Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
1
MỘT CÁCH TIẾP CẬN PHÉP BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CĂN
----------------------------------
I. Đặt vấn đề.
- Khi cần giải bài toán biến đổi biểu thức căn, ta có thể tìm cách:
Chuyển từ phép biến đổi biểu thức căn V(x,y,z,…) => biến đổi biểu thức hữu
tỷ H(x,y,z,…)
- Từ Bài toán biến đổi biểu thức hữu tỷ H(x,y,z,…) => Bài toán biến đổi biểu
thức căn V(x,y,z,…)
1. Cơ sở lý thuyết.
Định nghĩa :
- a=
x
<=> a2=x
- b= 3
y
<=> b3=y
2. Cách khai thác:
- Từ biểu thức hữu tỉ F(a2, a), bằng cách đặt a2 = x => chuyển sang biểu thức
g(x;
x
);
- Từ biểu thức hữu tỉ F(a2, a, b2, b, c2, c, …), bằng cách đặt a2 = x, b2 = y , c2 =
z, … => chuyển sang biểu thức g(x;
x
, y;
y
, z;
z
, … );
- Hoàn toàn tương tự với biểu thức chức căn bậc 3;
- Một cách tổng quát:
Từ một bài toán biến đổi biểu thức hữu tỷ (rút gọn, tính giá trị biểu thức,
chứng minh đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức)
Nhờ phép chọn biến thích hợp
Có thể chuyển sang một bài toán biến đổi biểu thức căn (rút gọn, tính giá
trị biểu thức, chứng minh đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất
đẳng thức).
Đó là cơ sở để đề xuất, sáng tạo ra một số bài toán về biến đổi biểu thức căn.
3. Chú ý:
- Xuất phát điểm để sáng tạo bài toán mới là các bài toán biến đổi biểu thức
hữu tỉ (gọi là bài toán gốc);
- Phải chú ý đến tập xác định khi đề xuất bài toán mới;
- Có thể chuyển được mọi bài toán về biến đổi biểu thức hữu tỉ thành bài toán
về biến đổi biểu thức căn thức nhưng không có phương pháp vạn năng để
chuyển được mọi bài toán về biến đổi biểu thức căn thành bài toán về biến đổi
biểu thức hữu tỷ.
- Bài toán mới có thể được giải theo những cách khác nhau.
Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
2
II. Các thí dụ minh họa.
1. Thí dụ 1:
a) BT gốc: Nếu a, b/ a+b+c=0 thì A=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
a b c b c a c a b
= 0 (1)
(c/m: gth=>b+c=-a => có (a2+b2-c2)=a2+(b+c)(b-c)=a2-a(b-c)=a(a+c-b)=-2ab
Tương tự, có: (b2+c2-a2)=-2bc; (c2+a2-b2)=-2ca; từ đó suy ra A=0).
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=
1
x
; b=
y
; c=
1
z
.
Có BT 1.1: Cho x, y,z thực thỏa mãn:
x
+
y
+
z
=3. Tính giá trị biểu thức
A= 1
1 2( )
x y z x y z
+1
1 2( )
y z x y z x
+1
1 2( )
z x y z x y
2. Thí dụ 2:
a) BT gốc: Nếu a, b,c ≠0 /
1
a
+
1
b
+
1
c
=1
a b c
(2) thì: (a+b)(b+c)(c+a)=0.
(c/m: gt=>(a+b+c)(ab+bc+ca)=abc=>3abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=abc
=>2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=0 => (a+b)(b+c)(c+a)=0
Hệ quả của (2): nếu có (2) thì
1
n
a
+
1
n
b
+
1
n
c
=1
n n n
a b c
với mọi số tự nhiên lẻ n).
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a= 3
x
; b= 3
y
; c= 3
z
, có BT 2.1:
Chứng minh rằng nếu x, y,z≠0 / 3
1
x
+3
1
y
+3
1
z
=33 3
1
x y z
thì
1
x
+
1
y
+
1
z
=1
z y z
;
Hoặc: (x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
) = 1 (chọn n=3); hoặc …. Nếu chọn n=7
3. Thí dụ 3:
a) BT gốc: Cho a, b, c≠0 / a+b+c=abc;
1
a
+
1
b
+
1
c
=2 . CMR:
2
1
a
+
2
1
b
+
2
1
c
=2. (3)
(c/m: gt=>
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
=…=1; (
1
a
+
1
b
+
1
c
)2=4 =>
2
1
a
+
2
1
b
+
2
1
c
=2 đpcm!)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=
x
; b=
y
; c=
z
. Có BT 3.1:
CMR nếu có:
x
+
y
+
z
=
xyz
và
111
x y z
=2 thì :
1
x
+
1
y
+
1
z
=2
Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
3
4. Thí dụ 4:
a) BT gốc: CMR: a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) (4)
Hệ quả: Nếu có a3+b3+c3-3abc=0 thì hoặc (a+b+c)=0 hoặc a=b=c
(c/m: gt=>có: a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=
…=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
Chú ý rằng: (a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0<=>2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0<=>(a-b)2+(b-
c)2+(c-a)2=0
b) Các khai thác:
- KT 1: từ (4) => hệ quả: nếu (a+b+c)=0 thì a3+b3+c3=3abc; chọn a= 3
x
;
b= 3
y
; c= 3
z
,
có BT 4.1: CMR nếu: 3
x
+3
y
+3
z
=0 thì : x+y+z=3 3
xyz
(dễ)
- hoặc BT 4.2: Cho x,y,z≠0 / x+y+z=3 3
xyz
. Tính giá trị biểu thức:
M=(1+ 3
x
y
)(1+ 3
y
z
)(1+ 3
z
x
) hay M= 3 3
3 3
3 3
3
( )( )( )
x y y z z x
xyz
(Đ/số: M = -1 hoặc M = 8)
- KT 2: Từ (4)=> hệ quả: nếu (a+b+c)=0 và a3+b3+c3=0 thì abc=0
(ch/m: do a3+b3+c3=0 => a3+b3+c3-3abc+3abc=0 =>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-
ca)+3abc=0
=> 3abc=0).
Chọn a=(
x
-
y
); b=(
y
-
z
); c=(
z
-
x
) => a+b+c=0;
Có BT 4.3: Cho x,y,z R / (
x
-
y
)3+(
y
-
z
)3+(
z
-
x
)3=0
Tính giá trị biểu thức: T= ( 3
x
-3
y
)( 3
y
-3
z
)( 3
z
-3
x
).
(đ/số: Từ gth=>(a+b+c)=0 và a3+b3+c3=0 =>abc=0=>x=y hoặc y=z hoặc z=x
=> T=0)
- KT 3: Từ gth=> a3+b3+c3 = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc = … =
= (a+b+c)[(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)]+3abc = (a+b+c)3 -
(a+b+c)3(ab+bc+ca)+3abc
= (a+b+c)3 – 3[(a+b+c)(ab+bc+ca) – abc].
Nếu chọn a,b,c / (a+b+c)(ab+bc+ca) = abc thì: a3+b3+c3 = (a+b+c)3.
Có BT 4.4: Cho x,y,zR / 3
x
+3
y
+3
z
=m và 3
1
x
+3
1
y
+3
1
z
=
1
m
với m ≠0
Tính giá trị biểu thức: P = x+y+z.
(đặt: a= 3
x
; b= 3
y
; c= 3
z
. Gth => a+b+c=m và
1
a
+
1
b
+
1
c
= 1/m (*). Cần tính
P=a3+b3+c3.
Từ (*) => m(ab+bc+ca)=abc hay (a+b+c)(ab+bc+ca) = abc => P = m3).
Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
4
5. Thí dụ 5:
a) BT gốc: CMR: (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) (5).
(c/m: có nhiều cách biến đổi, chẳng hạn:
VT=[(a+b+c)3-a3]-[b3+c3] = (b+c)[(a+b+c)2+(a+b+c)a+a2 – (b+c)(b2-bc+c2) =
… =
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=(
x
+
y
-
z
); b=(
y
+
z
-
x
); c=(
z
+
x
-
y
)
=> a+b+c=(
x
+
y
+
z
) và 3(a+b)(b+c)(c+a) = 24
xyz
Có BT 5.1: Rút gọn
Q=
3333
( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y z y z x z x y
xyz
Với x,y,z R+. (đ/số: Q = 24)
6. Thí dụ 6:
a) BT gốc: Cho a, b, c / 3a-b2=3b-c2=3c-a2=1. CMR: a=b=c (6).
(c/m: gt=>a2+1=3c=>c>0; tương tự có b, c>0.
Giả sử a>b, kết hợp với gth=>b2-c2=3a-3b>0=>b>c=>c2-a2=3b-
3c>0=>c>a=>a>a, vô lí.
Tương tự, nếu a<b cũng vô lí.
Vậy a=b. lại kết hợp với gth => b=c. Vậy a=b=c. Khi đó tính được
a=b=c=2±
3
)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=
x
; b=
y
; c=
z
. Có BT 6.1:
Cho x,y,z R / 3
x
-y=3
y
-z=3
z
-x=1. Tính giá trị biểu thức B=x2+y2+ z2.
(đ/số: B=3(7+
3
) hoặc B=3(7-
3
) )
7. Thí dụ 7:
a) BT gốc: Nếu a, b/ a3+a=b3+b thì: a=b (7).
(c/m: gt=>(a-b)(a2+b2+ab+1)=0=>a=b vì a2+b2+ab+1>0)
b) Các khai thác:
- KT 1: chọn a=2x; b=
5 2
y
thì (1) <=> … <=> x(4x2+1) + (y-3)
5 2
y
= 0 (1.1)
có BT 7.1: Cho x, y R / x(4x2+1) + (y-3)
5 2
y
= 0. Tính giá trị T = 2x2+y
(đ/số: T = 5/2)
Cầm Thanh Hải – Phòng KT&KĐCLGD Sở GD&ĐT Quảng Ninh
5
- KT 2: chọn a= 2
x
; b=
2 1
y
,
có bài toán 7.2: Cho x, y thực / (3-x) 2
x
- 2y
2 1
y
= 0. Tính M=x+2y
(đ/s: M = 3)
- Chọn a=2x; b= 3
7 1
x
, thì (1) <=> … <=> 8x3-5x-1= 3
7 1
x
(*)
có bài toán 7.3: Giải ph/trình: 8x3-5x-1= 3
7 1
x
Đ/số: x=1; x=
( 2 2) / 2
8. Thí dụ 8:
a) BT gốc: Nếu a, b/ a3+a=b2; b3+b=a2 (A) thì: a=b=0.
(c/m: trừ vế-vế => (a-b)(a2+b2+ab+1-a-b) = 0 => a=b
Vì a2+b2+ab+1-a-b=[(a+(b-1)/2]2 – (1/4)(b-1)2+b2-b+1=[(a+(b-1)/2]2+v2/4-
v/2+1/4
==[(a+(b-1)/2]2+(3/4)[(v-1/9)2+80/81] >0
Thế a=b vào một trong 2 đt của hệ đã cho => a=b=0 => đpcm!)
b) Các khai thác:
- KT1: Chọn a=
1
x
; b= 2
y
thì hệ (A) <=> 1 2
(3 ) 2 1
x x y
y y x
(*)
Có bài toán 8.1: Cho x,y thực thỏa mãn hệ (*).
+ Hỏi đơn giản: CM: x+y=3 (vì a=b)
+ Hỏi khó hơn: Tính T=(x-1)20+(y-2)11+2013 (T=2013 vì a=b=0=>x=1;y=2)
- KT2:
Có bài toán 8.2: Giải hệ PT sau: 1 2
(3 ) 2 1
x x y
y y x
9. Thí dụ 9:
a) BT gốc: Với mọi a, b, c, ta có: (a+b+c)3–(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(c+a) (9)
Từ (9) => nếu (a+b+c)3= a3+b3+c3 thì (a+b)(b+c)(c+a) =0
b) Các khai thác:
- KT1: Chọn a= 3
6 5
x
,b= 3
4 3
x
,c= 3
2
x
=>a3+b3+c3=4x+7
Có BT 9.1: Giải ph/trình: 3
6 5
x
+3
4 3
x
+3
2
x
=3
4 7
x
Giải: Đặt a=…,b=…,c=…, có: a3+b3+c3=d3=4x+7 và a+b+c=d =>
(a+b+c)3=(a3+b3+c3) =>(a+b)(b+c)(c+a) =0 => …
đ/số:
- Có các BT tương tự:
BT 9.2: Giải ph/trình: 3
3 1
x
+35
x
+3
2 9
x
-3
4 3
x
=0
BT 9.3: Giải ph/trình: 3
7 1
x
-3 2
8
x x
+3 2
8 1
x x
=2
BT 9.4: Giải ph/trình: 3 2
4 3
x x
+3 2
4 9 3
x x
=3 2
3 2 2
x x
+3 2
2 3 2
x x