 - 2cos 2 x + cos 4 x sin xdx. ) 0 ìu = x Þ du = dx ï §Æt í 2cos3 x cos5 x ï î 1 ( - 2cos 2 x + cos 4 x sin xdx = dv chän v)= cos x - 3 + 5 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  4. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 8π TÝnh.....ta ®­îc K = . 15 8π Suy ra: I = -2 15 Đề 13: ( THTT 402) 2 ò f ( x)dx = 12 x / Cho hàm số f ( x) = A.3 + B . Tìm các số A, B sao f (0) = 2 và 1 Gợi ý: ì f / ( x) = A.3x.ln 3 ï f ( x) = A.3x + B Þ í A.3x îò ï f ( x ) dx = + Bx + C ln 3 ì f / (0) = 2 ì 2 ì A.ln 3 = 2 ï A= ï ï ï ln 3 Ta cã: í 2 Þ í 6A Þí ï ò f ( x)dx = 12 îï ln 3 + B = 12 ï B = 12 - 12 î1 ïî ln 2 3 ì 2 A = ïï ln 3 VËy í ï B = 12 - 12 ïî ln 2 3 π Đề 14: ( THTT 403) Tính tích phân: I = ò e 2 x sin 2 xdx 0 Gợi ý: Tính tích phân từng phần 2 lần và phối hợp. e 2π - 1 Kết quả: I = 8 8 ln x Đề 15: ( THTT 10-2010) Tính tích phân: I = ò dx 3 x +1 Gợi ý: §Æt t = x + 1 Þ t 2 = x + 1 Û 2t dt = dx 3 ( ln t 2 - 1) tdt =2 3 3 3 Þ I = 2ò t ( 2 ) ò ln t - 1 dt =2ò ln ( t - 1) dt + 2ò ln ( t + 1) dt 2 2 2 2 TÝch ph©n tõng phÇn... Đề 16: ( THTT 11-2010) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: x2 y = x2 - 4 ; y = +4 2 Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  5. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 π æ 1 + sin x ö x 2 Đề 17: ( Đề 02- 2009) Tính tích phân: I = ò ç ÷ e dx 0è 1 + cos x ø Gợi ý: π Đáp số: I = e2 π 2 sin x Đề 18: ( Đề 03- 2009) Tính tích phân: I = ò dx 0 ( sin x + cos x ) 3 Gợi ý: 1 Đáp số: I = 2 π 4 sin 2 x Đề 19: ( Đề 01- 2003) Tính tích phân: I = ò dx - π 4 ( cos 4 x tan 2 x - 2 tan x + 5 ) Gợi ý: 3π Đáp số: I = 2 - ln 2 - 8 1 æ 1 + x4 ö Đề 20: ( Đề 02- 2003) Tính tích phân: I = ò ç 6 ÷ dx 0 è 1 + x ø Gợi ý: π Đáp số: I = 3 1 ln (1 + x ) Đề 21: ( Đề 03- 2003) Tính tích phân: I = ò 2 dx 0 1 + x Gợi ý: π Đáp số: I = .ln 2 8 π 4 Đề 22: ( Đề 04- 2003) Với n Î * , tính: I n = ò tan 4 n xdx 0 Gợi ý: Xét hiệu I k - I k -1. 1 1 1 1 1 1 1 1 π Suy ra: I n = - + - + - + ... + - + 4n - 1 4n - 3 4n - 5 4n - 7 4n - 9 4n - 11 3 1 4 1 1 Đề 23: ( Đề 05- 2011) Tính: I = ò dx 0 ( x + 1) ( x + 3) 3 Gợi ý: 1 1 1 1 Biến đổi = = = ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) 3 2 x + 4x + 3 ( x + 1) ( x + 2 ) 2 - 1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  6. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 x t 2 et Đề 24: ( Đề 03- 2004) Tìm x > 0 sao cho: ò dt = 1 0 ( t + 2) 2 Gợi ý: Đáp số: x = 2 . Đề 25: ( Đề 03- 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tròn ( x - 2 ) + y 2 £ 1 . Tính thể 2 tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay hình tròn đó một vòng quanh trục Oy. Gợi ý: Đáp số: V = 4π 2 . x Đề 26: ( Đề 04- 2004) Giải phương trình: ò sin 2t. 1 + cos2t dt = 0 0 Gợi ý: Đáp số: x = kπ . x2 + 1 Đề 27: ( Đề 05- 2004) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 4 - 3x 2 + 1 Gợi ý: 1 u -1 1 Đáp số: I = ln + C với u = x - . 2 u +1 x 1 Đề 28: ( Đề 01- 2005) Tính: I = ò x 2 4 - 3 x 2 dx 0 Gợi ý: Đặt x 3 = 2sin t . 2π 1 Đáp số I = + 9 3 12 x2 - x - 2 Đề 29: ( Đề 02- 2005) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : f ( x) = và trục Ox. x-3 Gợi ý: 15 Đáp số: I = - 8ln 2 . 