Chương 1: Động lực học chất điểm

Chia sẻ: Pham Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

591
lượt xem 191
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Động lực học chất điểm là một phần của ngành cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật thể (vĩ mô) mà không chú ý đến nguyên nhân của chuyển động đó. Chương ngày nghiên cứu các tính chất tổng quát về chuyển động của chất điểm. Vì thế khi nói chuyển động của một vật hay vận tốc, gia tốc của vật, ta hiểu vật đó là chất điểm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Động lực học chất điểm

Chương 1: NG H C CH T I M 15 Chương 1 NG H C CH T I M ng h c là m t ph n c a ngành Cơ h c, nghiên c u chuy n ng c a v t th (vĩ mô) mà không chú ý n nguyên nhân c a chuy n ng ó. Chương này nghiên c u các tính ch t t ng quát v chuy n ng c a ch t i m. Vì th khi nói chuy n ng c a m t v t hay v n t c, gia t c c a v t, ta hi u v t ó là ch t i m. §1.1 – CÁC KHÁI NI M CƠ B N V CHUY N NG 1 – Chuy n ng cơ h c – Ch t i m: Chuy n ng cơ h c (chuy n ng cơ) là s thay i v trí c a v t th trong không gian theo th i gian. Chuy n ng c a v t có tính tương i. Vì, v trí c a v t có th thay i i v i v t này, nhưng l i không thay i i v i v t khác. Nghiã là v t có th chuy n ng so v i v t này, nhưng l i là ng yên so v i v t khác. Ví d : Ngư i ng i trên xe l a, i v i nhà ga thì ngư i ó ang chuy n ng cùng v i xe l a, nhưng i v i hành khách bên c nh, thì ngư i ó l i không h chuy n ng. Khi ta nói “v t A ang chuy n ng” mà không nói rõ chuy n ng so v i v t nào thì ta ng m hi u là so v i Trái t. M i v t u có kích thư c xác nh. Tuy nhiên, n u kích thư c c a v t quá nh bé so v i nh ng kho ng cách mà ta kh o sát thì v t ư c coi như m t ch t i m. V y, ch t i m là m t v t th mà kích thư c c a nó có th b qua so v i nh ng kích thư c, nh ng kho ng cách mà ta kh o sát. Ch t i m là m t khái ni m tr u tư ng, không có trong th c t nhưng r t thu n ti n trong vi c nghiên c u chuy n ng c a các v t. Khái ni m ch t i m cũng mang tính tương i. Nghĩa là trong i u ki n này v t ư c coi là ch t i m, nhưng trong i u ki n khác, nó l i không th coi là ch t i m. Ví d : Khi nghiên c u chuy n ng c a Trái t quanh M t Tr i, ta có th coi Trái t là ch t i m, nhưng nghiên c u chuy n ng t quay quanh tr c c a nó thì Trái t không th coi là ch t i m. 2 – Quĩ o, quãng ư ng và d i: Qũi o c a ch t i m là t p h p các v trí c a ch t i m trong quá trình chuy n ng. Nói m t cách khác, khi ch t i m chuy n ng, nó s v ch ra trong không gian m t ư ng g i là quĩ o. Căn c vào hình d ng quĩ o, ta có th phân chia chuy n ng c a ch t i m là th ng, cong ho c tròn. Xét m t ch t i m M chuy n ng trên quĩ o cong b t kì t v trí M1 qua i mA n v trí M2 (hình 1.1). Ta g i dài c a cung M1AM 2 là quãng ư ng
16 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n uuuuuur v t i t M1 n M2 và ư c kí hi u là s. Và ta g i vectơ M1M 2 là vectơ d i (hay d i) c a ch t i m t i m M1 n i m M2. Như v y quãng ư ng s là m t i Quãng ư ng s lư ng vô hư ng luôn dương; còn d i là m t vectơ. N u v t chuy n ng trên ư ng A M2 cong kín ho c i chi u chuy n ng sao cho v trí u và cu i trùng nhau thì d i s tri t tiêu nhưng quãng ư ng là khác M1 không. Khi v t chuy n ng trên ư ng uuuuuur d i M1M 2 th ng theo m t chi u duy nh t thì quãng ư ng v t i ư c b ng v i l n c a vectơ d i. Hình 1.1: Quan h gi a quãng ư ng và d i 3 – H qui chi u, phương trình chuy n ng – phương trình quĩ o: z Mu n xác nh v trí c a v t trong không gian, ta ph i z ch n m t v t làm m c, g n vào óm th t a và m t ng h o th i gian. H th ng ó M → → ư c g i là h qui chi u. T i r k m i th i i m t, v trí c a ch t y i m M s ư c xác nh b i → O → y vectơ v trí (hay vectơ tia, vectơ i j bán kính): x → → r ( t ) = OM (1.1) x Phương trình (1.1) cho phép ta xác nh v trí c a ch t i m Hình 1.2: V trí c a ch t i m M trong t ng th i i m, nên g i là h to Descartes phương trình chuy n ng t ng quát c a ch t i m. Trong h t a Descartes, (1.1) có d ng: → → → → r = x. i + y. j + z. k (1.2) r r r Trong ó (x,y,z) là t a c a i m M và i, j, k là các vectơ ơn v trên các tr c Ox, Oy, Oz. Vì v trí c a ch t i m M thay i theo th i gian nên to c a nó là hàm c a th i gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t) (1.3) (1.2), (1.3) là các phương trình chuy n ng c a ch t i m trong h to Oxyz. N u kh tham s t trong các phương trình (1.3), ta ư c:  F( x , y, z) = 0  (1.4)  G ( x , y, z ) = 0
Chương 1: NG H C CH T I M 17 (1.4) bi u di n t t c các v trí mà ch t i m s i qua trong quá trình chuy n ng nên ư c g i là phương trình qũi o c a ch t i m. V y, phương trình chuy n ng cho phép ta xác nh ư c v trí c a ch t i m m t th i i m t b t kì; phương trình qũi o cho bi t hình d ng qũi o c a v t. Tùy theo vi c ch n h qui chi u và m c th i gian, phương trình chuy n ng và phương trình quĩ o c a ch t i m s có d ng tư ng minh khác nhau. Trên th c t , khi gi i các bài toán v chuy n ng, ngư i ta thư ng ch n h qui chi u và g c th i gian sao cho phương trình chuy n ng d ng ơn gi n nh t. Trong trư ng h p ã bi t trư c qũi o c a v t, ta có th ch n i m m c s O là m t i m nào ó n m ngay trên qũi M o, và v trí c a v t ư c xác nh theo O hoành cong: s = s(t) = OM (1.5) Hình 1.3: V trí c a ch t i m M ư c Phương trình (1.5) ư c g i là phương xác nh theo hoành cong s. trình chuy n ng c a v t trên qũi o. Ví d 1.1: Ch t i m M chuy n ng  x = A 1 cos(ωt + ϕ1 ) trong m t ph ng Oxy v i phương trình:  . Hãy xác nh  y = A 2 cos(ωt + ϕ 2 ) d ng qũi o khi: π a) ϕ1 – ϕ2 = k2π; b) ϕ1 – ϕ2 = (2k + 1) . 2 Gi i a) Ta có ϕ1 – ϕ2 = k2π ⇒ ϕ1 = ϕ2 + k2π ⇒ x = A1 cos(ωt + ϕ2 +k2π) = A1 cos(ωt + ϕ2) x y A2 A ⇒ = ⇒ y= x = ax ; vôùi a = 2 A1 A 2 A1 A1 V y qũi o là ư ng th ng y = ax, v i – A1 ≤ x ≤ A1 x 2 y2 b) Tương t , ta có: 2 + 2 = 1 ⇒ Qũi o là Elíp. A1 A 2 §1.2 – T C VÀ V N T C 1–T c trung bình và v n t c trung bình: Xét ch t i m M chuy n ng trên quĩ o cong b t kì. Gi s th i i m → t1, ch t i m v trí M1 ư c xác nh b i vectơ v trí r1 ; th i i m t2 v t v trí → M2 ư c xác nh b i vectơ v trí r2 . G i s là quãng ư ng v t ã i và
18 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n r uuuuuur u u r r ∆ r = M1M 2 = r2 − r1 là d i t M1 n M2. Ta nh nghĩa t c trung bình và v n t c trung bình c a ch t i m như sau : T c trung bình vs trên m t o n ư ng nh t nh c a m t ch t i m chuy n ng là i lư ng o b ng thương s gi a quãng ư ng s mà ch t i m i ư c v i kho ng th i gian t ch t i m i h t quãng ư ng ó. s vs = (1.6) t s M2 N u quãng ư ng s g m nhi u quãng ư ng nh s1, s2, …, sn và th i gian tương r ng v t i h t các quãng ư ng ó là t1, M1 ∆r t2, …, tn thì (1.6) ư c vi t dư i d ng: ur s + s + ... + s 2 r2 vs = 1 2 (1.7) ur t1 + t 2 + ... + t n r1 ôi khi t c trung bình còn ư c kí hi u O b i vtb ho c v . Hình 1.4 V n t c trung bình c a m t ch t i m chuy n ng trong kho ng th i gian t t1 n t2 là i lư ng o b ng thương s gi a vectơ d i và kho ng th i gian ó : r ur u r uur ∆ r r − r v tb = = 2 1 (1.8) ∆t t 2 − t1 T c trung bình là i lư ng vô hư ng, không âm, c trưng cho m c nhanh, ch m c a chuy n ng trên m t o n ư ng nh t nh ; còn v n t c trung bình là m t i lư ng vectơ c trưng cho s thay i c a vectơ d i trong m t kho ng th i gian nh t nh. Khi v t chuy n ng liên t c trên ư ng th ng theo m t chi u duy nh t thì t c trung bình b ng v i l n c a vectơ v n t c trung bình. Trong h SI, ơn v o t c trung bình và v n t c trung bình là mét trên giây (m/s) ; trên th c t , ngư i ta thư ng dùng ơn v kilômét trên gi (km/h). Ta 5 có : 1km / h = m/s. 18 T (1.8) suy ra, khi ch t i m chuy n ng d c theo tr c Ox thì ta có th tính ư c giá tr i s c a v n t c trung bình theo công th c : ∆x x 2 − x1 v tb = = (1.9) ∆t t 2 − t1 Trong trư ng h p t ng quát, ta có th chi u (1.8) lên các tr c t a c n thi t tìm các thành ph n c a vectơ v n t c trung bình, t ó tìm ư c l nc av nt c trung bình. C n nh n m nh s khác bi t c a các công th c nh nghĩa (1.6) và (1.8) là: iv it c trung bình, ta quan tâm n quãng ư ng s mà ch t i m ã i và th i gian t mà ch t i m dùng i h t quãng ư ng ó, không quan tâm n th i
Chương 1: NG H C CH T I M 19 gian ngh ; còn i v i v n t c trung bình, ta quan tâm n v trí và th i i m u và cu i, không quan tâm n quá trình di n bi n c a chuy n ng. phân bi t ư c hai khái ni m t c trung bình và v n t c trung bình, chúng ta kh o sát các ví d sau ây : Ví d 1.2: M t ôtô d nh i t A n B v i t c 30km/h. Nhưng sau khi i ư c 1/3 o n ư ng, ôtô b ch t máy. Tài x ph i d ng 30 phút s a, sau ó i ti p v i t c 40km/h và n B úng gi qui nh. Tính t c trung bình c a ôtô trên o n ư ng AB và th i gian d nh ban u. Có th tính ư c l nc a vectơ v n t c trung bình trong kho ng th i gian t A n B hay không ? Gi i v1 = 30km/h v2 = 40km/h Gi s ôtô ch t máy t i C. G i t1, t2 là th i gian ôtô chuy n ng trên các o n AC, CB. A C B T c trung bình c a ôtô trên o n ư ng AB là : s AC + BC AB 3v1.v 2 3.30.40 vs = = = = = = 36km / h t t1 + t 2 1 AB 3 + 2 AB 3 2v1 + v 2 2.30 + 40 v1 v2 Vì ôtô n B úng gi qui nh nên th i gian d nh b ng th i gian th c t : AB 1 AB 2 AB td = ttt ⇒ = 3 + 0,5 + 3 ⇒ AB = 90 km v1 v1 v2 AB V y th i gian d nh ban u là: t = = 3 (gi ). v1 V i gi thi t c a bài toán trên, ta không th tính ư c l n c a vectơ v n t c trung bình, vì không bi t quĩ o t A n B là th ng hay cong. N u quĩ o là r uur | ∆ r | AB 90 ư ng th ng thì | v tb |= = = = 30m / s ; n u quĩ o là ư ng ∆t tB − tA 3 cong thì chưa d ki n tính v n t c trung bình. Ví d 1.3: M t ôtô i t A n B v i t c v1 = 30km/h r i quay v A v i t c v2 = 50km/h. Tính t c trung bình và v n t c trung bình trên l trình i – v . Gi i T c trung bình trên l trình i – v : s AB + BA 2AB 2v1v 2 2.30.50 vs = = = = = = 37,5km / h t t di + t ve AB / v1 + AB / v 2 v1 + v 2 30 + 50 V n t c trung bình trên l trình i – v : u u uu uu r r r r uur r − r r − r r v tb = 2 1 = A A =0 t 2 − t 1 t 2 − t1
20 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n 2–T c t c th i và v n t c t c th i: T c trung bình c trưng cho tính ch t nhanh, ch m c a chuy n ng trên m t o n ư ng s xác nh. c trưng cho tính ch t nhanh, ch m c a chuy n ng t ng i m trên quĩ o, ta dùng khái ni m t c t c th i. T c t c th i (hay t c ) t i m t i m ã cho trên qũi o là i lư ng o b ng thương s gi a quãng ư ng i r t nh tính t i m ã cho và kho ng th i gian r t nh s ds v t i h t quãng ư ng ó: v = lim = (1.10) t →0 t dt Kí hi u: ds là vi phân c a ư ng i, dt là vi phân c a th i gian và t s ds/dt là o hàm c a quãng ư ng theo th i gian. V y t c t c th i b ng o hàm c a quãng ư ng theo th i gian. M t cách tương t , vectơ v n → t c t c th i (hay vectơ v n t c) là o v hàm c a vectơ d i theo th i gian: r r ds M’ → ∆ r dr v = lim = (1.11) ∆t →0 ∆t dt r M dr (C) hi u rõ ý nghĩa c a vectơ v n t c t c th i, ta xét chuy n ng c a u r r' m t ch t i m trên m t quĩ o cong (C) r b t kì (xem hình minh h a 1.5). Gi s r th i i m t, ch t i m v trí M ư c O r xác nh b i vectơ v trí r và th i i m t + dt, ch t i m v trí M’ ư c Hình 1.5 u r r r xác nh b i vectơ v trí r ' = r + dr . r Theo nh nghĩa (1.11), vectơ v n t c luôn có hư ng c a d i dr , nghĩa là có hư ng c a cát tuy n MM’. Khi th i gian dt r t nh thì i m M’ r t g n v i i m M. Lúc ó gi i h n c a cát tuy n MM’ chính là ti p tuy n v i quĩ o t i i m M. V y vectơ v n t c t c th i t i m i i m có phương ti p tuy n v i quĩ o t i i m ó và có chi u là chi u chuy n ng c a ch t i m. r M t khác, môdun c a d i dr chính là dài dây cung MM’ và quãng r ư ng ds chính là dài cung MM ' . Khi M’ ti n n M thì | dr | = ds. V y: r r | dr | ds | v |= v = = (1.12) dt dt Nghĩa là l n c a v n t c t c th i chính b ng t c t c th i. → V y, vectơ v n t c t c th i v có c i m: - Phương: là ti p tuy n v i qũi o t i i m kh o sát. - Chi u: là chi u chuy n ng. - l n: b ng o hàm c a quãng ư ng i v i th i gian. - i m t: t i i m kh o sát.
Chương 1: NG H C CH T I M 21 T c t c th i là i lư ng vô hư ng không âm, c trưng cho m c nhanh, ch m c a chuy n ng t i m i i m trên quĩ o; còn v n t c t c th i là i lư ng vectơ, c trưng cho c phương, chi u và nhanh ch m c a chuy n ng t i m i i m trên quĩ o. Khi nói v t chuy n ng v i t c không i, ta hi u v t chuy n ng u trên quĩ o th ng ho c cong b t kì, trong ó v t i ư c nh ng quãng ư ng b ng nhau trong nh ng kho ng th i gian b ng nhau b t kì ; nhưng khi nói v t chuy n ng v i v n t c không i thì ta hi u chuy n ng c a v t là th ng u. Qua các khái ni m trên ta th y r ng, t c trung bình có ý nghĩa v t lý c th hơn v n t c trung bình nhưng t c t c th i l i không có ý nghĩa v t lý y b ng v n t c t c th i. Do ó, khi nghiên c u tính ch t c a chuy n ng trên quãng ư ng dài, ngư i ta thư ng s d ng khái ni m t c trung bình ; còn khi nghiên c u tính ch t c a chuy n ng t i t ng v trí trên quĩ o, ta s d ng v n t c t c th i. 3 – Bi u th c gi i tích c a vectơ v n t c: → → → → Trong h to Descartes, ta có: r = x. i + y. j + z. k → → d r dx → dy → dz → Suy ra : v= = . i + . j + .k (1.13) dt dt dt dt → → → → Hay: v = v x . i + v y . j + v z . k = (vx, vy, vz) (1.14) dx dy dz trong ó: v x = = x'; v y = = y' ; v z = = z' (1.15) dt dt dt → Suy ra, l n c a vectơ v n t c: v = v = v2 + v2 + v2 x y z (1.16) 4 – Quãng ư ng v t ã i: T (1.12), suy ra quãng ư ng v v t i ư c trong th i gian ∆t = t – to là: t s= ∫ vdt to (1.17) S trong ó, v là l n c a v n t c. t N u trong kho ng th i gian ∆t, l n to t c a v n t c không i (v t chuy n ng Hình 1.6: Ý nghĩa hình h c c a u) thì: s = v∆t = v(t – t0) (1.18) ư ng i. Trong m t s trư ng h p, ta có th tính quãng ư ng d a vào ý nghĩa hình h c c a tích phân (1.17): quãng ư ng v t i ư c b ng tr s di n tích hình thang cong gi i h n b i th v = v(t) v i tr c Ot (hình 1.6).
22 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n Ví d 1.4: V t chuy n ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình: x = 15t  (SI) . Tính quãng ư ng v t ã i k t lúc t = 0 n lúc t = 2s.  y = 5t 2 Gi i v x = x ' = 15 Ta có:  ⇒ v = 15 2 + (10 t ) 2 = 10 t 2 + 2,25 (m/s) v y = y' = 10t 2 2 2 t 2 2,25  s = ∫ vdt = 10 ∫ t + 2,25dt = 10 2 t + 2,25 + ln | t + t 2 + 2,25 | 0 0 2 2 0 u 2 a (Lưu ý: ∫ u 2 + adx = 2 u + a + ln | u + u 2 + a | +C - toán cao c p) 2 Thay s vào ta tính ư c quãng ư ng là: s = 37, 4(m) . Ví d 1.5: V t chuy n ng trên ư ng th ng v i v n t c bi n i theo qui lu t cho b i th hình bên. Tính quãng ư ng v t ã i k t lúc t = 1s n lúc t = 7,5s. Suy ra t c trung bình trên quãng ư ng này và l n c a v n t c trung bình trong kho ng th i gian ó. Gi i v (m/s) D a vào ý nghĩa hình h c c a tích phân (1.17), ta suy ra quãng ư ng ph i tìm là: s = tr s B C (di n tích hình thang ABCD + 30 di n tích tam giác DEF). 1 1 1 D 7,5 ⇒s= (5,5 + 2,5).30 + .1.20 0 2 2 A 2,5 5 6,5 F t (s) V y s = 130(m) Suy ra t c trung bình trên - 20 quãng ư ng ó: E s 130 vs = = = 20(m / s) . ∆t 7,5 − 1 Vì v t chuy n ng trên ư ng th ng và căn c th , ta th y, t t = 1s n t = 6,5s v t chuy n ng theo chi u dương c a qũi o (do v > 0) còn t t = 6,5s n t = 7,5s v t chuy n ng ngư c chi u dương c a qũi o (do v < 0) nên môdun c a d i tính t th i i m t = 1s n t = 7,5s là: r | ∆ r |= tr s di n tích hình thang ABCD – di n tích tam giác DEF = 120 – 10 = 110m. r | ∆r | 110 Suy ra l n c a v n t c trung bình: v tb = = = 16,9m/s t 2 − t1 7,5 − 1
Chương 1: NG H C CH T I M 23 §1.3 – GIA T C 1– nh nghiã: Gia t c là i lư ng c trưng cho s bi n thiên c a v n t c, o b ng thương s gi a bi n thiên c a v n t c và kho ng th i gian x y ra s bi n thiên ó (thương s này còn ư c g i là t c bi n thiên c a vectơ v n t c): → → → → ∆ v v− vo Gia t c trung bình: a tb = = (1.19) ∆t t − t0 → → → → ∆v dv d r 2 Gia t c t c th i: a = lim = = 2 (1.20) ∆t → 0 ∆t dt dt Vectơ gia t c t c th i c trưng cho s bi n thiên c a vectơ v n t c t ng th i i m; còn vectơ gia t c trung bình c trưng cho s bi n thiên c a vectơ v n t c trong kho ng th i gian ∆t khá l n. 2 – Bi u th c gi i tích c a vectơ gia t c: Trong h t a Descartes, tương t như vectơ v n t c, ta có: → → → → a = ax. i + a y. j + a z . k = (ax, ay, az) (1.21)  dv x d 2 x  ax = = 2 = x' '  dt dt  dv y d 2 y v i  ay = = 2 = y' ' (1.22)  dt dt  dv z d 2 z  az = = 2 = z' '  dt dt → Suy ra, l n c a vectơ gia t c : a = a = a 2 + a 2 + a 2 x y z (1.23) Ví d 1.5: M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình:  4 3 x = 3t − t 2  3 (SI)  y = 8t  a) Xác nh vectơ gia t c t i th i i m t = 3s. b) Có th i i m nào gia t c tri t tiêu hay không? Gi i a x = x ' ' = 6 − 8t Ta có:  ⇒ a = a 2 + a 2 =| 6 − 8t | a y = y' ' = 0 x y → a) Lúc t = 3s thì : a = (-18; 0) và l n a = 18m/s2.
