Chương 5: Tích phân không xác định

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

1.385
lượt xem 265
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình giải tích toán học tham khảo, tập 1, chương 5: Tích phân không xác định. Nội dung chương 5: Tích phân không xác định; Cách tính tích phân không xác định; Tích phân các phân thức hữu tỉ; Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol; Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 5: Tích phân không xác định

1 Chương 5. Tích phân không xác định Lê Văn Trực Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, Giải tích, tích phân không xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 5 Tích phân không xác định ................................................................................... 3 5.1 Tích phân không xác định .......................................................................................... 3 5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm ......................................................................................... 3 5.1.2 Các tính chất........................................................................................................... 3 5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định..................................................................... 3 5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định........................................................... 3 5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản...................................................................................... 4 5.2 Cách tính tích phân không xác định ........................................................................... 5 5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản........................................................................ 5 5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến........................................................................... 6 5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần................................................................... 7 5.2.4 Công thức truy hồi.................................................................................................. 9 5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ ................................................................................ 10 1
2 5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất ..................................................... 10 5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ...................................................................... 12 5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol ........................ 14 5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác..................................................... 14 5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol ......................................................... 16 5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ .............................................................................. 17 ax + b I = ∫ R( x, m )dx 5.5.1 Tích phân dạng cx + d ................................................................ 17 ⎡ ax + b p ax + b r ⎤ I = ∫ R ⎢ x,( ) q ,( ) s ⎥ dx, ⎢ cx + d cx + d ⎥ 5.5.2 Tích phân dạng ⎣ ⎦ ............................................ 18 5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân ............................................................................ 18 Tích phân các biểu thức dạng R( x, ax + bx + c ) với a ≠ 0 .................................. 19 2 5.6 5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất ....................................................................................... 20 5.6.2 Phép thế Euler thứ hai .......................................................................................... 20 5.6.3 Phép thế Euler thứ ba ........................................................................................... 21 5.6.4 Tích phân eliptic................................................................................................... 22 5.6 Bài tập chương 5 ...................................................................................................... 23
3 Chương 5 Tích phân không xác định 5.1 Tích phân không xác định Trong nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật, ta cần tìm hàm số khi biết đạo hàm của nó. Ví dụ như biết gia tốc a=a(t) của chuyển động, ta cần tìm vận tốc v=v(t) của chuyển động biết dv rằng a = . Sau đó khi biết vận tốc v, ta cần tìm quãng đường s=s(t) của chuyển động, biết dt ds rằng v = . dt 5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập D, nếu cả hai hàm cùng được xác định trên tập D và F ′( x ) = f ( x ) ∀x ∈ D, D ⊂ . (5.1.1) 5.1.2 Các tính chất Ta có các tính chất sau mà có thể dễ dàng thu được từ định nghĩa. a) Nếu F và G là các nguyên hàm của hàm f và hàm g tương ứng trên tập D, thì α F ± β G trong đó α vµ β là các hằng số, là nguyên hàm của hàm α f ± β g trên tập D. b) Nếu F là nguyên hàm của hàm f trên tập D, thì hàm F+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý cũng là nguyên hàm của hàm f trên tập D. Ta gọi biểu thức F(x) + C, trong đó C là hằng số tuỳ ý, là họ nguyên hàm của hàm f trên tập D. 5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là ∫ f ( x )dx : ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C . (5.1.2) 5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định a) ∫ Af ( x )dx = A ∫ f ( x )dx trong đó A là hằng số (5.1.3) b) ∫ ( f1 ( x ) ± f 2 ( x ))dx = ∫ f1 ( x )dx ± ∫ f 2 ( x )dx . (5.1.4) 3
4 Việc tìm mọi nguyên hàm của một hàm số được gọi là phép lấy tích phân của hàm đó và bài toán này là bài toán ngược của phép tính vi phân. 5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 1) ∫ 0 du = C, ∫ dx = x + C u α +1 2) ∫ uα du = + C (α ≠ −1, α ∈ R ) α +1 du 3) ∫ u = ln| u | + C ∫ e du = e +C u u 4) 5) ∫ cos udu = sin u + C 6) ∫ sin udu = − cos u + C 1 7) ∫ cos 2 u du = tgu + C 1 8) ∫ sin 2 u du = − cot gu + C 9) ∫ ch udu = sh u + C 10)∫ sh udu = ch u + C 1 11) ∫ ch u du = t h u + C 2 1 12) ∫ sh u du = −ct h u + C 2 1 ⎧ar csin u + C 13) ∫ 1 − u2 du = ⎨ ⎩− ar ccos u + C du ⎧ar ct gu + C 14) ∫1+u 2 =⎨ ⎩−ar ccot gu + C. Để thuận tiện cho việc áp dụng, ta bổ sung vào bảng trên các công thức sau: au ∫ a du = + C ( a > 0, a ≠ 1) u 4 a) ln a ⎧ u du ⎪ar csin a + C ⎪ 13 a ) ∫ =⎨ a2 − u 2 ⎪− ar ccos u + C ⎪ ⎩ a
5 ⎧1 u du ⎪ a ar ct g a + C ⎪ 14 a ) ∫ 2 =⎨ a + u2 ⎪ 1 u − ar cot g + C ⎪ a ⎩ a du 1 a+u 15) ∫a 2 = − u 2 2a ln a−u +C du 16) ∫ u +a2 = ln u + u 2 + a + C. 5.2 Cách tính tích phân không xác định 5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản Ví dụ 1: 2 a) Tính I 1 = ∫ (1 + x ) dx . Bởi vì (1 + x )2 = 1 + 2 x + x, nª n 1 I 1 = ∫ (1 + 2 x + x )dx = ∫ dx + 2∫ x 2 dx + ∫ xdx 3 x 2 x2 4 1 = x+2 + + C = x + x x + x2 + C. 3 2 3 2 2 dx b) Tính I 2 = ∫ . sin x cos2 x 2 1 sin 2 x + cos2 x 1 1 Bởi vì 2 2 = 2 2 = + sin x cos x sin x cos x cos x sin 2 x 2 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 nên I 2 = ∫ ⎜ 2 + ⎟dx = ∫ cos2 x dx + ∫ sin 2 x dx ⎝ cos x sin x ⎠ 2 = t gx − cot gx + C . x c) Tính I 3 = ∫ 6sin 2 dx 2 I 3 = ∫ 3(1 − cos x )dx = 3( x − sin x ) + C ⎛ e− x ⎞ d) Tính I 4 = ∫ ex ⎜ 1 + ⎟ dx ⎝ x2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ I 4 = ∫ ⎜ ex + 2 ⎟ dx = ∫ ex dx + ∫ x −2 dx ⎝ x ⎠ 1 = ex − + C. x 5
6 5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến Giả sử cần tính tích phân ∫ f ( x )dx . Ta hãy đưa vào biến mới x = ϕ (u ) hay u = ψ ( x ) , trong đó các hàm ϕ (u ) , ψ ( x ) là các hàm số ngược của nhau a) Phép đổi biến thứ nhất Sử dụng x = ϕ (u ) , khi đó dx = ϕ ′(u )du và nhận được công thức ∫ f ( x )dx = ∫ f [ϕ (u )].ϕ ′(u )du = ∫ g(u )du (5.2.1) trong đó g(u ) = f [ϕ (u )].ϕ ′(u ) b) Phép đổi biến thứ hai Giả sử hàm f(x) được viết dưới dạng f ( x ) = g[ψ ( x )].ψ ′( x )dx. Khi đó ∫ f ( x )dx = ∫ g[ψ ( x )].ψ ′( x )dx = ∫ g(u )du (5.2.2) trong đó u = ψ ( x ) . Nếu ∫ g(u )du = G(u ) + C, t h× ∫ f ( x )dx = ∫ g(u )du = G(u ) + C (5.2.3) Ví dụ 2: ar csin x a) TÝ I 1 = ∫ nh dx 1 − x2 1 I 1 = ∫ ar csin xd (ar csin x ) = (ar csin x )2 + C. 2 b) TÝ I 2 = ∫ t gxdx nh sin x (cos x )′ d (cos x ) I2 = ∫ dx = − ∫ dx = − ∫ cos x cos x cos x = − ln| cos x| + C. dx c) I 3 = ∫ ( x + 2 x + 2)ar ct g( x + 1) 2 dx I3 = ∫ [( x + 1) + 1]ar ct g( x + 1) 2 § Æ u = x + 1, du = dx, t a cã t du d (ar ct gu ) I3 = ∫ =∫ = ln| ar ct gu | + C. (1 + u )ar ct gu 2 ar ct gu 2 2 xex dx d) I 4 = ∫ 2 1 + e2 x
7 2 ex dx2 Do I 4 = ∫ 2 , ®Æ u = x2 t a cã t 1 + e2 x eu du deu I4 = ∫ =∫ 2 = ar ct gex + C 1 + (e ) u 2 1 + (e ) u 2 10 e) I 5 = ∫ (1 + x ) dx § Æ 1+ x = u, x = (u -1)2 , dx = 2(u − 1)du. t Khi đó (∫ u ) 10 I 5 = 2∫ u (u − 1)du = 2 11 du − ∫ u10 du ⎛ u12 u11 ⎞ I = 2⎜ − ⎟+C ⎝ 12 11 ⎠ 1 11 = u (11u − 12) + C 66 1 = (1 + x )11 (11 x − 1) + C. 66 5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích: d (uv) = udv + vdu . Lấy tích phân cả hai vế ta được uv = ∫ udv + ∫ vdu. Từ đây ta có công thức sau ∫ udv = uv − ∫ vdu . (5.2.4) Công thức (5.2.4) gọi là công thức tích phân từng phần. Ví dụ 3: a) Tính tích phân I 1 = ∫ x3 ln 2 xdx 1 đặt u = ln 2 x du = 2 ln x dx x x4 dv = x3 dx v = 4 dx 4 x 4 2 x4 1 I 1 = ∫ ln 2 x = ln x − ∫ 2 ln x dx 4 4 4 x x4 2 1 x4 2 1 dx 4 = ln x − ∫ x3 ln xdx = ln x − ∫ ln x 4 2 4 2 4 7