2 ( ) 1 Đề 30: ( Đề 03- 2005) Tính: I = ò ln x 2 + a 2 + x dx -1 Gợi ý: Đặt x = -t . Sau khi thế vào, nhân lượng liên hợp. Đáp số I = ln a 2 . π 2 1 - sin x Đề 31: ( Đề 04- 2005) Tính: I = ò dx 0 (1 + cos x ) e x Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  7. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 π π π 2 1 - sin x 2 1 2 sin x Biên đổi I = ò dx = ò dx - ò dx = I1 - I 2 0 (1 + cos x ) e 0 (1 + cos x ) e 0 (1 + cos x ) e x x x 1 Đáp số I = π . e2 1 4x + 5 Đề 32: ( Đề 01- 2006) Tính: I = ò 2 dx 0 x + 3 x + 2 Gợi ý: 27 Đáp số I = ln . 4 1 3 x +1 Đề 33: ( Đề 02- 2006) Tính: I = ò e dx 0 Gợi ý: 2e 2 Đáp số I = . 3 1 x2 Đề 34: ( Đề 03- 2006) Tính: I = ò dx 2 0 x +4 Gợi ý: 5 1+ 5 Đáp số I = - 2ln . 2 2 e æ ln x ö Đề 35: ( Đề 04- 2006) Tính: I = ò ç + ln 2 x ÷ dx 1 è x 1 + ln x ø Gợi ý: 3 ( Đáp số I = - 1 + 2 + e . 2 ) π 2 cos3 x Đề 36: ( Đề 05- 2006) Tính: I = ò 4 2 dx 0 cos x - 3cos x + 3 Gợi ý: Đáp số I = ln 3 . π π 2 2 sin x cos 2 x 2 Đề 37: ( Đề 01- 2007) Cho I = ò dx và J = ò dx . 0 2cosx + 3sinx 0 2cosx + 3sinx a) Tính 9 I - 4 J và I + J . b) Từ đó suy ra kết quả của I và J . Gợi ý: ì9 I - 4 J = 1 x ï Đặt t = tan . Ta tính được: í 1 æ 13 - 1 13 - 3 ö 2 ï I + J = 13 ç ln 13 + 1 - 13 + 3 ÷ î è ø Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  8. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 π 3 tan x Đề 38: ( Đề 02- 2007) Tính: I = ò dx π cosx 1 + cos 2 x 4 Gợi ý: tan xdx Đặt t = 2 + tan 2 x Þ dt = cos2 x 2 + tan 2 x 5 Đáp số: I = ò dt = 5 - 3. 3 1 x3 Đề 39: ( Đề 03- 2007) Tính tích phân: I = ò dx ( ) 3 0 1 + x2 Gợi ý: Đặt t = tan α Lúc đó: π π π 4 3 4 æ ö ÷ dα = 4 - cos α + cos3 α d cos α = 1 I=ò tan α d α = ç tan α ò ç 1 + tan 2 α - tan α 2÷ ò ( ) ( ) ( ) 2 0 1 + tan 2 α 0ç 1 + tan 2 α ÷ 0 16 è ø 1 Đề 40: ( Đề 04- 2007) Tính tích phân: I = ò -3 x 2 + 6 x + 1dx 0 Gợi ý: 1 Biến đổi: I = ò 4 - 3 ( x - 1) dx . 2 0 2 é π πù 2 0 2π 1 Đặt x - 1 = sin t , t Î ê - ; ú . Khi đó: I = ò (1 + cos2t ) dt = + 3 ë 2 2û 3π 3 3 2 π 2 2 dx sin2x Đề 41: ( Đề 01- 2008) Tính các tích phân sau: I = ò vµ J = ò dx 0 1 + cos x 4 1 x 1 + x3 Gợi ý: 1 æ 3+ 2 2 ö π Đáp số: I = ln ç ÷; J = . 3 è 2 ø 4 1 Đề 42: ( Đề 02- 2008) Tính tích phân: I = ò 1 (x - ) x 3 3 dx 1 x4 3 Gợi ý: Đáp số I = 6. é 1 π ù êex æ x öú Đề 43: ( Đề 03- 2008) Tính tích phân: I = ò ê 2 + x ç + 2 tan x ÷ ú dx 3π ê x è cos 2 x øú 4 ë û Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  9. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 4 1 9π 2 Đáp số I = + e 3π - e π . 4 π 2 æ x ö Đề 44: ( Đề 04- 2008) Tính tích phân: I = ò ç 2cos 2 + xcosx ÷ esin x dx 0è 2 ø Gợi ý: π Đáp số I = e - 1 + e . 2 π 2 sin x Đề 45: ( Đề 01- 2009) Tính tích phân: I = ò dx ( sin x + ) 3 0 3 cos x Gợi ý: 3 Đáp số I = . 6 π 2 æ 1 + sin x ö x Đề 46: ( Đề 02- 2009 Tính tích phân: I = ò ç ÷ e dx 0 è 1 + cos x ø Gợi ý: πæ ö 2ç π π 1 x ÷ æ x xö I = òçe x x + e .tan ÷dx = ç e .tan ÷ 2 = e 2 x 2÷ è 2ø 0ç cos 2 0 è 2 ø π 2 sin x Đề 47: ( Đề 03- 2009 Tính tích phân: I = ò dx 0 ( sin x + cos x ) 3 Gợi ý: 1 Đáp số I = . 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền
  10. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản