Cấu trúc tập nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân

Chia sẻ: Bautroibinhyen16 Bautroibinhyen16 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo tác giả sử dụng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu một lớp bất đẳng thức biến phân và chứng minh rằng tập nghiệm của nó là nhánh liên tục không bị chặn, xuất phát từ q. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cấu trúc tập nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN NGUYỄN BÍCH HUY* TÓM TẮT Trong bài báo chúng tôi sử dụng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu một lớp bất đẳng thức biến phân và chứng minh rằng tập nghiệm của nó là nhánh liên tục không bị chặn, xuất phát từ q . ABSTRACT Structure of the solution set for a class of variational inequalities In the present paper we use the topological degree method to study a class of variational inequalities and prove that its solution set is an unbounded continuous branch, emanating from q . 1. Mở đầu Bậc tôpô là một công cụ mạnh và hữu hiệu để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của phương trình phi tuyến tổng quát. Phương pháp bậc tôpô đã được áp dụng cho các phương trình vi phân từ những năm 1930 và được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu để hoàn thiện và mở rộng cho đến tận ngày nay. Trong khi đó, phương pháp bậc tôpô lại chỉ được áp dụng cho các bất đẳng thức vi phân khá muộn, vào những năm 1980 [4,5] và cho đến nay cũng mới chỉ ứng dụng cho một số lớp tương đối hẹp các bất đẳng thức. Việc hoàn thiện và mở rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp bậc tôpô cho các bất đẳng thức vi phân là cần thiết và hứa hẹn nhiều kết quả thú vị. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ dùng một kết quả của phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: ìu Î K , f (l , x, u ) Î L1 (W), uf (l , x, u ) Î L1 (W) ï (1) í "v Î K  L¥ (W) Au , v - u ³ ò f (l , x, u )(v - u )dx ï W î trong đó: WÌ N là miền mở, có biên trơn, ( Au = div Ñu p-2 ) Ñu , K = { u Î W01, p (W) : u ³ 0} , f (l , x, u ) = h(l , x, u ) - g ( x, u ), l Î [ 0, ¥ ) là tham số, h, g là các hàm Caratheodory. Trong [3] chúng tôi đã xét (1) khi f không phụ thuộc tham số l , g , h là các hàm tăng và đã dùng một định lí điểm bất động của ánh xạ tăng để chứng minh bài toán có nghiệm. Ở đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng với các giả thiết thích hợp thì tập nghiệm của (1) là nhánh liên tục, không bị chặn xuất phát từ q . * PGS TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM 96 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Nguyễn Bích Huy Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ 2. Các khái niệm và kết quả bổ trợ Phương trình trong không gian có thứ tự Cho ( X ,|| . ||) là không gian Banach với thứ tự " £ " sinh bởi nón K Ì X . Cho ánh xạ F : + ´ K ® K , ta xét bài toán tìm cặp (l , x) Î + ´ K sao cho x = F (l , x) (2) Ta kí hiệu S = { x Î K \{q }: $l ³ 0, x = F (l , x)} . Định nghĩa. Ta nói S là nhánh liên tục, không bị chặn xuất phát từ q nếu với mọi tập mở, bị chặn G chứa q thì S  ¶G khác rỗng. Định lí A [2] Giả sử F : + ´ K ® K là hoàn toàn liên tục và tồn tại ánh xạ tăng G : K ® K , hàm j : + ® + sao cho F (l , x) ³ G (j (l ).x) "(l , x) Î + ´K hơn nữa, giả sử tồn tại phần tử u0 Î K \{q } và các số dương a, b sao cho: i) G (tu0 ) ³ atu0 "t Î [0, b] ii) lim j (l ) = ¥, l ®¥ lim || G (tu0 ) ||0 = ¥, trong đó || . ||0 là một chuẩn trên X có tính t ®¥ chất || x ||0 £ c || x || "x Î X ; q £ x £ y Þ|| x ||0 £|| y ||0 Khi đó tập nghiệm S của phương trình (1) là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ q . Về một bất đẳng thức biến phân bổ trợ Ta xét các không gian Lp (W), W01, p (W) thông thường với chuẩn kí hiệu là || . || p ,|| . ||, 1 1 + = 1, W Ì N là miền bị chặn, p p¢ có biên trơn , p < N . Dưới đây nếu không nói rõ thêm thì ta hiểu tích phân lấy trên W. Định lí B [1] Cho u0 Î W01, p (W), m là độ đo Radon dương, h Î L1 (W) thỏa mãn: W0-1, p¢ (W) là không gian liên hợp của W01, p (W) với m + h Î W0-1, p¢ (W), u0 ³ 0, h.u0 ³ v Î L1 (W). Khi đó h.u0 Î L1 (W), u0 Î L1 (W, m ) và ta có m + h, u0 = ò u0 d m + ò hu0 dx. Định lí C [1] Giả sử K = { v Î W01, p (W) : v ³ 0} , z Î W0-1, p¢ (W) và g : W´ ® là hàm Caratheodory thỏa mãn các điều kiện sau: i) g ( x, 0) = 0, g ( x,.) là hàm tăng, 97 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ ii) "t > 0 tồn tại hàm ht Î L1 (W) sao cho sup g ( x, u ) £ ht ( x). u £t Khi đó bài toán ìu Î K , g ( x, u ) Î L1 (W), ug ( x, u ) Î L1 (W) ï (3) í "v Î K  L¥ (W) Au - z , v - u + ò g ( x, u )(v - u )dx ³ 0 ï î có duy nhất nghiệm u thỏa mãn đẳng thức Au - z , v - u + ò g ( x, u )udx = 0 (4) Hơn nữa, nếu u1 , u2 là nghiệm của (3) với z thay bởi z1 , z2 thì u1 g ( x, u2 ) Î L (W), u2 g ( x, u1 ) Î L (W) và ta có 1 1 Au1 - Au2 , u1 - u2 + ò [ g ( x, u1 ) - g ( x, u2 ) ] (u1 - u2 )dx £ z1 - z2 , u1 - u2 . (5) Bổ đề 1. Giả sử u là nghiệm của (3) và v Î K . Khi đó ta có 1) Au - z, (tu - v)+ + ò g ( x, u )(tu - v)+ dx £ 0, "t ³ 0, 2) Au - z, (tv - u ) + + ò g ( x, u )(tv - u ) + dx ³ 0 nếu vg ( x, u ) Î L1 (W), 3) Au - z, v - u + ò g ( x, u )(v - u )dx ³ 0 nếu vg ( x, u ) Î L1 (W). Chứng minh: Ta sẽ áp dụng định lí C cho m = Au - z + g ( x, u ), h = - g ( x, u ) còn u0 được chọn thích hợp cho mỗi trường hợp. 1) Chọn u0 = tu - (tu - v) + = min { tu , v} ta có hu0 = - g ( x, u ) min { tu , v} ³ - g ( x, u )tu Î L1 (W). Áp dụng định lí C ta được é ù Au - z , tu - (tu - v) + + ò g ( x, u ) ëtu - (tu - v) + û dx ³ 0. (6) Nhân (4) với t rồi trừ cho (5) ta có đpcm. 2) Chọn u0 = u + (tv - u ) + và đặt W1 = { u ³ tv} , W 2 = { u < tv} ta có hu0 = - g ( x, u )u trên W1 , hu0 = - g ( x, u )tv trên W2 . Do đó hu0 lớn hơn một hàm thuộc L1 (W). Áp dụng định lí B ta có Au - z , u + (tv - u ) + + ò g ( x, u ) éu + (tv - u ) + ù dx ³ 0. ë û Kết hợp với (4) ta có đpcm. 3) Chọn u0 = v và lí luận tương tự hai trường hợp trên. Bổ đề 2. 1) Giả sử z1 £ z2 và u1 , u2 là nghiệm của (3) với z thay bằng z1 , z2 . Khi đó u1 £ u2 . 