8 x4 2 1 ⎡ x4 x4 1 ⎤ x4 2 1 1 4 I1 = ln x − ⎢ ln x − ∫ dx ⎥ = ln x − x 4 ln x + x +C. 4 2⎣ 4 4 x ⎦ 4 8 32 b) Tính I 2 = ∫ ar csin xdx Đặt u = arcsinx, dv = dx, ta được 1 du = dx v=x 1 − x2 x I 2 = x ar csin x − ∫ dx 1 − x2 I 2 = x ar csin x + 1 − x 2 + C . c) Tương tự 1 I 3 = ∫ ar ct gxdx = xar ct gx − ln(1 + x2 ) + C 2 d) I 4 = ∫ x2 + bdx đặt u = x2 + b , dv = dx ⇒ v = x. Ta có 2x I 4 = x x2 + b − ∫ x dx 2 x2 + b x2 + b − b = x x2 + b − ∫ dx x2 + b x2 + b dx I 4 = x x2 + b − ∫ dx + b∫ x2 + b x2 + b b = x x2 + b − ∫ x2 + bdx + ln( x + x2 + b ) + C. 2 Suy ra x 2 b ∫ x2 + bdx = 2 x + b + ln( x + x2 + b ) + C. 2 Ví dụ 4: a) Tính I = ∫ eax cos bxdx đặt u = cosbx, du = −bsinx 1 ax dv = eaxdx, v = e a eax eax b I = ∫ cos bxd = cos bx + ∫ eax sin bxdx (5.2.5) a a a Mặt khác
9 eax eax b ∫e sin bxdx = ∫ sin bxd = sin bx − ∫ eax cos bxdx (5.2.6) ax a a a Thay (5.2.6) vào (2.2.5), sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được a cos bx + b sin bx ax ∫e cos bxdx = e +C (5.2.7) ax a2 + b2 b) Tương tự a sin bx − b cos bx ax ∫e sin bxdx = e +C. (5.2.8) ax a 2 + b2 5.2.4 Công thức truy hồi a) Xét tích phân I n = ∫ cosn xdx với n ∈ N * . Ta có ∫ cos xdx = ∫ cosn −1 x cos xdx = ∫ cosn −1 xd sin x n = cosn −1 x sin x + ( n − 1)∫ cosn − 2 x sin 2 xdx = cosn −1 x sin x + ( n − 1)∫ cosn − 2 xdx − ( n − 1)∫ cosn xdx. Từ đây chúng ta nhận được công thức truy hồi 1 ( n − 1) ∫ cos cosn −1 x sin x + ∫ cos xdx . n −2 n xdx = (5.2.9) n n Công thức này cho phép giảm số mũ của luỹ thừa của hàm dưới dấu tích phân mỗi lần 2 đơn vị cho đến khi ta nhận được tích phân tuỳ theo n là lẻ hay chẵn: ∫ cos xdx = sin x + C hay ∫ dx = x + C. Tương tự ta nhận được công thức truy hồi 1 n −1 ∫ sin sin n −1 x cos x + ∫ sin xdx . n −2 n xdx = − (5.2.10) n n dx b) Xét tích phân J n = ∫ với n ∈ N * , a ≠ 0 ( x + a 2 )n 2 dx 1 x Ta biết J 1 = ∫ = arctg + C . x +a 2 2 a a Để xây dựng công thức truy hồi cho tích phân Jn, ta hãy xét dx J n −1 = ∫ ( x + a 2 )n −1 ∫ 2 = ( x 2 + a 2 )− n +1 dx x ( x + a2 )n −1 ∫ = 2 − x( − n + 1)( x 2 + a 2 )− n 2 xdx x x2 hay J n −1 = 2 n −1 + 2( n − 1)∫ 2 dx (x + a ) 2 ( x + a 2 )n 9
10 x x 2 + a2 − a2 J n −1 = + 2( n − 1)∫ dx ( x 2 + a2 )n −1 ( x 2 + a 2 )n x J n −1 = 2 2 n −1 + 2( n − 1)[ J n −1 − a2 J n ] (x + a ) Suy ra x 2( n − 1)a2 J n = + ( 2n − 3)J n −1 ( x + a 2 )n −1 2 x ( 2 n − 3) hay Jn = 2 n −1 2 + J n −1 (5.2.11) 2( n − 1)( x + a ) a 2 2( n − 1)a 2 5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ 5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng A A Mx + N Mx + N I) , II ) , III ) 2 , IV) 2 x−a ( x − a) k x + px + q ( x + px + q)k trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là p2 – 4q < 0 . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên. a) Tích phân dạng I A ∫ x − a dx = A ln| x − a| +C . b) Tích phân dạng II A A 1 ∫ ( x − a) k dx = − k − 1 ( x − a )k −1 + C ( k ≠ 1) . c) Tích phân dạng III M Mp ( 2 x + p) + ( N − ) Mx + N 2 2 dx ∫ x 2 + px + q dx = ∫ x 2 + px + q M 2x + p Mp dx = 2 ∫x 2 + px + q dx + ( N − 2 )∫ 2 x + px + q . (5.3.3) p p2 Ta hãy xét tích phân thứ hai ở vế phải (5.3.3). Đặt x + = t, q − = α 2 , dx = dt , 2 4 dx dx dt ∫x 2 + xp + q ∫ = p 2 p 2 =∫ t +α2 2 (x + ) +q− 2 4 dx 1 t 2 2x + p ∫x 2 = arctg + C = + xp + q α α 4q − p 2 arctg 4 q − p2 + C.
11 Cuối cùng ta có Mx + N M 2N − M p 2x + p ∫x 2 + px + q dx = 2 ln( x 2 + px + q) + 4 q − p2 arctg 4 q − p2 + C. (5.3.4) d) Tích phân dạng IV M Mp ( 2 x + p) + ( N − ) Mx + N 2 2 dx I =∫ 2 dx = ∫ (5.3.5) ( x + px + q)k ( x 2 + px + q)k Tích phân ở vế phải trong (5.3.5) được tách thành hai tích phân. Để tính tích phân thứ nhất ta đặt x 2 + px + q = t 2x + p J 1,k = ∫ dx = ( x + px + q)k 2 dt 1 1 =∫ = k −1 = (5.3.6) t k (1 − k )t (1 − k )( x + px + q)k −1 2 Còn tích phân thứ hai, kí hiệu bằng J 2,k , ta có dx dt J 2, k = ∫ =∫ 2 ( x + px + q) 2 k ( t + α 2 )k p p2 trong đó t = x + , α2 = q − (5.3.7) 2 4 6x + 5 Ví dụ 1: Tính I = ∫ dx x + 4x + 9 2 Giải: Ta có x 2 + 4 x + 9 = ( x + 2)2 + 5. Đặt x+2 = t, x = t−2, dx = dt, ta nhận được 6x + 5 6( t − 2 ) + 5 I =∫ dx = ∫ dt = ( x + 2) + 5 2 t2 + 5 6t − 7 2t dt =∫ dt = 3∫ 2 dt − 7 ∫ 2 = t +5 2 t +5 t +5 7 t = 3 ln( t 2 + 5) − arctg + C. 5 5 Trở về biến x, ta nhận được 6x + 5 7 x+2 ∫ ( x + 2) 2 +5 dx = 3 ln( x 2 + 4 x + 9) − 5 arctg 5 +C x +1 Ví dụ 2: Tính I = ∫ dx ( x + x + 1)2 2 Giải: 1 1 (2 x + 1) + 2 dx = 1 (2 x + 1) 1 1 I =∫2 2 ∫ ( x2 + x + 1)2 dx + 2 ∫ ( x2 + x + 1)2 dx ( x + x + 1) 2 2 11
12 Ta có (2 x + 1) 1 J1 = ∫ dx = − 2 + C1 ( x + x + 1) 2 2 x + x +1 1 dx J2 = ∫ 2 dx = ∫ ( x + x + 1) 2 1 3 [( x + )2 + ]2 2 4 1 Đặt t = x + , dt = dx ta có 2 dt 1 t 1 dt J2 = ∫ = 2 + 2 ∫ , 3 3 2a 3 ( t 2 + )2 2a t 2 + t + 2 4 4 4 3 trong đó a2 = 4 2 t 2 1 2t J2 = + ar ct g + C2 3 3 3 3 3 t2 + 4 1 x+ 2 J2 = . 2 2 + 2 . 1 ar ct g 2 x + 1 + C 3 x + x +1 3 3 2 3 Do đó 1 1 1 2x + 1 1 2x + 1 I =− . 2 + . 2 + .ar ct g +C. 2 x + x +1 6 x + x +1 3 3 3 5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ Xét phân thức hữu tỉ Pm ( x ) f ( x) = (5.3.8) Qn ( x ) trong đó Pm ( x ) và Qn ( x ) là các đa thức hữu tỉ bậc m,n tương ứng là: Pm ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b1 x + b0 ( bm ≠ 0) và Qn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ( an ≠ 0) với m, n ∈ N * còn bi , ai là các số thực. Nếu n = 0, thì (5.3.8) là đa thức bậc m. Nếu m < n, thì phân thức hữu tỉ (5.3.8) được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự. Nếu m ≥ n , ta hãy sử dụng mệnh đề sau để đưa phân thức nói trên về dạng phân thức hữu tỉ thực sự. Mệnh đề 5.3.1 Nếu cho hai đa thức Pm ( x ) và Qn ( x ) ( m ≥ n ), thì đa thức Pm ( x ) có thể được viết dưới dạng