24 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n b) a = 0 ⇔ 6 − 8t = 0 ⇔ t = 0,75s V y lúc t = 0,75 giây thì gia t c b ng không. 3 – Gia t c ti p tuy n và gia t c pháp tuy n: Trong chuy n ng cong, ngoài bi u th c gi i tích c a vectơ gia t c, ngư i ta còn mô t vectơ gia t c theo thành ph n ti p tuy n và pháp tuy n v i qũi o. Ta bi t vectơ v n t c luôn n m trên ti p tuy n c a qũi o, nên ta có th vi t: → → v = v. τ (1.24) → trong ó τ là vectơ ơn v n m trên ti p tuy n. → → → → d v d(v. τ ) dv → dτ Suy ra: a= = = . τ + v. (1.25) dt dt dt dt → dv → Thành ph n: at = .τ (1.26) dt n m trên ti p tuy n qũi o nên g i là gia t c ti p tuy n. → → → → → d( τ ) 2 → dτ → dτ Vì: τ = 1 ⇒ ( τ ) = 1 ⇒ 2 = 0 ⇒ 2. τ . =0⇒ τ ⊥ dt dt dt → → Mà τ n m trên ti p tuy n nên vectơ τ → dϕ dτ n m trên pháp tuy n c a qũi o. → dt dτ → → → dτ → R τ' Do ó, thành ph n: a n = v. (2.27) τ' dt n m trên pháp tuy n qũi o nên ư c dϕ g i là gia t c pháp tuy n. → → → Hình 1.7: Bi n thiên c a vectơ ơn v M t khác, vectơ d τ = τ' − τ luôn trên ti p tuy n qũi o. hư ng vào b lõm c a qũi o → (hình 1.7), suy ra gia t c pháp tuy n luôn hư ng vào b lõm c a dϕ τ qũi o. → 2 → → ) dτ Do τ = τ' = 1 → → dϕ ds τ' nên d τ = 2.1. = dϕ = → 2 R Hình 1.8: Quan h gi a | d τ | và dϕ. (xem hình 1.7 và 1.8)
Chương 1: NG H C CH T I M 25 → dτ 1 ds v → Suy ra: = = (2.28) at dt R dt R v v2 và a n = v. = , v i R là bán kính → R R → chính khúc c a qũi o. an a Tóm l i: Trong chuy n ng cong, vectơ Hình 1.9: Vectơ gia t c ư c phân → gia t c a ư c phân tích thành hai thành tích làm hai thành ph n: ti p tuy n và pháp tuy n c a qũi o. ph n vuông góc nhau: thành ph n ti p → → tuy n a t và thành ph n pháp tuy n a n . → → → V y ta vi t: a = at + an (1.29) dv v2 trong ó: a t = và a n = (1.30) dt R và l n c a vectơ gia t c là: a = a2 + a2 t n (1.31) Gia t c ti p tuy n c trưng cho s bi n i v l n c a vectơ v n t c; gia t c pháp tuy n c trưng cho s bi n i v phương c a vectơ v n t c. Gia t c ti p tuy n luôn n m trên ti p tuy n qũi o và hư ng theo chi u chuy n ng, n u chuy n ng là nhanh d n và hư ng ngư c chi u chuy n ng, n u chuy n ng là ch m d n; gia t c pháp tuy n luôn n m trên pháp tuy n c a qũi o và hư ng vào b lõm c a qũi o. Trư ng h p c bi t: * an = 0 ; at = 0 : chuy n ng th ng u. * an = 0 ; at = const : chuy n ng th ng bi n i u. * an = const ; at = 0 : chuy n ng tròn u. → → * a t ↑↑ v : chuy n ng nhanh d n. → → * a t ↑↓ v : chuy n ng ch m d n. Ví d 1.7: M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng Oxy v i phương trình:  x = 10 + 50t  (SI)  y = 40t − 5t 2 a) Nh n d ng qũi o. b) Xác nh tung l n nh t mà v t t ư c. c) Xác nh các thành ph n và l n c a vectơ v n t c, gia t c t i th i i m t = 2s. Tính gia t c ti p tuy n, gia t c pháp tuy n và bán kính chính khúc c a qũi o lúc ó.
26 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n Gi i x − 10 a) Ta có: x = 10 +50t ⇒ t = , v i x ≥ 10 (m). 50  x − 10  2 4 1 2 21 41 ⇒ y = ( x − 10) − 5  =− x + x− (m). 5  50  500 25 5 ⇒ Qũi o là m t ph n Parabol v i x ≥ 10 (m). dy b) ymax khi vy = = 40 – 10t = 0 ⇒ t = 4 (s) ⇒ ymax = 40.4 – 5.42 = 80 (m). dt c) Các thành ph n c a vectơ v n t c lúc t = 2 (s): dx dy vx = = 50 (m/s) ; vy = = 40 – 10t = 40 – 10.2 = 20 (m/s). dt dt l n c a vectơ v n t c: v = v 2 + v 2 = 50 2 + 20 2 = 53,8 (m/s). x y Tương t , v i vectơ gia t c, ta cũng có: d2x d2y ax = 2 = 0 (m/s ) ; ay = 2 = −10 (m/s2) ⇒ a = 2 a 2 + a 2 = 10 (m/s2). x y dt dt Gia t c ti p tuy n lúc t = 2 (s): at = dv d = ( 50 2 ) + (40 − 10t ) 2 = − 10(40 − 10 t ) = -3,7 (m/s2). dt dt 50 + (40 − 10t ) 2 2 Gia t c pháp tuy n lúc t = 2(s): a n = a 2 − a 2 = 10 2 − 3,7 2 = 9,3 (m/s2). t v 2 53,8 2 Bán kính chính khúc c a qũi o lúc t = 2(s): R = = = 311 (m). an 9,3 §1.4 – V N T C, GIA T C TRONG CHUY N NG TRÒN Chuy n ng tròn là chuy n ng M có qũi o là m t ư ng tròn. Khi ch t i m chuy n ng tròn quanh tâm O, ta s còn nói: “ch t i m quay quanh i m O”. θ Mo 1–T a góc – góc quay: ϕ ϕo x Trong chuy n ng tròn, v trí c a O ch t i m có th xác nh theo t a góc: → → ϕ = (Ox, r ) = góc nh hư ng gi a tr c → → g c Ox v i vectơ bán kính r = OM Hình 1.10: V trí c a ch t i m M (xem hình 1.10). N u t i th i i m t0 ch t có th xác nh theo góc (cung) ϕ.
Chương 1: NG H C CH T I M 27 i m v trí M0 có t a góc ϕ0 và t i th i i m t, ch t i m v trí M có t a góc ϕ thì góc mà ch t i m ã quay là: θ = ϕ – ϕ0 (1.32) và quãng ư ng mà nó ã i là: s = θ.R (1.33) v i R là bán kính qũi o tròn. mô t tính ch t c a chuy n ng tròn, ta thư ng dùng các i lư ng: → v n t c góc, gia t c góc. Do ó, vectơ v n t c v c a ch t i m trong chuy n ng → tròn còn ư c g i là “v n t c dài”, phân bi t v i v n t c góc ω . 2 – V n t c góc: Khi ch t i m chuy n ng tròn, → → ω vectơ bán kính OM s quay theo và quét ư c m t góc ∆ϕ nào ó. c trưng cho s → M quét nhanh hay ch m c a OM , ta dùng khái O ∆ϕ ni m v n t c góc. V n t c góc là i lư ng c trưng cho s quay nhanh hay ch m c a Mo ch t i m, có giá tr b ng góc mà nó quay Hình 1.11: Vectơ v n t c góc. ư c trong m t ơn v th i gian. ∆ϕ Ta có: - V n t c góc trung bình: ωtb = (1.34) ∆t ∆ϕ dϕ dθ - V n t c góc t c th i: ω = lim = = (1.35) ∆t → 0 ∆t dt dt → V n t c góc cũng là m t i lư ng vectơ. Vectơ ω có: - Phương: vuông góc v i m t ph ng qũi o. - Chi u: tuân theo qui t c inh c: “ t cái inh c vuông góc v i m t ph ng → qũi o, xoay cái inh c theo chi u ω chuy n ng thì chi u ti n c a inh c → → là chi u c a ω ”. → v - l n: b ng o hàm c a góc quay O R theo th i gian. - i m t: t i tâm qũi o. Hình 1.12: Quan h gi a vectơ Trong h SI, ơn v o góc là rad v n t c góc và v n t c dài. (không th nguyên). Do ó, v n t c góc có ơn v là rad/s hay s – 1. * Quan h gi a v n t c dài và v n t c góc: ds dϕ Ta có: ds = Rdϕ suy ra =R hay v = ωR (1.36) dt dt
28 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n → → → Do các vectơ v, ω, R ôi m t vuông góc nhau, nên ta vi t (1.36) dư i d ng tích → → → vectơ: v =[ ω, R ] (1.37) → ω (1.37) là m i liên h gi a vectơ v n t c dài và vectơ v n t c góc. → K t h p (1.30) và (1.36), suy ra, trong β chuy n ng tròn, gia t c pháp tuy n ư c v2 tính b i: a n = = ω2 R (1.38) R Hình 1.13: Quan h gi a vectơ Ví d 1.8: M t v t chuy n ng tròn quanh v n t c góc và gia t c góc khi i mc nh O v i góc quay θ là hàm c a v n ch t i m quay nhanh d n. ωo − ω t c góc ω: θ = . Trong ó ωo và a là a các h ng s dương. Lúc t = 0 thì ω = ωo. Tìm θ(t) và ω(t). Gi i θ dθ dθ dθ t = dt ⇒ ∫ ωo − aθ ∫ Ta có: ω = ωo − aθ = ⇒ = dt dt ωo − aθ 0 0 V y bi u th c tư ng minh c a góc quay và v n t c góc theo th i gian là: ωo θ= (1 − e − at ) và ω = θ ' = ωo e − at a → ω 3 – Gia t c góc: → Tương t như vectơ v n t c v , → vectơ v n t c góc ω cũng có th bi n thiên theo th i gian. c trưng cho s bi n thiên này, ta dùng khái ni m gia t c góc. Gia t c → góc là i lư ng c trưng cho s bi n β thiên c a vectơ v n t c góc, o b ng t c bi n thiên c a vectơ v n t c góc: Hình 1.14: Quan h gi a vectơ → → v n t c góc và gia t c góc khi → ∆ω dω β = lim = (1.39) ch t i m quay ch m d n. ∆t →0 ∆t dt → → → Vì ω có phương không i (luôn vuông góc v i m t ph ng qũi o), nên β // ω . → → → → N u β ↑↑ ω thì ta có chuy n ng tròn nhanh d n (hình 1.13). N u β ↑↓ ω thì ta có chuy n ng tròn ch m d n (hình 1.14).
Chương 1: NG H C CH T I M 29 * Quan h gi a gia t c ti p tuy n và gia t c góc: dv d(ωR ) dω Ta có: at = = = .R = β R (1.40) dt dt dt → → → Vì các vectơ a t , β , R ôi m t vuông góc → nhau nên ta vi t (1.35) dư i d ng tích β → → → vectơ: at = [ β , R ] (1.41) → Công th c (1.41) bi u di n m i quan h → at gi a vectơ gia t c ti p tuy n và vectơ gia R t c góc. Trong h SI, ơn v o gia t c góc Hình 1.15: Quan h gi a vectơ gia là rad/s (hay s – 2). 2 t c ti p tuy n và gia t c góc. Ví d 1.9: M t ch t i m quay tròn quanh m t tr c c nh. Phương trình chuy n ng có d ng: ϕ = bt – ct3, v i b = 6 rad/s; c = 2 rad/s3. Hãy xác nh v n t c góc, gia t c góc lúc t = 0 và lúc ch t i m d ng l i. Tính giá tr trung bình c a v n t c góc, gia t c góc trong kho ng th i gian ó. Gi i Ta có ω = ϕ' = b − 3ct 2 = 6 − 6 t 2 ; β = ω' = −12 t . Lúc t = 0 thì: ωo = 6rad/s; βo = 0 rad/s2. Lúc d ng: ω = 0 ⇒ t = 1s ⇒ β = β1 = -12 rad/s2. 1 1 ∫ ∫ Góc mà ch t i m ã quay: θ = ωdt = (6 − 6 t 2 )dt = 4 (rad) 0 0 θ 4 V n t c góc trung bình: ω tb = = = 4 rad / s ; ∆t 1 ∆ω 0 − 6 Gia t c góc trung bình: β tb = = = −6 (rad/s2). ∆t 1 §1.5 – M T S CHUY N NG ƠN GI N Trên ây là các qui lu t, các tính ch t t ng quát v chuy n ng. m t s i u ki n nh t nh (cũng thư ng g p trên th c t ), các tính ch t y ư c bi u di n tư ng minh theo th i gian b ng các công th c toán h c ơn gi n. Ta g i ó là các chuy n ng ơn gi n. Do ó các phương trình bi u di n tính ch t các chuy n ng ơn gi n dư i ây ch là h qu c a các công th c trên mà thôi. B n c có th t nghi m l i d dàng (n u công th c chưa ư c ch ng minh). 1 – Chuy n ng th ng u: Chuy n ng th ng u là chuy n ng trên ư ng th ng v i v n t c không i.
