Chứng minh một số trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski

Chia sẻ: ViSatori ViSatori | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

0
5
lượt xem
0
download

Chứng minh một số trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết tập trung chứng minh một vài trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski về bài toán "Số điểm của một lưới nguyên nằm trong một tập compact lồi trong không gian Euclide R^n".

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chứng minh một số trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski

CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG<br /> CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI<br /> Nguyễn Thanh Phong - Trần Ngọc Quốc1<br /> Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một vài trường hợp riêng<br /> của giả thuyết Minkowski về bài toán "Số điểm của một lưới nguyên nằm trong<br /> một tập compact lồi trong không gian Euclide Rn ".<br /> Từ khóa: Lattices, Minkowski’s theorem, Minkowski’s conjecture.<br /> 1. Giới thiệu<br /> Một trong những vấn đề cơ bản của Hình học số là nghiên cứu số điểm chung<br /> của một lưới nguyên với một tập đo được trong Rn . Nếu C là tập compact lồi,<br /> phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì Hermann Minkowski<br /> phỏng đoán rằng số điểm chung của một lưới nguyên Λ và C là một số hữu hạn<br /> và số điểm chung là một hàm đếm<br /> G(C, Λ) = card(C ∩ Λ)<br /> bị chặn trên.<br /> Trong bài báo này, chúng tôi sẽ giới thiệu lại giả thuyết Minkowski và kiểm<br /> chứng kết quả đúng trong một số trường hợp riêng.<br /> 2. Kiến thức chuẩn bị<br /> Trong bài báo này, Rn là không gian Euclide với tích vô hướng được định nghĩa<br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> X<br /> x, y =<br /> xi y i .<br /> i=1<br /> <br /> Định nghĩa 2.1. Cho {λ1 , . . . , λn } là họ các vectơ độc lập tuyến tính trong Rn .<br /> Tập hợp tất cả các điểm<br /> x = u1 λ1 + · · · + un λn<br /> với {u1 , . . . , un } là họ những số nguyên, được gọi là một lưới nguyên trong Rn<br /> của cơ sở {λ1 , . . . , λn }, ký hiệu<br /> Λ := Zλ1 + · · · + Zλn ,<br /> với Z là tập hợp các số nguyên.<br /> Định nghĩa 2.2. Cho Λ là lưới nguyên trong Rn và C là tập compact lồi, phần<br /> trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Số thực<br /> λi (C, Λ) = inf{r ∈ R∗+ / rC chứa ít nhất i điểm độc lập tuyến tính của Λ},<br /> ở đây i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n và rC = {rx với x ∈ C}, được gọi là cực tiểu thứ tự thứ i<br /> của lưới nguyên Λ tương ứng với tập C.<br /> 1<br /> <br /> Trường Đại học Quảng Nam<br /> <br /> CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI<br /> <br /> Nhận xét 2.3. Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact<br /> lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi đó, ta có<br /> 0 < λ1 (C, Λ) ≤ λ2 (C, Λ) ≤ · · · ≤ λn (C, Λ) < +∞.<br /> Nhận xét 2.4. Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact<br /> lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi đó, ta có λ1 (C, Λ)<br /> là số thực nhỏ nhất sao cho λ1 (C, Λ)C có điểm chung khác 0 với Λ.<br /> Giả thuyết 2.5 (Giả thuyết Minkowski). Cho Λ là lưới nguyên trong không gian<br /> Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ.<br /> Gọi G(C, Λ) là hàm đếm số điểm của lưới nguyên Λ trong tập C, tức là<br /> G(C, Λ) = card(C ∩ Λ).<br /> Khi đó, ta có<br /> G(C, Λ) ≤<br /> <br /> n <br /> Y<br /> i=1<br /> <br /> <br /> 2<br /> +1 ;<br /> λi (C, Λ)<br /> <br /> ở đây, b·c là ký hiệu phần nguyên dưới của một số thực.<br /> Trên cơ sở những lý thuyết chuẩn bị trên, chúng tôi sẽ sử dụng các tính chất<br /> của không gian định chuẩn Rn để chứng minh một số trường hợp riêng của giả<br /> thuyết Minkowski.<br /> 3. Các kết quả chính<br /> Trong nội dung này, chúng tôi sẽ chứng minh 2 trường hợp riêng của giả thuyết<br /> Minkowski.<br /> Nhận xét 3.1. Cho C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau<br /> qua gốc tọa độ trên Rn . Khi đó, tồn tại một chuẩn trên Rn sao cho<br /> C = {x ∈ Rn / kxkC ≤ 1}.<br /> Thật vậy, với mọi x ∈ Rn , ta định nghĩa<br /> <br /> <br /> 1<br /> ∗<br /> kxkC = inf<br /> với t ∈ R+ thỏa tx ∈ C .<br /> t<br /> Ta dễ dàng chứng minh chuẩn được định nghĩa như trên thỏa Nhận xét 3.1.<br /> Nhận xét 3.2. Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact lồi,<br /> phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi đó, với mọi x ∈ Λ \ {0},<br /> ta luôn có<br /> kxkC ≥ λ1 (C, Λ).<br /> Thật vậy, ta giả sử tồn tại x0 ∈ Λ \ {0} thỏa mãn<br /> kx0 kC < λ1 (C, Λ).<br /> Đặt r0 = kx0 kC , suy ra 0 6= x0 ∈ Λ ∩ r0 C.<br /> Bởi định nghĩa λ1 (C, Λ), ta được<br /> λ1 (C, Λ) ≤ r0 < λ1 (C, Λ),<br /> <br /> (Mâu thuẫn).<br /> <br /> Vậy, với mọi x ∈ Λ \ {0}, ta luôn có kxkC ≥ λ1 (C, Λ).<br /> 160<br /> <br /> NGUYỄN THANH PHONG - TRẦN NGỌC QUỐC<br /> <br /> Định lý 3.3. Cho C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua<br /> gốc tọa độ. Nếu Λ là một lưới nguyên thỏa mãn<br /> λ1 (C, Λ) = λ2 (C, Λ) = · · · = λn (C, Λ);<br /> thì ta có<br /> G(C, Λ) ≤<br /> <br /> n <br /> Y<br /> i=1<br /> <br /> <br /> 2<br /> +1 .<br /> λi (C, Λ)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> Chứng minh. Ta đặt p =<br /> + 1 . Xét ánh xạ<br /> λ1 (C, Λ)<br /> f : C ∩ Λ −→ (Z/pZ)n<br /> x = u1 λ1 + · · · + un λn 7−→ f (x) = (u1 mod p, . . . , un mod p).<br /> Ta sẽ chứng minh được f là một đơn ánh.<br /> Thật vậy, gọi {λ1 , λ2 , . . . , λn } là một cơ sở bất kỳ của Λ. Giả sử tồn tại<br /> x = u1 λ1 + u2 λ2 + · · · + un λn và y = v1 λ1 + v2 λ2 + · · · + vn λn ;<br /> là 2 điểm thuộc C ∩ Λ thỏa x 6= y và ui ≡ vi (modp), ∀i = 1, .., n.<br /> Ta đặt<br /> u1 − v1<br /> u2 − v2<br /> un − vn<br /> 1<br /> λ1 +<br /> λ2 + · · · +<br /> λn .<br /> z = (x − y) =<br /> p<br /> p<br /> p<br /> p<br /> Vì x 6= y nên z 6= 0.<br /> i<br /> Mặt khác, ta có ui ≡ vi (modp), (∀i = 1, .., n), nên ui −v<br /> ∈ Z, (∀i = 1, .., n). Suy<br /> p<br /> ra z ∈ Λ.<br /> Từ nhận xét (3.1), vì x, y ∈ C nên kxkC ≤ 1 và kykC ≤ 1. Lúc đó, ta có<br /> 1<br /> 2<br /> 1<br /> kzkC = k (x − y)kC ≤ (kxkC + kykC ) ≤ < λ1 (C, Λ).<br /> p<br /> p<br /> p<br /> Từ nhận xét (3.2), suy ra<br /> λ1 (C, Λ) ≤ kzkC < λ1 (C, Λ). (Mâu thuẫn)<br /> Suy ra f là một đơn ánh, hay<br /> card(C ∩ Λ) ≤ card (Z/pZ)n = pn .<br /> Vậy, ta được kết quả cần chứng minh<br /> <br /> G(C, Λ) ≤<br /> <br /> 2<br /> +1<br /> λ1 (C, Λ)<br /> <br /> n<br /> =<br /> <br /> n <br /> Y<br /> i=1<br /> <br /> <br /> 2<br /> +1 .<br /> λi (C, Λ)<br /> <br /> 161<br /> <br /> CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI<br /> <br /> Định lý 3.4. Cho C là hình cầu đơn vị đóng trong Rn , tức là C = {x ∈<br /> Rn thỏa kxk ≤ 1}. Nếu Λ là một lưới nguyên trong Rn thỏa mãn tồn tại một<br /> cơ sở {λ1 , λ2 , . . . , λn } là một hệ trực giao thì ta có<br /> <br /> n <br /> Y<br /> 2<br /> G(C, Λ) ≤<br /> +1 .