13 Pm ( x ) = Dm − n Qn ( x ) + Rm1 ( x ) (5.3.9) trong đó Dm − n ( x ) và Rm ( x ) là các đa thức, đồng thời: m1< n 1 Ví dụ như x4 − 3 x3 + 3 x2 − 10 x + 16 = ( x − 3)( x3 + 3 x − 4) + (3 x + 4) . Từ (5.3.9), bằng cách chia tử số cho mẫu số ta được Pm ( x ) Rm1 ( x ) f ( x) = = Dm − n ( x ) + (5.3.10) Qn ( x ) Qn ( x ) Rm1 ( x ) trong đó là phân thức hữu tỉ thực sự. Qn ( x ) Định lí 5.3.1 Đa thức bất kì Qn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ( an ≠ 0) có thể biểu diễn dưới dạng Qn ( x ) = an ( x − c1 )s1 ...( x − ck )sk ( x2 + p1 x + q1 )t1 ...( x2 + pl x + ql )tl (5.3.11) trong đó s1 + ... + sk + 2( t1 + ... + t l ) = n, ci là các số thức và p2 − 4 q j < 0 với i=1,…, k; j j=1,…, k. Ví dụ như x4 + 1 = ( x2 + 2 x + 1)( x2 − 2 x + 1), 2 x3 − 7 x2 + 4 x + 4 = 2( x − 2)2 ( x + 0,5). Định lí 5.3.2 (Định lí khai triển) Một số phân thức hữu tỉ thực sự với mẫu số Qn ( x ) (an=1) có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phân thức đơn giản dạng I, II, III, IV nói trên. Cụ thể Pm ( x ) A1 A2 As1 f ( x) = = + + ... + + ... + Qn ( x ) x − c1 ( x − c1 )2 ( x − c1 )s1 B1 B2 Bsk + + ... + + x − ck ( x − ck )2 ( x − ck )sk C1 x + D1 C x + D2 Ct x + Dt1 + 2 2 + ... + 2 1 + ... x + p1 x + q1 ( x + p1 x + q1 ) 2 2 ( x + p1 x + q1 )t1 M1x + N1 M x + N2 M t x + N tl + + 2 2 + ... + 2 l (5.3.12) x + pl x + ql ( x + pl x + ql ) 2 2 ( x + pl x + ql )tl Các hệ số A1 , A2 ,..., As1 ;...; B1 , B2 ,..., Bsk ; C1 , D1 , C2 , D2 ,..., Ct1 , Dt1 ,...; M 1 , N 1 ,..., M tl , N tl được tìm bằng phương pháp hệ số bất định. 13
14 Định lí trên cho phép kết luận rằng việc lấy tích phân một phân thức thực sự dần đến việc lấy tích phân một trong bốn dạng I,II, III, IV đã nêu ở trên. dx Ví dụ 3: Tính ∫ (x 2 + x )( x 2 + 1) . Giải: Trước hết hãy phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức đơn giản. Theo định lí khai triển, ta có thể viết 1 1 A B Cx + D = = + + ( x 2 + x )( x 2 + 1) x( x + 1)( x 2 + 1) x x + 1 x 2 + 1 Từ khai triển trên suy ra 1 = A( x + 1)( x 2 + 1) + Bx( x 2 + 1) + ( Cx + D ) x( x + 1) (5.3.13) cho x = 0 ta được A = 1 1 cho x = −1 ta được B = − 2 cho x = i ta được 1 = −C−D+i(D−C). 1 Từ đây suy ra C = D = − 2 1 1 1 1 x +1 Do đó = − − ( x + x )( x + 1) x 2( x + 1) 2 x 2 + 1 2 2 và dx ∫ (x 2 + x )( x 2 + 1) = 1 1 1 = ln| x| − ln| x + 1| − ln( x 2 + 1) − arctgx + C . 2 4 2 5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol 5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác Giả sử ta cần tính tích phân I = ∫ R (sin x,cos x )dx, trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt x t = tg , − π < x < π . 2 Thật vậy 2t 1− t2 2 dt sin x = , cos x = , x = 2arctgt , dx = . 1+ t 2 1+ t 2 1+ t2 Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng
15 ⎛ 2t 1 − t 2 ⎞ 2 dt I = ∫R⎜ , 2 ⎟ . . (5.4.1) ⎝1+ t 1+ t ⎠ 1+ t 2 2 dx Ví dụ 1: Tính I = ∫ . 2 sin x − cos x − 1 x Giải: Đặt t = tg , − π < x < π . 2 2 Khi đó x = 2arctgt , dx = dt . 1+ t2 2 dt I =∫ 1+ t2 =∫ dt 2t 1− t 2 2t − 1 2 − −1 1+ t 2 1+ t 2 1 1 x I = ln| 2t − 1| + C = ln| 2t g − 1| + C . 2 2 2 Khi tính tích phân các biểu thức lượng giác, trong một số trường hợp, không đòi hỏi phải x hữu tỉ theo kiểu thực hiện phép đổi biến tổng quát t = tg . Chẳng hạn khi tính tích phân dạng 2 ∫ R(sin n x,cosm x )dx nếu m hoặc n lẻ, ta hãy đặt t = sinx hoặc t=cosx, nếu m, n cùng chẵn, ta hãy đặt t = tgx. dx Ví dụ 2: a) Tính I = ∫ sin x cos2 x 3 cos x d sin x I1 = ∫ dx = ∫ . Đặt t = sinx 3 2 sin x cos x sin x(1 − sin 2 x ) 3 dt ⎡1 1 1 1 ⎤ I1 = ∫ = ∫⎢ 3 + + − ⎥ dt = t (1 − t ) 3 2 ⎣t t 2(1 − t ) 2(1 + t ) ⎦ 1 1 1 1 =− 2 + ln| t | − ln| 1 − t | − ln| 1 + t | + C. 2t 2 2 Trở về biến x ta được 1 1 I1 = − 2 + ln| sin x| − ln(1 − sin x )(1 + sin x ) + C 2 sin x 2 1 I1 = − + ln| t gx| + C. 2 sin 2 x sin 3 x b) Tính I 2 = ∫ dx 2 + cos x (1 − cos2 x )sin x I2 = ∫ dx . Đặt t = cosx 2 + cos x 15
16 t2 −1 3 t2 I2 = ∫ dt = ∫ ( t − 2 + )dt = − 2t + 3 ln| t + 2| + C . t +2 t+2 2 Trở về biến x ta được 1 I2 = cos2 x − 2 cos x + 3 ln(cos x + 2 ) + C . 2 dx dx Ví dụ 3: a) Tính I 1 = ∫ I1 = ∫ 1 − sin x 4 (1 + sin 2 x ) cos2 x Đặt 1 1 1 t2 t = tgx, dt = dx, sin 2 x = = = , cos2 x 1 + cot g 2 x 1 + 1 1 + t 2 t2 2t 2 + 1 1 + sin 2 x = . t2 +1 Ta có ⎡ ⎤ t2 +1 1 1 1 ⎢ 1 ⎥ I 1 = ∫ 2 dt = ∫ (1 + 2 )dt = ∫ ⎢1 + dt = 2t + 1 2 2t + 1 2 ⎢ 1 ⎥ 2( t 2 + ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ 1⎡ 1 ⎤ 1⎡ 1 ⎤ = t+ arctg( 2t )⎥ + C = ⎢ tgx + arctg( 2tgx )⎥ + C . 2⎢ ⎣ 2 ⎦ 2⎣ 2 ⎦ dx b) Tính I 2 = ∫ ( a ≠ 0, b ≠ 0 ) a cos x + b2 sin 2 x 2 2 dx I2 = ∫ cos 2 x( a + b2 t g 2 x ) 2 , ®Æ t = t gx, t dt 1 dt 1 b b I2 = ∫ = 2 ∫a = ( arctg( t )) + C a +b t 2 2 2 b 2 2 b a a + t2 b2 1 b = arctg( tgx ) + C. ab a 3 1 + cot gx Ví dụ 4: Tính I = ∫ dx . sin 2 x dx Đặt t = 1 + cot gx, dt = − sin 2 x 1 4 4 3 3 3 I = − ∫ t 3 dt = − t + C = − (1 + cot gx ) 3 + C. 4 4 5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol
17 dx Ví dụ 5: Tính I = ∫ . (1 − x2 ) 1 + x2 Đặt x = sh t , dx = ch tdt , 1 + x2 = ch t . dt dt 2 − d (ct h t ) I =∫ = ∫ sh t = ∫ = 1 − sh t 2 1 −1 −2 + ct h 2 t sh 2 t ch t 2+ 1 2 + ct h t 1 sh t + C = ln +C= ln 2 2 2 − ct h t 2 2 2− ch t sh t 1 1 + x2 + 2 x = ln + C. 2 2 1 + x2 − 2 x Ví dụ 6: Tính I = ∫ a2 + x2 dx . x Đặt x = ash u, dx = ach udu, u = ar sh( ) a 1 + ch2u I = ∫ a2 + a2sh 2u a ch u du = a2 ∫ ch 2udu = a2 ∫ du 2 a2 sh2u a2 x x a2 + x 2 = (u + )+C = (ar sh + )+C 2 2 2 a a a a2 x x I = arsh + a2 + x 2 + C . 2 a 2 5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ ax + b 5.5.1 Tích phân dạng I = ∫ R( x, m )dx cx + d (với m nguyên dương) ax + b dt m − b Đặt t = m ⇒x= và ta có công thức cx + d − ct m + a dt m − b dt m − b I = ∫ R( , t )( )′dt (5.5.1) − ct m + a − ct m + a dx Ví dụ 1: Tính I = ∫ 3 ( x − 1)( x + 1)2 17