98 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Nguyễn Bích Huy Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ 2) Giả sử các hàm g1 , g 2 : W ´ ® có các tính chất như hàm g nói trong định lí C và g1 ( x, u ) ³ g 2 ( x, u ) "( x, u ) Î W ´ . Gọi ui là nghiệm của (3) với g thay bằng gi thì ta có u1 £ u2 . Chứng minh: 1) Áp dụng bổ đề 1 ta có Au1 - z1 , (u1 - u2 ) + + ò g ( x, u1 )(u1 - u2 ) + dx £ 0, Au2 - z2 , (u1 - u2 ) + + ò g ( x, u2 )(u1 - u2 ) + dx ³ 0. Từ đây ta có Au1 - Au2 , (u1 - u2 ) + + ò [ g ( x, u ) - g ( x, u )] (u 1 2 1 - u2 )dx + z2 - z1 , (u1 - u2 ) + £ 0, (7) W1 trong đó W1 = { u1 ³ u2 } . Các số hạng thứ 2 và thứ 3 trong (7) không âm nên Au1 - Au2 , (u1 - u2 ) + £ 0. Do đó (u1 - u2 ) + = 0 hay u1 £ u2 hkn. 2) Áp dụng bổ đề 1 ta có Au1 - z , (u1 - u2 ) + + ò g1 ( x, u1 )(u1 - u2 ) + dx £ 0, Au2 - z , (u1 - u2 ) + + ò g 2 ( x, u2 )(u1 - u2 ) + dx ³ 0. Do đó Au1 - Au2 , (u1 - u2 ) + + ò [ g ( x, u ) - g ( x, u )] (u 1 1 2 2 1 - u2 )dx £ 0, W1 với W1 = { u1 ³ u2 } . Trên W1 ta có g1 ( x, u1 ) ³ g1 ( x, u2 ) ³ g 2 ( x, u2 ) nên ta suy ra Au1 - Au2 , (u1 - u2 ) + £ 0 và do đó u1 £ u2 hkn. Bổ đề 3. Gọi P là ánh xạ đặt tương ứng z Î W -1, p¢ (W) với nghiệm u của (3). Thế thì P là ánh xạ từ L( p*)¢ (W) vào W01, p (W) và có các tính chất sau: 1) P là ánh xạ tăng, nghĩa là nếu z1 £ z2 thì P ( z1 ) £ P ( z2 ) 2) Nếu M là tập bị chặn thì P( M ) là tập bị chặn. 3) P là ánh xạ liên tục nếu p ³ 2 hoặc g thỏa mãn thêm điều kiện g ( x, u ) £ a ( x) + b.u b , (8) với a( x) Î L( p*)¢ (W) và b Chứng minh: Ta có W01, p (W) Ì Lp* (W) nên L( p*)¢ (W) Ì W -1, p¢ (W). 1) Suy ra từ bổ đề 2. 2) Đặt u = P( z ). Do ug ( x, u ) ³ 0 nên từ (4) và bất đẳng thức Holder ta có: p || u ||1, p = Au , u £|| u || p* . || z ||( p*)¢ £ C. || u ||1, p . || z ||( p*)¢ . 99 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _____________________________________________________________________________________________________________ Từ đây ta có điều khẳng định. 3) Khi p ³ 2 ta có C. || P ( z1 ) - P ( z2 ) || p £ A( P ( z1 )) - A( P ( z2 )), P ( z1 ) - P ( z2 ) . Sử dụng (5) và chú ý g ( x, u ) là hàm tăng theo biến u , ta có || P ( z1 ) - P ( z2 ) || p £ C. || P ( z1 ) - P ( z2 ) || . || z1 - z2 ||( p*)¢ , điều này chứng minh tính liên tục của P. Bây giờ ta xét trường hợp hàm g thỏa mãn (8). Để chứng minh P liên tục tại điểm z ta chỉ cần chứng minh nếu lim zn = z trong L( p*)¢ (W) thì dãy un = P( zn ) có dãy con hội tụ về u = P( z ) trong W01, p (W). Thật vậy, dãy { un } bị chặn trong W01, p (W) nên có dãy con mà ta vẫn kí hiệu là { un } sao cho: un ® u yếu trong W01, p (W) và hkn, un ® u trong Lg với g Chọn g = b .( p*)¢ thì do b về tính liên tục của ánh xạ Nemyskii u  g ( x, u ) ta có lim g ( x, un ) = g ( x, u ) trong L( p*)¢ và W -1, p¢ . n ®¥ (9) Ta có ( || u n || p -1 - || u || p -1 ) ( || un || - || u ||) £ Aun - Au , un - u = Aun - zn , un - u + zn , un - u - Au , un - u £ - ò g ( x, un )(un - u )dx + zn , un - u - Au , un - u . (10) Trong (10) ta có lim ò g ( x, un )(un - u )dx = 0 n ®¥ do (9) và lim Au , un - u = 0, lim zn , un - u = lim ( zn - z , un - u + z , un - u n ®¥ n ®¥ n ®¥ ) = 0. un ® u yếu, Do đó từ (10) ta có lim || un ||=|| u || . Kết hợp với un ® u yếu và W01, p là không gian lồi đều ta có n ®¥ lim un = u trong W01, p . Ta còn phải chứng minh u = P( z ). Thật vậy, ta có n ®¥ Aun - zn , v - un + ò g ( x, un )(v - un )dx ³ 0 "v Î K  L¥ . (11) Do un ® u trong W01, p , Aun - zn ® Au - z trong W -1, p¢ nên lim Aun - zn , v - un = Au - z, v - u n ®¥ "v Î K  L¥ , còn từ (9) ta được lim ò g ( x, un )(v - un )dx = ò g ( x, u )(v - u )dx n ®¥ "v Î K  L¥ . Do đó qua giới hạn trong (1) ta có (3 hay u = P( z ). 100