30 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n → → → → → r → t → → t dr Ta có: v = dt = const ⇒ d r = v dt ⇒ ∫ d r = ∫ v dt = v ∫ dt → to to ro → → → V y: r = r o + v(t − t o ) (1.42) N u ch n tr c Ox trùng v i phương chuy n ng thì ta có: x = xo + v(t – t0) (1.43) Tóm l i, chuy n ng th ng u có các tính ch t: → • Gia t c: a = 0 (1.44) → → • V n t c: v = const (1.45) • Quãng ư ng : s = v(t – to) = vt (n u ch n t0 = 0) (1.46) • T a : x = x0 + v (t – t0) ho c x = x0 + vt (n u t0 = 0) (1.47) Phương trình (1.47) là phương trình chuy n ng c a chuy n ng th ng u, trong ó, xo là to ban u c a v t, v là hình chi u c a vectơ v n t c lên tr c Ox ; khi v t i theo chi u dương c a tr c Ox thì v > 0, trái l i v < 0. Trong (1.46) thì v là l n v n t c hay t c c a v t. Ví d 1.10: Lúc 6 gi , m t ôtô kh i hành t A chuy n ng th ng u v B v i v n t c 40 km/h. Lúc 7 gi , m t môtô chuy n ng th ng u t B v A v i v n t c 50km/h. Bi t kho ng cách AB = 220km. a) Vi t phương trình chuy n ng c a 2 xe. b) Xác nh v trí và th i i m 2 xe g p nhau. c) Xác nh th i i m 2 xe cách nhau 60km. Gi i v1 = 40km/h v2 = 50km/h 6h 7h A 220km B x 0 a) Ch n tr c t a Ox trùng v i AB, g c t a t i A, chi u dương hư ng v B; g c th i gian lúc 6 gi . Ta có phương trình chuy n ng c a: Xe ôtô: x1 = x01 + v1 (t – t01) = 0 + 40(t – 0) = 40t ( ơn v c a t: gi ; x: km) Xe môtô: x2 = x02 + v2 (t – t02) = 220 – 50 (t – 1) = 270 – 50t (gi ; km). b) Khi g p nhau: x1 = x2 ⇒ t = 3 gi . V y hai xe g p nhau lúc 9 gi . V i t = 3 ⇒ x1 = x2 = 120km. V y ch g p nhau cách A 120km. c) Hai xe cách nhau 60km ⇒ | x1 – x2 | = 60 ⇒ | 90t – 270| = 60.
Chương 1: NG H C CH T I M 31 ⇒ t = 2h 20’ ho c t = 3h 40’. V y hai xe cách nhau 60km t i các th i i m: 8h 20’ và 9h 40’. 2 – Chuy n ng th ng bi n i u : Chuy n ng th ng bi n i u là chuy n ng trên ư ng th ng v i gia → → t c không i ( a = const ). → → → V i i u ki n ó thì: v = v o + a (t − t o ) (1.48) → → → → → 1→ d r = v dt ⇒ r = r o + v o .( t − t o ) + a (t − t o ) 2 (1.49) 2 Phương trình (1.48) và (1.49) là phương trình v n t c và phương trình chuy n ng t ng quát c a chuy n ng th ng bi n i u. N u ch n tr c Ox trùng (ho c song song) v i qũi o và g c th i gian là lúc b t u kh o sát chuy n ng thì các phương trình c a chuy n ng th ng bi n i u có d ng: • Gia t c: a = const (1.50) • V n t c: v = v0 + at (1.51) 1 2 • T a : x = x o + vo t + at (1.52) 2 • Công th c c l p th i gian: v2 – vo2 = 2a(x – xo) (1.53) Công th c (1.53) thu ư c b ng cách kh tham s t trong (1.51) và (1.52). Trong → → công th c (1.51) và (1.52), các giá tr v, vo , a là hình chi u c a các vectơ v , v o , → a lên tr c Ox. Chúng có giá tr dương hay âm tùy theo các vectơ tương ng c a chúng cùng chi u hay ngư c chi u dương c a tr c Ox. Căn c vào các giá tr i s a và v ta s suy ra tinh ch t c a chuy n ng, c th : N u a và v là hai s cùng → → d u ( a ↑↑ v ) thì chuy n ng là nhanh d n; N u a và v là hai s trái d u → → ( a ↑↓ v ) thì chuy n ng là ch m d n. Trư ng h p ch t i m ch chuy n ng theo m t chi u duy nh t, ta ch n chi u ó là chi u dương c a tr c Ox, khi ó, ngoài các phương trình t (1.50) n (1.53), ta còn có: 1 2 • ư ng i: s = x – xo = vo t + at (1.54) 2 • v2 – vo2 = 2as (1.53a) Trong (1.54) và (1.53a), giá tr vo và v luôn dương; còn giá tr a > 0 n u chuy n ng là nhanh d n và a < 0 n u ch m d n.
