CHƯƠNG 8 - PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC

Chia sẻ: Trương Xuân Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

248
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khào dành cho giáo viên, sinh viên chuyên ngành điện, điện tử - CHƯƠNG 8 - PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 8 - PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC

Chöông 8 PHAÂN TÍCH & THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 1 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
8.1 Ñieàu Kieän OÅn Ñònh Cuûa Heä Rôøi Raïc • Heä thoáng oån ñònh neáu tín hieäu vaøo bò chaën thì tín hieäu ra bò chaën (oån ñònh BIBO – Bounded Input Bounded Output) Mieàn oån ñònh cuûa Mieàn oån ñònh cuûa heä lieân tuïc heä rôøi raïc • Sô ñoà khoái heä rôøi raïc : → Phöông trình ñaëc tröng : 1 + Gc ( z )GH ( z ) = 0 • PTTT heä rôøi raïc : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩ c ( k ) = Cd x ( k ) → Phöông trình ñaëc tröng : det( zI − Ad ) = 0 8.2 Tieâu Chuaån Routh – Hurwitz môû roäng • Phöông trình ñaëc tröng heä lieân tuïc : a0 s n + a1s n −1 + ... + an −1s + an = 0 Theo Routh-Hurwitz, neáu coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng s → heä lieân tuïc khoâng oån ñònh. ω +1 • Duøng pp ñoåi bieán : z = ñeå ñoåi mieàn z → ω , sau ñoù aùp duïng Routh – ω −1 Hurwitz öùng vôùi bieán ω 2 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Ví duï : Xeùt oån ñònh duøng Routh-Hurwitz môû roäng 3e − s 1 Bieát : G ( s ) = H (s) = s+3 s +1 Giaûi : Phöông trình ñaëc tröng : 1 + Gc ( z )GH ( z ) = 1 + GH ( z ) = 0 3e − s ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ G (s) H (s) ⎫ −1 −1 GH ( z ) = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ ⎩ s ( s + 3)( s + 1) ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ s z ( Az + B ) = 3(1 − z −1 ) z −2 ( z − 1)( z − e−3 x 0.5 )( z − e −1x 0.5 ) (1 − e −3 x 0.5 ) − 3(1 − e −0.5 ) A= = 0.0673 3(1 − 3) 3e−3 x 0.5 (1 − e−0.5 ) − e −0.5 (1 − e −3 x 0.5 ) B= = 0.0346 3(1 − 3) 0.202 z + 0.104 GH ( z ) = 2 z ( z − 0.223)( z − 0.607) 0.202 z + 0.104 1 + GH ( z ) = 1 + =0 2 z ( z − 0.223)( z − 0.607) z 4 − 0.83z 3 + 0.135 z 2 + 0.202 z + 0.104 = 0 3 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
