Bài gi ng toàn kinh tả ế
Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ
1. M T S KHÁI NI M C B NỘ Ố Ệ Ơ Ả
Không gian n chi u:ề M t b g m n s th c đ c s p x p th t , ký hi u (xộ ộ ồ ố ự ượ ắ ế ứ ự ệ 1, x2,… xn) (xi
∈ R, i = 1,.. n) đ c g i là m t đi m n - chi u. T p h p các đi m n - chi u đ c ký hi u làượ ọ ộ ể ề ậ ợ ể ề ượ ệ
Rn.
Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi ∈ R, i = 1,.. n}
Trong đó xi là to đ th i c a đi m x.ạ ộ ứ ủ ể
Kho ng cách 2 đi m:ả ể x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) ∈ Rn:
M t s tính ch t c a d:ộ ố ấ ủ
a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 ó xi = yi, ∀I ó x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y)
Lân c n:ậ Cho x0∈Rn và s r > 0. T p S(xố ậ 0, r) = {x ∈ Rn: d(x,x0) < r} đ c g i là m t lân c nượ ọ ộ ậ
c a xủ0.
Đi m trong:ể Đi m xể0∈Rn đ c g i là đi m trong c a D ượ ọ ể ủ ⊂ Rn n u D ch a m t lân c n c aế ứ ộ ậ ủ
x0
Đi m biên:ể Đi m xể0 ∈ Rn đ c g i là đi m biên c a D ượ ọ ể ủ ⊂ Rn n u m i lân c n c a xế ọ ậ ủ 0 đ uề
ch a ít nh t các đi m x, y: x ứ ấ ể ∈ D, y ∉ D. T p h p m i đi m biên c a D đ c g i là biênậ ợ ọ ể ủ ượ ọ
c a Dủ
T p đóng:ậ N u biên c a D thu c D.ế ủ ộ
T p m :ậ ở N u biên c a D không thu c D.ế ủ ộ
Hàm 2 bi n:ế D ⊂ R2, m t ánh x f: D ộ ạ → R, đ c g i là hàm s 2 bi n. Ký hi u:ượ ọ ố ế ệ
• D: mi n xác đ nhề ị
• f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} g i là mi n giá trọ ề ị
Ví d :ụ Tìm mi n xác đ nh:ề ị
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
Hàm n bi n:ế D ⊂ Rn, m t ánh x f: D ộ ạ → R đ c g i là hàm s n bi n. Ký hi u:ượ ọ ố ế ệ
ξ
2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Gi i h n hàm s :ớ ạ ố Cho hàm f(x,y) xác đ nh t i lân c n Mị ạ ậ 0(x0,y0), có th không xác đ nh t iể ị ạ
M0. S th c L đ c g i là gi i h n c a f khi M(x,y) ti n đ n Mố ự ượ ọ ớ ạ ủ ế ế 0(x0,y0), n u:ế
∀ε > 0, δ∃ > 0: d(M,M0) < δ => |f(M) – L| < ε
Ngu n: ồnguyenngoclam.com 1
∑
=
−= n
i
ii yxyxd
1
2
)(),(
22
1yxz −−=
),...,(),...,(: 2121 nn xxxfzxxxf =
2
0
2
00 )y-(y)x-(x)Md(M, +=
Bài gi ng toàn kinh tả ế
• Khái ni m vô h n cũng đ c đ nh nghĩa t ng t nh đ i v i hàm s m t bi n.ệ ạ ượ ị ươ ự ư ố ớ ố ộ ế
• Các đ nh lý v gi i h n c a t ng, tích, th ng đ i v i hàm s m t bi n cũng đúngị ề ớ ạ ủ ổ ươ ố ớ ố ộ ế
cho hàm s nhi u bi n.ố ề ế
Ví d :ụ
Liên t c c a hàm:ụ ủ f đ c g i là liên t c t i (xượ ọ ụ ạ 0,y0) n uế
Đ nh lý:ị N u f(x,y) liên t c trên m t t p đóng và b ch n trên D ế ụ ộ ậ ị ặ ⊂ R2 thì:
• T n t i s M: |f(x,y)| ≤ Mồ ạ ố
• f đ t giá tr l n nh t và nh nh t trên Dạ ị ớ ấ ỏ ấ
T ng t ta có th đ nh nghĩa gi i h n và s liên t c c a hàm s đ i v i hàm n bi n (n≥3)ươ ự ể ị ớ ạ ự ụ ủ ố ố ớ ế
ξ
3. ĐẠO HÀM RIÊNG
Đ nh nghĩa:ị cho hàm z = f(x,y) xác đ nh trong mi n D, M0(xị ề 0,y0) ∈ D. N u cho y = yế0 là
h ng s , hàm s m t bi n f(x,yằ ố ố ộ ế 0) có đ o hàm t i x = xạ ạ 0, đ c g i là đ o hàm riêng c a f đ iượ ọ ạ ủ ố
v i x t i Mớ ạ 0. Ký hi u:ệ
Đ t ặ∆xf = f(x0 + ∆x, y0)-f(x0,y0): S gia riêng c a f t i Mố ủ ạ 0.