<br /> λi (C, Λ)<br /> i=1<br /> Bổ đề 3.5. Cho C là hình cầu đơn vị đóng trong Rn và lưới nguyên Λ trên Rn<br /> với cơ sở {λ1 , λ2 , . . . , λn } là một hệ trực giao thỏa kλi k ≤ kλi+1 k, (1 ≤ i ≤ n − 1).<br /> Khi đó, ta có<br /> kλi k = λi (C, Λ), (1 ≤ i ≤ n).<br /> Chứng minh. Theo giả thiết, ta có kλi k ≤ kλj k, (1 ≤ i ≤ j ≤ n).<br /> Với k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n, ta đặt<br /> Rk = {r ∈ R∗+ / rC chứa ít nhất k điểm độc lập tuyến tính của Λ}.<br /> Cho r ∈ Rk và ta giả sử {y1 , y2 , . . . , yk } là k điểm độc lập tuyến tính trong rC ∩Λ.<br /> Ở đây, yj ∈ Λ, (1 ≤ j ≤ k), nên có dạng<br /> yj =<br /> <br /> n<br /> X<br /> <br /> uji λi , uji ∈ Z.<br /> <br /> i=1<br /> <br /> Khi đó, tồn tại uj0 i0 6= 0, (1 ≤ j0 ≤ k ≤ i0 ≤ n). Suy ra<br /> <br /> 2<br /> n<br /> X<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> r ≥ kyj0 k = <br /> uj0 i λi <br /> <br /> <br /> =<br /> <br /> i=1<br /> n<br /> X<br /> <br /> |uj0 i |2 kλi k2<br /> <br /> i=1<br /> <br /> ≥ |uj0 i0 |2 kλi0 k2 ≥ kλi0 k2 .<br /> Vì i0 ≥ k, nên r2 ≥ kλi0 k2 ≥ kλk k2 . Hay kλk k ≤ r, ∀r ∈ Rk .<br /> Mà λk (C, Λ) = inf Rk , suy ra kλk k ≤ λk (C, Λ).<br /> Mặt khác, họ {λ1 , λ2 , . . . , λk } là họ k điểm độc lập tuyến tính trong kλk kC ∩ Λ,<br /> nên từ định nghĩa λk (C, Λ), ta suy ra λk (C, Λ) ≤ kλk k.<br /> Vậy, ta có kλk k = λk (C, Λ).<br /> Như vậy, ta đã chứng minh được<br /> kλi k = λi (C, Λ), (1 ≤ i ≤ n).<br /> <br /> Chứng minh định lý 3.4. Không mất tính tổng quát, ta giả sử<br /> kλi k ≤ kλj k, (1 ≤ i ≤ j ≤ n).<br /> Áp dụng bổ đề 3.5, ta có<br /> kλi k = λi (C, Λ), (1 ≤ i ≤ n).<br /> 162<br /> <br /> NGUYỄN THANH PHONG - TRẦN NGỌC QUỐC<br /> <br /> Cho x =<br /> <br /> n<br /> X<br /> <br /> ui λi là điểm bất kỳ thuộc C ∩ Λ. Ta có<br /> <br /> i=1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> |uj | kλj k ≤<br /> <br /> n<br /> X<br /> <br /> |ui |2 kλi k2 = kxk2 ≤ 1, (1 ≤ j ≤ n).<br /> <br /> i=1<br /> <br /> Hay<br /> |uj | ≤<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> =<br /> , (1 ≤ j ≤ n).<br /> kλj k<br /> λj (C, Λ)<br /> <br /> Mà uj ∈ Z, (1 ≤ j ≤ n), nên<br /> k<br /> 1<br /> |uj | ≤<br /> , (1 ≤ j ≤ n).<br /> λj (C, Λ)<br /> j<br /> <br /> Suy ra<br /> n<br /> n<br /> j<br /> X<br /> C∩Λ⊂ x=<br /> ui λi ∈ Rn với ui ∈ Z thỏa |ui | ≤<br /> i=1<br /> <br /> k<br /> o<br /> 1<br /> , (1 ≤ i ≤ n) .<br /> λi (C, Λ)<br /> <br /> Vậy, ta có<br /> G(C, Λ) = card(C ∩ Λ) ≤<br /> <br /> n<br /> Y<br /> <br /> <br /> <br /> card z ∈ Z thỏa |z| ≤<br /> <br /> i=1<br /> <br /> 1<br /> λi (C, Λ)<br /> <br /> <br /> <br /> n  <br /> Y<br /> =<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> +1<br /> λi (C, Λ)<br /> i=1<br /> <br /> n <br /> Y<br /> 2<br /> ≤<br /> +1 .<br /> λi (C, Λ)<br /> i=1<br /> <br /> 4. Kết luận<br /> Qua bài báo, chúng tôi đã nêu ra và chứng minh đúng cho hai trường hợp<br /> riêng là Định lý (3.3) và Định lý (3.4) của Giả thuyết Minkowski (2.5).<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1] J.W.S.Cassels (1971), An Introduction to the Geometry of Numbers, SpringerVerlag, New York.<br /> [2] M. Henk (2002), Successive minima and lattice points, Rend. Circ. Mat.<br /> Palermo Ser. II Suppl., 70(I): 377-384.<br /> [3] P. Gruber(1993), Convex and discrete geometry, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, volume 336. Springer.<br /> 163<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản