Chương 2: Số phức và biến phức trong lượng giác

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

184
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhìn chung có rất nhiều bất đẳng thức nhận được từ các đồng nhất phức. Vì vậy, việc thiết lập được các đồng nhất thức được coi như một phương pháp hữu hiệu để sáng tác và chứng minh bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Số phức và biến phức trong lượng giác

52 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác Khi đó, theo Đ nh lí đ o v d u c a tam th c b c hai thì ak ak β− −α 0, bk bk hay a2 + αβb2 k k (α + β)ak bk , k = 1, 2, . . . , n. T đây suy ra n n n a2 k + αβ b2 k (α + β) ak bk . k=1 k=1 k=1 Theo b t đ ng th c Cauchy, thì 1 1 n 2 n 2 n n 1 a2 k αβ b2 k a2 + αβ k b2 k . 2 k=1 k=1 k=1 k=1 V y nên 1 1 n 2 n 2 n 1 a2 k αβ b2 k (α + β) ak bk . 2 k=1 k=1 k=1 T đây, ta thu đư c b t đ ng th c đ o Cauchy. Đ nh lý 2.1. Gi s ta có b n c p s dương (ak ; bk ) sao cho ak ∈ [α; β], α > 0, k = 1, 2, . . . , n. bk Khi đó 1 1 n 2 n 2 n A a2 k b2 k ak bk , k=1 k=1 G k=1 trong đó α+β A= , G= αβ. 2 Nhìn chung, có r t nhi u b t đ ng th c nh n đư c t các đ ng nh t th c. Vì v y, vi c thi t l p đư c các đ ng nh t th c đư c coi như m t phương pháp h u hi u đ sáng tác và ch ng minh b t đ ng th c.
2.3. D ng ph c c a b t đ ng th c Cauchy 53 Ví d 2.25. Ch ng minh r ng v i m i b ba s (x; y; z), ta luôn có đ ng th c sau (2x + 2y − z)2 + (2y + 2z − x)2 + (2z + 2x − y)2 = 9(x2 + y 2 + z 2 ). Hãy t ng quát hoá? Ví d 2.26. Ch ng minh r ng v i m i b b n s (x; y; z; t), ta luôn có đ ng th c sau (x+y+z−t)2+(y+z+t−x)2+(z+t+x−y)2 +(t+x+y−z)2 = 4(x2 +y 2 +z 2 +t2 ). Hãy t ng quát hoá? Ví d 2.27. Ch ng minh r ng v i m i b s (uk ; vk ; pk ), ta luôn có đ ng th c sau n n n (uk vj + uj vk )pj pk = 2 uk pk vk pk . j,k=1 k=1 k=1 Ví d 2.28. Ch ng minh r ng v i m i b s (uk ; vk ; pk ), ta luôn có đ ng th c sau n n (uj vj + uk vk )pj pk = 2 uk vk pk . j,k=1 k=1 Ti p theo, ta xét m t s m r ng khác (d ng ph c) c a b t đ ng th c Cauchy. Đ nh lý 2.2 (N.G.de Bruijn). V i b s th c a1, . . . , an và b s ph c (ho c th c) z1, . . . , zn , ta đ u có n n n n 2 1 2 2 ak zk |zk | + zk a2 k . 2 k=1 k=1 k=1 k=1 Đ ng th c x y ra khi và ch khi ak = Re (λzk ) (k = 1, . . . , n), trong đó λ là s n ph c và λ2 zk là s th c không âm. 2 k=1
54 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác Ch ng minh. B ng cách th c hi n đ ng th i phép quay quanh g c to đ đ i v i các zk cùng m t góc, ta thu đư c n ak zk 0. k=1 Rõ ràng phép quay này không nh hư ng đ n giá tr c a modul các s . n n 2 ak zk , zk , |zk | (k = 1, . . . , n). k=1 k=1 V y ch c n ch ng minh cho trư ng h p n ak zk 0. k=1 N u ta đ t zk = xk + iyk (k = 1, . . . , n), thì n 2 n 2 n n ak zk = ak xk a2 k x2 k . k=1 k=1 k=1 k=1 Vì 2x2 = |zk |2 + Re zk , k 2 ta nh n đư c n n n n 2 1 ak zk a2 k 2 |zk | + 2 Re zk . k=1 2 k=1 k=1 k=1 T b t đ ng th c này và n n n 2 2 2 Re zk = Re zk zk k=1 k=1 k=1 ta thu đư c đi u c n ch ng minh. 2.4 T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác Ví d 2.29. Tính t ng n cos(kx). k=0
2.4. T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác 55 L i gi i. Xét các t ng A = cos x + cos 2x + · · · + cos nx, B = sin x + sin 2x + · · · + sin nx. Ta có 1 + A + iB = 1 + (cos x + i sin x) + (cos 2x + i sin 2x) + · · · + (cos nx + i sin nx) = 1 + (cos x + i sin x) + (cos x + i sin x)2 + · · · + (cos x + i sin x)n 1 − (cos x + i sin x)n+1 1 − cos(n + 1)x + i sin(n + 1)x = 1 − (cos x + i sin x) 1 − cos x − i sin x 2 sin2 n+1 2 x − 2i sin n+1 x cos n+1 x 2 2 sin n+1 x sin n+1 x − i cos n+1 x 2 2 2 = = 2 sin2 x − 2i sin x cos x 2 2 2 sin x 2 sin x − i cos x 2 2 n+1 sin 2 x n+1 n+1 x x = x sin x − i cos x sin + i cos sin 2 2 2 2 2 n+1 n+1 n sin 2 x n n sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin n x n+1 2 = cos x + i sin x = +i · sin x 2 2 2 sin x 2 sin x2 Vy sin n+1 x cos n x 2 2 A= − 1. sin x 2 Ví d 2.30. Rút g n π 2π (m − 1)π A = sin sin · · · sin 2m 2m 2m v i m ∈ N∗ . L i gi i. Xét phương trình x2m − 1 = 0. Phương trình này có nghi m th c x = ±1 và (2m − 2) nghi m ph c. G i xk là nghi m ph c c a phương trình v i 2kπ 2kπ k = 1, 2, . . . , 2m − 2, t c xk = cos + i sin . 2m 2m 2kπ 2kπ Nh n xét r ng x2m−k = cos − i sin = xk , k = 1, 2, . . . , m − 1. 2m 2m V y nên m−1 2m 2 2kπ x − 1 = (x − 1) (x2 − 2x cos + 1). 2m k=1
56 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác Do đó m−1 x2m − 1 2kπ = (x2 − 2x cos + 1). x2 − 1 k=1 2m Cho x → 0, ta thu đư c m−1 m−1 kπ m=2 sin2 = 22(m−1) A2. 2m k=1 √ m V y A= · 2m−1 2.4.1 Ch ng minh công th c lư ng giác π 2π 4π Ví d 2.31. Cho tam giác ABC có A = ,B= ,C = . Ch ng minh 7 7 7 r ng √ (i) OH = OIa = R 2; (ii) R = 2ra ; (iii) a2 + b2 + c2 = 7R2 . π 2π 4π L i gi i. Ta có a = 2R sin , b = 2R sin , c = 2R sin . 7 7 7 Ti p theo ta tính OH. π 2π 4π OH 2 = 9R2 − (a2 + b2 + c2) = 9R2 − 4R2 sin2 + sin2 + sin2 7 7 7 3 1 2π 4π 8π = 9R2 − 4R2 − cos + cos + cos 2 2 7 7 7 3 1 π 3π 5π = 9R2 − 4R2 + cos + cos + cos . 2 2 7 7 7 π π Xét z = cos + i sin , ta thu đư c 7 7 z7 − z −1 − z 1 z + z3 + z5 = 2−1 = 2 = · z z −1 1−z Tách ph n th c hai v , ta đư c π 3π 5π 1 cos + cos + cos = · 7 7 7 2
2.4. T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác 57 √ V y nên OH 2 = 9R2 − 7R2 = 2R2 hay OH = OIa = R 2. Ti p theo, tính OIa . Ta có π 2π 4π abc sin sin sin OIa = R2 + 2 = R2 + 4R2 7 7 7 · b+c−a 4π 2π π sin + sin − sin 7 7 7 Do 4π 2π π 3π 5π π 7π sin + sin − sin = sin + sin − sin + sin 7 7 7 7 7 7 7 4π π 4π 3π π 2π 4π 2 sin cos − 2 sin cos = 4 sin sin sin , 7 7 7 7 7 7 7 2 2 2 2 √ nên OIa = R + R = 2R hay OIa = R 2. abc S Ta s d ng các công th c R = , ra = , suy ra 4S p−a abc abc R2 Rra = = = 4(p − a) 2(b + c − a) 2 hay R = 2ra . Ti p theo, theo câu (i) ta có π 2π 4π 7 a2 + b2 + c2 = 4R2 sin2 + sin2 + sin2 = 4R2 = 7R2 . 7 7 7 4 Ví d 2.32. Ch ng minh r ng m 22m cos2m x = k C2m cos 2(m − k)x. k=0 ix −ix e +e L i gi i. Ta có cos x = · Do đó 2 22m cos2m x = (eix + e−ix )2m 2m 2m = C2m (eix )k (e−ix )2m−k = k C2m e2(k−m)ix k k=0 k=0 m−1 2m = C2m e2(k−m)ix + k C2m e2(k−m)ix + C2m k m k=0 k=m+1 m−1 m k m k = C2m cos 2(m − k)x + C2m cos 2(m − m)x = C2m cos 2(m − k)x. k=0 k=0
58 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác Ví d 2.33. Cho c p s c ng {an } v i công sai d. Tính các t ng n n Sn = sin ak , Tn = cos ak . k=1 k=1 L i gi i. - N u d = 2kπ (k ∈ Z) thì Sn = n sin a1 ; d - N u d = 2kπ (k ∈ Z) thì sin = 0. ta có 2 d d 2 sin an sin = 2 sin[a1 + (n − 1)d] sin 2 2 3 1 = cos a1 + n − d − cos a1 + n − d . 2 2 3 Xét g(n) = cos a1 + n − d , ta có 2 d 2 sin an . sin = g(n) − g(n + 1). 2 Vy  2 sin a . sin d = g(1) − g(2),    1 2    d 2 sin a2. sin = g(2) − g(3), . . . . . . . . . 2      2 sin an . sin d = g(n) − g(n + 1). 2 C ng các đ ng nh t th c theo v , ta đư c d d 1 2Sn sin = g(1) − g(n + 1) = cos a1 − − cos a1 + n − d 2 2 2 n−1 n = −2 sin a1 + d sin − d . 2 2 Do đó n−1 n sin a1 + d sin d 2 2 Sn = . d sin 2 Theo cách gi i như trên, ta thu đư c • N u d = 2kπ (k ∈ Z) thì Tn = n cos a1 ;
2.4. T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác 59 • N u d = 2kπ (k ∈ Z) thì n−1 n cos a1 + d sin d 2 2 Tn = . d sin 2 Chú ý 2.1. Như v y, v i m i m t c p s c ng, ta tìm đư c m t công th c tính t ng tương ng. Ch ng h n, v i x = lπ (l ∈ Z) ta có n Tn = cos(2k − 1)x k=1 n−1 n cos x + .2x . sin .2x 2 2 cos nx. sin nx sin 2nx = = = . 2x sin x 2 sin x sin 2 Nh n xét r ng, v i nh ng giá tr c a x sao cho sin 2nx = sin x (sin x = 0) thì 1 ta luôn có Tn = . T đó, ta thu đư c m t s k t qu sau : 2 π V i n = 2, ch n x = , ta có 5 π 3π 1 cos + cos = . 5 5 2 π V i n = 3, ch n x = , ta có 7 π 3π 5π 1 cos + cos + cos = . 7 7 7 2 π V i n = 4, ch n x = , ta có 9 π 3π 5π 7π 1 cos + cos + cos + cos = . 9 9 9 9 2 Ví d 2.34. Tính t ng n n Sn = k sin kx, Tn = k cos kx v i x = 2kπ (l ∈ Z). k=1 k=1
60 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác L i gi i. Trư c h t, ta nh c l i r ng (Bài toán 2.40) n+1 n n sin x sin x 2 2 sin kx = x ; k=1 sin 2 n+1 n n cos x sin x 2 2 cos kx = x . k=1 sin 2 Ta có n n n Sn = k. sin kx = [−(cos kx) ] = − cos kx k=1 k=1 k=1 n n n Tn = k cos kx = [(sin kx) ] = sin kx . k=1 k=1 k=1 T đó suy ra các công th c c n tìm. Ví d 2.35. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n đ u t n t i đa th c P (x) b c n tho mãn h th c sin(n + 1)t = sin t · P (cos t) ∀t ∈ R. (2.4) Tính t ng các h s c a đa th c này. L i gi i. Ta ch ng minh b ng quy n p theo n d a vào h th c truy toán sin(n + 1)x − sin(n − 1)x = 2 cos nx sin x. Đ ý r ng, t ng các h s c a P (x) b ng P (1). L y đ o hàm hai v c a (2.4) ta đư c (n + 1) cos(n + 1)t = cos t · P (cos t) + sin t · P (cos t)(− sin t). Vì khi cos x = 1 thì sin x = 0 và cos mx = 1 v i m i m ∈ N nên P (1) = n + 1.
2.4. T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác 61 Ví d 2.36. Tính t ng n x Sn = 3k−1 . sin3 . 3k k=1 L i gi i. Xu t phát t h th c 1 sin3 a = (3 sin a − sin 3a), 4 ta tính đư c 1 n x Sn = 3 . sin n − sin x . 4 3 Ví d 2.37. Tính t ng n 2k Sn = arctan . k=1 2 + k2 + k4 L i gi i. Đ t 1 + n2 + n4 = −xy, 2n = x + y. Khi đó x = n2 + n + 1, y = −(n2 − n + 1). Ta có 2n x+y arctan = arctan = arctan x + arctan y 2 + n2 + n4 1 − xy = arctan(n2 + n + 1) − arctan(n2 − n + 1), vì xy < 1. Vy Sn = arctan 3 − arctan 1 + arctan 7 − arctan 3 + · · · + arctan(n2 + n + 1) − arctan(n2 − n + 1) π = arctan(n2 + n + 1) − . 4 Ví d 2.38. Cho c p s c ng {an } v i công sai d. Tính t ng n Sn = k sin ak . k=1
62 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác n L i gi i. Xét Bn = sin ak . Ta có k=1 n−1 n−1 Sn = [k − (k + 1)]Bk + n.Bn = − Bk + n.Bn k=1 k=1 Ta có • N u d = 2kπ (k ∈ Z), thì n(n − 1) Sn = sin a1. 2 • N u d = 2kπ (k ∈ Z) thì n−1 cos a − d −cos a + k− 1 d ( 1 2) [ 1 ( 2) ] Sn = − 2 sin d k=1 2 n sin(a1 + n−1 d) sin( n d) 2 2 + sin d 2 n−1 n−1 1 d 1 = − 2 sin d cos a1 − 2 − cos a1 + k − 2 d 2 k=1 k=1 n−1 n −2n sin a1 + d . sin d 2 2 n−1 1 d 1 =− (n − 1) cos a1 − − cos a1 + k − d d 2 2 sin k=1 2 n−1 n −2n sin a1 + d sin d , 2 2 trong đó d n−2 n−1 n−1 + d sin cos a1 − d d 2 2 2 cos a1 − + kd = . 2 d k=1 sin 2 Nh n xét 2.1. Tương t ta cũng tính đư c các t ng n n n Tn = k cos ak , Un = ak sin bk , Vn = ak cos bk . k=1 k=1 k=1 trong đó {an } và {bn } là hai c p s c ng. Ví d 2.39. Tính t ng n n k Sn = q sin(α + kβ), Tn = q k cos(α + kβ), k=1 k=1
2.4. T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác 63 trong đó q, α, β là các s th c cho trư c. L i gi i. Ta có Tn + iSn = (cos α + i sin α) + q[cos(α + β) + i sin(α + β)] + · · · + q n [cos(α + nβ) + i sin(α + nβ)] = (cos α + i sin α)[1 + q(cos β + i. sin β) + · · · + q n (cos nβ + i. sin nβ)] = (cos α + i sin α)[1 + q + · · · + (q )n], v i = cos β + i sin β. T đó suy ra (q )n+1 − 1 Tn + iSn = (cos α + i sin α) q −1 n+1 ((q ) − 1)(q − 1) = (cos α + i sin α) (q − 1)(q − 1) n+2 q [cos(nβ + α) + i. sin(nβ + α)] − q[cos(nβ − α) + i. sin(nβ − α)] = 1 − 2q cos β + q 2 −q n+1 {cos[(n + 1)β + α] + i. sin[(n + 1)β + α]} + cos α + i. sin α + 1 − 2q cos β + q 2 cos α − q cos(nβ − α) − q n+1 cos[(n + 1)β + α] + q n+2 cos(nβ + α) = 1 − 2q cos β + q 2 sin α − q sin(nβ − α) − q n+1 sin[(n + 1)β + α] + q n+2 sin(nβ + α) +i . 1 − 2q cos β + q 2 Vy sin α − q sin(nβ − α) − q n+1 sin[(n + 1)β + α] + q n+2 sin(nβ + α) Sn = 1 − 2q cos β + q 2 và cos α − q cos(nβ − α) − q n+1 cos[(n + 1)β + α] + q n+2 cos(nβ + α) Tn = . 1 − 2q cos β + q 2 Nh n xét 2.2. B ng phương pháp tương t , ta tính đư c các t ng sau : n i) Vn = ak sin(α + kβ), k=1
64 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác n ii) Un = ak cos(α + kβ), k=1 n n iii) wn = ak sin bk , Rn = ak cos bk , k=1 k=1 trong đó {an } là c p s nhân v i công b i q = 1 và {bn } là c p s c ng v i công sai d. 2.4.2 T ng và tích các phân th c c a bi u th c lư ng giác Chú ý r ng, trong m t s trư ng h p, đ tính t ng h u h n các phân th c lư ng giác, ngư i ta thư ng s d ng m t s tính ch t c a đa th c, đ c bi t là công th c n i suy Lagrange. Dư i đây là m t s đ nh lí và áp d ng. Đ nh lý 2.3 (Công th c n i suy Lagrange). N u x1 , x2, . . . , xm là m giá tr tuỳ ý đôi m t khác nhau và f (x) là đa th c b c nh hơn m thì ta có đ ng nh t th c (x − x2)(x − x3) . . . (x − xm ) f (x) = f (x1 ) (x1 − x2)(x1 − x3) . . . (x1 − xm ) (x − x1)(x − x3) . . . (x − xm ) + f (x2 ) + ··· (x2 − x1)(x2 − x3) . . . (x2 − xm ) (x − x1)(x − x2) . . . (x − xm−1 ) + f (xm ) . (xm − x1 )(xm − x2 ) . . . (xm − xm−1 ) Ch ng minh. Ta c n ch ng minh (x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xm ) f (x) − f (x1 ) (x1 − x2 )(x1 − x3) . . . (x1 − xm ) (x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xm ) − f (x2 ) −··· (x2 − x1 )(x2 − x3) . . . (x2 − xm ) (x − x1)(x − x2) . . . (x − xm−1 ) − f (xm ) ≡ 0. (xm − x1 )(xm − x2) . . . (xm − xm−1 ) V trái c a đ ng th c là m t đa th c b c không vư t quá m − 1 và có m nghi m x1 , x2, . . . , xm . V y đa th c đó đ ng nh t b ng 0. T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.
2.4. T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác 65 H qu 2.2. √ có các đ ng nh t th c sau đây : √ Ta √ √ √ √ (x − 3)(x − 5)(x − 7) (x − 2)(x − 5)(x − 7) i) √ √ √ √ √ √ + √ √ √ √ √ √ ( 2 − 3)( 2 − 5)( 2 − 7) ( 3 − 2)( 3 − 5)( 3 − 7) √ √ √ √ √ √ (x − 2)(x − 3)(x − 7) (x − 2)(x − 3)(x − 5) + √ √ √ √ √ √ + √ √ √ √ √ √ ≡ 1, ( 5 − 2)( 5 − 3)( 5 − 7) ( 7 − 2)( 7 − 3)( 7 − 5) (x − b)(x − c) (x − c)(x − a) (x − a)(x − b) ii) a2 · + b2 · + c2 · = x2 . (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Đ nh lý 2.4. N u f (x) là đa th c b c không vư t quá m−2 và x1, x2, . . . , xm là m giá tr đôi m t khác nhau tuỳ ý, thì ta có đ ng nh t th c f (x1 ) f (x2 ) + (x1 − x2 )(x1 − x3) . . . (x1 − xm ) (x2 − x1)(x2 − x3) . . . (x2 − xm ) f (xm ) +··· + = 0. (xm − x1)(xm − x2) . . . (xm − xm−1 ) Ch ng minh. V trái c a đ ng th c chính là h s c a h ng t b c m − 1 trong đa th c f (x) đã cho. Đ ng nh t các h s c a các lũy th a cùng b c ta có ngay đi u ph i ch ng minh. Ví d 2.40. Tính t ng cos 1o cos 2o S= + (cos 1o − cos 2o )(cos 1o − cos 3o ) (cos 2o − cos 1o )(cos 2o − cos 3o ) cos 3o + . (cos 3o − cos 1o )(cos 3o − cos 2o ) L i gi i. S d ng Đ nh lí 1, v i f (x) = x, x1 = cos 1o , x2 = cos 2o , x3 = cos 3o thì S = 0. Ví d 2.41. Cho c p s c ng {an } v i công sai d, v i d, a1, a2, . . . , an khác b i c a π. Tính t ng n 1 Sn = . k=1 sin ak sin ak+1
66 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác L i gi i. Ta có sin(an+1 − an ) sin d cot an − cot an+1 = = . sin an sin an+1 sin an sin an+1 Suy ra 1 1 = (cot an − cot an+1 ). sin an sin an+1 sin d Vy 1 Sn = (cot a1 − cot a2 + cot a2 − cot a3 + . . . + cot an − cot an+1 ) sin d 1 1 sin(an+1 − a1) = (cot a1 − cot an+1 ) = · sin d sin d sin a1 sin an+1 1 sin nd = · . sin d sin a1 sin(a1 + nd) Vy sin nd Sn = . sin d sin a1 sin(a1 + nd) Ví d 2.42. Cho c p s c ng {an } v i công sai d, trong đó d = lπ ; a1 , a2, . . . , an = π + lπ (l ∈ Z). Tính t ng 2 n 1 Tn = · k=1 cos ak cos ak+1 L i gi i. Ta có sin(an+1 − an ) sin d tan an+1 − tan an = = . cos an cos an+1 cos an cos an+1 Suy ra 1 1 =− (tan an − tan an+1 ). cos ak cos ak+1 sin d Vy 1 Tn = (− tan a1 + tan a2 − tan a2 + tan a3 − . . . − tan an + tan an+1 ) sin d 1 = (− tan a1 + tan an+1 ). sin d
2.4. T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác 67 Ví d 2.43. Tính t ng n x x Sn = 2k−1 tan2 k tan k−1 · k=1 2 2 L i gi i. Ta có 2 tan a tan 2a = . 1 − tan2 a Suy ra tan2 a tan 2a = tan 2a − 2 tan a. Vy x x x x x x Sn = 20 tan2 1 tan 0 + 21 tan2 2 tan 1 + · · · + 2n−1 tan2 n tan n−1 2 2 2 2 2 2 0 x x 1 x x n−1 x x = 2 tan 0 − 2 tan 1 + 2 tan 1 − 2 tan 2 + · · · + 2 tan n−1 − 2 tan n 2 2 2 2 2 2 n x = tan x − 2 tan n . 2 Ví d 2.44. Tính t ng n 1 x Tn = tan . k=1 2k−1 2k −1 L i gi i. Ta có tan a = cot a − 2 cot 2a. Suy ra tan2 a. tan 2a = tan 2a − 2 tan a. Vy x x x x x x Tn = 20 tan2 tan 0 + 21 tan2 2 tan 1 + · · · + 2n−1 tan2 n tan n−1 21 2 2 2 2 2 x x x x x x = 20 tan 0 − 2 tan 1 + 21 tan 1 − 2 tan 2 + · · · + 2n−1 tan n−1 − 2 tan n 2 2 2 2 2 2 n x = tan x − 2 tan n . 2
68 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác 2.5 B t đ ng th c lư ng giác Trong ph n này, ta xét m t s b t đ ng th c liên quan đ n bi u th c (hàm s ) lư ng giác. Ví d 2.45. Ch ng minh r ng t p giá tr c a m i đa th c lư ng giác b c n (n 1), không ch a s h ng t do (t c a0 = 0) An (x) = a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx v i a2 + b2 > 0 n n ch a c giá tr dương và giá tr âm. L i gi i. Vì a2 + b2 > 0 nên t n t i m t giá tr x0 sao cho An (x0 ) = 0. n n M t khác v i x = x0 ta đư c (xem m c 1.1 Chương 1) 2π 2nπ An (x0 ) + An x0 + + · · · + An x0 + = 0. n+1 n+1 Do An (x0) = 0 nên t ng trên ph i ch a ít nh t m t s h ng dương và m t s h ng âm. H qu 2.3. T p giá tr c a m i đa th c lư ng giác b c n (n 1) d ng An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx (a2 + b2 > 0) n n ch a c giá tr l n hơn a0 và giá tr nh hơn a0. H qu 2.4. M i đa th c lư ng giác b c n (n 1), không ch a s h ng t do An (x) = a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx luôn có ít nh t m t nghi m th c. Ch ng minh. Ta th y An (x) luôn nh n c giá tr dương và giá tr âm. Hơn n a, An (x) là m t hàm s liên t c trên R. T đó suy ra t n t i ít nh t m t giá tr x0 đ An (x0) = 0.
2.5. B t đ ng th c lư ng giác 69 π Ví d 2.46. V i n là m t s t nhiên và x ∈ 0; . 2(n + 1) Ch ng minh r ng (1 − cosn x)(1 + cosn x) < tan nx tan x. (2.5) π L i gi i. T 0 < x(n + 1) < , suy ra 2 π π 0 < nx < , 0 0, cos x > 0. 2 2 Ta có (1 − cosn x)(1 + cosn x) < tan nx tan x sin nx sin x (2.5) ⇔ 1 − cos2n x < , cos nx cos x hay cos(n + 1)x < cos2n+1 x cos nx. (2.6) D dàng ch ng minh đư c (2.6) b ng phương pháp quy n p theo n. Vy π (1 − cosn x)(1 + cosn x) < tan nx tan x v i x ∈ 0; , n ∈ N. 2(n + 1) π Ví d 2.47. V i n là m t s t nhiên và x ∈ 0; . 2(n + 1) Ch ng minh r ng (1 − cosn x)(1 + cosn x) < tan nx sin x. (2.7) L i gi i. Ta có (2.7) ⇔ 1 − cos2n x < tan nx sin x ⇔ tan nx sin x + cos2n x > 1. Kí hi u f (n) = tan nx sin x + cos2n x. Ta ch ng minh f (k + 1) > f (k), v i k = 0; . . . ; n − 1.
70 Chương 2. S ph c và bi n ph c trong lư ng giác Th t v y, ta có tan kx sin x + cos2k x < tan(k + 1)x sin x + cos2n+2 x ⇔ cos2k x − cos2n+2 x < sin x[tan(k + 1)x − tan kx] sin x ⇔ cos2k x sin2 x < sin x · . cos(k + 1)x cos kx π Do x ∈ 0; , nên cos(k + 1)x.coskx > 0. 2(n + 1 Vì v y cos2k x cos(k + 1)x cos kx < 1, đi u này luôn đúng. Vy f (n) > f (n − 1) > · · · > f (1) > f (0) = 1. Do đó tan nx sin x + cos2n x > 1. Vy π (1 − cosn x)(1 + cosn x) < tan nx sin x v i x ∈ 0; , n ∈ N. 2(n + 1) Ví d 2.48. Ch ng minh r ng π π (n + 1) cos − n cos > 1, v i m i n 2. n+1 n L i gi i. V i m i n 2, ta có π π (n + 1) cos − n cos > 1 n+1 n π π π ⇔ n cos − cos > 1 − cos n+1 n n+1 π π(2n + 1) π ⇔ n sin sin > sin2 2n(n + 1) 2n(n + 1) 2(n + 1) và π(2n + 1) 2nπ π sin > sin > sin . (2.8) 2n(n + 1) 2n(n + 1) 2(n + 1)
2.5. B t đ ng th c lư ng giác 71 M t khác, b ng phương pháp quy n p theo n, ta d dàng ch ng minh đư c π π sin > sin . (2.9) 2n(n + 1) 2(n + 1) T (2.8) và (2.9), ta suy ra π (2n + 1)π π n sin sin > sin2 . 2n(n + 1) 2n(n + 1) 2(n + 1) Vy π π (n + 1) cos − n cos > 1, v i ∀n 2. n+1 n Ví d 2.49. Ch ng minh r ng 2| sin x| + 2| cos x| 3, ∀x ∈ R. π L i gi i. Không m t tính t ng quát, có th coi x ∈ 0; . Khi đó b t đ ng 4 th c đã cho có d ng π 2sin x + 2cos x 3, ∀x ∈ 0; . 4 Theo b t đ ng th c gi a trung bình c ng và trung bình nhân, ta có 1 cos x 1 cos x √ 3 2sin x + 2cos x = 2sin x + ·2 + ·2 3 2sin x+2 cos x−2 . 2 2 π Do x ∈ 0; nên 4 sin x + 2 cos x − 2 0, và vì v y π 2sin x + 2cos x 3, ∀x ∈ 0; . 4 kπ Đ ng th c x y ra, ch ng h n, khi x = , k ∈ Z. 2 Ví d 2.50. Xác đ nh s dương a sao cho acos 2x 2 cos2 x, ∀x ∈ R. (2.10)