• Ñoåi bieán : ω +1 z= ω −1 4 3 2 ⎛ ω +1⎞ ⎛ ω +1⎞ ⎛ ω +1⎞ ⎛ ω +1⎞ − 0.83 ⎜ + 0.135 ⎜ + 0.202 ⎜ ⎟ + 0.104 = 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ω −1 ⎠ ⎝ ω −1 ⎠ ⎝ ω −1 ⎠ ⎝ ω −1⎠ 0.611ω 4 + 1.79ω 3 + 6.624ω 2 + 5.378ω + 1.597 = 0 • Baûng Routh Vaäy : Heä thoáng oån ñònh do caùc heä soá ôû coät 1 döông 8.3 Tieâu Chuaån JURY • Xeùt oån ñònh heä rôøi raïc coù PTÑT : a0 z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an = 0 • Baûng Jury : 1. Haøng 1 laø caùc heä soá cuûa PTÑT coù chæ soá taêng daàn 2. Haøng chaün (baát kyø) goàm caùc heä soá cuûa haøng leû tröôùc ñoù vieát theo thöù töï ngöôïc laïi 3. Haøng leû thöù i = 2k + 1 (k ≥ 1) goàm coù (n-k) phaàn töû, phaàn töû cij xaùc ñònh theo : 1 ci − 2,1 ci − 2,n − j − k + 3 cij = ci − 2,1 ci −1,1 ci −1,n − j − k +3 • Phaùt bieåu tieâu chuaån Jury : Ñieàu kieän caàn & ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc heä soá ôû haøng leû, coät 1 cuûa baûng Jury ñeàu döông 4 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Ví duï 8.2 : Cho heä thoáng rôøi raïc coù PTÑT : 5 z 3 + 2 z 2 + 3 z + 1 = 0 . Xeùt tính oån ñònh. Giaûi : Baûng Jury Do caùc heä soá ôû haøng leû coät 1 ñeàu döông neân heä thoáng oån ñònh 8.4 Quyõ Ñaïo Nghieäm Soá • QÑNS laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa PTÑT khi coù moät thoâng soá cuûa heä thay ñoåi töø 0 → ∞ N ( z) • Daïng PTÑT cuûa heä khi veõ QÑNS : 1 + K (8.6) =0 D( z ) N ( z) • Ñaët G0 ( z ) = K D( z ) Goïi n laø soá cöïc, m laø soá zero cuûa G0 ( z ) • Qui taéc veõ QÑNS töông töï nhö heä thoáng lieân tuïc, chæ khaùc qui taéc 8 thay vì tìm giao ñieåm QÑNS vôùi truïc aûo thì tìm giao ñieåm vôùi ñöôøng troøn ñôn vò ■ Qui taéc 1 : Soá nhaùnh QÑNS = baäc PTÑT = soá cöïc cuûa G0 ( z ) = n ■ Qui taéc 2 : Caùc nhaùnh xuaát phaùt töø cöïc cuûa G0 ( z ) öùng vôùi K=0. Khi K → ∞ coù m nhaùnh tieán ñeán m zero vaø (n-m) nhaùnh coøn laïi tieán ñeán ∞ theo caùc tieäm caän ■ Qui taéc 3 : QÑNS ñoái xöùng qua truïc thöïc ■ Qui taéc 4 : Moät ñieåm treân truïc thöïc thuoäc veà QÑNS neáu toång soá cöïc vaø zero beân phaûi noù laø moät soá leû 5 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
■ Qui taéc 5 : Goùc taïo bôûi caùc ñöôøng tieäm caän cuûa QÑNS vôùi truïc thöïc xaùc ñònh bôûi : (2l + 1)π α= (l = 0, ±1, ±2,...) n−m ■ Qui taéc 6 : Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vôùi truïc thöïc laø ñieåm A coù toïa ñoä xaùc ñònh bôûi : n m ∑cöïc −∑ zero = ∑ pi − ∑ zi i =1 i =1 OA = n−m n−m ■ Qui taéc 7 : Ñieåm taùch nhaäp (neáu coù) cuûa QÑNS naèm treân truïc thöïc vaø laø dK nghieäm cuûa pt : =0 dz ■ Qui taéc 8 : Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò coù theå xaùc ñònh theo 2 caùch : • AÙp duïng tieâu chuaån Routh-Hurwitz môû roäng hoaëc Jury. • Thay z=a+jb (ñieàu kieän a 2 + b 2 = 1 ) vaøo PTÑT (8.6) → caân baèng phaàn thöïc & aûo → tìm ñöôïc giao ñieåm & K gh ■ Qui taéc 9 : Goùc xuaát phaùt cuûa QÑNS taïi cöïc phöùc p j ñöôïc xaùc ñònh : m n θ j = 180 + ∑ arg( p j − zi ) −∑ arg( p j − pi ) 0 i =1 i =1 Daïng hình hoïc : θ j = 1800 + ( ∑ goùc töø caùc zero ñeán cöïc p j ) -( ∑ goùc töø caùc cöïc coøn laïi ñeán cöïc p j ) ■ Qui taéc 10 : Toång caùc nghieäm laø haèng soá khi K : 0 → +∞ ■ Qui taéc 11 : Heä soá khueách ñaïi doïc theo QÑNS xaùc ñònh töø ñk bieân ñoä N ( z) =1 K D( z ) 6 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Ví duï 8.3 : Veõ QÑNS, tính K gh 5K G(s) = s( s + 5) Giaûi : • PTÑT : 1 + Gc ( z )GH ( z ) = 1 + G ( z ) = 0 ⎧ 5K ⎫ 0.021z + 0.018 ⎧ G ( s) ⎫ G ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎨ = (1 − z −1 ) Z ⎨ 2 =K ⎬ ⎬ ( z − 1)( z − 0.607) ⎩ s ( s + 5) ⎭ ⎩s⎭ 0.021z + 0.018 (8.14) → 1 + G( z) = 1 + K =0 ( z − 1)( z − 0.607) • Cöïc : p1 = 1, p2 = 0.607 ( n = 2) • Zero : z1 = −0.857 ( m = 1) (2l + 1)π (2l + 1)π • Goùc taïo bôûi tieäm caän vaø truïc thöïc : α = =π = n−m 2 −1 • Giao ñieåm giöõa tieäm caän vôùi truïc thöïc : ∑cöïc −∑ zero = (1 + 0.607) − (−0.857) = 2.464 OA = n−m 2 −1 dK • Ñieåm taùch nhaäp laø nghieäm =0 dz z 2 − 1.607 z + 0.607 ( z − 1)( z − 0.607) (8.14) → K = − =− 0.021z + 0.018 0.021z + 0.018 ⎧ z = −2.506 dK =0⇔⎨ 1 ⎩ z2 = 0.792 dz Caû hai nghieäm ñeàu thuoäc QÑNS ( naèm treân truïc thöïc vaø < 2.464 ) • Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò (8.14) → ( z − 1)( z − 0.607) + K (0.021z + 0.018) = 0 z 2 + (0.021K − 1.607) z + (0.018 K + 0.607) = 0 (*) 7 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Caùch 1 : Duøng tieâu chuaån Routh-Hurwitz môû roäng ω +1 Ñoåi bieán z = ω −1 2 ⎛ ω +1⎞ ⎛ ω +1⎞ + (0.021K − 1.607) ⎜ ⎟ + (0.018K + 0.607) = 0 ⎜ ⎟ ⎝ ω −1 ⎠ ⎝ ω −1 ⎠ 0.039ω 2 + (0.786 − 0.036 K )ω + (3.214 − 0.003K ) = 0 Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh : (hệ liên tục, các hệ số phải dương) ⎧K > 0 ⎧K > 0 ⎪ ⎪ ⎨0.786 − 0.036 K > 0 → ⎨ K < 21.83 → K gh = 21.83 ⎪ ⎪ ⎩3.214 − 0.003K > 0 ⎩ K < 1071 Thay K gh = 21.83 vaøo PTÑT (*) : z 2 − 1.1485 z + 1 = 0 ↔ z = 0.5742 ± j 0.8187 Vaäy giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi voøng troøn ñôn vò laø : z = 0.5742 ± j 0.8187 Caùch 2 : Thay z = a + jb vaøo (*) : (a + jb) 2 + (0.021K − 1.607)(a + jb) + (0.018K + 0.607) = 0 a 2 + j 2ab − b 2 + (0.021K − 1.607) a + j (0.021K − 1.607)b + (0.018 K + 0.607) = 0 ⎧a 2 − b 2 + (0.021K − 1.607)a + (0.018K + 0.607) = 0 ⎨ ⎩ j 2ab + j (0.021K − 1.607)b = 0 Keát hôïp ñieàu kieän z thuoäc ñöôøng troøn ñôn vò neân a 2 + b 2 = 1 ⎧a 2 − b 2 + (0.021K − 1.607)a + (0.018 K + 0.607) = 0 ⎪ ⎨ j 2ab + j (0.021K − 1.607)b = 0 ⎪2 2 ⎩a + b = 1 Giaûi heä pt : ⎧z = 1 K =0 ⎪ ⎨ z = −1 K = 1071 ⎪ z = 0.5742 ± j 0.8187 K = 21.8381 ⎩ Vaäy : K gh = 21.83 8 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
8.5 Chaát Löôïng Heä Thoáng Rôøi Raïc 1. Ñaùp öùng quaù ñoä • Caùch 1 : neáu heä rôøi raïc ñöôïc moâ taû bôûi haøm truyeàn → tính C( z ) , duøng pheùp bieán ñoåi Z ngöôïc ñeå tìm c(k ) • Caùch 2 : neáu heä rôøi raïc ñöôïc moâ taû bôûi PTTT → tính nghieäm x(k ) , suy ra c(k ) • Caëp cöïc quyeát ñònh : heä lieân tuïc caëp cöïc quyeát ñònh naèm gaàn truïc aûo nhaát, heä rôøi raïc caëp cöïc quyeát ñònh naèm gaàn voøng troøn ñôn vò nhaát. 2. Chaát löôïng quaù ñoä Caùch 1 : Döïa vaøo ñaùp öùng thôøi gian c(k ) c −c • Ñoä voït loá : POT = max xl 100% cxl • Thôøi gian quaù ñoä : tqd = kqd T trong ñoù kqd thoûa maõn ñieàu kieän : ε .c c( k ) − cxl ≤ xl ∀k ≥ kqd 100 9 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
ε⎞ ε⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 1− cxl ≤ c(k ) ≤ ⎜1 + ∀k ≥ kqd ⎜ ⎟ ⎟ cxl ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ Caùch 2 : Döïa vaøo caëp cöïc quyeát ñònh z* = re± jϕ − ln r ⎧ ξ= ⎪ ⎪ (ln r ) 2 + ϕ 2 →⎨ ⎪ 1 (ln r ) 2 + ϕ 2 ωn = ⎪ ⎩ T • Ñoä voït loá : ⎛ ξπ ⎞ ⎜− ⎟ x100% POT = exp ⎜ 1−ξ 2⎟ ⎝ ⎠ 3 • Thôøi gian quaù ñoä : tqd = (tieâu chuaån 5%) ξωn 3. Sai Soá Xaùc Laäp Gc ( z ) R( z ) • Bieåu thöùc sai soá : E ( z ) = 1 + Gc ( z )GH ( z ) • Sai soá xaùc laäp : exl = lim e(k ) = lim(1 − z −1 ) E ( z ) k →∞ z →1 1 • Neáu tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò : R( z ) = 1 − z −1 1 1 → exl = lim(1 − z −1 ) E ( z ) = lim = z →1 1 + Gc ( z )GH ( z ) 1 + lim Gc ( z )GH ( z ) z →1 z →1 Ñaët : K p = lim Gc ( z )GH ( z ) : Heä soá vò trí z →1 1 → exl = 1+ K p 10 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Tz −1 • Neáu tín hieäu vaøo laø haøm doác ñôn vò : R( z ) = (1 − z −1 ) 2 Tz −1 1 T −1 exl = lim(1 − z ) E ( z ) = lim = z →1 1 − z −1 1 + Gc ( z )GH ( z ) lim(1 − z −1 )Gc ( z )GH ( z ) z →1 z →1 1 lim(1 − z −1 ) Gc ( z )GH ( z ) : Heä soá vaän toác Ñaët : K v = T z →1 1 → exl = Kv Ví duï 8.4 : Cho heä thoáng rôøi raïc coù sô ñoà khoái : 1. Tìm haøm truyeàn kín Gk ( z ) 2. Tính ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò, ñoä voït loá, sai soá xaùc laäp Giaûi : 1. Haøm truyeàn : G( z) Gk ( z ) = 1 + G( z) ⎧ ⎫ ⎧ G(s) ⎫ 10 G ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎨ −1 ⎬ = (1 − z ) Z ⎨ ⎬ ⎩ s ( s + 2)( s + 3) ⎭ ⎩s⎭ z ( Az + B) = 10(1 − z −1 ) ( z − 1)( z − e −2 x 0.1 )( z − e−3 x 0.1 ) 0.042 z + 0.036 0.042 z + 0.036 G( z) = → Gk ( z ) = 2 ( z − 0.819)( z − 0.741) z − 1.518 z + 0.643 2. Ñaùp öùng cuûa heä : 0.042 z −1 + 0.036 z −2 0.042 z + 0.036 C( z ) = Gk ( z ) R( z ) = 2 R( z ) = R( z ) 1 − 1.518 z −1 + 0.643z −2 z − 1.518 z + 0.643 Nhaân cheùo : (1 − 1.518 z −1 + 0.643 z −2 )C( z ) = (0.042 z −1 + 0.036 z −2 ) R( z ) c(k ) − 1.518c(k − 1) + 0.643c(k − 2) = 0.042r (k − 1) + 0.036r (k − 2) 11 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
(*) c(k ) = 1.518c(k − 1) − 0.643c(k − 2) + 0.042r (k − 1) + 0.036r (k − 2) • Tín hieäu vaøo haøm naác ñôn vò : r (k ) = 1, ∀k ≥ 0 • Giaû söû ñieàu kieän ban ñaàu : c(−1) = c(−2) = 0 Thay vaøo (*) : c(k ) = {0;0.0420;0.1418;0.2662;0.3909;0.5003;.....0.6251;0.6191;... } • Giaù trò xaùc laäp cuûa ñaùp öùng quaù ñoä : ⎛ 0.042 z + 0.036 ⎞⎛ 1 ⎞ cxl = lim(1 − z −1 )Gk ( z ) R( z ) = lim(1 − z −1 ) ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎝ z − 1.518 z + 0.643 ⎠⎝ 1 − z −1 ⎠ z →1 z →1 → cxl = 0.624 • Giaù trò cöïc ñaïi cuûa ñaùp öùng (döïa vaøo daõy soá hoaëc ñoà thò) : cmax = 0.6985 c −c 0.6985 − 0.624 • Ñoä voït loá : POT = max xl 100% = 100% = 11.94% 0.624 cxl • Sai soá xaùc laäp : exl = rxl − cxl = 1 − 0.624 = 0.376 • Tính thôøi gian quaù ñoä theo TC 5% AÙp duïng ñònh nghóa thôøi gian quaù ñoä (1 − ε ) cxl ≤ c(k ) ≤ (1 + ε ) cxl ∀k ≥ kqd vôùi : ε = 5% = 0.05 (1 − 0.05 ) 0.624 ≤ c(k ) ≤ (1 + 0.05 ) 0.624 ∀k ≥ kqd 12 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
0.593 ≤ c(k ) ≤ 0.655 ∀k ≥ kqd Döïa vaøo daõy giaù trò c(k ) ñaõ coù suy ra : kqd = 14 → tqd = kqd T = 14 x0.1 = 1.4sec • Tính POT vaø tqd , döïa vaøo caëp cöïc quyeát ñònh : Ñaõ bieát haøm truyeàn cuûa heä kín : 0.042 z + 0.036 G( z) Gk ( z ) = =2 1 + G ( z ) z − 1.518 z + 0.643 Caëp cöïc quyeát ñònh laø nghieäm PTÑT : z 2 − 1.518 z + 0.643 = 0 * → z1,2 = 0.7590 ± j 0.2587 = 0.8019∠0.3285 − ln r − ln 0.8019 ⎧ ξ= = = 0.5579 ⎪ ⎪ 2 2 2 2 (ln r ) + ϕ (ln 0.8019) + 0.3285 →⎨ ⎪ 1 1 (ln r ) 2 + ϕ 2 = (ln 0.8019) 2 + 0.32852 = 0.3958 ωn = ⎪ ⎩ 0.1 T Vaäy : ⎛ ξπ ⎞ ⎛ 0.5579 x3.14 ⎞ ⎜− ⎟100% = exp ⎜ − POT = exp ⎟100% = 12.11% ⎜ 2⎟ ⎜ 1− ξ 2 ⎟ ⎝ 1 − 0.5579 ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 tqd (tc5%) = = = 1.36sec ξωn 0.5579 x0.3958 13 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Ví duï 8.5 : Cho heä thoáng coù sô ñoà khoái 10 G(s) = ( s + 2)( s + 3) T=0.1 sec 1. Thaønh laäp PTTT moâ taû heä thoáng 2. Tính ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò (ñk ñaàu 0) Giaûi : 1. Thaønh laäp PTTT Böôùc 1 : PTTT heä lieân tuïc 10 C( s) = G ( s ) ER ( s) = ER ( s ) ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3)C( s) = 10 ER ( s ) ( s 2 + 5s + 6)C( s) = 10 ER ( s) c (t ) + 5c(t ) + 6 = 10eR (t ) && Ñaët x1 (t ) = c(t ); x2 (t ) = x1 (t ) & → Heä PTTT : ⎧ x(t ) = Ax(t ) + BeR (t ) ⎡0 1 ⎤ ⎡0 ⎤ & C = [1 0] A=⎢ B=⎢ ⎥ ⎨ ⎥ ⎩c(t ) = Cx(t ) ⎣ −6 −5⎦ ⎣10 ⎦ Böôùc 2 : Tính ma traän quaù ñoä −1 −1 ⎛ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎞ ⎛ ⎡ s −1 ⎤ ⎞ Φ ( s ) = ( sI − A) −1 = ⎜ s ⎢ −⎢ = ⎜⎢ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥ ⎝ ⎣0 1 ⎦ ⎣ −6 −5⎦ ⎠ ⎝ ⎣ 6 s + 5⎦ ⎠ Caàn nhôù : 1 ⎡ d −b ⎤ 1 ⎡ d −b ⎤ ⎡a b ⎤ → A−1 = A=⎢ = ⎥ A ⎢ −c a ⎥ ad − bc ⎢ −c a ⎥ ⎣c d ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 14 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
⎡ a22 a23 a13 a12 a12 a13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ a32 a33 a33 a32 a22 a23 ⎥ ⎡ a11 a12 a13 ⎤ ⎢ a11 ⎥ ⎥ → A−1 = 1 ⎢ a23 a21 a11 a13 a13 ⎢a ⎥ A = 21 a22 a23 ⎢ ⎥ A ⎢ a33 a31 a31 a33 a23 a21 ⎥ ⎢ a31 a32 a33 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ a21 a22 a12 a11 a11 a12 ⎥ ⎢ a31 a32 a32 a31 a21 a22 ⎥ ⎣ ⎦ s+5 ⎡ ⎤ 1 ⎡ s + 5 1 ⎤ ⎢ ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3) ⎥ 1 ⎥=⎢ ⎥ Φ( s) = ⎢ −6 −6 s ( s + 5) + 6 ⎣ s⎦ ⎢ ⎥ s ⎢ ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3) ⎥ ⎣ ⎦ ⎧⎡ s+5 ⎤⎫ 1 ⎪⎢ ( s + 2)( s + 3) ⎥ ⎪ −1 ⎪ ⎢ ( s + 2)( s + 3) ⎥⎪ Φ (t ) = L [ Φ ( s ) ] = L ⎨ −1 ⎬ −6 ⎢ ⎥⎪ s ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎩ ⎣ ( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3) ⎦ ⎭ ⎡ −1 ⎧ 3 1⎫⎤ 2⎫ ⎧1 L−1 ⎨ L⎨ − − ⎬ ⎬⎥ ⎢ −2t −3t (e−2t − e−3t ) ⎩ s + 2 s + 3 ⎭ ⎥ ⎡(3e − 2e ) ⎤ ⎩ s + 2 s + 3⎭ =⎢ =⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎧ 6 3 ⎫⎥ ⎢(−6e−2t + 6e−3t ) (−2e−2t + 3e−3t ) ⎥ 6⎫ −1 ⎧ 2 ⎬⎥ ⎣ ⎦ L ⎨− L ⎨− + + ⎬ ⎢ ⎩ s + 2 s + 3⎭ s + 2 s + 3 ⎭⎦ ⎩ ⎣ Böôùc 3 : Rôøi raïc hoùa PTTT cuûa heä lieân tuïc ⎧ x [ (k + 1)T ] = Ad x(kT ) + Bd eR (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) ⎡(3e−2t − 2e−3t ) (e−2t − e−3t ) ⎤ ⎡0.975 0.078⎤ Ad = Φ(T ) = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎢(−6e + 6e ) (−2e + 3e ) ⎥ t =T =0.1 ⎣ −0.468 0.585⎦ −2t −3t −2t −3t ⎣ ⎦ T ⎧⎡ ⎤ ⎡0 ⎤ ⎫ −2τ −3τ (e−2τ − e−3τ ) ⎪ (3e − 2e ) T ⎪ Bd = ∫ Φ (τ )Bdτ = ∫ ⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ dτ ⎬ −2τ + 6e −3τ ) (−2e−2τ + 3e−3τ ) ⎥ ⎣10 ⎦ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ( −6e ⎩⎣ ⎦ ⎭ 0 0.1 −2τ −3τ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫ ⎢10(− e + e ) ⎥ T ⎧⎡ −2τ −3τ ⎪ 10(e − e ) ⎡0.042 ⎤ ⎪ = ∫ ⎨⎢ ⎥ dτ ⎬ = ⎢ 3 ⎥ =⎢ 2 ⎥ −2τ + 3e −3τ ) ⎥ ⎪ ⎢ ⎣ 0.779 ⎦ 0 ⎪ ⎢10( −2e ⎩⎣ ⎦ ⎭ 10(e − e ) ⎥ −2τ −3τ ⎣ ⎦0 15 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Cd = C = [1 0] Böôùc 4 : PTTT cuûa heä rôøi raïc öùng vôùi tín hieäu vaøo r (kT ) ⎧ x [ (k + 1)T ] = [ Ad − Bd Cd ] x(kT ) + Bd r (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) ⎡ 0.975 0.078⎤ ⎡ 0.042 ⎤ ⎡ 0.933 0.078⎤ [ Ad − Bd Cd ] = ⎢ −0.468 [1 0] = ⎢ −⎢ 0.585⎥ ⎣0.779 ⎥ ⎥ ⎣ −1.247 0.585⎦ ⎣ ⎦ ⎦ Vaäy PTTT : ⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡0.933 0.078⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡ 0.042⎤ ⎢ x (k + 1) ⎥ = ⎢ −1.247 0.585⎥ ⎢ x (k ) ⎥ + ⎢0.779 ⎥ r (kT ) ⎦⎣ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣2 ⎡ x (k ) ⎤ c(k ) = [1 0] ⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 (k ) ⎦ 2. Ñaùp öùng cuûa heä thoáng • Ñieàu kieän ñaàu : x1 ( −1) = x2 ( −1) = 0 thay vaøo pt : x1 (k ) = {0;0.042;0.142;0.268;0.392;0.502;0.587;0.648;0.682;0.699...} x2 (k ) = {0;0.779;1.182;1.293;1.203;0.994;0.735;0.476;0.294;0.072...} Ñaùp öùng cuûa heä thoáng : ⎡ x (k ) ⎤ c(k ) = [1 0] ⎢ 1 ⎥ = x1 (k ) ⎣ x2 (k ) ⎦ c(k ) = x1 (k ) = {0;0.042;0.142;0.268;0.392;0.502;0.587;0.648;0.682;0.699...} 16 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
8.6 Khaùi Nieäm Thieát Keá Heä Thoáng Hai moâ hình ñieàu khieån thoâng duïng : • Ñieàu khieån noái tieáp • Ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi 8.7 Haøm Truyeàn Cuûa Caùc Khaâu Hieäu Chænh Rôøi Raïc 1. Khaâu tæ leä : GP ( z ) = K P 2. Khaâu vi phaân : • Khaâu vi phaân rôøi raïc : e(k ) − e(k − 1) K z −1 U ( z) K D (1 − z −1 ) = D (8.25) u (k ) = K D → GD ( z ) = = E( z) T T Tz 3. Khaâu tích phaân KIT z + 1 • Haøm truyeàn khaâu tích phaân rôøi raïc : GI ( z ) = (8.26) 2 z −1 4. Boä ñieàu khieån PI, PD, PID rôøi raïc K T z +1 KD z −1 (8.29) GPID ( z ) = K P + I + 2 z −1 T z 17 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
5. Boä ñieàu khieån sôùm pha, treã pha z + zc Gc ( z ) = K c z + pc zc , pc : laø zero vaø cöïc cuûa khaâu hieäu chænh zc < 1, pc < 1 zc < pc : sôùm pha zc > pc : treã pha 8.8 Thieát Keá Heä Rôøi Raïc Duøng QÑNS 8.8.1 Thieát keá boä ñieàu khieån sôùm pha • Nhaèm naâng cao ñaùp öùng quaù ñoä • Khaâu hieäu chænh coù daïng z + zc Gc ( z ) = K c ( zc < pc ) z + pc Böôùc 1 : Xaùc ñònh caëp cöïc quyeát ñònh ⎧ξ Töø yeâu caàu veà: Ñoä voït loá * s1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 ⇒ z1,2 = eTs * * ⇒⎨ ⇒ POT, Thôøi gian quaù ñoä ,... ⎩ωn r = z* = e −T ξωn (8.32) ϕ = ∠z* = T ωn 1 − ξ 2 Böôùc 2 : Xaùc ñònh goùc pha caàn buø n m Φ = −180 + ∑ arg( z − pi ) − ∑ arg( z* − zi ) * 0 * i =1 i =1 Daïng hình hoïc : Φ* = −1800 + ∑ goùc töø caùc cöïc cuûa GH(z) ñeán cöïc z * −∑ goùc töø caùc zero cuûa GH(z) ñeán cöïc z * Böôùc 3 : Xaùc ñònh vò trí cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh Veõ 2 nöûa ñöôøng thaúng (taïo thaønh moät goùc Φ* ) xuaát phaùt töø z1 . Giao ñieåm * vôùi truïc thöïc laø vò trí cöïc & zero cuûa khaâu hieäu chænh. • Heä rôøi raïc, aùp duïng pp trieät tieâu nghieäm cöïc (ñeå haï baäc heä thoáng) Böôùc 4 : Tính K c theo coâng thöùc Gc ( z )GH ( z ) z = z* = 1 18 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Ví duï 8.6. Cho heä thoáng rôøi raïc 50 G(s) = s ( s + 5) T = 0.1sec • Thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha sao cho heä thoáng sau khi hieäu chænh coù caëp cöïc quyeát ñònh vôùi ξ = 0.707, ωn = 10 (rad/sec) Giaûi : PTÑT tröôùc khi hieäu chænh : 1 + G ( z ) = 0 ⎧ 50 ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ G(s) ⎫ 5 G ( z ) = (1 − z −1 ) Z ⎨ = (1 − z −1 ) Z ⎨ 2 = 10(1 − z −1 ) Z ⎨ 2 ⎬ ⎬ ⎬ s ( s + 5) ⎭ s ( s + 5) ⎭ ⎩s⎭ ⎩ ⎩ • Löu yù : AÙp duïng baûng tra bieán ñoåi Z : ⎛⎡ − 0.5e−0.5 ) ⎤ ⎞ −0.5 −0.5 ⎛ z − 1 ⎞ ⎜ z ⎣ (0.5 − 1 + e ) z + (1 − e ⎦ ⎟ = 0.21z + 0.18 = 10 ⎜ ⎟ 5( z − 1) 2 ( z − e −0.5 ) ⎝ z ⎠⎜ ⎟ ( z − 1)( z − 0.607) ⎝ ⎠ • Caëp cöïc quyeát ñònh z1,2 = re± jϕ * r = e−T ξωn = e −0.1x 0.707 x10 = 0.493 ϕ = T ωn 1 − ξ 2 = 0.1x10 1 − 0.707 2 = 0.707 ⇒ z1,2 = 0.493e± j 0.707 = 0.493[ cos(0.707) ± j sin(0.707)] = 0.375 ± j 0.320 * • Goùc pha caàn buø Φ* = −1800 + ( β1 + β 2 ) − β3 β1 = 152.90 , β 2 = 125.90 , β3 = 14.60 Φ* = −1800 + (152.90 + 125.90 ) − 14.60 = 840 • Choïn cöïc & zero cuûa khaâu hieäu chænh (theo pp trieät tieâu nghieäm) − zc = 0.607 ⇔ zc = −0.607 Tính cöïc cuûa khaâu hieäu chænh : sin Φ* PB = (0.607 − 0.375) 2 + 0.3202 = 0.388 AB = PB , ˆ sin PAB 0 ˆ = β − Φ* = 125.90 − 840 = 41.90 → AB = 0.388 sin 84 = 0.578 PAB 2 sin 41.90 19 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc
Vaäy : − pc = OA = OB − AB = 0.607 − 0.578 = 0.029 → pc = −0.029 z − 0.607 Gc ( z ) = K c z − 0.029 • Tính K c töø coâng thöùc : Gc ( z )G ( z ) z = z* = 1 ( z − 0.607) (0.21z + 0.18) =1 Kc ( z − 0.029) ( z − 1)( z − 0.607) z = 0.375+ j 0.320 → K c = 1.24 • QÑNS tröôùc & sau khi hieäu chænh 20 C8. Phaân Tích & Thieát Keá Heä Thoáng ÑK Rôøi Raïc