T ng t ta cũng có đ nh nghĩa đ o hàm riêng c a f theo bi n y.ươ ự ị ạ ủ ế
T ng t ta cũng có đ o hàm riêng đ i v i hàm n bi n s (nươ ự ạ ố ớ ế ố ≥3).
Ví d :ụ Tính các đ o hàm riêng:ạ
Đ o hàm riêng c p cao: ạ ấ Cho hàm s f(x,y). Các đ o hàm riêng f’x, f’y đ c g i là nh ngố ạ ượ ọ ữ
đ o hàm riêng c p 1. Các đ o hàm riêng c a đ o hàm riêng c p 1 n u t n t i đ c g i làạ ấ ạ ủ ạ ấ ế ồ ạ ượ ọ
đ o hàm riêng c p 2.ạ ấ
Ngu n: ồnguyenngoclam.com 2
LMf
MM =
→)(lim
0
Lyxf
yxyx =
→),(lim ),(),( 00
Lyxf
yy xx =
→
→),(lim
0
0
22
22
)0,0(),(
)sin(
lim yx
yx
yx +
+
→
),(),(lim 00
),(),( 00
yxfyxf
yxyx =
→
),(
z
),,(
f
,),( 000000
'yx
x
yx
x
yxfx∂
∂
∂
∂
x
f
x
x∆
∆
=→∆ 0
'
xlimf
y
f
y
y
∆
∆
=
→∆ 0
'
y
limf
4234 25 yyxxz +−=
y
xu =
),(
''
2
2
yxf
x
f
x
f
xxx
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
xy
f
x
f
yyx
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
yx
f
y
f
xxy
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
yy
f
y
f
yyy
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
Bài gi ng toàn kinh tả ế
T ng t , ta có đ nh nghĩa đ o hàm riêng c p 3,…ươ ự ị ạ ấ
Đ nh lý (Schwarz):ị N u trong lân c n nào đó c a Mế ậ ủ 0 hàm s f(x,y) t n t i các đ o hàmố ồ ạ ạ
riêng và liên t c t i Mụ ạ 0 thì fxy = fyx t i Mạ0.
Đ nh lý này cũng đúng cho các đ o hàm riêng c p cao h n c a n bi n s (nị ạ ấ ơ ủ ế ố ≥3)
Đ o hàm c a hàm h p:ạ ủ ợ N u hàm z = f(u,v) là các hàm s kh vi c a u,v và các hàm s u =ế ố ả ủ ố
u(x,y), v = v(x,y) có các đ o hàm riêng uạx, uy, vx, vy thì t n t i các đ o hàm riêng:ồ ạ ạ
Ví d :ụ Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y
ξ4. Đ O HÀM HÀM NẠ Ẩ
Đ nh nghĩa hàm s n 1 bi n:ị ố ẩ ế Cho ph ng trình ươ
F(x,y) = 0
N u t n t i hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ế ồ ạ ∀x ∈ (A,B) thì f đ c g i là hàm s n tượ ọ ố ẩ ừ
ph ng trình F(x,y) = 0.ươ
Ví d :ụ xy – ex + ey = 0
Đ o hàm c a hàm s n 1 bi n:ạ ủ ố ẩ ế
Ví d :ụ Tính y’ n u:ế
F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0
F(x,y) = xy – ex + ey = 0
Đ nh nghĩa hàm s n 2 bi n:ị ố ẩ ế Cho ph ng trình F(x,y,z) = 0. N u t n t i hàm s hai bi nươ ế ồ ạ ố ế
z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, v i m i x, y thu c mi n xác đ nh c a f, thì f g i là hàm n tớ ọ ộ ề ị ủ ọ ẩ ừ
ph ng trình F(x,y,zươ
Đ o hàm c a hàm s n 2 bi n:ạ ủ ố ẩ ế
Ví d :ụ tính zx, zy n u xyz = cos(x+y+z)ế
ξ4. CỰC TRỊ
C c tr t do:ự ị ự
Đ nh nghĩa:ị Hàm s f(x,y) đ t c c đ i (c c ti u) t i đi m M0(xố ạ ự ạ ự ể ạ ể 0,y0) n u t n t i m t lânế ồ ạ ộ
c n ậ∆ c a Mủ0 sao cho f(M) ≤ f(M0), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈ ∆). F(M0) g i chung làọ
c c tr .ự ị
Ví d :ụ Tìm c c tr c a hàm s z = xự ị ủ ố 2 + y2
Đi u ki n c n đ có c c tr : ề ệ ầ ể ự ị
Ngu n: ồnguyenngoclam.com 3
y
x
F
F
y−='
z
x
F
F
x
z−=
∂
∂
z
y
F
F
y
z−=
∂
∂
x
v
v
f
x
u
u
f
x
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