32 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n Ví d 1.11: M t xe ua b t u chuy n ng th ng nhanh d n u t O, l n lư t i qua hai i m A và B. Bi t AB = 20m, th i gian xe i t A n B là 2 giây và v n t c c a xe khi qua B là vB = 12 m/s. Tính: a) V n t c c a xe khi qua A. b) Kho ng cách t nơi xu t phát n A. c) T c trung bình trên các quãng ư ng AB, OA, OB. Gi i vB = 12 m/s a) Ch n chi u dương t O 20m n B. Áp d ng công th c ư ng O A 2s B i (1.54), ta có: 1 2 1 2 OA = v 0 t 1 + at 1 = at 1 (v0 = 0; t1 là th i gian i t O n A) 2 2 1 1 OB = v 0 ( t 1 + 2) + a ( t 1 + 2) 2 = a ( t 1 + 2) 2 2 2 1 1 2 Mà OB – OA = AB = 20 m ⇒ a ( t 1 + 2) 2 − at 1 = 20 ⇒ at1 + a = 10 (*) 2 2 M t khác: vB = vo + a(t1 + 2) ⇒ 12 = a(t1 + 2) (**) T (*) và (**) ⇒ a = 2 m/s2; t1 = 4s ⇒ vA = v0 + at1 = 8m/s. 1 2 b) OA = at 1 = 16m 2 AB 20 c) T c trung bình trên o n AB: v tb / AB = = = 10m / s t 2 OA T c trung bình trên o n OA: v tb / OA = = 4m / s t1 OB T c trung bình trên o n OB: v tb / OB = = 6m / s . t1 + 2 3 – Rơi t do: S rơi tư do là s rơi c a các v t trong chân không, ch dư i tác d ng c a tr ng l c. Các v t rơi trong không khí mà hàng ngày chúng ta quan sát ư c có th xem như rơi t do – n u b qua nh hư ng c a không khí. V i quãng ư ng rơi không quá l n thì m i v t u rơi theo phương th ng ng v i cùng m t gia t c a = g ≈ 10 m/s2 (g i là gia t c rơi t do). Do ó, các phương trình v chuy n ng rơi t do là h qu c a các phương trình chuy n ng th ng bi n i u. M t khác, v n t c u c a v t rơi là b ng không, nên ta có: 1 2 • Quãng ư ng i tính n th i i m t: s= gt (1.55) 2 • V n t c t i th i i m t: v = gt (1.56)
Chương 1: NG H C CH T I M 33 2h • Th i gian rơi: trơi = (1.57) g • V n t c ngay trư c lúc ch m t: v = 2gh (1.58) Trong ó, h là cao ban u c a v t. Ví d 1.12: Th m t v t t nh tòa tháp cao 20m thì sau bao lâu nó ch m t? Lúc ch m t, v n t c c a v t là bao nhiêu? B qua s c c n không khí. Gi i 2h 2.20 Th i gian rơi : t = = = 2s g 10 V n t c khi ch m t: v= 2gh = 2.10.20 = 20m / s . 4 – Chuy n ng tròn u: Chuy n ng tròn u là chuy n ng trên ư ng tròn, v i v n t c góc không i. Tương t như chuy n ng th ng u, trong chuy n ng tròn u, ta có các phương trình: • Gia t c góc: β = 0 (1.59) • V n t c góc ω = const. (1.60) r N • T a góc: ϕ = ϕ0 + ωt (1.61) • Góc quay: θ = ωt (1.62) ϕ R M Chuy n ng tròn u có tính tu n hoàn v i chu kì (kho ng th i gian ch t i m quay h t m t 2πR 2π vòng): T = = (1.63) v ω và t n s (là s vòng quay ư c trong m t giây): 1 ω f= = (1.64) T 2π Trong h SI, chu kỳ có ơn v là giây (s); t n s có ơn v là Hertz (Hz). Ví d 1.13: Trái t quay quanh tr c c a nó v i chu kỳ 24 gi . Hãy tính v n t c góc, v n t c dài c a m t i m xích o và i m n m vĩ 60o, bi t bán kính Trái t là R = 6400 km. Gi i 2π 2.3,14 V n t c góc c a Trái t: ω = = = 7,3.10 – 5 rad/s T 24.3600 V n t c dài c a i m M trên xích o: v1 = ωR = 7,3.10-5. 6400.103 = 466m/s V n t c dài c a i m N vĩ ϕ = 600: v2 = ωr = ωRcosϕ = 233m/s.
34 Giáo Trình V t Lý i Cương – T p 1: Cơ – Nhi t – i n 5 – Chuy n ng tròn bi n i u: Chuy n ng tròn bi n i u là chuy n ng trên ư ng tròn v i gia t c góc không i. Tương t như chuy n ng th ng bi n i u, ta có các phương trình: • Gia t c góc: β = const (1.65) • V n t c góc: ω = ωo + βt . (1.66) 1 • T a góc: ϕ = ϕ o + ωo t + βt 2 (1.67) 2 1 • Góc quay: θ = ωo t + βt 2 (1.68) 2 • Công th c c l p v i th i gian: ω2 – ωo2 = 2βθ (1.69) Ví d 1.14: M t môtơ ang quay v i v n t c 480 vòng/phút thì b ng t i n. Nó quay ch m d n u, sau ó 2 phút, v n t c còn 60 vòng/phút. Tính gia t c góc, s vòng quay và th i gian quay k t lúc ng t i n n lúc ng ng l i. Gi i Ta có ω0 = 480 vòng/phút = 8 vòng/giây = 16π rad/s ω1 = 60 vòng/ phút = 1 vòng/giây = 2π rad/s; t1 = 2phút = 120s. ω1 − ω0 7π ⇒ Gia t c góc: β = =− (rad/s2) t1 60 ω0 960 Mà ω = ω0 + βt; khi d ng ω = 0 ⇒ t = − = ≈ 137,1(s) . β 7 V y th i gian quay là t = 137,1(s). 1 2 1 7π Góc quay: θ = ω o t + βt = 16π.137,1 + (− ).137,12 = 1097π (rad) 2 2 60 θ S vòng quay: N = = 548,5 vòng. 2π 6 – Chuy n ng ném xiên: Chuy n ng ném y xiên là m t d ng chuy n ymax → ng dư i tác d ng c a → vo tr ng l c. ây là m t v 0y chuy n ng thư ng g p trong cu c s ng, ó, v t )α x ư c ném lên v i v n t c O → xmax → u vo t o v i phương v 0x ngang m t góc α. Hình 1.16: Chuy n ng ném xiên.