18 dx x +1 1 I =∫ = ∫3 dx x −1 x −1 x +1 3 ( x + 1)3 x +1 x +1 t3 + 1 6t 2 Đặt t = 3 ⇒x= 3 , dx = − 3 dt , từ đây x −1 t −1 ( t − 1)2 dt −1 t +2 I = −3 ∫ = ∫( + 2 )dt t −1 3 t −1 t + t +1 1 t2 + t + 1 2t − 1 x +1 I = ln + 3ar ct g + C trong đó t = 3 . 2 ( t − 1)2 3 x −1 ⎡ ax + b p ax + b r ⎤ 5.5.2 Tích phân dạng I = ∫ R ⎢ x,( ) q ,( ) s ⎥ dx, ⎢ cx + d ⎣ cx + d ⎥ ⎦ p r trong đó , là các phân số tối giản. q s ax + b Gọi m là bội số chung nhỏ nhất của q và i, đặt t = m . cx + d xdx Ví dụ 2: Tính I = ∫ x +1 + 3 x +1 Giải: Đặt x + 1 = t 6 ⇒ x + 1 = t 3 , 3 x + 1 = t 2 ( t 6 − 1)6t 5 I =∫ dt = 6 ∫ ( t 8 − t 7 + t 6 − t 5 + t 4 − t 3 )dt t3 + t2 t9 t8 t7 t6 t5 t4 I = 6( − + − + − ) + C trong đó t = 6 x + 1 . 9 8 7 6 5 4 5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân I = ∫ x m ( a + bx n ) p dx , trong đó a,b là hăng số, m,n,p là hữu tỉ 1 1 1 −1 Trước hết đặt x = z ⇒ x = n z n , dx = z n dz và n m 1 1 n −1 R( x ) = x m ( a + bx n ) p dx = ( a + bz) p z n z dz n m +1 1 −1 R( x ) = ( a + bz) p . z n dz n m +1 Đặt − 1 = q . Ta thấy p, q là cá số hữu tỉ và n
19 1 n∫ I = ( a + bz) p zq dz Ta hãy xét các trường hợp sau: 1 r a) Nếu q hữu tỉ, p nguyên. Giả sử q = , hãy đặt t = z s hay z = t s s 1 r b) Nếu q nguyên, p hữu tỉ. Giả sử p = , hãy đặt t = ( a + bz) s hay a + bz = t s s c) Nếu p+q nguyên: Ta viết lại tích phân trên như sau 1 ( a + bz) p 1 a + bz p I = n ∫ z p+ q z p dz = ∫ z p+ q ( n z ) dz 1 r a + bz s Giả sử p = , đặt t = ( ) . s z dx Ví dụ 3: Tính I = ∫ . 4 1 + x4 1 m +1 Giải: Ta thấy m = 0, n = 4, p = − , + p = 0 là số nguyên. 4 n 1 3 1 −4 Đặt z = x4 ⇒ x = z4 ⇒ dx = z dz . 4 1 1 1 1 dz 4∫ ∫ z 1+ z 1 I = 3 dz = 4 z4 4 1+ z ( )4 z 1 1+ z 4 1 −4 t 3 Đặt t = ( ) ⇒ z= 4 , dz = 4 dt z t −1 ( t − 1)2 1 t 4 − 1 −4 t 3 t2 4∫ t I = . 4 dz = − ∫ 4 dt = ( t − 1)2 t −1 1 1 1 1 ⎡ 1 1 1 1 ⎤ = −∫ ( 2 + 2 )dt = − ∫ ⎢ 2 + ( − ) dt 2 t +1 t −1 2 ⎣t +1 2 t −1 t +1 ⎥ ⎦ 1⎡ 1 ⎤ =− ⎢ar ct gt + 2 (ln| t − 1| − ln| t + 1| )⎥ + C 2⎣ ⎦ 1 1⎛ 1 t −1 ⎞ 1 + x4 I = − ⎜ ar ct gt + ln| | ⎟ + C với t = ( 4 ) 4 . 2⎝ 2 t +1 ⎠ x 5.6 Tích phân các biểu thức dạng R( x, ax2 + bx + c ) với a≠0 19
20 Trước hết ta thấy rằng nếu đồng thời a < 0 và D = b2− 4ac ≤ 0 thì tích phân ∫ R( x, ax + bx + c )dx không có ý nghĩa. Trong các trường hợp còn lại biểu thức dưới dấu 2 tích phân đang xét được hữu tỉ hoá nhờ các phép thế Euler. 5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất Phép thế này áp dụng cho trường hợp a > 0.Ta đặt ax2 + bx + c = ± ax + t (5.6.1) Bình phương hai vế ta có ax2 + bx + c = ax2 ± 2 axt + t 2 . Giả sử trong (5.6.1) lấy dấu – trước a , ta được t2 − c x= . (5.6.2) b + 2 at at 2 + bt + c a Khi đó ax2 + bx + c = và 2 at + b at 2 + bt + c a dx = 2 dt . (2 at + b)2 dx Ví dụ 1: Tính I = ∫ x x2 + x + 1 Trong trường hợp này a=1>0. Ta đặt x2 + x + 1 = x + t , bình phương hai vế, suy ra t2 − 1 −t 2 + t − 1 x= , ax2 + bx + c = x + t = , 1 − 2t 1 − 2t 2( −t 2 + t − 1) dx = dt . Thay các biểu thức này vào tích phân trên, ta thu được (1 − 2t )2 2dt 1−t I =∫ = ln| | + C. t −1 2 1+t dx 1 + x − x2 + x + 1 Do đó I = ∫ = ln| | + C. x x2 + x + 1 1 − x + x2 + x + 1 5.6.2 Phép thế Euler thứ hai Phép thế này áp dụng cho trường hợp c > 0. Ta đặt ax2 + bx + c = xt ± c (5.6.3) Bình phương hai vế và rút gọn ax + b = xt 2 ± 2 c t .